08.冲刺满分强化篇·题型11精讲精练-2
这个我都看不下去了，对吧？这有些同学这个原本想多休息会儿，你这个评论区这都啥问题对吧？这怎么现在这种问题都有了，对吧？你这应该是个初中内容吧？来那么接下来我们来，我再说一下，有同学没有理解这个事情，你看你不是很多说有没有可能是两个以上，怎么可能有两个以上？你就用导函数等于零去解，你怎么给我解出两个人以上？啊，怎么进行解出两个以上？这这个想法尊重数学，数学是一个很。它是个很理性的一个东西。你想想这个导函数，这个导函数等于零，你给我怎么解析解出两个以上，你这个等于零，不就是上面等于零吗？你这一元二次方程，你高中那个初中老师没讲过吗？没有根一个根，两个根。啊，那还有一个事情，
有些同学这个问题点呢，说这个没有想清楚，我再说一遍啊。这是不是你控制的方程？我再说一下这个事情。请告诉我，满足这个方程的点是不是就是我们的注点？这就是导数等于零的点嘛，满足这个方程等于零的点就是注点。那满足这个方程应该有几个事情呢？一个事情是这个部分，它怎么办？等于零一个事情是分母怎么了？不为零。没问题吧，
所以说你要注意你控制的方程是这个，这个人等于零。对吧，就这个人等于零，他才是我们的什么？他才是我们的助理。那不就上面等于零吗？你下面不为零吗？我们刚才只解这个人，你万一解出的点是一呢？你解出来一点不算呐，你解出二也不算呐，那三也不算呐。好了，这是这个问题吧，
我们就讲到这。呃，不要钻牛角尖儿，其实我觉得我们考三九六同学而言的话，考的这个数学的点，它不会说顶难那种。就是你的思维方式一定要稍微的直接一点，他考了这个点，你就打住这个方向走就行了，好了，我们不说了，我们继续吧，我们来看看下面一个问题。来看看一元隐函数，求导啊。
一元引函数。那么，对于一元隐函数求导，首先这里面当中有几个重点，第一个事情。你要知道什么叫做隐函数。对吧，首先这里面当中你要注意，这是我们讲的一元一函数。对吧，然后接下来我们再来看第二个事情如何求导？然后第三件事情注意什么？那么，接下来我们把这个问题点呢？我们再来看看这个事。
看一下这个问题。第一件事情，你在学这个隐函数求导的时候，务必要注意一个问题，你要区分开，它是一元隐函数还是二元隐函数？那么，一元隐函数是什么呢？它应该是两个人的方程。方程中的圆指的是未知数，所以说这人叫做二元方程。两个人的方程，两个人的方程，一个做因变量，一个做自变量，
当然是确定的一元函数啊。函数中的圆是指的是自变量。所以二元方程确定了一个一元函数。这是它的一个问题。所以第二件事情你要进行区分开，我们将来过程当中还会学一个二元隐函数，还记得吗？二元隐函数是三个人的方程。三个人的方程，一个人做因变量，两个人做自变量。这叫二元函数。没问题吧？那么你想想二元隐函数求导的时候，你z对s求导的时候y是个常数，
因为这俩人都是自变量，它是个常数。但是现在不是你现在这个人怎么修道呢？你就是方臣。两边。同时对谁呢？同时对s求导。但是你要明白一个事情，你这类目当中对s求导y是个常数吗？y不是常数。y是个因变量，所以一定注意y中是有x的。y为x的函数。好，这是这个部分内容，
那这是高频重点。所以一定要想清楚这个基本问题，那么接下来我们先来看看第一个考点内容。要不这样吧呃，先做这个题吧，把这题做完了，我们再看下面这个题。那么，去年二零二三年的考研真题啊，已经考到这种方向了，但这种点非常的简单，考的就是送分题。他说，这个函数由方程确定。一元隐函数，
一元隐函数怎么办？方程两边同时对什么对s求导？就是这个一式。两边同时对s求导，就是2s再减去y导，然后等于多少呢？先对中间变量求导，中间变量再求导，这是这个人。y中是有s的，然后让我们求二阶的，不要解出来，解出来就傻了，不要解哦，两边再同时求那这个人一求的话就是多少？
二阶导，然后这个人你是x函数，你也是前导是多少先对YY再导，然后后面不导，然后再加上前面不导，后面来导两阶导数。跟得上吗？那就是这个问题，所以说就是倒倒带呆，然后接下来我们怎么办？回带呗。回来的话，你发现不要把这人解出来啊，就是当s=0的时候把这人咔嚓带到这里面，带到这里面当中，
它就是多少？负y，然后再加上一，然后这个是多少等于e的y？所以你告诉我y等于几啊y刚好等于0 y=0了之后，然后怎么办？再把这两个带到这儿，带到这儿里面当中是负的y1撇等于多少？一亿的临时一歪一瓶。那y1撇的话，又是几又是零，然后接下来再怎么办？再把这几个条件再带到这。代到这的话，就是二减去y撇撇。
然后这个时候y撇是零。y撇是零的话，这是0e的零是一的话，这是y撇撇，所以说这个时候立即可以出来y撇撇在零处啊，它就等于一。所以这个点处的导函数啊，等于一正确答案选d。好像这种题就是送分题。考研当中绝对送分题，你必须要控制在一分钟左右内把它做完。基本问题就是往下倒倒带呆。好了，这是这个问题，如果你有任何偏向，
就是除了这个方法之外的别的方向，请你不要乱想了。你不要再胡思乱想了啊。来，我们再来看看77题来，继续再看下面一题。来继续吧啊，我们再来瞅一下。那么这个题考什么呢？它说这个函数由这个方程确定。对吧，一个一元函数由这个方程确定，一元一函数。啊，一元一函数。
那一元隐函数，你想想在考研过程当中，一元隐函数最擅长干嘛？最擅长求导啊。对吧，最擅长求导，最擅长求导的话，你就能得到一系列的导函数。啊，一系列导函数，一系列导函数，你得到一系列导函数，然后让我们去求极限，你会考什么？将极限跟导数挂钩，
肯定考导数第一。那考导数定义我们接下来看看考几处的导数定义呢？这里面当中啊，就看看呃，你是跟着经验呢，你还是严格来。如果你是一个高手的话，你眼睛漂下你都知道。你琢磨一下，你看这是n分之一。对吧，你除下去n分之一，你这n分之一零加n分之一完美。我零加n分之一，下面n分之一刚刚好，
所以我不用去想，根据我们多年的做题经验。对吧，根据我们这一年的训练，我们都立即可以知道这个人肯定是临出的老鼠。当然，有些人说老师。我觉得我过不了这关，你过不了这关，你先给我过了，他说那我就是过不了关，我再给你教个方式。你想严谨一点也行，其实我们刚才那个也够严谨。那么怎么办呢？
你想想导数定义就是一动减一定，这是几处的函数值就是几处的导函数，你赞同吗？移动减一定挤出的函数值就是挤出导函数，那你把这东西y=1代进去。把y等于一带进去了之后，就是一减s。然后这个时候是多少一减一是零e的零是一，所以说这个s是几呢s是零，你看清楚吗？所以这个时候的话，你发现你看你这个人不就是临处的函数值吗？完美，所以现在啊，你就不用多想了，
那这个人呢？肯定就是这样，那所以我们就可以凑导数定义了。那这个人写什么零加n分之一，然后再减去多少减去f零，你再比上这个n分之一？结构出来了吗？结构出来再看零当n趋向无穷大的时候，这个人其实是林真。对吧，而且是跳着往临阵跑的。哎，跳着往临阵跑，其实同学们想想这个东西，你在乎吗？
不在乎这个人是个隐函数，这个函数是可导的。那既然可导的话，任意点处的导函数是存在导数存在的话，那这人无所谓，你就写零处导数怎么了？无所谓啊，这个人。好了，这是我们讲的这个第一时期，所以我们就要求零处导数，那么求这个零处导数怎么求呢？隐函数求导，把这看成一式。方程两边同时求y导x。
求导是一先对这个中间变量求导。然后这个中间变量再求导，中间变量再求导是前导后不导，然后再加上前面不导，后面来导负的y1撇这个人。然后怎么办呢？把这人带进去就行了，当x等于几零的时候y等于几一的时候，然后我们来算一下这个导函数往里面带。那就是y导减一，然后这是零，那这是零，它就是零，所以说这个点处的导函数啊，它就是。
一那这是一你往这一带是一，所以说最后结果就是一。好了，这是我们讲的这个问题啊，必须要速战速决。很迅速的把它看出来。对吧，因为你发现一个事，你这里面当中做题经验做多了之后，你看这n分之一。你这是n我立即会想到除下去，那刚刚好就是零处的增量，零处增量肯定是零处的倒数第一嘛。你要严谨一点的话，就是动点减定点，
定点是谁的定点不就是谁的导函数吗？所以两个方向性都行，但是如果到了这个强化班，你不应该是增加增长这种经验吗？哎，速战速决好了，这个问题啊，我们就讲到这来继续吧，再来看。嗯。这个大家真真的是让我。哎呀，这个强化课上的让我大失所见啊。你这不是谁的函数值吗？你这不是y吗？
你把y=1代进去，它不就是零吗？所以f0是一啊啊。来继续吧，我们来看看下面的问题。再来看看考项三分段函数求导。来继续啊，我们再看口腔三分段函数。那分段函数求导核心重点两个方向，分段点外直接求分段点上用定义就行。所以作为我们三九六同学，你就记住这个点，如果是点y，你就直接求，如果是点商，
你就用定义就行。分段点外直接求分段点上用力一。那么，接下来我们来直接来看吧，看看下面一个问题啊。这类目当中啊，第一个题非常的经典。哎，就是第一个题，那么接下来我们来把这个题啊，我们稍微进行去更改一下。对吧，把这个东西啊的问题点。我们稍微进行去更改一下，多做几个点，
把这个东西啊，我们作为一个加强题。以后遇到这个问题啊，你一定会处理，其实这种东西你估计看到很多书籍里面当中见的应该很多。哎，就给了这样的一个情况。然后这里面当中。第一个问题。注意啊，第一个问题。若fx这个人。它在这个s=0处。是连续的。那这个时候。
则这个lambda怎么样？好，这是第一个事情。然后第二件事情，如果这个函数在这点可导。对吧，它在这个点处。可导则这个兰姆达又怎么样？第三个事情，如果这个导函数。在这个点连续。它将又会发生件什么事情？来那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个题目，好好听啊，
把这个事情呃，这个题今天必须要学会，但是而且还挺简单。好，我们先来看看第一问。截它让我们去求解这个函数，在这个点连续。这个函数在这个点连续告诉我件事儿，马上写极限等于函数值趋向零，趋向于零，去求出这个极限。这个极限的话，就当s趋向零时，对谁求极限s的拉姆达次方cosines分之一。求极限，
接下来我要给你讲一个重要的结论，大家好好听哦。大家想想一个事情。你看到这个人了吗？s趋向零sins分之一。见到这个人了吗？请告诉我件事，这个人。它在零处的极限是不是震荡的？对吧，它在零处的极限，结果是震荡的。对吧，我趋向零的话，你这个人在这个零处，
他是个震荡的。它是孤存在的。同学们，想想我要想让这个人的极限存在前面，必须配什么呀？我如果这个极限存在前面，必须要配上什么量？配上无穷小量是吧？对吧，配上一个趋向零的量，哎。我们知道无穷小臣有界，肯定无穷小，这没有问题。但是同学们。
真的只有这一种情况能让它存在吗？你说无穷小没有问题，无穷小陈幼介是无穷小极限是零没有问题。但是我问的问题是，难道真的只有这一种情况吗？真的只有前面趋向零的时候，这个部分的极限结果才能存在吗？大家思考这个问题是不是？是不是只有这种情况，大家注意是的。那么，这件事情啊，我来给你讲讲这个问题非常非常的简单。你通过这样的一个方向进行去理解的时候就贼容易。大家听好了。
如果前面的极限趋向于。注意啊，如果前面的极限趋向于一，我们这个人你都知道，前面是政府吧，你就会在负一到一当中。你来回的针。百度如果你这个前面极限，结果是二。我就会在负二到二当中上下摆动。如果你前面极限是三，我就会在负三到三当中上下摆动，如果这个极限是无穷大，我就会在负无穷到正无穷上下摆动。能听懂我的意思吗？
所以说你就会想想一个事情，如果这个人要想存在，他得怎么？你前面要去向一，我叫负一到一中摆动，你要是二负二到二当中摆动是三负三到三中摆动。如果这个极限要想存在前面，必须是什么情况？不摆动。那不摆动怎么办？非常简单，趋向于礼貌。你趋向零的话，你不就是在零这个零的上下摆动，那不就没有摆动吗？
你能听懂我的意思吗？前面必须是无穷小。如果这个人去向林的话，他可以你可以理解的话，就是林这块摆动，其实没有摆动嘛。你或者就是无穷小臣，有界无穷小。记住这个事情。哎，这个事非常非常的重要，记住这个问题就说你这是sins分之一，前面配上一个人。在趋向零的时候，这个极限要想存在。
前面只能进行去配无穷小量。要想存在前面，必须配无穷小量。而且当它存在的时候，它只能结果是零，记住这个问题，这考点方向很重要很重要。当然，我们考研还没考过这么难，我觉得打到这个点呢，基本上没有问题了。能听懂吧？好了，我们再来看第二个事情。cosines分之一，
这个人呢？在零的这个方向上对吧？趋向零的时候也是在震荡的。要想让这个部分的极限存在，前面只能配无穷小，而且此时的极限结果一定是零。记得住吗？好，这是这个问题，好学会了给我回复一吧。听明白的给我回复一。只能是这种情况，没有第二种，所以大家想想。这个人函数在这点连续这个极限必须是存在吧？
你想想要想让这个极限存在，前面必须配什么？前面必须配无穷小量吧。你前面这个部分，它必须是个无穷小，而且此时的极限，结果只能是零，而你发现它刚好就是零嘛。你存在的时候刚好是零连续的那，所以说前面这人必须配无穷小量，我就想问一个事情。这个人在零的方向上是无穷小告诉我拉姆达什么范围啊？那么，这里面当中问题啊呃，我不知道最近我有没有又讲这个问题啊？
那就是幂函数的三幅图。好，别猜了，别猜了，别猜了，不要猜了，不要猜了，我来讲吧啊。啊mini函数的三幅图。那是个幂函数，不是指数函数，幂函数的三幅图零基础提前学部分内容。那么，在零基础提前学部分，我们重点讲过这个事儿，
那么今天啊，我们再来回忆一下，因为这个内容非常的重要。没有关系啊，忘了都没关系。不要说我们呃，考数一数二数三考很难的部分的题，讲到这个冲刺班，有的时候还捋这个内容，这个没有关系啊，没有关系。那么，接下来我们来看看这个事，所以说我们打到这个点，一定能把这个题拿下来。
好，这是这个部分。那这个东西是s阿尔法次方，这叫幂函数，幂函数它的图像呢？基本上位于一二三象限，我们只用画第一象限就行。只要把第一象限的图形找不清楚，那就没有问题了。然后接下来我们来看看它总共有三幅图。把它记住。这三幅图跟着什么分呢？它是跟着头顶的这个数来分，如果这个人小于零，他这个人就是单调递减的。
如果这个人等于零零的，这个什么零的零次方没有意义。然后的话，这个人一定是一一会儿，不要问我为什么零的零次方没有一问初中老师能听懂吧？好，这是这个人，他说那你不是讲零的菱形未定式，那不是零。那是一个函数趋向了零。你分析清楚啊。这不是零，这是趋向于零。你这个趋向零没有到零，它不是不是那个零的零啊？
好了，我们再来看第三个事情，如果大于零的。等于一的时候是这样。然后接下来如果的话，它是大于零小于一呢，你比如说根号s，根号s图像就是这样。如果大于一呢，比如说平方，它就是这样。好，它们永远经过多少一一点？这是这个问题来把这三幅图啊，在脑海当中赶紧记一遍。
要记住，就按照零分。小于零的数是减的。等于零是平的大于零是三条线齐头并进往无穷大跑，三条线一直往上跑。能学会吗？能不能学会好了，掌握清楚给我回复一，然后接下来我问一个事情，如果s趋向正无穷。x的k次方，它是无穷大告诉我k什么范围？第几幅图。第几副，第三副，
所以说是大于零。能学会吧哎第三副。不能等于零啊。不能等于零，等于零是平的是一嘛。大于零啊。然后继续看，如果s趋向于正无穷。它的极限结果是零第几幅图？帝几夫。第一幅图k什么零？k小于零。能学会吧。然后接下来我们继续看，如果s趋向0 sk，
你注意你不用管那个负方向它，它如果考的时候，它肯定是定域。如果是偶函数的话，这半边呃对称过来奇函数对称过去，你看这半边就行，如果这个人极限是零第几幅图？往零跑的时候是零第几幅图，第三幅图k什么零大于零？第二幅图是一。哎呀，这这都装装不下吗啊，能装下吧。哎呀，你们一个个真的太可爱了啊，
来我们来看看吧。来看这个。处理一下吧，那么所以说你看连续的话，这个极限就会等于函数值。啊，极限等于函数值，那你想想一个事儿，这个东西得是无穷小，告诉我拉姆达什么范围？回答我什么范围？第几幅图。赶紧回答第几幅图。趋向零的时候，这个人是零第几幅图？
第三幅图赶紧说大于零填到这。而且此时的话，这个人是连续的来继续，我们再看第二件事情。那么，第二人的话，他说这个函数在这点可导，你就用导数定义呗，那就是f撇零，然后这是limits趋向零。那可导的话就是导数定义的极限，对吧？存在那就是fs。然后的话再减去f0比上s- 0。那所以说这个部分是limits趋向零，
然后是s的拉姆达减一次方cosines分之一。同学们，想想。这个东西要想存在。那这个要想存在，你告诉我件事，前面必须配无穷小。前面必须配无穷小，赶紧告诉我这个次方数什么情况，第三幅图吧，拉姆达减一大于零大于一。而且此时的导函数只能为零。跟得上吗？好，这是第二件事情。
然后接下来我们再来看第三个事情，第三个事情说什么说这个人的导函数连续大家想想。导函数连续不就是导函数的极限，等于该点导函数值吗？一定要把导函数全部求出来。第一个部分不为零的数的导函数。不为零的时候，导函数是前导。后面不等。然后再加上前面不倒。后面来导是负的sin x分之一。然后的话，这个部分的话s分之一再求导是x方分之负一。那因此这个人呢？马上就变成这样，
拉姆达减1 cos塔，然后再加上s的拉姆达减二次方。sin x分之一是不做成这样了，好，那么接下来继续。那么，此时你发现导函数都连续了该点处的导数，肯定是存在的吧？导数要想存在，必须保证大于一，而且此时的导函数你要注意当x=0。等于零的时候的导函数是存在的，导函数存在只能等于零，而且是大于一的时候。那么，
接下来我们就要看了，要想让这个导函数连续你发现一个事怎么操作呢？其实就是导函数的极限。等于该点导函数值吧。求解呗，导函数极限是不对这个人进行求极限啊。对这个人求矩形。它必须等于该点导函数值零。所以你想这是个震荡的，前面必须配无穷小量。它在趋向零的时候是无穷小第三幅图，阿尔法减一，兰布达减一大于零。这个前面必须配无穷小，所以说拉姆达减二大于零。
所以综合而言的话，这几个部分呢，大于一大于一大于二，所以因此这个部分内容马上这个部分立即出来了，这是大于二。好了，这是这个问题吧，我们就说到这，所以下去啊，你好好想想这个问题。能听得懂吧？这个不难哦，就是大于零。大于一，大于二，
会了吗？同学们。啊会了没？应该问题不大啊，这个题应该是能操作清楚。那所以说这个考点部分东西啊，那么下面这个题我们就讲完了。你要想判断导函数连续。你要想判断这个导函数连续，你就把导函数的所有情况求出来，分段点外求出来，分段点上用导数定义。他要想存在那种存在前面，必须是配无穷小量，我觉得这个题是有长进的，
那就很好了，正确答案选几选a哟。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题。再看下面一题，看一下79题这个题。来看这个人。那么这个题啊呃，大骗子题，这应该是我们在基础过程当中，我忘了有没有这个题啊？这是个大骗子题，其实这个函数它不是长这样。它这个函数长什么样？
你看你这个东西可以拎到前面去。你拎到前面去的话，就是s分之二就是二倍的多少s分之ln多少一加s方。对吧，这是s怎么办？等于零，然后这是零。啊，这是个大骗子题。然后接下来我们就继续，我们再来看看这个人那连不连续呢？呃，像这种题啊。像这种题，你注意一般啊，
连续就挂掉了，这有有点恶心啊。来我们试一下吧，连续其实一般都挂不了，它都得往下面考一考，那所以说你求这个人的极限。真人极限的话，你看就是求这个人极限，上面是二阶，下面是一阶，极限是零，它会等于函数值的。所以说这个人呢，肯定是连续的。啊，
然后看可不可导呢？你算一下。零处的导函数用一下导数定义s趋向零，那其实多少呢？是这个fs。减零比上s- 0，那就是二倍的ln 1+s^2，你这个下面的话下去是不是变平方？可以吧，然后接下来我们就看那这根极限，结果刚好是二，因为上面等价无穷2s方嘛，这是二，所以可不可导呢？可导的哎，
可导。然后可导的话，然后我们再判导函数连不连续，你注意啊，判这个人连不连续就要把导函数所有情况算出来，然后接下来。当x怎么办？不为零的时候的导函数，你得算一下导函数等于多少呢？等于这个人两倍的两倍的话，下面部分的平方，然后上面求导是多少一+s^2分之2s？上面求导乘，下面减去，下面求导乘，
上面ln 1+x^2。是不是这事儿我们就要看这个极限，等不等于二嘛？那所以说则我们就要求这个极限求这个什么s趋向零导函数的极限？导函数极限的话，这是二倍的limits趋向零来求一下，那这个部分上下同乘一下吧，这是2s方。然后再减去一+s^2 ln多少一+s^2，然后比上多少s方倍的一+s^2。这还挺简单嘛，怎么做啊？当x趋向零的时候，这项是几是一非零因子可以淡化吗？非零因子淡化了之后的话，
这是二倍的limits趋向零，然后这个部分是s方淡化了之后是2s方，然后。然后这是一+x^2 ln多少一+x^2。然后接下来我们就继续，我们看那你发现这个人极限就是存在的，存在就可以拆开，那拆开了之后的话，这是二倍的第一个极限是多少二？然后再减去limits趋向零，那趋向零的话，然后你继续去算这个极限，这是一+s^2 ln多少？一，加x方。
你求这个极限，那么求这个极限呢？这是二，然后这是二，你再减去你减去这个部分，这是多少呢？这人等价无穷，小S方，然后这约掉了。对吧，这个部分约掉了，然后的话，这个部分是几呢？这个部分是一。那所以说这个结果它就是二，
它等不等于该点导函数等于所以导函数啊是连续的。因此这个题啊，正确答案选几啊啊，正确答案选d。这个题其实运算量挺大。其实挺大，一般情况下，我们考的这个点呢，能打到哪呢？呃，能打到这个？就是之前的话，你发现能打到这个导数的这个存在啊，然后再看看这个极限也能考吧？也能考，
基本上到了这个导数定义啊，其实算了一个呃差不多的一个点了。选d哦，好了，这是这个事情吧，我们就讲到这那个导数极限定理啊，你们不用看了。那个部分呢，你看的越多，你觉得这个部分呢，你反而有些同学学的越差。所以你就记住一个点分段函数，就是分段点外直接求分段点上用定义。对吧，分段点外直接求分段点上用之定义就非常直接简单一点啊，
好了，这是这个事。过去了，可以吗？所以像这个问题啊，你下去好好想想啊。那么，在这种当中啊，我们再来出一个题。比如说我们来出一个题，那么这里面当中如果给了一个函数。它假设是这样。你这样复习下去，我我很担心啊，其实有的时候我不说也行，
但是你这样下去啊。我相当的担心。我不知道复习到后面的话会是个什么样情况。你这是学到今天那个水平吗？你让我感觉到非常有挫败感啊。你这是非零因子都看不出来吗？这是强化课程啊。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个事。嗯，过去了。那么，接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题啊，
我们再出一个点，你比如说这里面当中，我们给了一个e的s。方e的x方，然后再减个一。这是s大于零的时候。然后这个部分呢，我们写了一个sins+1。这是s小于等于零的时候。然后这里面当中啊，我们就说一个事情，则下一个问题。那么，然后接下来我们就继续吧，我们来看看下面一个问题。
来看一下a选项。那a选项的话，这里面当中说limits趋向零。导函数的右极限。那右极限，它等于一。b选项limits趋向零，要不这样吧，则下列正确的个数有几个？下列结论。比如说这是一。这是二，然后接下来我们再来看看，这是fs。fs的话，
这个人是一第三个事情limits趋向多少零正？然后的话，这个呃，这样吧f的右导数。诱导数的话，稍微我算一下啊。是一，然后第四个事情limits趋向于零负，然后这个导函数。它等于一好了，正确的个数有几个？a零个b一个c两个d，然后是三个。然后一是四个。好了，
我们来看看这个题吧呃，这道题啊，就是你都知道这是考研真题，考过的事情。来看看这个点。出来了，选几啊？不要说不认识啊。能认识吧？你管我怎么出题呢？你你还能这样啊，你今年考研真题的话，你比如出了一道题，你跟我说那这个东西应该是加义吧？你别在这儿乱来啊。
啊别别别，乱来啊啊。来选几啊？选谁啊？好，我们来看看这个人。他就想让你去判断一下这个东西到底怎么样？那么，首先我们先看第一个问题呃，注意这几个符号。第一组。你发现。这叫右极限吧。这叫左极限吧。对吧，
这是右极限。然后这叫左极限。注意求极限，不用知道该点。然后第二事情，这叫诱导数吧。然后的话，接下来你发现这叫什么，这叫左导数吧。好，这是这个人，然后第三波第三波的话，你发现就是雷MH向零正，这叫导数的右极限吧？这叫是导数的左极限吧？
导数的右极限，导数的左极限，你最起码得知道分段点外的导函数情况吧，就是这种情况，你得知道。都为零的时候的导函数。所以我们先来看看第一个人。导数的右极限。那么，这里面当中，我们先看第一件事，你就可以把这个分段点外的导函数算出来。那分段点y导函数的话，第一个是2s倍的e的s方，这是s大于零的时候s小于零的时候是多少coss？
那这是导数，那么先来看导数的右极限，导数右极限是对这个人求极限，这人求极限，这是零，这是一，所以它是几，它是零。这人不对，然后这是导数的左极限导数，左极限cosine 0是几是一诶，这人可以。好了，我们再来看看二二是什么呢？二是这个函数的左极限就这个函数左极限。
所以说二这个人的话limits趋向零负是对谁求极限啊？是对这个函数哎，左半边这个人。就是sins+1这个人求极限，它是一。对吧，这个人是对的，然后再来看看这个诱导数，那诱导数的话，你可以用导数定义啊limits趋向零正。零阵的时候比零大时候是一的x方，再减个一。那该点值是几啊？那该点值的话，你发现刚好是一，
你再减个一比上个s，那这个时候我们都知道下面趋向零。上面是多少？这是零，这是负一，上面不为零，这是无穷大，所以你不对。其实你都可以这样看。你怎么看呢？因为这半边的极限是几啊？这半边的极限是零。这半边的极限是一，你这个函数都不连续，怎么可能会可导啊？
那所以说这个三也不对，不连续肯定不可导。能想清楚吧，你到了今天的话，你最起码得会辨认这个东西。不在多，在于精。一道一定要把它吃透了，这是考过的真题啊，我只不过稍微改了一改。好了，这是我们讲的这个例三这个人啊，所以说下去的时候你好好想想这个事过去了呃，这个问题啊，我们就说到这。
行吧，这是个分段函数，那么接下来我们再来看看下一个问题，我们再来讲讲参数方程，求导。呃，这个问题啊，是个冷门考点。对于我们三九六的同学呢，你能掌握住这个计算方法就可以了。那么，对于一个参数方程，它是这样。x是一个t的函数。然后y也是一个t的函数。
然后他们确定了一个函数，叫做y=fs这个人。是吧，确定这个函数。那么，确定了这个函数，你要稍微注意。y要对s求导。对吧，你求的是这个函数导数。你求这个函数导数的话，就是求y对s导数，求y对s1阶导，求y对s的两阶导。但是要注意y跟s之间的关系是不明确的。
x只能对t求导y，只能对t求导，这是你要注意的问题，所以我们先看第一件事，一阶导是y对x求导。但是你发现y能对x求导吗？不能y只能对t，所以说这里面当中啊，我们就是y对t比上什么呢？比上这个x对t。好y对t比上s对t就行，所以这里面当中啊，就是y对t的导比上s对t的导。然后接下来我们再来看看二级导数。那二阶导数这个人怎么算呢？
那二阶导数是一阶导数，对谁求导一阶导数，对s求导。一阶导数对s。因为你发现这个函数求导就是永远对自变量求导。那对s求导的话，但是这个一阶导数是谁的函数是t的函数？t的函数怎么对s求导不能这样做，所以我们怎么办呢？我们就让这个人先对谁啊？先对t。你再补上一个x对t求导分之一。就可以了，对吧？你除一个dt，
你在这乘个dt分之一，所以像这个内容，你一定要把它给我记住，如果我推你作为一个三九六同学的话，你在考场上推这个人呢，你就非常麻烦了。所以注意一阶导数是什么y对t比上s对t2阶导数呢？是y1阶导数对t，请注意一个问题，还要补。补上s对t求导分之一。注意啊，一阶导数是y对t比s对t，二阶导数是一阶导数对t补上s对t，求导分之一来看这个题。
那这期就可以速战速决了来起。那么，让我们去求参数方程的两阶导，我们先去求一阶导，一阶导其实就是y对t比上s对t。那y对t求导是多少呢？y对t求导是这个人，那前导后不导，再加上前面不导，后面来导，然后这个cosine求导是负的s in。然后这个s对t是多少s对t求导是cosine约掉约掉约掉约掉，然后这个结果是t。所以说这个时候的话，两阶导数就出来了，
两阶导数是一阶导数，对t是一补上一个x对t求导是多少cosine t分之一？好，然后把这个四分之派往里面带二分之根号二一翻根号二答案选c。跟得上吗？要注意这个问题啊，他是怎么处理的？行，那么这个点呢，我们就讲到这儿，所以下去啊，你好好进行，把这个内容点呢，还是好好梳理梳理。因为这个内容上面吧，
我觉得基本上要在这个基础班过程当中啊，你得稍微有点加强。我觉得强化班是两个方向性，一个事情是你的知识的架构更加的清晰。你就见到这个题型，你就知道怎么做，见到这个题型，你知道怎么做，你的结构应该是更加的清晰，然后第二件事情呢？就是你处理这个方法更加的果断。你见到这个东西，怎么想见到这个东西怎么想？但是我觉得反而不是这样，反而到了强化很多同学的大脑，
非常的发散。你就比如说刚才那个穿针引线法。不是说大量在积分当中用到穿针引线法，不就是原来我们做了一个题。做了一个题，然后让我们去求面积穿针引线法了嘛。不就做那个题，用得下穿针引线法，所以一定注意知识点的架构，一定要更加的清晰一点，所以我觉得呃，还是有些问题点啊。呃，稍微要注意几个信息。就是该记的东西也要多记一记。
能听懂吧啊，该记的东西要记一记你，比如说每天上午的过程当中啊，你可以把这个数学的有些这个重点呢。不不是让你去朗诵，是你用大脑的过程当中啊，你好好进行去想想。对吧，你大脑好好进去去想想，就是比如说我们呃，到晚上的时候，你可以每天晚上的回顾一下你大脑。呃，我觉得一个非常好的学习方法。一个非常好学习方法，
就是你闭上你的眼睛，比如说我们这节课，我们讲了哪些东西，你真的从大脑当中所有的从头到尾你都能转的过来。那就行了，比如说我们这节课。我自己思考了下，我这节课第一个点，我学了复合函数，求导啊，不我们先学了微分微分的定义，上课老师讲过。微分的定义可以包装。对吧，包装是什么样？
在大脑当中想清楚哦，这个包装情况我知道，然后第二件事情线性主播线性主播就是微分啊，这件事情我们想清楚。然后第二点就是我们这个微分的几何意义是什么呢？对吧呃，这个我记得上课过程过程中画了条线原曲线的增量是德尔塔y，你切线增量是dy对吧？把它想清楚哦，我们上课又讲了一个事情。复合函数求导。要注意几个符号之间的关系，隐含数求导它是怎么做的？要注意，它是一元隐函数方程，
两边同时求导。要注意y中有s，然后再来看分段函数，而且分段函数是分段点外，直接求分段点上用d而且。刚才上课过程当中，我们还讲过了这个题，而且往年真题还考过，就是这个事情哦，原来我上课出错了，我下次过程一定不能出错。我知道哦，那个符号这个意思，那个符号这个意思对吧？然后这个符号的话，
其实你只要去求分段点外导函数就行。哎，我明白了这个人的意思。然后另外一件事情，还有一个信息点，就说我们刚才上课的时候还讲过这三幅图。幂函数三幅图，这种情况什么样？这种情况什么样？然后那种情况什么样？另外一件事情还讲过，如果这是正当的，前面只能配无穷小这个人极限，结果只能为零哦，上课还讲过那道经典题。
不知道在大脑当中还有没有印象。所以我觉得这个体系的话，应该是更加的健全。然后导向性更加的精准。你所以在这里面当中，这个导向性必须精准，我见到这个东西，我就会想什么，不要太发散。我们其实我们作作为考三九六的同学，尤其要注意考研的时候啊。它不容允许你要进行在那里面当做呃，这叫什么词呢？不要墨迹。对吧，
不要墨迹，就是一定要非常果断。你见到这个点的导向性非常的精准，而且我们的考研真题当中不存在说我们看不出来考点那种情况。大量的东西我们都能看出考点。我们都能看清楚考点，就说你见到这个东西怎么想怎么想，不要给我发三。你比如说像刚才这个题。你像这个题，你这题做法的话，对吧？分段点外怎么求呃？这个呃，这个是呃，
先对中间变量求导，中间变量再求导。然后的话，这里面当中，你把它带进去，然后的话就是分段点位导思维方式一定要非常精准，打住这个点呢，你才能考高分。你有的时候你太发散，不是说特别好的事情啊。好了吧，那么这个问题啊，我们就讲到这。所以我觉得最终达到什么问题啊？你就记住这个点，
你从今天开始之后，你给我尝试这个问题，那所以说你我记得第一次课程呢，我们说的好好的，一定要先整理再做作业。先整理再做作业。但是很明显你发现呃，如果第二次作业你做了两次作业了之后，你其实清楚的发现。我们这个作业跟上课是非常匹配的。你这个作业这个题一定是我上课讲的某个知识点，我上课讲到哪个点一定会出哪个题？所以这是你要注意的。对吧，你做了这个第二次作业的话，
你清楚的发现，所以呃，你可以试一下。找一张大白纸。啥东西都不看，你能不能把核心框架给我列出来，比如说这节课的话，第一个人微分的定义啊，第一个人定义什么情况，对吧？计算怎么算的？几何意义？然后复合函数是怎么求导的？要注意哪些符号，然后以这个什么隐函数怎么求导的，
然后第四个事情分段函数那么刚才讲的那么重点的题提取出来，核心点呢？提取出核心点的话，每个部分的话，你比如说刚才那个符号什么意思？这个符号那个符号你看考研就喜欢这样考。这个我们的考点方向能不能做到这个事情啊？然后稍等一下，有一个题，我把这个题稍微说了。就这个题来看看这个题。呃，这个题啊，我们稍微进行讲讲诶，注意一下这个事。
那么这个题它说存在了一个数。大于零啊，这个属于零到一的数，一定会使得这个情况，大家想想一个问题啊，我们来看看我们一般的定义。我们说，对于任意的一不松，属于零到一。然后存在了一个大n大于零。当小n大于等于大n的时候。一定有xn和a之间的距离比这个人小。你告诉我件事，这种情况对不对？这是不是我们这个极限存在的这个定义啊？
啊，对不对？我SN的极限，结果是a。这定义对不对？当然对啊。首先第一件事，这带不带等号无所谓。属于零到一就非常好。小于二倍的1倍松动，小于等于二倍一倍松动，就是小于三倍一倍松动，这没有问题，那么接下来这个题啊，你想想。
一个极限，要不是收敛，要不就发散。如果你不是这样的第一。你走相反的方向，不就发散了吗？所以大家想就说。对于任意的一布，索隆属于零到一，你永远都会怎么了？小于二倍大，那你就走反方向。我永远都会有一个一布斯路，属于零到一。你说对于任意的一步速度在零到一当中，
你都会是小于等大，我们说永远都有属于这个什么？在零到一当中，永远都有这样的一步之龙，让什么情况呢？让这个人大于它。这是不是走的反方向？你记住这个事情，他说任就说，只要你是零到一的人。你俩的绝对值一定比他小。那对立面是什么？对立面当中就说永远会有一个零到一当中永远会有一个人，我超过了他。你不说所有的零到一的情况，
它都是小于吗？我说肯定有一个人，我是超过你的。这是不是反方向？这不叫逆否命题，是这个人的反方向。是对立命题吧。所以这就是对立命题。然后的话，在这个范围内当n趋向无穷大的时候。那这个时候不就说明什么情况，不就说明这个人，他不会是a吗？那这人怎么办？他是不存在的。
能理解吧。所以你就想想你走它的反方向，你说只要是零到一当中的伊布斯龙，我都会是小于二倍的它。那这时候我怎么进行去求反方向呢？就说永远在零到一当中有一个人，我会超过他。你说的不是不是说任意的人都小于他吧，你看我永远有一个人，我超过他相反的命题。所以说这个人呐，人家说的是不收敛于他，他的充分必要条件。哎，这是这个人。
有些同学还没有听懂。你下去好好琢磨，这是逻辑的问题吧？就是一定注意这个问题，就说你发现你说对于任意，只要你是零到一，你一定会是这样。任意的零到一当中，你都是小于等于它，你走反方向怎么走？肯定有一个人不再小于等于二倍的，一不送范围是超过他。曲反方向。哎，所以说这个时候你就想清楚了。
你说所有人都是小于等于他嘛，那肯定有一个人大于他啊，这个人。所以你看这个东西就是跟上面这个定义刚刚好相反。你这是收敛的，这是相反的，相反的不就是发散的吗？对吧，你上面这个东西就是极限存在收敛的定义，走反方向收敛的反方向不就是发散吗？所以说它就是不收敛a的充分，必要条件好这个题啊。可以了吗？想清楚26题行吧，那么今天课程呢？
我们就讲到这。然后作业啊，留到我们下节课的话，切线方程和法线方程讲完了之后，我们一起进行去做作业。好了，这是这个问题，我们就说到这。不要背一背就傻了。对吧，好了，那么今天课程呢，我们就说到这，自己下去好好呃，这个尤其同学，
有些同学这个基础不是说特别好的同学。你们一定要做好提前的这个预习的准备，你上课听的这个效果才会更好，不然的话你老是犯着一些非常低级的一些错误，等你将来过程当中再看的时候。你就会发现呃。你再看的时候啊，其实这个。你你你，其实你就会发现这个问题啊，非常不应该好，那么今天课程呢，我们就讲到这儿好不？同学们好，下节再见吧。
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