07.冲刺满分强化篇·题型9-10精讲精练-2
接下来，我们继续回来吧，我们再来看看这个第60题啊。呃，那么接下来我们继续看这个人。他给了一个什么情况，给了一个分段函数，然后让我们去判断一下这个函数啊，在这个点处连不连续，可不可导？那么，首先第一件事情啊，连续的判定就是极限等于函数值要不要？分不分就是极限等于函数值要分就是左右极限都存在，都等于函数值。然后可导性需要分，如果需要分的话，就是左右导数存在且相等，如果不需要分，就是导数定义的极限是存在的。那么，接下来我们先来看看这个人来解吧。那对于这个题而言，你需不需要分呢？要分还是不用分呢？哎，当然是要分，因为你发现在零处大于零和小于零不一样，所以说这个题啊，一定是需要进行区分的。
对吧，一定需要分，那么需要分的话，我们先来看看第一个事情，连续性速战速决哦。那么，连续性这个人的话，先来进行求一下什么？先求这个人的左极限。那左极限是对谁求呢？是二分之一减cosines求极限，那这个极限是多少？那很明显了，当x趋向零负的话，这是零那这个极限就是零啊。
对吧，左极限是零，你右极限呢？你右极限的话，当x趋向多少零正零正的话，对谁求呢？对x分之零到这个x方。然后这是s in根号tdt好，我们求极限，那这个人呢？洛必达法则吧变线函数的极限立即使用。洛必达法则来处理一落的话，这个人就是下面球倒霉了。上限移进去，上限再求导，
然后这个极限呢是零。所以说你就会发现这两个人的极限，结果都是零，而该点处的函数值呢？零在这儿忘了，没带也是零，所以左右极限存在，且等于函数值，那当然是连续的，因此第一个事情。连续的啊，一定连续a不对，然后第二件事情我们再来看看可导性。那可导性这个人呢？你必须要怎么办？
分成左右导数，我们先来看看这里面当中的这个右导数。啊，先看右导数，右导数的话，其实就是limits趋向多少零帧？那零帧的话，我们来写一下，那就是fs。那fs是多少呢？它是x分之一零到多少x方，然后是s in根号tdt再减去f0是零。比上x- 0，所以这个题就立即变成了当x趋向零正，然后这个下去，
这是x方。然后这个部分呢？这个部分刚好是零到x方，然后是s in根号t，然后dt。那因此啊，这个题我们继续使用一下，洛必达法则的方式来做，你下面一落，这是2s，你上面一落呢，上限移进去是它。上限再求到2s2s约，这个极限是零。然后接下来我们再来看看下面一个事情诶，
左半边左半边就是limit x趋向多少零负零负的话，那么接下来我们继续。我们再来看零负的话，就比它小，那就是二分之一倍的一减cosine减去f零是零比上s减零。上面是二阶，下面是一阶高阶，比上低阶，这个结果是零啊，立即出来了。怎么看都行，对吧？这个问题，所以说这两个人的这个导函数都是零，因此你就会发现该点处的导函数啊，
它就是零啊，这个题比较简单啊。正确答案选，几啊选d？好，这是我们讲的这个第一个题，过去了可以吗？啊，不难啊，来那么接下来我们继续，我们再来看看第二个题，61题这个题。好，继续看那么这个题，他说了一个事情，
他说这个函数在二处是可导的。然后我们去求解，待定参数。它在二处可导，我们就需要看看需不需要分那这个题大于二和小于二不一样，当然要分左右导数存在且相等。但是你要注意，既然是求参数，首先第一件事情先用下，既然这个函数在这点可导，马上先用下这个函数在二处是什么？连续先用一下这个条件诶，连续连续的话，这个问题点就出来了，你发现左极限是多少？
左极限就是四+b，然后右极限是多少？右极限是2 a+1，所以说这个b啊就等于多少2 a- 3？好这个人，然后接下来我们就继续，我们再来看这个人的什么导数啊，这个人的右导数，然后这人什么导数啊，这人的左导数。好，我们先看，这是limits趋向多少趋向二帧？那么，趋向二正的话，
这是fs这个人。然后这个f2是多少？你发现f2刚好是2a，加上个一。能理解吧，我就减去个多少2a，加上个一。比上多少呢？比上这里面当中的x- 2好做成这样，那因此这个人的话就变成了x趋向于二帧。然后这是s- 2，然后这两个东西约掉一下，就是a倍的s- 2，这个结果是几啊是a？没问题吧？
好了，我们接下来继续，我们再来看，如果这是二负呢？我们要写fs那fs的话，只是s方加上b。你再减去多少该点处函数值？该点函数值是2b2 a+1，然后减去个二，那这个时候的话，你可以稍微进行去替换一下。你注意了。这个2 a+1其实就是四+b。对吧，因为你这个人的话，
你看这就是四+b。所以说这个上面这个部分的话，就是个x方减去减减去四。你减去四了之后的话，再除以个s- 2。是不这个东西啊s- 2约一下，还有个s+2 s+2的话，这个极限是四。能听懂吗？好了，这个问题啊，马上出来a是几啊a是四啊？好了，这是第一个信息点，能听懂吗？
a是等于四，所以说a=4，那这个b等于几呢？b这个人呢？二四得八，这人是五。所以，正确答案选几选c啊？好，这是这个问题点。呃，当然这个题啊，其实可以用导数极限定理，但是我觉得你不要在这个你考三九六啊，不要在这儿剑走偏锋了啊。
啊，不要剑走偏锋了，你稍不尽心去丑笑好了，在这里面当中，这个你用那个东西就是。呃，有点大材小用的对吧啊？好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下面一个问题，我们出一道模拟题啊。来看看这个人。来看到模拟题，这个模拟题啊，我觉得还是比较经典的，
然后在这里面当中。来看一个人。增加了一下，我们来看看这道题目。看一下这个题，那么这个题啊，它说f0是零。说fs在这个s=0可导的充分条件是。也就说，谁能判断出来，在这个点可导。谁能判断出来f导零是存在的？那同学们给了极限判导数，肯定考导数定义啊。对吧，
肯定会考察导数定义，所以说这里面当中啊，我们就往导数定义上凑，有同学都做出来了，那水平点真好啊。对吧，就往上凑，所以这里面当中，我们先来看看a选项。括号里面当中不是s就错误推广第一，所以第一个人的话，我们来看看当s趋向零的时候。你发现这是多少f0加上平方，然后再减去f0？那f0就是零啊。
那f0就是零的话，随便减凑结构嘛，然后再怎么下面这人可以等价无穷小为s方好结构出来了。结构出来之后，我们再来看零你发现在这个极限符号下，这个人的极限是什么？这个极限是零帧。所以说这个东西啊，它仅仅是诱导数。注意啊，这个人呢？他仅仅只能代表零处的诱导数。那如果a这个选项，它是存在的，就代表着诱导数存在，
诱导数能推导数存在吗？它当然不行。所以说这个人呢，推不出来，不充分。那么再来看看b选项，那b选项的话，这个人我们继续来抽，你发现这是limits趋向解趋向零。然后它是三次方，我们还是要凑结构，那就是写成零+3次方，然后再减去f0你凑结构。然后下面这人呢，立即等价无穷，
小于六分之一x三次，方把那个六分之一写到这来。好了，结构出来了，结构出来再看零当s趋向于零的时候的话，三次方三次方都知道可以正也可以负嘛。对吧，你三次方在这个零这两边，你这样跑的话，这是零负这样跑是零正可正可负，因此这个人呢，其实就是谁？它就是六倍的导函数。那b选项这个极限存在，其实就是导数存在六倍，
导数存在当然能推导数存在，而且导数存在还能推回来呢。充要条件当然是充分的啊，答案选b那么再来看看这个c选项，那c选项这个人怎么处理呢？来继续看。那这里面当中写了一个两个事情，你要注意啊，凑导数定义一个动点，两个动点双动点问题。两个动点的话，你发现我就得拆成两个人s趋向零，然后这个部分的话是多少f2s比上s？然后再减去多少fs比上s。好，
我们接下来就要凑两个倒数定义，你凑两个定义的话，我们先来看看这个第一个人。第一人的话，你进行凑呗，你凑推广零零+2s，你是不是要再减去f0呢？那比上这s5幺2s，我来个二。然后这个后面这个人呢，你其实也可以凑推广力一样的啊，计算型第一也行，有的说老师你刚说fs不是计算型第一吗？啊，这个东西啊呃都行，
然后这是f0比上s好了，这是这个结果。那么这个题它说的什么情况？它这个题说的是这个极限是存在的。好，这个极限存在，那么接下来我就想问了，请告诉我件事，第一个极限叫不叫导数啊？啊，叫不叫？这个人的极限叫不叫倒数？这个极限当然叫导数，你看结构出来再看零那2s肯定是零，这个极限叫导数。
哎，注意啊，它的极限叫导数，那么接下来我们再来看这个人的极限叫不叫导数啊？这个人极限肯定叫导数啊。s趋向零，它也叫导数。但是现在的问题点是什么情况呢？现在的问题点是。你这个人。减这个人的极限存在，能不能推出这两个极限都存在呢？这是不行的，为什么呢？因为我们都知道存在减存在可以存在，
不存在减不存在也能存在。所以说你发现无法推出这两个人都存在。那无法推出，这两个都存在，你发现就无法推出导数存在，因此这个c选项它是不行的。你注意这种双动点，双痛点进行去推，可导性一般都不行。这是你要注意的，然后接下来我们再来看看这里面当中的d选项好，再看最后一个人应该听懂了吧？好，再看d选项。d选项的话，
我们还是这样，机器去凑这个什么？凑这个导数ds趋向零，然后这个部分的话，它是谁fx方？那你就写零+x^2。你再减去多少f0，你要比上个x方。那这块来了个x，你这块就要来个x好了，这个人呢？就写成这样，然后他告诉我们这个整体的部分极限。是存在的，那么接下来我们一起来看看这个事。
你要注意了。请发现一个事，这个人的极限是零吧？这个极限是零零×1个东西的极限存在。能不能推出这个人的极限存在啊？啊，能还是不能？当然不行，你凌晨一个人极限存在，你怎么能推出这个人极限存在啊？这是不行的。因为凌晨无穷大也有可能存在。对吧，零乘无穷大可以存在啊，所以说你发现无法推出这个人存在，
其实啊，就算推出了又怎么样呢？就算推出来了，你这个东西也仅仅是诱导数。是不是啊？就算推出了，你存在也仅仅推出了诱导数，存在也无法得知导数存在。所以你这个人呢，你错的就很离谱啊。好了，这个题啊，我们纯属复习了，跟得上这个意思吗？所以说方向性把它想清楚。
对吧，要知道这种问题点它是怎么处理的？好了，这是我们讲的这个小知识点，把这个题讲完了之后啊，我们再来看一个题，我们先进行去讲这个66题这个题。好，先看66。好看，下面一个题66题。这几个题的训练呢，我觉得还是很好的，来看这个题。他说这个fs啊，
在这个什么呢？在s=0处是连续的，则下列命题当中错误的是。诶，哪个人是错误的？这人怎么做啊？那你想我们先来看看这个a选项吧。a选项的话，它应该跟c选项是一组。对吧，这个人是一组，那么接下来定式思维能力就来了。啊，注意啊，定式思维能力，
我们先来一下，说什么呢？如果比值极限是存在的。诶比值极限存在。而且什么东西呢？且这个函数在这个点处连续。比如说它等于a，如果这个人极限存在。比值极限存在，而且连续第一件事情定型，求该点分母的极限是零分子的极限就是零。而分子又连续连续的话，这个极限等于函数值，函数值就是零，对吧？
定型求该点。然后第二件事情呢，凑倒数第一，因此你就会发现当s趋向零的时候，这是fs你就可以随便在后面减个f0。比上s- 0，那这不就是导数吗？导数就是a。能理解吧，如果见到笔直极限存在，且连续对吧？像这种极限的话，它等于a它，而且在这点连续。那很明显，
它在这个点处的函数值是零，下面极限是零，上面极限是零，那极限又等函数值，函数值是零，你在后面减个零，这减个零导函数是零啊，导函数是a。能理解吧，所以说这里面当中的a选项对不对？a选项当然对。你分母极限是零分子极限是零，你分子极限零连续函数值是零，你函数值是零的话，你在这减个零，
你在这减个零导数不是存在吗？所以说这个人呐，立即把AC选了。能听懂吧？好了，这两个选项都是对的。要跟上这个事情，其实这个问题点非常的简单，其实这个内容你其实可以稍微的托管一点。我我讲讲我讲讲。比如说你这个人来了个N次方，你只要这个n大于一。你都能推出这个导函数。它等于零，为什么呢？
因为你可以去凑导数定义，你凑导数定义的话，其实就是s分之fs减f零就是这个人。然后这个时候的话，你发现你可以怎么做？你用已知凑位置呗，你在这凑一个这个人。然后在这来一个n- 1次方。那你想想一个事，你这个部分是几你这个部分的话，它极限是存在这是a，而这个部分极限是几零，所以它是零。能理解吧。好了，
这是这个问题，就是大于等于一，不一定是大于一，大于等于一。跟得上我的意思吗？所以说你要想清楚这个问题，它是怎么做的啊？等于a啊。诶，这是等于零。如果等大于一的时候，这个人等于零。就说等于一的时候的话，在这个点处的导函数等于a。你大于一的话，
在这个点处的导函数就等于零啊，但是我不希望你记你一记的话，这个题就变麻烦了，不要背啊，不要背不要背啊。脑子一转就出来了。反正你就知道一个事儿，比值极限存在，且连续定型求出该点函数值出来了，然后这个人也出来了，这人等于零。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看b选项。b选项这个人呢？
呃，其实d选项好看，为什么呢？因为你看比值极限是存在的。然后下面极限是零，那上面这人极限不就是零吗？那所以说这个人的d选项肯定是对的，然后你再来看看b选项。b选项也是这样，比值极限是存在的，你下面极限是零，你上面这人极限不就是零吗？所以说这个人的极限就是零。来，我们接下来继续，
因为这个函数在这个点连续连续的话，同学们告诉我这个极限存不存在？连续肯定存在啊，然后里面连续外面也也连续连续复合，连续是连续。连续极限都会等于函数值，你看第一个人极限就可以拆第一个极限等于函数值，第二极限也等于函数值。然后等于零，因此这个题啊f0就是零。能听懂吧，连续复合连续是连续连续的话，极限是存在的，正是因为存在，我才可以把它拆开。
诶，因为存在才能拆。好了，我们再来看看这个题啊，所以说正确答案肯定选择几选一呗。因为这个题非常的简单，一看这个点什么点动点，一看这个点什么点动点双动点问题去判断导数的存在性，一般都不对。好，我们再来讲一遍啊，这里可能有点啰嗦了，对吧？好了，我们再来看看e选项。
e这个人的话，你发现你能求出f0吗？求不出来，你注意啊，这个人他跟刚才这个b选项还不一样。b选项是f0+f零=0，你这是f0-f零，本来就等于零，你所以说这个题的f0是求不出来的。你求不出来怎么办呢？我们反正进行去凑两个定义呗，这是is分之多少fs，然后再减去多少？x分之f负s好了，那么接下来你要注意我接下来这个步骤的先后顺序。
我这个步骤是怎么做的？我先看这样。第一个人，第一个人的话，你发现你就直接写就行了fs你是不是要减个f0呐？你减个f0怎么办？你在这减个，你后面也减个，你这个后面这个人增量就是多少零，加上这个负x。零+-s这个增量，然后你还是要减f0，你减一个，我减一个平衡的，然后下面都是s，
现在不动了。这不没问题吧，你减一个，我减一个，然后这个时候前面这个人刚好是s，后面这要负s，你配一个负号变成这样。然后这个题告诉的是什么？俩人相加是存在的。好，那么接下来问题来了，那么请告诉我一件事，这个人极限存在，叫不叫导数？这个人的极限叫不叫导数？
叫导数还是不叫导数？当然叫啊，这俩极限都叫导数。对吧，这就是小名和大小名嘛，你这个人的极限不就是导数吗？你这个人极限呢，当x趋向零负x肯定趋向零。他也叫导数。但是关键点一个问题，你现在是什么情况呢？你现在是你加上你的极限存在。能推出这两个极限都存在吗？不行的，因为存在加存在是存在，
不存在加不存在也能存在。所以说这件事情是不行的。因此，推不了这两个人怎么了？推不了这两个都存在，所以这个人呢？不行的正确答案选一。跟得上吗？嗯，其实你发现我们做了好多好多这种题。对吧，这种题我们做的是非常多的，好了，这个事情我们就讲到这过去了，可以吗？
要会这种题啊，就是判断函数的可导性，然后接下来我们就继续，我们再来看一个题。看下面题，看62。好，先看62题，这个题。看这个人，他说这个函数啊，为负一到一上的奇函数。奇函数如果在零，不要说奇函数就等于这个零处就是零啊，奇函数在零处有定义就是零，
它很明显在零处有定义。零处就是零。然后告诉了导数，然后求这个人请注意一个问题，我先问一下能不能使用洛必达法则的方式来做？这个题只告诉了什么，只告诉了在零处可导。只能推出fs连续千万不能落，必达一落，这个题就废了，所以说这个题怎么办？你这个题可以直接处理，你当s进行怎么办？趋向零的时候，你趋向零的时候的话，
我们继续来看，这是多少？这是e的s- 1等价无穷小于s，然后这是fs。对吧，求这个人原式就做成这样，然后这个时候怎么办？f0是零，随便减一个，因此就是f撇零，这个结果等于几啊，等于二选a啊。你别说一个事情，这种题我们还挺容易考呢。我还挺喜欢考这种题，
你稍微注意一下啊。这个题贼简单啊，但是你要注意一个问题，你不要说啊，这个点我们不会考这个事吧啊。好了，这是这个问题，过去了可以吗？要学会它。然后接下来其实这个题你可以做的更快一点。哎，你还可以做的更快一点。你用你的眼神进去去漂这个题，你还可以怎么办？抽象函数嘛，
你可以举例子。对吧，你可以举例子。无论什么样的符合这个函数，它都会是这个结果，你可以举例子，你举谁呀？你取一个奇函数。奇函数的话，常见是三次方。但是三次方的话，你发现这个人啊，2s对这个同学举的非常好，直接是2s。还是你狠，
对吧？2s可以，那2s这个人的话，那这个题就直接出来了，当s趋向零的话，上面是2s，你下面等价无穷s，这人是二。好了，这是这个问题吧，能听懂吧，但是我再强调一遍，你这种题不要落。你看去年的考研真题啊，已经让你有点警醒了，
他喜欢怎么考？你要长时间那样，比如说有些人洛必达。就算考上了你长时间那样做，你发现一个事儿，这个老头子总会坑你的。啊，你要长时间形成的这种呃，这种定势思维没有扣住基本知识点，他肯定会坑你的。好了，我们继续啊，我们再来看63题，这个题来解吧。那么这个题啊，
他说什么他让我们去求解这个人的导函数，那这人导函数啊，分段函数在分段点处导函数我们就用定义呗。用定义的话，其实就是s趋向零，然后是fs。减去f0是零比上s- 0，所以说这个极限呢，其实就做的是x方分之gs这个极限。是不是坐着这个人呢？而这个题只告诉了二阶导数，存在一阶导数是连续。那一阶导数是连续的话，你发现一个事，我们先定型啊，
连续的极限是零极限等于函数值是零。所以怎么办？你可以落下。能听懂吗？因为二阶导数存在一阶导数连续，你可以落下一落，别落成这样了。所以说你看一级导数连续接下来不能落了吧，你再落到二级导不行了，那怎么办？我可以凑导数零一。所以说这是多少呢？这是二分之一倍的，这是s减零，这是七撇s减去七撇零。
是不是这个是g撇零是零嘛，所以等于二分之一g撇撇零那所以说等于多少等于二分之一答案选b。好了，这是这样情况，那么同学们想想这个题，你还能怎么做？我还可以进行举例子吧。你方法二，我照样取。在零处的这个导函数是a2级导数是a，你就可以取多少，你直接取这个函数等于。a倍的。x方。行不行？
这个不行，零处是零g，撇零是零，但它不是a，你在前面再配一个多少二分之一？二分之一就行了，你求两下，它就是a，所以我就取这样的一个人，那取这样的人的话，你发现这个它就变成多少？它这个导函数导数定义的话，导数定义的话，其实就是这个人比平方嘛，是这个人，
然后这时候一代诶二分之a出来了。所以，正确答案选几选b。哎，你看这种题啊，我举特例的时候，这个方法还挺快的。他说你你举特例，你怎么肯定呢？同学们注意啊，我没有肯定啊。很多老师，你一开始上课的时候，你不是举特例，不能肯定吗？
我等于二分之一a说明这几个人都不对。不就只能选b吗？你听懂我的意思吗？因为你发现一个事，我举这个东西，我就说明别人都不对，你看我举了一个例子是二分之a，你看你说错了吧，你这几个人都不对，我肯定对呀。要注意逻辑感哦。对吧，你这个逻辑感也要想清楚好，这是这个问题。所以一般情况下，
落到连续那一节。注意，只要你不做野题，我们这种在真题当中屡试不爽。因为落到连续的一个部分，就算直接做不出来，也可以凑定义，绝对是能做出来的，这是这么多年的考研题。但是你发现你去做一些野题啊。你落到连续的那一节，它也没办法再凑第一。没办法，凑定义。没办法，
凑定义也没办法出来，也就是不知道能不能出来。那这人不行。啊，这就不行了，所以你会发现一个事，就说洛必达法则。你注意，只要你落笔打法则，你落落落到最后是一个数或者无穷大。回推你落队了，落队了，落队了，落队了，哎，
全落队了。就说洛必达法则是洛到死，只要它最后是一个数或者无穷大。那就说明他落队了。所以一般情况下，我们怎么办？我们在出的一些这个考研真题啊，落到连续那一节，就算不能直接出来，也可以凑定义出来。所以它凑定义的话，导数是存在的，所以我们这个东西是非常严谨的，你看你这里是存在的，你落队了。
但是有些的话，它这个。出题的点吧。他在这胡涂啊，那出一些野题的话，落到这儿，你看你不是连续吗？但这个极限没存在啊，它就不行。好，可以了啊。来继续吧，我们再来看看下一个问题，64题。那么这个题啊，
它又告诉了一个事情，它只告诉了什么？它只告诉了这个函数可导。那这个函数可导的话，你发现一个事情，我们只能推出什么？我们只能推出这个函数连续。不能推出导函数连续，然后他又说这个人在他连续连续的话，不就是极限等于函数值吗？诶，求解这个极限，求解这个极限的话，你发现别逗我了，好好听课对吧？
然后我们接下来继续，我们再来看。你们这我发现这个暑假不知道怎么回事，大家这个。你们特别会玩梗啊。你们太太会玩了，每节课都有层出不穷的这个啊，这这这些梗来，我们来继续，我们看这个人。那就是这个极限了。这个极限一定要等于什么？等于函数值。函数值是几啊？它在这点函数值是一。
哎，必须等于一。所以接下来我们来看看这个事怎么做呢？眼睛一瞅发现诶，你看这个极限是存在的。那这个极限存在的话，我们就可以把它拆开了，你拆开了之后的话，这是fs比s。你再加上多少？二倍的这个人。这是它诶，等于一那么这个时候我们接下来继续，我们再看。这个时候，
它就变成了limits趋向零s分之fs这个人，他等于多少？那这个人是二，那就是多少是负负二减过去，这是负一。好，做成这样，那做成这样，让我们进行求该点导数，对吧？比值极限存在吗？分母极限是零。来赶紧写分子极限是零，所以说有些同学估计都做的非常的准了f0是零，在后面减个f0，
下面减个零。然后这是f撇零，就是负一，所以正确答案选几啊，正确答案就选择a选项。好了，这是这个人，当然你也可以举例子啊。对吧，你一旦做到这一步了。对吧，做了这一步，你就进去去看看谁能在这个点处啊，它是连续的。对吧，
你就可以举一个你，比如说你在这里面当中，你举个例子。你举个例子，举谁呢？你举个负s。你就取个负s。那取负s的话，你发现你看你这两个一除的话，这是负一这两个一除是多少？这两个一除是二它刚刚好。那所以说如果你做这个题的时候，你就首先进行刚。对吧，你方法二一步看到v方法二，
你就直接取取这个人为负s。那负s的话，这个极限是负一嘛？然后的话，这个极限是多少？你这个极限是二吗？你这个极限不是一，你看连续了。连续了吗？那连续的话，你发现这个人导函数等于多少导函数等于负一直接选了选a哦，你这人几个人不对嘛，对吧？选a也非常快，就是你眼神稍微的瞅一瞅，
就是这种抽象的，你有的时候进行举例子啊啊，做题的话还是挺快的。好，这是64题，这个题来继续吧，我们再来看下一个题。跟得上吗啊，应该是可以的，然后我们再看这个题。好，继续来找。那么这个题的话，我们继续来抽一下，他说这个函数怎么了？
这个函数在a的邻域内有零哎邻域。然后fa是大于0 fs啊，在a处是可导的。a处可导，只能推出a处连续，然后让我们去求这个极限，我先说一个问题啊，你注意这个极限是什么？数列极限，你听懂我的意思吗？这个极限是数列极限，它一定是数列极限。它不是函数极限，它说函数极限也能用啊，不行n的话一定是数列极限，
当n趋向无穷大的时候，这是零。那这是零的话，你发现一个事，那这是fa比fa不就是一吗？你说这是一的无穷大未定式，那既然是一的无穷大未定式，答案就出来了，答案等于多少一的这个极限符号照抄？那么，就趋向多少呢？这个是n趋向无穷大。符号照抄，然后是头顶照写，然后再来递减一那这是fa分之多少fa加上n分之一？
然后再来怎么办？减个一。好，做成这样，那做成这样了之后的话，我们继续来看，如果是个高手啊，你眼神稍微飘一下，你看。这是fa，然后这是多少fa加上n分之一？然后再减去多少fa，你要是个高手啊，你能看得非常的准。a加上n分之一减f一，
那这下面的过程当中，我就把这个n怎么了？放下来。我放下来之后的话，然后这个fa就写到这来。你如果是高手的话，眼睛一漂就出来，有同学说怎么出来的，眼睛一瞅就出来了呀。我a加上n分之一减去它刚刚好，所以说这个时候你来看看这个人，你告诉我这个人的极限是不是倒数？极限是导数吗？它的极限当然是导数。但是你要注意啊，
其实这个东西应该是个临阵。其实应该是个诱导数。诶，其实应该是个诱导数，但是同学们没有关系。因为你发现，如果导数存在导数啦，左导数啦，右导数啦，它们都是一样的。都是一样的，你所以说在这里面当中，我马上就可以写了，你管你呢？你右导数也等于导数，
因为我在该点可导，所以说这个结果就是fa分之f撇a。其实吧，同学们，它连诱导数都不是。它连诱导数都不算。为什么呢？因为是这样的一个情况。我如果是在a处的导数，我应该是怎么办？我应该是连续着进行跑道a。连续着跑到a，但是你是数列，只是上面的一些点，你跳着跑到a。
你跳着过去的，其实你连诱导数都不算。你只是诱导数的一个什么一个子列。你只是诱导数的一个子列，但是同学们没有关系啊，因为我这个函数在这点可导，我左右导数跟a处的导函数都是一样。都没有关系啊，因为你发现你在这点可导，比如说你导数等于三，你该点导数等于三，左右导数都等于三，你连续的都是三，你这个跳过去还不是三吗？所以说这个题啊，
无所谓的正确答案选几啊，这是e的fa撇，比上它答案选c啊。这题可没有错，这题非常的严谨。极其的严谨。所以大家一定要听清楚，你看它在a处扩导。比如说你导数等于三。我所有导数都是等于三，你连续着跑到三，你跳着肯定是三呐。所以说这样的话，他就非常的严谨了。好了，
这是这个题，跟得上我的意思吗？你要想清楚。那么这个题啊呃，我们来看看你能不能也举个例子呢？好，我们再来抽这个抽这个题啊，不用连续画啊，直接这样做就行了。那么，对于这个题啊，你发现个事儿，我们还可以再看看。那能不能进行去举一个例子呢？比如说你就取多少呢fs？
那fs这个人呢？呃，你就取多少呢？比如说你就取个多少？他说，邻域内有定义，然后是它，而且在a处是可导的。a处可导的话，你举一下，你就直接举一个。取个一。啊，直接取个一可以吗？我狠一点，
我fs就是一。我fs就是一的话，你看这个极限变成什么了？这个极限就变成了。这是一一，这是实实在在的一。你实实在在的一的话，这人就是一。哦，这是一。如果是一的话，你发现一个事。这个答案。这是一一的导函数是零。那这个人是一诶，
可以，然后这个人是一它就不对了。然后这个是一的导函数是零，这是一那这人也不对，一的导函数是零，那这人是一，他也不对。所以只能在AC当中选啊，这排不出来，排不出来，排不出来的话，那么接下来我们继续啊，常数说明不行。常数说明不行的话，你看我可以再取。
我就我写的不是这边来了。我们再来看方法二。所以这类目当中啊，你发现我们就直接出来。那我直接取狠一点，我就取一个x。不都是在这个，你要注意啊，举例子都是这样。举例子都是什么情况？都是在这个常规的例子当中举我就举s我举s的时候，你发现这是n趋向无穷大。然后这是a加na加n除下去多少？那上面这个人不就是a加n分之一吗？然后这是多少？
这是a吗？然后它的N次方。然后这人的话就变成多少n趋向无穷大。那趋向无穷，大的话，你发现一个事，这个人就是一加上多少na分之一的N次方，答案就等于多少一的极限符号照抄。然后是头顶照写d减一na，那这人就等于多少e的a分之一？是不这个事情e的a分之一e的a分之一的话，你想想，如果这是x。那x的话，它在a处是它x导函数是一，
你看你不对。然后这个人是二倍的a分之一，你也不对，如果fs是s的话，这一也不对fs是s的话，你在a处是a，你导函数是一，你也不对，你只能选几，你只能选c。哎，能听懂吧哎，所以说这个时候你看有的时候我们能进行去举例子啊，这个操作其实就非常的好办了。那么你看你可以取个s，
你取个s了之后的话，你这个人是他当你是x的时候，你这是a你这是一呀。你说这个就不对了。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。嗯，这个同学用对数的运算法则写成减法。那就做麻烦了。你就做麻烦了，你你你知道一个问题点就什么情况呢？就说你把一的无穷大把它做麻烦了，原本就是一个一的无穷大的未定式。把它做麻烦了，
就说你注意一个问题，原来的话，这是u的唯一一的无穷大威力，是也就说你做的是这一步。啊，你在做这一步？e的v的lnu，而这个u是趋向于一，所以说我立即等价无穷小这个函数减一，我们比你快一步，你还在做前面这一步。你一直按照前面那一步在做，就速度太慢了。而且操作性呢，也非常不强，
不建议这样做，不不要这样做，不是不建议，不要这样做来继续啊，我们再看一个题。再看一个题啊，我们就下课啊，看一下这个题，那这个题说什么呢？它这个题说这个函数在a处可导。对吧，你这个函数在a处可导，而且导函数是零。那导函数是零的话，那么接下来我们就来看看这个事儿，
你写吧。已知导数求极限，我问一个事，它在这点可导，只能推出它在这点连续。他在这点连续能落必达吗？不行呢，一落就出现一级岛，不能落必达。波动洛必达的话，你想想我们一看凑导数定义呗。不能洛必达就是抽象函数极限，先上洛必达法则，洛不动就导数定义呗，那这是一个动点，
这东西也是个动点。双动点双动点问题的话，我们就怎么办？把它打开对吧？拆开。不是不是，把极限拆开，是把这个人拆开，听懂我的意思吗？把它分开分成一个，然后这是两个。好这个人，然后这个时候我们就可以进行凑定义了，当s趋向零，你这个人可以凑计算型0 fsf 0是零，
你减f0比上s- 0。然后第二人呢？你可以凑推广零，那是多少零+I三次方，你再减去个f0比上多少I三次方好了，是这个人。那么，接下来我们来看看，请问第一个极限是不是导数不是第一个人是导数？它的极限是不是导数？它的极限是导数？而这个人呢，在零处的导数是存在的，你既然零处的导数是存在这个极限，是存在好，
再来看第二个人。它的极限是不是导数不是它是导数，它的极限结构出来了，这个人肯定趋向零极限肯定是导数。导数是存在可以拆就拆成第一个极限，第一个极限就是零处导数，第二极限也是零处的导数。因此等于负的零除导数，所以正确答案选几啊选b。但这个题啊，我们还可以这样做，因为你发现你看这个题是个抽象函数，我们刚才知道，因为这个遇到了导函数，你如果在这里面当中啊，
我们还可以举例子。对吧，我们还可以，方法二我们还是进行去举例。但是你要注意一个问题哦。你不要再去尝试函数，我们刚才已经吃过亏了。因为长，如果举长值函数的话，你在这个点处导函数是零长值函数，导函数是零，不要举长值函数，举一次函数。对吧，取这个人取这个人函数的之后的话，
你发现他就立即变成什么，然后这是x三次方，然后这是x方。然后再乘x，然后再减去二倍的x几次方三次方诶，这个结果是多少？这个结果是负一。那这个结果是负一的话，你想想，如果是它，它在零处的导函数是几零处导函数是一？所以第一个人意思就是负二，你肯定不对零肯定不对，那这个人结果是二，你肯定不对，
你这个结果是一肯定不对，我是负一，我只能选b。是不这个事情，所以你看你在这里面当中举例子啊，非常的好，所以以后长了一点经验。因为你发现如果答案当中有好多个导函数，好多个导函数的时候就不要去常值函数。就不要取什么fs横为一，横为二，不要取常值函数，因为你取常值函数的时候，这三个人导函数都是零，判断不出来。
你看刚哎呀。你这个人怎么那么？粗暴呢，对吧啊？然后像刚才这个题啊，你看有好多个导函数，有导函数的时候就不要进行去取什么，不要进行去取常值函数。能听懂吧？举常值函数容易选不出来哎，这个人。所以说像这个人呢，我们就取一次函数，举的越简单，做题越简单啊，
这个人。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这好，这是第一个部分问题，然后今天呢呃，作业今天是没有什么作业啊，留到下节课的导数计算部分一起去做。导数计算部分呢，我们一起进行去处理这个问题，所以说今天的话我来啊，这个跟同学们布置一下下节课的预习任务，你稍微注意啊，你做好预习。能理解吧哎，
做好预习，然后今天晚上我去讲这个300题，然后呃，明天那节课放到后天吧，两天一次课程的。诶，两天一次课程。明天那节课放到后天上。放到后天上午能听懂吧？这样的话，我们两天一次课程，你自己还有这个。复习啊，这个可以进行去做一些相对应的预习啊。然后接下来我们来说一下这个第二件事情，
预习任务啊，注意啊，今晚啊十点有习题课。然后第三个事情我来说一下，下节课的预习任务。啊，预习任务呃，这个昨天的话，那个高高教社那边呃已经给了消息了。对吧，然后的话，这个周五的话，他们基本上的话呃，因为我们第一次第一批印的还挺多的，然后。
然后的话，这个是四号啊，四号，所以说你不要着急，这个事儿我一会儿去看看讲义吧，没有的话一会儿我再给你传一个部分啊。好了，这是这个部分。呃，然后说所以说我们给的这个时间呢，放的宽泛一点，四号基本上能入库，然后给大家包装一下，就给你们邮寄过去了，因为我们是第一批啊，
因为我们是首批的。他们直接就从那个河北那个仓库啊，直接发到，因为我们现在公司的话的仓库也在河北，然后就直接发到河北仓库，直接就给这个发送过来了。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看这个下节课的预习任务啊。那第一个事情就是复合函数求导，然后第二事情注意导数计算公式，第二事情隐函数求导。然后第三个事情注意分段函数求导。还有第四个事情，反函数求导公式必须要会，
我不会在这个这个公式啊，我在这个强化班过程当中，我们就不会重点讲了。还有参数方程。然后是高阶导数的公式法要复习，然后给大家预留个任务。对吧，皮亚诺余项的泰勒公式。一般式。你还记得吗？就是那个皮亚诺余项的t的公式，就是那个fs呃，比如说麦克劳林f 0+f撇0 x+f撇撇零。啊二的阶乘分之撇撇，0x次方就那个东西一般式把它给我记住，
这是下节课的重点。对吧，给了这个任务，所以说下节课的核心重点，我们是要把导数计算部分东西啊，我们全部讲完好了，这个问题啊，我们就说到这可以了吗？行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这。好同学们，那晚上我们继续啊，晚上有上次作业的这个习题课好吧，那么今天课程我们就讲到这好，
下节课见吧。
页:
[1]