08.冲刺满分强化篇·题型11精讲精练-1
好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始，我们三九六的暑期强化班的课程，那么在上次过程当中啊，我们刚好讲了一些呃，非常重点的关于这个导数定义部分内容。那么，接下来我们把这个核心重点，我们先来跟同学们进行去做一个重点的回顾呃，因为上次过程内容还是比较重要。对吧，导数定义每年过程当中啊，一定会出题，那么首先我们先来看看第一个点啊，导数定义。那么，通常而言呢，我们的这个导数定义啊，有几种情况呢？比如说我们的计算性定义对吧？比如说我们的增量定义。还有我们的单侧导数定义，这三个定义啊，
其实是核心重点问题，对吧？那么首先第一个事情，计算性定义，那这个东西啊，我们用的非常多。然后第二件事情。就是增量。但是这个增量这个东西啊，我们其实用的不多，那么接下来我们就针对这个问题啊，我们来讲一道题对吧，我们把这个东西啊，讲一道这个涉及增量类型问题，可能会考的点。
啊，增量型的倒数零。那么，接下来我们来看一道题啊，所以说你下去把这个核心重点的问题啊，好好整理整理呃，至于这个作业啊，我先提前先说一下。呃，我们这个作业可能这个里面当中有一些刊物。啊呃，自己的话下去把那个稍微进行修正一下，因为里面当中啊，可能有些这个刊物你一定要每次过程当中进行去关注这个事情。只要有这个问题啊，
我们都会及时在这个APP里面进行去更新一下呃，比如说这里面当中。这个题啊，这两个选项重复了啊。然后的话，这个25题啊，哎，稍不尽兴去更改一下，把这个题目啊改成这个样子对吧？呃，原来写的是f1。啊，把它改成f0，然后的话，这个题的正确答案选的是d啊，
还有这个呃四二十八题。28题这个题啊，这个e选项跟这个东西啊，你发现啊，有重复啊。行吧呃，基本点呢，反正每个题我们都会讲，你只要有问题的东西啊，你都可以进去去看那个呃，我们作业题的这个精讲的课程。好了，那么接下来我们就继续开始吧，我们来看看下面一个问题，那么这里面当中啊，
我来出一个题啊，你稍微进去去感受一下。比如说这里面当中啊，我们出一个这样的题。呃，有一个没有讲，一会儿我们把这个正课讲完了，最后啊，我们会讲这个题，那个题也很简单啊。其实昨天的话，我就想进行去确认一下，跟那个真题，其实这个题啊，是我在这个一到九几年的这个真题啊，
我把它粘过去了。结果的话啊，粘过去的话，可能这个文档粘过去的那个文档上面有点儿问题。就是原来我们整理的这个文档可能稍微的有点问题，它的原本的话，这个题目说的是对于任意的给定的这个人啊，他是这个情况。是什么条件充分必要条件啊，所以说这个时间还是比较久远的啊，这是这样一道真题，所以这个第四题。呃，因此啊，我昨天晚上呃重点的一个问题啊，
就想进行去确认一下，这样的一个部分啊。好了呃，一会儿过程当中，我们讲一下这个题，但是我们那样更改了之后啊，那个题其实也没有问题好了，那么接下来我们一起来看看这个事。比如说这里面当中啊，我们来出一个题目。好，我们来看看第一个题目。如果这样说，我们说对于任意的什么东西呢xy？我们均有这样的事情。
均有这个fx y都有fs×fx y。哎，这个应该是加法。对于任意的东西都有这个人，那么在这里面当中，而且告诉我们这个函数在零处等于一，那么然后接下来我们来求一下这个事情。求一下什么呢？求一下这个fs。等于多少好了，那么接下来我们来一起来看看这个事情啊，他说对于任意的xy它都有这个事情。然后让我们去求解这个人。那这件事情怎么去做呢？那么接下来我们来看看这个考题。
也不难，但是你见过了之后就会觉得简单，你没有见过这个题啊，你就会觉得非常的恶心。那么，首先我们先来看看这个事，你发现这里面当中告诉了一个条件。告诉个什么条件呢？告诉了一个这个fx+y这个人。对吧，这个人x+y这个人，他等于fs乘以这个f sy啊乘以fy。那这个时候我们来看到一个什么东西东西呢，你可能会想到高中部分内容。有些同学可能会想到高中过程当中，
我记得我们也做过这种题啊，他说对于任意的东西都成立呗。我们可以在这里面当中，怎么办？我可以随便取一取。对吧，比如说这里面当中，我给y进行去赋一个人。然后得到一个式子，然后再给y进行再赋一个人，又得到一个式子，然后接下来怎么办？消想诶，这个函数出来了。但是你要注意一个事情，
你这个方向性就不行。对吧，你这个方向性肯定不行。原因点在何处呢？大家想想一个事。这是我们考的高等数学的体验。我们高等数学核心重点学习的是微积分。微分和积分，你想想，如果考研当中一个考题，怎么可能不会涉及极限导数微分或者积分部分内容呢？所以这里面当中啊，我们就要进行思考了，在我们所有学习的部分内容当中，有哪个部分会出现，
你看这个东西是什么呀？你可能现在没有什么感觉，如果我把这个y改成德尔塔s，你有感觉吗？有没有感觉有感觉了吧？所以说这个时候你发现如果我这样看这个东西不就是增量吗？我们学习的所有部分内容当中有哪个部分的知识点出现了增量啊？哎，非常简单，其实就是我们学习的这个什么哎。导数导数的定义，因此这里面当中我们怎么处理呢？其实非常简单。那么，在这种当中，
我们如果看到这个增量，你发现我既然要求解这个人的函数，我就进行去求解这个点处的导函数。对吧，我就进行去求解，任意点处导函数，我用一下增量定义，那这个增量定义是多少呢？它其实就是fs，再加上德尔塔s。然后再减去多少，你再减去这个fs嗯，比上这个德尔塔s，然后这里面当中就是limit德尔塔s趋向零。然后接下来我们就可以代进去了，
代进去了之后的话就是fs再乘以一个多少f德尔塔s。然后这里面当中啊，我们再减去一个fs比上一个德尔塔s好这种情况，然后这里面当中啊，你发现一个事，它就得到了德尔塔s趋向零。然后这个部分是fs是个常数，然后你发现就得到了这个情况。哎，得到这个人呃，其实这里面当中啊，应该。再告诉一些条件。对吧，再告诉一些条件，
然后这里面当中啊，设置了一个人，然后告诉一个，比如说告诉零处的导函数等于多少，告诉零处导函数等于多少，然后设置出来。呃，所以这个题啊，我没有编呃，现在这个题啊，你只能做到这个位置，因为什么情况呢？你比如说这个里面当中，我们再告诉一个零处值，大家好好听啊。
你比如说这就是个零处增量，比如说我再告诉我f0处的值等于多少？对吧，告诉f0处的值等于多少，然后这个东西凑一下倒数第一，你发现就出来了，但是接下来的东西啊，可能对于我们三九六同学就解不了了。为什么？因为会出现那个微分方程，所以这个题啊，我们就先说到这一会儿课间休息的过程当中，我编一个题啊，编一个题，你来做一下。
首先第一件事情，你要注意这种思维方式，我不知道同学们听懂我的意思吗？如果这里面当中他告诉了这个增量。对吧，如果这里面当中，它告诉这个增量啊，这个减个一。啊，减个一那么减个一了之后的话，你可以凑一下这个导数定义，但是接下来部分呢，我们做不了了。因为你发现你这个人凑出导数定义了之后的话，接下来我们会得到了一个微分方程，
就导函数等于这个人我们解不了，我们考研过程当中不考微分方程。所以一会课间的过程当中啊，我稍微编一个题。哎，编一个一会儿过程当中，我们稍微做一下。所以像这种点呢，我们是可以出题的。可能有些同学觉得说这种题不是很简单，我们考选择题啊。那我们考选择题的话，你发现那这个选择题当中有abcde五个选项，那我把这个函数往上面一带不就出来了？你想的太当然了。
如果这里面当中，我们进行去求出了这个函数之后，你知道我们会怎么编题吗？我们怎么可能会编一个fs啊？你往上一带就出来了。我肯定会这样编，比如说。编一个值，但编一个值不好，对吧？我们可以编这个人减二等于多少？我要编一个值，你就会知道哎，我通过这个值的结果，我可能进行去猜，
我觉得也太简单了。那我怎么办？我减一下，哎，这两个东西减下来之后的话，你发现。就有点你就看不出来了，所以说你一定要注意它这种问题的本质，你听懂我的意思吗？你要做你就学会它。你一定要学会它，你不要在这里面当中想着说啊，我偷奸取巧怎么办啊？好了，这是这个事情，
行吧，一会儿课间休息过程当中，我会编一个题，一会儿过程当中，我们完成一下这个事儿。那么，刚才过程当中，我想到这个增量第一啊，刚好我们讲的这个事情好，这是第一个问题，计算性第一，但是其实你发现。如果我们在做一些计算题的时候，做我们的考研真题的时候，你发现这个计算性定义其实才是最重要的。
然后接下来还有个什么东西啊，还有个推广零。对吧，推广力那这个东西啊，非常的重要。所以我们的考点过程当中有两大定义，一个定义是什么呢？计算性定义比较重要，一个事情是推广定义，那还记得推广定义吗？两句话啊，叫做一凑结构。二，看零。对吧，
一凑结构，二看题目，移动减一定注意它的定义啊，都是移动减一定。然后是动点逼近于定点一凑结构二看零。好了，我们再看第四个事情。单侧倒数。那单侧导数这个东西啊，其实就牵扯了一个事情，要不要分了？所以在上次过程当中，我们讲这个事情，我们把它捋的非常的详细，就说如果一个考题过程当中，
比如说第一件事情。它让我们去判断。疑点处的可导性。你怎么办？那这个时候我们就要进行去看了，那这个东西到不了，要不要分？如果需要分左右的时候就是左导数等于右导数存在且相等。对吧，左右导数存在，且相等在该点处就可导，那如果这个东西它部分呢？波峰就是该点处的导数定义的极限是存在的。如果你用的是计算性定义，就是计算性定义存在，
如果你是用的推广性的，就是推广性的定义的啊，这个人存在。能理解我的意思吗？所以下去过程当中啊，你好好进行思考一下，这个问题非常的重要，跟得上吗？同学们。所以核心重点上次过程内容就讲了这些东西，当然如果遇到抽象性，我们上次还讲了些重点的方法，你可以进行赋值。你像去年我们三九六同学的考题啊，有一道考题对吧？
考了一个二级导数，那个大于零，然后告诉那个fs+y，然后怎么大于fs？加fy或者是小于那个题的话，你发现你就只能用赋值法是最快的，有严格的推演你三九六同学的话，根本而言在有效的时间内做不完。所以说我们这个赋值法是非常关键的，好了，那么接下来我们不多说了，我们先来看个题，先来看看68题这个题。那么这个题啊，我们先来讲啊，
因为这个题啊是一道拔高题，哎，这个题啊，我们先重点看看。他说这个函数啊，有二阶连续导数。有二阶连续倒数，然后又告诉了g0，加上g撇零=0，然后我们继续去证明这个人是连续的。而且这个函数是可导的，导函数也是连续的，那么接下来我们也严格着做，那严格着做，那这个东西其实就浪费点时间，
对吧？严格着推演嘛？虽然我们考研也不会考这种证明题，但是你稍微等一会，一会过程当中我们再来说好，我们先来看看这个事情。先看第一个片段连续性。那连续性怎么办？连续性不就是看看这个点处的极限，结果等不等于这个点处的函数值吗？所以这里面当中啊，我们就要进行去求极限。s趋向零，然后这是gs-e的负s，你要比上s求极限。
好了，那么接下来我们来看看这个事，那么请同学们告诉我一件事，这里面当中它说什么它有二阶连续的倒数。我昨天晚上记得讲习题课，我其实讲到后面呃，我印象中好像是有。我记得有一个题。想到哪个题啊？就这个题，有些同学都不敢落笔答了。这可不行，对吧？已知极限，求解其中，
待定参数，你下面极限是零，上面是零，你先得到一个式子。然后零比零型很多说那我看到连续都不敢落必达了。你不能这样，你这这这学的这是个什么水平呐？所以大家注意，我们讲的是什么？我们讲的是抽象性函数。可以落到连续那一节。你这里面当中有个抽象函数，你要是个具体函数能落就落了呀。所以说做的一定要坦然一点，你像这个题能不能落呢？
当然可以，二阶导数都连续，我们先可以落下一落的话，这个人就变成了基导。然后再加上多少一亿到负s，你看这人连不连续连续连续这个极限等于函数值。然后这个人呢？那这个人的话，你看发现一个事情，他刚好是多少？那这个人是g撇零。然后这个部分呢？诶，这个。这个题是不是有点儿有点点问题啊？
加上个一。这个东西。嗯，欺凌。这个题的话。你后面再加一个点。加一个点加一个点的话，这个g0是一。啊，加一个零。其实不用加能求出来的啊。能求出来，那么接下来我们来先来看看这个事吧啊，你先求一下，那么这个里面当中啊，
我们先看看这个事情。好，大家好好听啊，那么这个人的话，你发现连续连续的话，这个极限呢？它这个极限肯定是存在的，这样烤啊，就稍微的恶心一点。那既然存在的话，你发现下面极限是零，上面极限就是零，所以说这个gs在这个人呢，加上减去个e的负s。其实就等于这个点处的函数值减一，
它就会等于零，所以说这里面当中的g0呢，它就是1g撇零呢，就是负一。好，这是这个事情，那么接下来我们就来看看这个问题对吧？但是。这其实也不行。啊，不行啊，不行不行，这个事情啊，必须要怎么办？你必须要加上这个条件，
因为的话，你如果这样做，你就假设了，它是存在的。因为他也有可能是不存在的，如果这个人不存在，他就有可能不连续了，所以说大家一定要注意这个问题啊。哦哦，若它连续什么？哦，已经连续了。hi，我以为要证明它连续呢。那要证明它连续，
那这就不行，对吧？它已经连续了，那已经连续，那就行了，那已经连续的话，我们就可以做了，那这里面当中我们就可以去去。操作一下，那就是这个人的极限。减去一的负s比上s，然后这个人极限，结果等于他该点处函数值，所以说这个时候我们当然可以做一下。首先第一件事情分母极限是零分子极限就是零，
所以说这个时候啊，马上的话，这是gs再减去个e的负s。然后这是积零，你再减去个一，这个结果就是零，因此啊，这个积零的话，这结果就等于几等于一。好了，这是第一个事情，你发现这个g0这个结果它等于1g一撇零，这个结果它就等于负一。好，这是我们讲的第一个事情，
然后接下来他让我们去证明一下这个函数在r上可导。那么你想想一个问题，第一件事情，它在r上可导，其实核心重点只需要研究分段点处的可导性。对吧，只用研究分段点处，那分段点处我们用导数定义呗，所以说这里面当做f撇零，那因此用下导数定义s趋向零。然后这是fs。你再减去一个f0，比上一个s- 0，然后接下来我们继续去求一下这个极限。那这个极限的话，
你就发现我减去零比上它，其实这个结果就是gs-e的负s比上个多少x方？没问题吧，那么接下来继续我们来看看这个人。当x趋向零的时候，下面这根极限是零。而这个人连续极限等于函数值是一，这是一零比零型未定式。同学们告诉我，能不能落下？可以落吗？完全没有问题，因为如果这个东西洛必达了之后，它其实就跑到了几阶导，一阶导，
一阶导数是连续的，所以没有任何问题，你落下一落变成它。然后这是g撇s+1的负s。所以这个题为什么放在这儿呢？原因点，希望同学们把这个抽象函数这种极限呢？到底能落到哪些？你把它掌握熟练。那么，接下来告诉我件事，还能不能再落呢？你再低级，你下面是零，然后这人是连续连续极限等于函数值负一负一+1，
这还是零。能不能再落哎？可以我们继续落，那么继续落的话，你不就是落到几阶倒不就落到二阶倒数吗？所以说这是二分之一，然后这是g撇撇。然后再怎么办？减去e的负x，所以说最后这个结果是多少二分之一g撇撇零，然后这个部分呢，再减个一。没问题吧，二级导数是连续的，那既然是连续，
我当然可以下去，没有任何问题。然后接下来我们再来看看下一个事情，你注意了，证明这个人连续你先记到笔记上，证明谁连续就要把谁的所有人求出来。你既然要证明这个导函数连续，你就得把导函数的所有情况求出来，就是分段点外的情况，分段点上的情况都要求出来。那现在分段点上情况求出来了，然后接下来我们怎么办？我们去求一下分段点y。那分段点y的这个人导函数是多少呢？导函数其实就是这个人导函数，
这人导函数啊，它其实就变成这个人的平方。上面求导是奇导，然后这个人再减去个e的负x的导函数变成加号，然后上面求导乘，下面减去，下面求导乘上面。那上面的话，这是gs，然后再减去一的负s是不是做成这样了，然后接下来干嘛？我们就要进行求出这个人的极限，到底等不等于这点函数值？那么就求呗，求这个极限怎么做来求导函数的极限？
那这个导函数极限其实就是这一坨的极限。来，我们把它这个东西啊抽下来。那这个部分的极限怎么去处理呢？怎么做？能不能眼睛瞅出来？怎么处理？有些同学就直接录了。啊，怎么处理？有没有发现一个事情？你把这个东西一除。那这个东西一除，它不就是这个部分吗？是不是这个东西一除，
其实就是这个东西再来个二倍。是不这个问题，然后接下来你再来看诶，这个东西一除。他不就是这个部分吗？所以说你发现这两个部分的极限都是存在的，都是存在的就可以拆开。那拆开的话，第一个部分的极限呢？第一个部分极限等于二倍的这个人，那二倍这个人的话，其实就是基导导零，你再来减一。第二极限就是二分之一，然后这是基导导零，
你再来减一，所以说结果就等于二分之一基导导零。再来解疑，能理解吧，你看这人就出来了。所以说这个时候的话，你发现这个导函数是不是等于该点处的导函数值啊？所以说导函数一定在这个点处是连续的。所以你看这个部分做的那个内容，其实在上面部分有所体现。那这个题为什么呃？希望大家来进行去做一下呢，按理说强化部分的过程当中，我们很少会出现这种。啊，
这么繁杂的这种题目，而且啊，你稍微注意一下，我们在考研过程当中基本上都是选择题。那这个题我觉得有几个点，你需要掌握清楚，第一个事情，如果是抽象函数极限落到哪一阶？第二件事情你要注意证明谁连续你就要把谁的所有人求出来。所以这个类型问题啊，你把它想清楚，那么接下来我就要想一个事情了，哎，那如果这个题的话，你发现改成一道选择题，
你应该如何快速破题呢？那么，接下来我们把这个事情我们再放下来，这其实就是这里面当中的重要原因。那如果这个题啊，我们把它改成什么改成选择题，我们把这个部分呢？给抹掉。对吧，抹掉，然后改成一道选择题，然后这里面当中说什么情况，说a选项。对吧，我们出一个a选项，
那a选项的话说这个fs。在x=0处。不可导b选项说fs在s=0处。可导，而且什么然后第c选项说fs。在x=0处。呃，可导，而且的话，这个人怎么样？然后d选项。f导s在这个s=0处。零处不连续。如果e选项说f到s在这个点处。连续这个部分说导函数等于零，
这个部分说导函数不为零。你看这样一改啊，这个东西就变成了一道选择题，你怎么快速做呢？其实这里面当中啊，有非常好的方法。你当然像刚才那样提的严格的推演，当然可以，但是这个速度就非常慢了。那么接下来你就取一下。举一个什么呢？举一个这两个东西相加等于零的例子。对吧，而且还要满足这个函数连续的例子，你举谁呀？
啊，我就想问一个事，我看你水平怎么样？x不行。你s的话，你发现一个事，这个人其实就不连续了。s不行，平方也不行。大家注意啊，你要举例子，第一个条件满足它。第二个条件还要满足它。一，加x。
一，加s。我想想一加艾斯可以。一+2次，举得很好。这举的都不好举的，最最狠的例子怎么办？你就取e的负s不就行了吗？你举e的负s的话，你发现这个是这是e的负s，这就是零啊。所以说你会发现，你看你这个人的话，马上就取出这个人。你就举一的负s啊，
那一的负s2阶导数n阶导数都连续。那这个部分就是零啊。你不为零的时候等于零，你等于零的时候还是等于零。那所以说这个函数永远都是零，那肯定是连续的呀。而且这个人呢，他在零处是一导函数是负一，那刚刚好来我们来看这个函数在零处可导吗？可导的。嗯，我这个灯得改一下。得等于二啊。然后接下来我们再来看，然后接下来的话，
你发现在这个人呢，他在零处的导函数等于多少？这个是诶，等于一=2。这样才能是一个题啊，你稍微进行去改一下，那么这个时候的话，你发现这个函数永远等于零。对吧，你这样一举，你这个函数恒为零。你横为零的话，你发现不可导吗？可导的，而且这个导函数是零对吧？
不是一不是二，然后这个导函数呢？导函数的话，这个部分它还是解。这个人的导函数，它还注意啊，是这个人的导函数。注意啊，是这个人导函数说这个函数恒为零，那这个时候零的这个导函数呢？那还是零那零零连不连续呢？肯定是连续的，这不对，这个人对。所以你这样一举的话，
你发现这个部分呢，就永远为零，你永远为零的话，这个fs就是永远都是零，那当然可以。所以说这个条件你这样举其实最好。能理解吧，所以像一个选择题啊，你这样做的时候速度就会非常快，你基本上几十秒钟就行了啊。呃，有些同学不理解什么意思，你看呃举例子，胡举我再说一遍。你举的例子不光要满足这个条件。
而且还要满足这个条件。一不是更狠，一就错了，一不是更狠。你如果这里面当中，你发现这个人是一的话，你求一下这个极限当s趋向于零的时候的话，这个一减一的负s极限，你怎么可能会等于这个点处的函数值啊？你所以说注意这个问题啊，一定要想清楚。有些同学还是没有看准他，一直盯着二阶连续倒数。你随便举的这个函数都是二阶导数，都连续。
所以一定要注意啊，这个条件其实很很简单，你最重要问题举的是什么？你举一个要让在这个点处连续的例子。刚才有个同学说的很好，一+s可以，但是不够狠，最狠的就是直接进行去取这个人，那这就是零。零的话，它当然连续。能理解吧好，这是这个事情，你好好想想，所以这样的一改的话，
我们觉得就能变成一道啊，基本上在一分钟内啊，能够处理的一种考题了。好基本点，我们就讲到这。过去了，可以吗？要好好想想，满足这个条件。那么，接下来我们就来看看下面一个重点内容了，微分的定义啊。微分定义那微分呢，是我们考研当中的黄金重点。如果这个问题啊，
在这个数一数二数三的这个考点当中啊，它不是重点，你基本上而言呃，六七年吧，七八年考一次了不得了。就是这个微分定义，但是的话，对于我们而言呢，却是重点中的重点，那么首先我们先来看看第一种考点，那就是微分的定义。微分定义的话，你就发现。啊，一+s不满足前面对吧，
又不满足前面你自己看看吧，那个例子你自己好好举一举啊。那么，接下来我们来看看这个考项二部分，首先第一个事情微分的定义，大家还记得什么叫微分的定义吗？什么是微分呢？嗯，好好听课吧s- 1好像也不行s- 1的话，在零处啊s- 1可以s- 1可以。自己举举吧。这个同学举的非常好s- 1同学。这个取得很好。送你个必胜套装吧。好了，
那么接下来我们来看看第二件事情，微分的定义那么像这种情况，常用于包装。哎，常用于包装，那么首先我们先来看看第一个问题，同学们什么叫做微分呢？微分就叫做线性主步，它的定义应该是这样说的，说什么呢？说如果这个函数。你看这个函数。它在这个点处。哎，它在这个点，
这个点是s0。是不这个点呢？那么这个点的话，你发现我有一个增量，我增量是德尔塔s，它就增量到这了。是吧，这个东西啊，它增量到这。那增量到这儿的时候的话，你发现他用这个末点值减去起点值，这是什么呀？那这叫德尔塔y，德尔塔y我们来写一下。其实就是s0，
加上德尔塔s，你再减去多少fs 0，这叫德尔塔y。没问题吧？好德尔塔y。如果这个因变量增量能够等于自变量增量的先行关系，再加上自变量增量的高阶无穷小。在自变量增量趋向零的时候成立，我就说这个函数在这个点处啊，可为。能理解吧，我们就说这个函数在这个点处是可为的，所以说这里面当中你要注意一个问题，第一件事。你就会发现这个部分的东西是什么？
这个部分东西我们就往往把它叫做微分，那么这个东西叫做线性主步。线性关系的主要部分，我们把这个东西啊，也叫做微分。能理解吗？所以你要想清楚，如果在这个点处，它的因变量增量。等于自变量增量的线性关系，然后再加上自变量的增量的高阶无穷，小在自变量增量趋向零的时候成立。我们就说这个函数在这个点，可为。而这个部分呢，
就叫线性主波，这个部分呢，也叫做微分，稍微等一会儿，我们先把微分的这个计算呢，我们串完了之后，然后再回过头来，我们看看怎么进行去包装考题。那么，接下来我们来看看微分的计算。那么，同学们想，如果这里面当中给了一个函数。那么刚才我们都知道这个微分是什么呀？微分就是这个线性主步。
而我们经过推导发现，这个a是什么呢？a其实就是这个函数的导函数。那么，而且这里面当中我们有个规定，如果你是自变量。德尔塔什么就是d什么，这个东西是一样的，但是如果你是因变量，德尔塔什么跟d什么一样吗？不一样。诶，这俩东西就不一样了，所以说这个时候啊，你发现它这个东西其实就等于这个人。
没问题吧，所以如果是微分呢，通常就是导数在后面补上个ds。当然也可以是导数后面补上一个德尔塔s都是一样的，所以接下来我们来看看这种类型问题怎么进行去包装？好了，那么接下来我把这个东西啊，我们擦掉了，大家好好听。如果一个题目当中啊，告诉了你这个函数在这个点可为。注意啊，如果一个函数告诉了你在这点可为，那么请问它在这个点处的因变量增量？是不是会等于自变量增量的线性关系，
再加上自变量增量的高阶无穷小，在这个人趋向零的时候成立啊？然后这个部分叫线性主波，这个部分也叫微分，那么首先我们看第一种考题。那么就是怎么写呢？它这样写。他就把这个东西写开s0加德尔塔s，然后再减去fs 0。同学们告诉我，这个东西是不是德尔塔y啊？好，这个东西是德尔塔y，然后这里面当中它给你来了一个空，然后这个部分是德尔塔s，
然后再加上德尔塔s的高阶无穷小。在这个人趋向零的时候成立。那么，同学们告诉我一件事，你立即就会知道这是什么呀？那德尔塔y等于线性关系，再加上高阶无穷小，你告诉我，我是不是立即就知道了哦，这不就是这个点处的导函数吗？好了，这是这个问题，但是如果这样考，你只能得到这个点处的导函数考不出来水平，那怎么办呢？
我们可以这样来。如果一个函数在这点，可为它又告诉了这样的一个条件。那么，同学们告诉我，现在而言，你又知道了什么？你发现这是哪个点处的增量？这就是哪个点处的导数？那这是几处的增量呢？这是x处的增量。所以说这个部分呢，其实就是x处的导函数。所以你知道了这个导函数，你就可以把这个原函数求出来，
我们就可以求一个值，所以这样出啊，就能出一道两分的核心考题。注意啊，这一拿就是两分。所以在微分定义当中的第一个核心考点就是这样考的，对吧？用于包装函数好，这是第一件事情。第二考题啊，就是这个人。你要注意线性主步。就是微分。注意，这是第二考题，
那第二考题啊，这个部分又可以进行去出一个两分的考题，就题目当中出现的是线性主波。线性主步就是微分。能理解吧，所以考点部分内容啊，有这两个事情，那么接下来我们来看一个题吧，我们先来做一个。比如说我们来看看这个题目。那这个题啊，往年也考过这个题，你现在做就非常的简单了，来那么接下来我们看看你发现眼睛一瞅，这是德尔塔白。
然后等于一个什么呢？等于一个德尔塔s的一个线性关系，加上高级无穷小趋向零成立，马上就知道。马上就知道这个部分，其实就是微分。那这个部分是微分，而同学们想想那前面是什么？前面不就是导函数吗？对吧，这是导函数x处增量，那这个部分就是x处的导函数，所以说对这个题而言，我立即就知道了。s处的导函数就等于2s倍的e的s方。
然后接下来让我们去求解这个函数呢，那这个函数不就等于这个人的不定积分吗？导函数是它往回积就行了。那这个积分呢？就是e的s方把这往回凑s方e积分就是e的s方加上c。然后这里面当中说什么情况，他把这里面当中f0。你要算一下，把这个零算出来之后的话，这是多少呢？e的零是一一+c，然后这个结果等于二。所以说这个部分呢c=1。因此，这里面当中马上就出来了，
这个题让我们去求f1那f1是多少e的一次方，然后再加上c+1。一亿加一，这个人正确答案选一。好了吧，这是这个点，所以你会发现这个部分的东西啊，一定要想到对吧，这是x处增量。德尔塔y等于德尔塔s的线性关系，加上高阶无穷小，那这个部分就是线性主波，就是微分。那前面就是导函数好了，这是第一个事情，
然后接下来我们再来看看第二个方向。如果这里面当中啊，你实在不会。但是你不会不会的，你通过这个强化训练，你将来过程当中眼睛要一瞅就能瞅出来。对吧，丑相就出来。当然，如果你实在不丑，没有丑出来，我可以怎么办？我可以走导数定义方向，你这里面当中可以这样办，你这是is+deltas。
你再减去fs，你把这个德尔塔s除过来，你除过来之后的话，这是2s倍的e的s方，你再加上一个高阶无穷小比上它。是不这个人，然后接下来怎么办？我给它两边同时取多少，同时取个德尔塔s趋向零的极限。德尔塔s趋向零的极限，那这个部分不就是s处的导函数吗？对德尔塔求极限这个s是个常数。然后这个部分极限是零，所以说你发现这个东西出来了。两个方向，
你可以把这个东西除过去，凑出什么东西呢？凑出我们讲的这个导数的定义。当然了，我觉得你是个高手，你应该是眼睛一瞅就出来了。对吧，这是I次数的因变量增量等于自变量增量线性关系，加上高级无穷小，这就是微分，那这就是导数。好了，基本问题啊，能学会就行好，这是我们讲的第一个点，
然后接下来我们再来看看第二个问题，71题。好，再看这个题。那这个题啊，又来了，他说了一个问题，他说y=fx^2这个函数。哪个函数是这个函数？在自变量s=- 1取得，增量等于负的零点一的时候。相对应的，德尔塔y的线性主目。谁的线性主播？大家看好了，
是这个y的线性柱。是你的线性主播，你的线性主播就是什么？你的线性主播就是你的微分，所以说接下来我们就来算一下。它的线性主步。那这个人的线性主步其实就是这个人的微分，那这人微分等于多少？等于先对中间变量求导。中间变量再求导，这是导函数。导函数在后面补一个什么ds好了，这是微分，然后接下来我们把所有的量带上去。他说了，
他说当自变量等于多少负一当德尔塔s那这个东西就等于ds。这个人跟ds是一样，等于负的零点一的时候，然后这个线性主步就是这个微分取得零点一代进去。一代的话，你发现这是零点一。然后把这个什么负一带进去，这是f撇一，然后这一带这是负的二，然后这个部分呢是负的零点一。所以说这时候马上求出这个人导函数等于多少一算一算的话，这是零点五正确答案，选几选d？没问题吧，就说你要注意谁的线性主波就是谁的微分，
是它的微分，它的微分其实就是导函数，再补一个ds。好了，这是我们讲的这个71题，能理解吧，所以微分的定义就是这两个考点，一个事情我可以包装一个函数。第二件事情就是这个线性主，步线性主步什么意思？好，这个点呢，我们就讲到这。过去了，可以吗？
好，要学会它来，那么接下来我们再来看个题，你来看看69题这个题。好，我们来做一下这个题。提前做了吗？选几啊？这个题目选几啊？他说设这个函数在这点可导。导函数不为零。然后这个什么德尔塔s趋向零的时候，这个人在这个点处的增量和微分之差。那么，首先我们先来看看第一个问题来解。
那大家都知道，因变量增量再减去什么呢？它就会等于微分，再加上一个自变量增量的高阶无穷小。那这个时候的话，你发现这个德尔塔y再减去dy，它肯定是这个德尔塔s的高阶无穷小，这没有问题吧？这是定义啊，你这个不能不会，所以说这是比德尔塔s高阶的无穷小，比这个低阶不对，比这个低阶不对。跟这个同阶也不对，所以说这个题的正确答案只能从BD当中选。
那接下来就是DOTA白了。都是塔歪，怎么办呢？你怎么处理啊？那么，这个时候的话，我们要进行去看这个人呢？这个人跟这个什么跟这个。跟这个德尔塔y之间什么关系？你怎么处理啊？河曲低解。那么，接下来我们来看看这个事儿，你其实你发现你要想做这个人呢，你就是在德尔塔s趋向零的时候。
对吧，然后你把这个什么把这个德尔塔y再减去个谁dy要跟这个德尔塔y进行作比求极限？但是这里面当中，我们现在好像看不出来个啥呀。对吧，你这个东西要作弊求极限。你做比求极限了之后的话，首先第一个事情，你德尔塔s趋向零的时候，你第一个部分极限是存在的，那其实就是一减去dy比上德尔塔多少？y好了，这个帧。那么，然后接下来你发现一是存在的，
我把它抛出去，然后这是德尔塔s趋向零。那现在关注点的一个问题，其实就是这个dy比上这个人，你怎么去求啊？哎，如何进行处理呢？怎么做啊？那这个时候的话，你发现这个dy你怎么怎么进行操作它呢？哎，非常简单，你这里面当中，你这个前面部分是一。然后这是limit德尔塔s趋向零，
你把这个v分就可以写成什么写成导函数。对吧，它在这个点处的导函数再乘上德尔塔s，是不是就可以了？这没问题吧？所以说就可以写成这样子。写成这样子了，之后的话，这个部分就是一个常数，你把这个德尔塔s除下去，你把这个德尔塔s除下去了之后，你发现。这个部分极限呢？哦，这个部分极限，
它不就是导数吗？所以说这个时候啊，上面是个常数。下面的极限不就是该点处的导函数吗？这个点处的德尔塔y除以这个点处的德尔塔s求极限不就是导函数吗？所以说它就是一减一就是零。能理解吧，好这个问题啊，我们就说到这。所以这就是我们在这个里面当中的一个点，是比它高级的无穷小量。能想清楚吗？你就是把这两个东西啊，作比求个极限嘛。你想看看是不是它的高阶，
你就这样处理，那么这里面当中啊，当然会涉及一个问题，你在这个点处的微分就等于这个点处的导函数，你再乘上ds。对吧，另外一件事情在这个点处的德尔塔y比上这点处的德尔塔s当。德尔塔s趋向零的时候，这个极限呢，就等于这个点处的导函数。好了，这是这个部分，能想清楚吗？要知道这个东西的操作。所以将来我们其实就知道了，
如果这个函数在这点可导，而且这个导函数不为零呢，那当然的话，这个人肯定是德尔塔s高级无穷小。其实它也是德尔塔y的高接入需求。要注意啊，这个类型问题，它是怎么去想的？好，69题啊，我们就讲到这。可以了吗？过去了。就以前我们肯定会做前面部分啊，前面部分比较简单，
后面部分怎么处理的？来那么接下来我们再来看看下一个问题，微分的几何意义来继续啊再来看。不是x减一，是一减s吧？那个题等会我们再说吧，举例子那个。那么，接下来我们再来看看微分的几何一？再来看微分几何意义。微分的这个几何意义啊？首先，接下来我们来看看这个事儿，你还记得导数的几何意义吗？导数几何，
意义非常简单，就是这个点处的切线斜率，那微分的几何意义呢？微分的几何意义的话，它是这样。这有一个点。那这有一个点的话，我们过这个点做一条切线。哎，做条切线，这是切线，这是圆曲线。那微分几何意义是什么呢？我们在这里面当中给这个什么给这个，它有一个增量。
给它有一个增量了之后，我们来看看这个事，你要注意这个点是个起点。这个点是个中点。对吧，起点这是终点，如果用终点再减去这个起点呢？圆曲线呢？这就是我们说的德尔塔y。所以你看原曲线的这个增量，其实叫德尔塔y，那这个切线呢？切线这个人也有末点切线这个增量呢？切线这个增料其实就是地位。两者之间相差多少呢？
相差的这个部分呢？就是这个德尔塔s的高阶无穷小。就是德尔塔s的高级无穷小当。德尔塔s非常小的时候，这一项会更小，那直线的增量就跟曲线的增量。非常的接近了，那这就是我们传说中的以之代取的数学思想，能理解吧，所以你要注意什么叫做微分的几何意义呢？就是。切线的增量。原曲线的增量叫德尔塔y切线的增量叫做dy。好了，像这种问题啊，
我们在这么多年的考题当中啊，还没有出过这种几何意义的题，所以你稍微进行小心一点。比如说我们来看一个人，如果对于一个函数而言呢，它这个情况说什么呢？如果在这个什么它的这个函数的二阶导数。比如说是。大于零，然后这个一阶导数它小于零，而且这个德尔塔s是大于零。现在这个德尔塔y还有这个什么呢？德尔塔y这个情况。还有我们刚才讲的什么呢？呃，
这个dy这个情况和零它们之间是一个什么样的大小关系呢？我们来看看这个人。那这个图像啊，你稍微把它构建一下就行，这是y这是零，然后这是x。那么，首先第一件事情，这个人是一个什么o曲线？而且它是单调递减的。所以说右凹右减的话，它这条曲线是这个曲线。然后接下来我们怎么办？我们就在这里面当中给一个什么情况给一个起点。反正的话，
你发现德尔塔y是什么原曲线的增量？然后dy是切线增量，然后我们会给你一个增量。哎，会给你一个增量，加上德尔塔s，然后接下来我们过这个点做条什么线？做条切线。哎，过它做条切线。那这个时候我们先看第一个问题。这是圆曲线的起点吧。这是圆曲线的中点吧。所以说你会发现这个高度是什么？这个高度是德尔塔y，
请告诉我，德尔塔y是什么？德尔塔y这个人是末点减起点。末点减起点呢，这个人是小于零的。对吧，这个东西小于零，然后接下来我们再来看，继续往下来。那这是切线切线的话，这是末点末点减起点，你所以说用c处的值啊，再减去a处值。所以说这是dy dy也得小于零。那这个时候我们就可以看出来了，
所以说德尔塔y和dy都是小于零，先小于零，越长会越小，所以说是德尔塔y。大于这个底白，它们都是小于零。能跟上我的意思吗？所以说切线的增量，它就是dy，然后曲原曲线增量是德尔塔y。那么这个时候，它们相差的呢？相差的是这个部分仍然是德尔塔s的高阶无穷小。好，这个点呢，
我们就说到这。好了，同学们，微分的这个内容我们就讲到这三个事情，第一个事情微分的定义，第二事情微分的话，那个定义当中的什么东西呢？就说。这个线性主步什么意思？然后第三个事情就是几何意义？把这三个问题拿清楚啊，我们基本上这个微分的东西啊，它没什么可考的了。好了，继续吧，
我们再来看看下面一个问题，题型九导数和微分的计算。呃，这一节啊，对我们三九六同学啊，绝对的黄金重点。不是重点黄金重点，那么在这里面当中，我们会学习几个人呢？我先把这个考勤情况先跟同学们说一下。这个问题。第一种情况，那就是复合函数求导。高频。绝对的高频重点。
不要看不上这种题，就是给了你一个复合函数，然后让你去求解这个人导函数。你像这个问题啊，它仍然是什么呢？这个部分的东西啊，非常非常的重要，高频重点。然后接下来我们再来看看第二事情，叫做隐函数求导。高频哎，这两个点，然后接下来我们再来看看第三个点啊，继续，然后是分段函数。
求导，这是重要。对吧，然后接下来我们再来看看第四个点，那就是反函数求导。还有第五个人参数方程。方程求导，我先说一下这个事情，反函数求导没有考过。未考过，而且这个东西啊，相对会冷门一点。这是你要注意的，相对冷门，而这个部分也是它从来没有考过，
也是相对冷门一点，然后再来看看第六个点。就是我们的高阶导数。那高阶倒说我说几个问题。那么这个东西啊呃，稍微的注意一点也是一个什么啊预测点。因为这里面当中有几个事情呢，第一个事情就是公式法，其实对我们而言，公式法还比较重要。然后第二事情有一个泰勒展开法，那个东西啊，作为我们强化班哎，重点需要进行去了解的东西，所以这样的话你就会学的非常非常的全。
所以像这几个问题啊，你希望下去的时候好好进行再看看，那么接下来我们一个一个的讲。啊，一个一个来，我们先来看看第一个问题，复合函数求导，不要小看这个人呐，你要学到今天的而言的话，你这个东西飘了。那这个东西考研当中是重点，那么首先我们先来看看第一个问题。复合函数求导法则。它的求导法则非常简单，就是先对。
中间变量求同。中间变量。再堆字变成球。哎，这就是它的求导法则，所以说对于复合函数而言，它的求导法则就是这样的一个问题。对吧，就是先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导好，这是我们的求导法则的问题，然后接下来我们再来看看第20题。其实这里面当中啊，你要注意几对符号。之间的关系。
这个事情我们在这个呃基础班的过程当中，可能是重点讲过的一个事情，我们先来看看第一段。啊，这里面当中有几对？那么学到今天呢，你不能说在这个问题上，你还有问题啊，第一个事情那么请同学们告诉我f。这个什么片框？和什么情况呢？和这个f框这个人的撇一样不一样。这东西不一样，比如说我举个例子，你发现fx三次方。
那回答我这个人的自变量是谁啊？是我们第一个考点内容吧，一个函数自变量其实就是这里面当中x。它的自变量是s，如果在外面打一撇。注意，如果在外面打上一撇的意思就是这个函数要去求导了。对吧，我这个函数要求导，那这个函数要求导肯定是对自变量，求导自变量谁呢？自变量是x。所以说就是先对中间变量求导。中间变量再求导，那因此你发现如果在肩膀上打撇，
什么意思呢？肩膀上打撇的意思其实就是。这个复合函数。要对谁呢？要对中间变量求导的。所以一定要听清楚，如果是肩膀上搭撇，就是对括号里面的东西求导。如果是这个东西，整体进行求导就是对自变量求导，这是要注意的，比如说这里面当中啊，我们来出一个题。看看同学们的水平怎么样离。已知那这是y等于多少呢？
fes.那么这个时候。请告诉我这个dy。等于多少先来看a选项。a选项说。fes.然后des。然后是b选项。f撇es。然后ds。c选项f撇es es ds，然后是d选项。f撇es，然后des，然后是e选项。
是f撇这个什么fes？它导函数es ds。好了，同学们告诉我选几啊？那么，这里面当中是我们最起码要进行去区分的内容吧？那么，首先第一件事非常简单，你发现这个人的微分。其实是这个函数要对自变量求导ds，你赞同吗？没问题吧，你从看结构你都能看出来，就是导函数在ds，而这个导函数呢，
其实就是这个函数导函数。这个函数的导函数可以怎么写呢？其实就是es这个整体要去求导ds。这是可以的吧，然后你也可以把它求出来，就是先对中间变量求导，中间变量再求导是这个人。那么，这个当中其实还有一种写法，还有一种写法怎么办？你看这个人这个东西是不是可以进行去凑微分呐？是不可以凑微分，所以你看第一个人肯定不对。因为后面是ds就对了。然后b选项肯定也不对。
对吧c选项后面必须是ds，你这个人也不对。然后最后一个人多了，只能选几选d。能想清楚吗？这就是几个符号之间的关系，你这个微分其实就是对s进行求导，后面ds这是要抓住重点的。好，这是我们讲的这个第一个问题，然后第二件事情继续。那就是f撇框。对吧，比如说这里面当中告诉了f撇框。你跟f撇s什么关系啊？
这两个之间什么关系啊？我一直给你讲这个事，你发现比如说这是f撇三次方。这是f撇s，你要看不懂的话，你要注意，其实f撇就是个对应法则。你原来我们学的话，这是fi三次方fs，这是对应法则打撇呢，撇是归在对应法则当中。如果这里面当中你实在不会看，你就把f撇儿这个东西记成新的对应法则，它就变成这样了。继承新的对应法则，
它就变成这样。所以说这个时候你就知道了哦，这两个东西是什么？是复合函数关系对吧？就是怎么了？用这个人。用这个人里面当中的x被三次方进行去替换，就得到了。两个人之间是复合函数关系，就说我用三次方替换，这里面x就能得到你。好，这个内容你要想清楚。好，这是几个符号之间的关系，
把它讲清楚就行，那么接下来我们继续，我们来看看下面几个重点的考题，我们先看第一个人吧。第一个人呢，没有别的事情，你就是算就行了。对吧，你要喜欢算，而且你要把这个东西啊呃做的一定要稍微的稳一点，不要到了现在啊，你反而飘了这个基本点还得知道。当然，这里面当中我提示几个事情，比如说基础讲义当中的导数表是不是再复习一下？
导数表得再看看。对吧，还有这个导数四则运算法则，当然得知道这太基础内容了，来那么接下来我们先来看看第一个人来求吧。先对这个这个是乘法求导。那乘法求导就是前导，后面不导，然后再加上前面不导，后面来导，后面来导，要先对里面求导。里面求导就是二倍的根号，下一减s方分之一，然后里面再来求导负二s好这个人。
然后这个部分呢，再是根号下一减s方分之一好做成这样，那所以说这个部分呢是一减s方。然后这个部分你约一下约一下对吧？然后这是多少呢？这是加上一个根号，下一减s方，然后这是负的s方。然后这个部分呢，你再加个一。是不是这个问题好了，这是一减x方，这是一，然后再减去x方。所以说这个时候啊，
你发现这是根号下多少？诶，这是一减。这个后面还有一个。这是前倒后不倒前不倒后来倒。然后这是多少？这是根号下一减x方，然后这里面当中啊，你是不是可以除一个？你除一个了之后的话，它就是根号下一减x方。然后等于二倍的根号下一减x方。所以像这种题啊，你要注意算的稍微的稳一点呃，还有一些常规的，
比如说那个loin呐，那个s加上个根号下s方加一那种函数。它导函数计算公式你都得知道，所以去把那个基础讲义当中啊，那个导数表把它再看看好了，我们看看选d。那么，接下来我们再来看看下面这个题啊，73题这个题呃，这个题啊，就会稍微的会贱一点点。那么，这个题到底什么意思呢？你就要读懂题，它给的函数是这个人fns啊，
它就说有n个f。那么接下来你就要稍微看看你，看你f1s这个人其实只有一个f你一个f，其实就是这个人，那是多少呢？s比上根号下一+s^2。然后接下来你看f2s这个人呢，他就有两个f。对吧，有两个f就是用这个人进行去复合了，这里面当中的x。你就进行替换呗，把里面当中所有s被它替换根号下一+s^2，然后这是根号下多少一加上这个人的平方，这是s方。
然后这是一+s^2，你给它上下同时乘上一个根号下呃根号下一，然后这是一加多少呢？你看这是一+s^2再加s方。一+2倍的s次方。好了，这是这个事情，如果你做了一个呀。有些同学可能会观察出来规律，你发现是一的时候，这是一倍塔，如果二的时候两倍塔。好，这是这个人。然后接下来我们再来继续啊，
你再看，然后接下来这是f3s。好，继续看，如果你再写一个，其实如果考试过程呢，不想写就这样。你想再写一个，你可以再往下来一下，那其实就是几个f呢？其实就是啊，三个f。三个f的话，其实是ff 2s。f2s就是两个f，
然后怎么我们又用这个东西替换这里面当中x，然后你替换一下就行。一替换的话，上面这东西变成什么，它就变成了s比上根号下一+2s方，然后这是根号下一加上这个人平方，这平方是s方。一+2倍的x方。所以说这个结果就是x你把它乘下去，乘下去了之后的话是一加上多少三倍的x方好了，这个东西啊，已经差不多了。做到这就可以了，然后这个时候我们就观察出了规律fns这个东西等于多少，它就等于s比上根号下一+nx^2。
好，就做到这儿，做到这儿之后啊，我们把这个导函数算一下。那导函数就等于下面这东西的平方是一加上多少n倍的s的平方，然后上面求导乘下，下面一+n倍的s方。再减去下面求导乘上上面那下面求导的话是多少呢？是根号求导的话就是二倍的根号，下一+nx^2。分之一中间变量是2 nx，然后是再乘上上面这个人。然后接下来你把这个东西啊，稍微进行整理一下就行了，这个二就约掉了，
然后就是多少是一+nx^2。它的二分之三次方。那二分之三次方的话，这个一乘呢是一加n倍的x方，你再减去多少nx方？好，这个结果。对吧，一加nx方你再减nx方这两个东西约掉就是一，那上面是一的话就是二分之三次方。二分之三次方呃，这个部分就不对对吧？这也不对，这也不对，二分之三次方只有这俩人，
然后上面是一正确答案，选几啊选c？好了，这是这个题啊，其实是个大骗子题。就是第一下过程当中啊，他是这个人f2s是什么f3s是什么啊？骗子题。那所以说看起来稍微的复杂一点，其实能做的非常的好啊，这个73题这个题可以了吗？我们就讲到这来，我们来看一个重点题，74题。呃，
74题这个题啊，是一个高手题对吧？这个题比刚才那个题啊要好得多。我们看看这个题目。那么，其实我们在考研的时候啊，老师喜欢用这种方式进行去坑人，你比如说这里面当中，你看这个人。眼睛一瞅，你都知道这是二分之一倍的lns。你看这个人，他就是二分之一倍的lns，他就喜欢这样写，我觉得有一年考题的话，
你看。怎么样？这你发现这老头子在干嘛呢？大于一的时候的话，这个不就是x方吗？但是写成x方，哪有写成这个东西，看起来吓人呐。你是很喜欢干这些事，你像这个东西也是这样。能听懂我的意思吗？你这样看起来稍微的恶心一点啊。你就像这个题也是这样，你明显可以写成二分之一lns，它偏偏给你写成ln根号s。
对吧，这是这个样子，所以接下来我们来看它，又给了一个什么复合函数。我问一个事情。请大家告诉我。这个时候的y对s求导跟f1撇一样表。一样还是不一样？就是你一定注意这个问题，你y=fs的时候y1撇等于f1撇，这个跟y对s求导，这是一样的。但是你要注意，如果这是x方呢？那你告诉我这个y对x求导，
它是不是应该是先对中间变量求导，中间变量再求导它跟这个f撇s还一样不一样？不一样了，你怎么能一样呢？一样这题结束了。很多人说这个东西一样一样，这题结束了，那你要这个条件干嘛？你如果这东西觉得这个东西一样，你就直接是这个函数去求导，把e带进去了。那这可问题点非常大了。肯定不一样，你就记住，只有括号里面是xy对s求导才是f撇s。
你如果这里面当中改成别人，那都不是了。这是要稍微注意一下的，肯定不一样，这个基本的问题啊，来我们来看看这个题到底怎么做来解？我们有第一种方法，第一种方法干嘛呢？诶，我可以通过这个fs。我把这个y求出来。行不行？那你想想，这是一个分段函数，我可以用分段函数复合分段函数。
是我们在这个呃第一个板块题型一当中进行讲的。是不可以等你把这个人求出来之后啊，你发现一个事，我再来求导。就说我先把这个具体的函数求出来，我再进行求导，但是你要注意，如果你这样做相当的low。你这要进去去考，我们三九六啊，你这有有可能就会浪费大量的时间，你做这一个题，人家都做四个题了。这就非常的多。这个low不是慢。
这就是low啊，你发现这个low中文翻译叫菜。对吧，不要这样做，所以这里面当中我们来看看这个事情，我们怎么做呢？你想想这个东西本来就是个复合函数。你会不会做复合函数求导？你本来就会，你本来就会做复合函数求导，你为什么要把一个复合函数变成一个显函数呢？我直接做不就行了吗？所以说这里面当中啊y对这个s求导，就是先对这个中间变量求导。然后这个中间变量再求导。
是不可以，然后你不就是求解什么，你不就是求解这个人在几处值不就是在一处值吗？你就往里面带呗。来告诉我fe等级。那f1肯定往这带。ln 1是一二分之一，然后再来看还有个多少呢？这是f1，那这个人就是一。然后再乘上f撇一。对吧，代进去啊，这是二分之一。好，
就做成这样。所以说这个时候你发现就做成这样，然后这个题就变成谁的导数了，然后这个题就变成了fs导函数了。变成它的导函数了，它是个什么？它是个分段函数哎，而且你发现这是分段点外吧，这是分段点外吧。那既然是分段点y，我就直接算了本题就结束了，所以你看当s大于一的时候，求导是多少二s分之一当s小于一的时候，求导是多少是二？然后你把二分之一往那带往这带往下面带是二，
然后往上带呢，这是二亿分之一，所以说本题结束等于一分之一啊。对吧，所以说这个做题的操作，你要稍微注意，不要在这里面当中把这个东西具体化，具体化了之后。然后再求导就非常慢了，你既然会做复合函数求导，你就直接怼这个复合函数求导不就行了，哎，稍微操作就出来了。那这样的话，才符合我们在考研过程当中的做题速度。
好了，这个题啊，正确答案选b。出来了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看下一个问题，再来看75题，这个题。啊，这个题。看一下这个点。那么这个题啊，考了一个事情，什么事情呢？考了一个问题叫做注点。
什么叫注点？注点它的定义是导数为零的点。导数为零的点才叫注点。那么，这个题的核心重点不就是求导吗？然后这里面当中考了一个什么事情呢？第一个事情直接算是个稍微的恶心。学疯了呀。啊，这跟穿针引线有啥关系？你在求导跟穿针引线有啥关系啊？不要这样。我我希望大家注意。把这个我觉得有些同学把这个数学学的太复杂了。简单一点。
你自己也简单一点，也纯粹一点啊，想太多了啊。不就求导吗？你求导就求导呗。你积分就积分呗，你干啥就干啥呗。那么，这个人直接求就非常麻烦。而且首先第一个事情，他考了这样一个内容。lns绝对值。对吧，这个函数。那这个函数啊，
它对这个自变量进行求导，它的结果就是它分之一。是不这个事情，所以说接下来我们来看看这个事。来看一下第一个点。第一个点的话，穿针引线积分用的多。穿这个引线怎么在？行，我们后面再说吧啊。来好好听课。来继续，我们来看，其实就是你会发现就是这个东西再去求导。对吧，
这个就进行求导，好好听课嘛。然后的话，这个时候的话，你发现它导函数就等于这个人分之一。但是你发现这个人求导非常恶心，你应该怎么办？你把这个东西分开，我们都知道对数的什么法乘法，其实就是这个人加法。加法求导简单。啊加法求导，简单简单一点哦哎，简单一点哎呀。好好听课的。
来那么接下来我们求一下，一求的话你就发现这个人其实是多少对里面求导，就是这个人分之一。里面再求导，那就是一，然后这里求导呢，是s减二分之一，然后对这个中间变量求导呢s减三分之一，中间变量再求导就是一。就变成这样，然后接下来我们干嘛呢？我们要继续去求这个注点。求这个注点，也就是求这个人导数为零的点，那你就要把这个东西怎么了？
你把这东西整理一下呗，这是减二，这是减三啊，这个点呢稍微。还有一点点预算量。然后第一个事情的话就是这两个相乘，那这两个相乘的话就是is方再减去多少5 s+6。然后就是这两个相乘，然后这是is方再怎么办？减去4 s+3。然后最后一个人呢，其实就是前面两个相乘，然后就是x方减去3 x+2。是吧，就是这个人，
然后这个时候啊，就变成了x- 1 x- 2 x- 3。然后接下来我们就继续，我们再来看。然后这个部分就是三倍的x方。九倍的，然后就是减去12倍的s，然后这个接下来呢，就是加上个11。好，做成这样了。然后接下来让我们进行求解，什么让我们求解这个人等于零？有多少根？那很明显，
一个事情的话，这个人怎么了？一二三肯定不为零。对吧，为零这个人就没有意义了，那所以核心重点算的是什么呢？是三倍的x方减去12倍的x+11。但是你要注意啊，这个题啊，没有让你去做，他只是问这个人的个数，那个数的话，求解这个人等于零的个数不就判德尔塔吗？德尔塔等于多少b平方减去4 AC，4 AC就是12，
再乘上11，那这人肯定大于零。你既然大于零，有两个零点，所以说这里面当中正啊正确的答案选几啊选c。好了，这是我们讲的这个基本问题啊。呃，你不会这个是零基础讲的内容啊？我再说一下吧。你不信你尝试一下，如果大于零的时候，绝对值就是本身你本身求导就是这个分之一，如果这个小于零呢，你小于零的话，
就是ln负s嘛。你负s导函数呢？你先对中间变量求导，中间变量再求导负一，他还是这个人是一样的。好了，这是我们讲的75题，所以这个题二点呢，你最重要问题就是把这个什么把这个零点求出来就行。对吧，就是导函数等于零的点，就是导函数的零点，求出来就是注点。好，这是这个事情，
其实这个题啊呃，有些同学做到这儿估计也做做对了，但是稍微的注意一个细节点。你想想一个事。你这个人等于零，你现在德尔塔大于零。你这个德尔塔大于零，你说有两根。你万一这个人等于零的点就是一二三怎么办？是不是啊？你而且不为一不为二也不为三。所以你稍微的进去去看看这个东西会是一会是二会是三吗？对吧，你就稍微进去去看看一二三不行那不行的话就是两个。就是看一眼就行了，
这叫细节啊，这个问题。一般解出，比如说你这个人解出来就是一我不为一啊。所以稍微的眼睛瞅一下，你会更加的严谨一点好了，这是我们讲的75题。跟得上这个意思吗？好问题点想清楚75题。呃，休息会儿吧，然后你在课间休息过程当中把这个问题啊好好再处理处理，一会儿过程当中我们再来看好，稍微休息会儿吧。
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