07.冲刺满分强化篇·题型9-10精讲精练-1
接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请过回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题，我们就准备开始了。呃，那么今天我们就继续开始我们的三九六精综数学的这个强化班的课程，那么在上次过程当中啊，我们刚好讲了一些重点。而且那些东西啊，难度系数也比较大一点啊，可能很多同学也做了这个上次过程当中的决战300题啊，里面当中啊概念题比较多一点，对吧？呃，可能这里面当中稍微说一下。呃，上次这个决战300题啊，这个。诶，在哪儿情况？对吧，这里面当中啊，这个概念会比较多一点是吧？这个概念题，所以说你慢慢做，然后今天晚上我们就讲。啊，
注意啊，这个今天晚上我们就讲，然后一会儿答案我们稍微给你发过去啊，然后的话这个今天晚上我们就针对这套卷啊，这个。作作业题啊，把它给你进行精讲一下，所以以后的话这个。题目都是这样，就是呃，如果当天过程当中啊，给你发过去了之后，然后当天过程当中，我们就来讲讲啊。呃，
这样的话，我觉得这个做题的这个及时性呢，会有点保证，因为你刚做完，你还有点感觉，但是你发现如果这个。呃，讲完了之后啊，你半天没有做呃，或者是半天我们才讲这个，过了好久，有些同学估计都没有什么感觉了。啊，好了，那么接下来我们就继续吧啊。
来直接开始呃，首先第一件事情，我们先来回顾一下上次过程当中的核心知识点啊，先来复习一下上次过程内容。那么，在上次过程当中啊，其实我们讲了一些非常重要的内容，而且这些东西啊，也是很多同学的痛点，那么接下来我带着同学们进行复习一下。第一件事情就是n项合适的极限。对吧n项和式的极限，如果遇到一个n项和式极限，那么在这里面当中我们怎么做？我们有两种操作性方式。
那么，第一件事情我们就进行去想什么？第一件事儿想定积分定义。哎，定积分定义，那么在定积分定义当中啊，我们其实呃重点的内容考的比较多一点，还稍微复习一下吧，第一件事情一般定义。这样我把这个改成大的。然后这个改成小的。啊，然后我们把这个改成这个好，那么接下来我们一起来看看。那么，
首先我们先看看这个最一般的情况，也就是我们这么多年常考的一些情况，什么情况呢？就是。零到一的情况，那么稍微进行去复习一下，零到一这个部分内容有一个三剑客，对吧？我们稍微进行回顾一下。那其实如果考的是零到一的区间。哎，零到一的区间，那零到一的区间的话，你发现这是这个样情况，那么在这个前面部分呢，
有一个数列极限。然后紧接着有一个n分之一，然后这个k从一，然后加到n的一个求和符号好，三剑客满足完。三剑客满足完了之后，然后后面这个部分呢，跟上了一个n分之k的函数，那这个时候啊，这个结果就等于多少呢？就等于零到一。然后这个fs ds。呃，这个东西的推导我们就不用推了，对吧？
哎，就不用推了，所以说这里面当中前面有三剑客，然后紧跟着一个n分之k的函数。只要你找到这是n分之k的函数，我把这个东西啊换成s就是fs。呃，讲作业题啊，是十点钟。啊，讲作业题是十点钟，所以说你有时间就来听，没有时间呢，你就看回放就行，听自己不会的题就行啊，
这个不用着急啊。好了，这是这个问题，然后接下来我们再来看，还有不光是n分之k的函数，还有n分之k减一的函数。而且还有多少呢？还有二n分之二k减一的函数。哎，这些东西啊，它都是可以的，所以说在这里面当中，你不光是可以左端点，你也可以是右端点，你也可以是中点。
所以现在啊，再做去年那个考研真题啊，难度系数就不大了，当时考下来是很多同学，估计没有复习到这个位置啊，所以说这个。复习的时候啊，稍微的会啊，最后做的时候会痛苦一点，你看这里面当中，如果你把这个东西啊，复习到位了，这个还好好了，这是第一个事情。然后接下来我们再来看看第二件事情。
诶，这是一般定义，然后接下来我们再来看看第二件事情。还有一种情况，特殊情况。那么特殊情况的话，比如说我们在考研过程当中，我们可以考什么呢？我们其实可以考零到二，我们可以考零到三。我们可以考领导人，其实如果你进行去复习这个基础班呢，这个基础班部分的东西我们还考过这个内容。你看，这是一个n趋向无穷大，
我把a到b分成了这么多份，这是n分之哎b-a。然后这里面当中有一个求和符号k从一，然后到n，然后取的是谁呢？是a加上多少n分之b减a再乘上k？还记得这个人吗？那这个结果其实就等于a到bfs ds。好，这是这个情况，然后另外一件事情的话，如果我们考研过程当中考的是零到二，你可以这样做，那这个n分之一不变。求和符号呢，
下面不变，然后这个东西照样是n分之k的函数。对吧，照样是n分之k函数，如果这是一到二n，那这个结果就是零到二。那这个结果零到二，如果这个东西是3n零到三，如果是4n零到四，所以你发现你把这个东西复习到位啊，你就把这个考点部分的内容全部读死了。对吧，无论他怎么出题，我们基本上都会好了，这是第一件事情，
如果这里面当中能用定积分定义用定积分定义，如果这个定积分定义用不了怎么办？用不了了之后，我立即转战加比准则。诶，这就是我的第二个方向加v准则。好，这是我们讲的这个第一个问题，对吧？怒拿两分啊，这真的是怒拿两分，而且上节课还讲过一种题，就说它不是定级分题。但是你发现我放松了之后呢，它变成定积分低就是定积分低和加倍准则双重作用结果的题啊，
这种题啊还是比较重要的。好了，这是我们讲的这个第一件事情，然后接下来我们再来看看第二点。n项稀释问题。对吧n相机n相机这种极限怎么办呢？那它核心重点就是取对数。取对数了之后，变成n项合适问题。好了，这个点呢，我们就不讲了，然后第三个点我们又讲了加b准则。那么，加b准则当中啊，
其实核心重点第一事情它的内容。哎，这个挺重要，然后第二事情啊，其实就是放缩方法。放缩方法那一般情况下，我们有几种呢？放缩分母让分子可加。然后还有第二种情况，我们又讲了一种特殊情况，就是那种开N次方的极限，尤其要注意啊，如果开个N次方。他下面有好多个人相加的情况。如果有好多人相加情况，
我们就可以怎么办？把每个人都变大，留下一个最大。所以我先说一个问题啊，你做了这个300题啊，你就会发现我上课讲什么，我们作业就会列什么。对吧，我只要上课讲了些什么，然后这个作业当中肯定会有什么，你如果这个作业做的不是说特别好，个别题还好。你要是好多题都不会做，我觉得肯定是你上课的东西，你就没消化到位，
你急着进行去做作业，这个效果是非常差的。不要着急啊，我们考三九六的同学，尤其不要着急。其实，对于很多同学而言，一轮基础班对很多同学考一个分数啊，哎，这都是可以的了。那然后这个强化班部分的东西，你复习到位了之后，这个水平点可以拉的非常满。那所以说你看这里面当中啊，我们有好多题，
你比如说刚才讲的这些。对吧，比如说定积分定义的题，如果定积分定义又用不了了，怎么办？还有这种取对数的题等等，这种问题怎么去处理？全都是我们上课讲的，一模一样的内容，所以一定要会操作好了，这个点呢，我们就讲到这，然后接下来我们就继续，我们再来看看下面一个点。那么，
上次过程当中，这是讲的第三个问题，然后第四个点，你注意一个单调有限，必有极限呐，知道内容就行，然后最后一个事情连续和间断。好，我们先来看看，连续那么请同学们告诉我连续是怎么判定的？连续的判定方法有三种，注意啊，判定方法。连续的判定方法往往有三种，第一种是什么呢？
我们先看第一种，第一种就是定义法，只要见到连续立即反应极限等于函数值。对吧，立即反映极限等函数值极限是存在函数值是存在，它们是相等，对吧？极限存在函数值存在它们相等。那么昨天晚上我记得呃，因为昨天晚上讲课讲的非常晚，估计都快讲到12点了呃，昨天晚上有个题啊，人家是这样说的。可导，然后我就说什么，
我就说fs在这个这个什么应该是r上可导，我就说r上连续。那么说，连续了之后啊，我就说了一个事情，我说这个函数啊，处处有定义。哎，我就说这个函数处处有定义。然后有些同学说，哎，老师，这个东西啥意思？这能理解吧，零基础的部分内容啊。
所以你会发现一个事，你看可导必连续，如果你是连续极限，肯定等于函数值极限肯定存在。函数值肯定存在，他们肯定相等。这件事情是毋庸置疑的，一定会相等的，所以如果它是连续的，它在这个点处必须要有定义。极限一定要存在好了，这是这个问题，而且啊，你发现如果这个函数在这个点连续，不光这个点有定义。
而且它的邻域当中是不是都有电影好，我们上节课讲的问题啊，然后第二事情图像法，那么就是你能画出图。你从图像上判，如果在这个点处不断，它就连续好了，这是这个问题，然后第三个点我们继续看，还有什么东西啊，初等函数。哎，初等函数那么一个初等函数在这个点处啊，有定义有定义就会连续。对吧，
你在这个点处有定义，它必然会连续好了，这是第一件事情，再来看第二事情，连续的饱和性。饱和性。那么，其实同学们想想一个事情，一般情况下，如果那个点处大于零。你能说附近大于零吗？其实不能的，因为我们都知道一个极限跟这个点处的函数值没有关系，但是连续了就行了。你要是连续的话，
你发现你这个点大于零，我要连续到你我附近就大于零，你这点小于零，我附近就小于零，还是这个事情。保正保负不保密好了，这是我们讲的这个第二件事情，然后第三件事情我们继续看，那么上节课还讲了一个什么？你看判定方法，连续第三个事情，我们是不是讲的间断呢？我们先来看看，这是第一个事情连续的判定方法，然后紧接着我们又讲了一个事情间断点的判定。
那么间断点。间断点这个东西啊，你要注意分成第一类间断点和第二类间断点，对吧？第一类间断点怎么判定的？第二类间断点怎么判定的？然后每种判定方法之前，我们先做什么事情，第一步先找函数的无定义点，如果是分段函数，还要找到分段函数的分段点。对吧，找到这些人，然后再怎么办？去求这些点处的极限，
并做判例，所以你看这其实就是我们的操作性的方法。好了，不讲了，其实上节课还讲了一个非常重点的东西，你还记得吗？用什么东西呢？用极限包装的函数。还记得吗？用极限包装的函数。用极限进行去包装的函数，然后怎么去处理呢？那么，尤其我们讲了一个非常重点的，你发现q的N次方一个等比数列在无穷大方向，
何去何从的问题。如果公比大于一，这是无穷大公比绝对值小于一，这个结果是零公比绝对值等于一，这个东西得单独讨论。还记得吧？哎，注意啊，这是一种特殊情况，但这不是所有的情况，这是一种特殊情况，就是如果你是个等比数列和。何去何从呢？我们就是按照一来分哎，这种东西啊，
你要会做啊，所以说你发现上次作业当中的最后一个题。这个题那这个题不就上课的题吗？对吧，完完全全上课的题也会做。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看强化59题，这个题来讲讲这个题吧。看这个题怎么做？那这个题啊，首先第一件事情你要看得出来，它就是一个fs的函数。能看出来吗？一定得看出来，
你发现我是对谁进行求极限，我对n求极限。我对n求极限，结果就没有n。结果没有n留下了xx的函数。所以这个东西啊，它一定是s函数，那么像这种用极限包装的函数，我们第一步干嘛？第一步当然是来求极限。对吧，所以说你做题的第一步肯定是求极限打开包装。诶，一定要把这个包装打开。所以接下来我们来求这个极限，
你怎么求啊？我再强调一遍，你是对谁求极限，我们是对n求极限。能理解吧，你要对n求极限，你要把这里面当中的x当做成常数处理。诶，一定要当做成常数处理，那么接下来我们来看看呗诶。带有n的这个部分在这儿。你看j有一个部分带nj，有一个部分带n，这是n，而我们都知道当n趋向无穷大的话，
这是无穷大。对吧，下面是无穷大，然后的话你看无穷大平方呢，无穷大e的正无穷呢e的正无穷是正无穷。所以说后面这个东西无所谓，反正这个东西啊，一定是无穷大。无穷大比无穷大的未定式，那你想想，无穷大比无穷大的未定式可以抓大头。而且对数函数的里面是可以抓大头的。那既然这个东西可以抓大头，你们要落笔达呀。你这你这种水平点怎么行呢？
你这个题你做出来了吗啊？好了，那么接下来我们来看看这个事，它可以抓大头。那么要抓大头啊，你发现一个事情，你不再参与讨论范围内。对吧，你不是在参与范围内？那么，这个时候的话，同学们，我们的核心重点其实在研究谁呀？我们就是在研究e和这个绝对值之间的大小关系。到底是谁大？
你想是不是啊？就说如果这个e比这个绝对值大。我e的n的平方，我这个人更大一点，我就把你抓了。如果这个s绝对值这个东西啊，比e大诶，那这个时候怎么了？我就把e的n次n的平方我给抓到。所以说这里面当中核心方法就来了，因此啊，我们就来判定了。第一事情当什么情况来，赶紧走，如果这个x绝对值啊，
哎，这个部分它是怎么办超？超过e的，如果这个东西超过e，你想想一个事，那这个fs等于多少呢？哎，直接抓那这个时候他就没了。哎，变成它变成它了之后的话是ln x绝对值的n的平方n的平方抽出去，然后这个东西约掉了，这是个常数ln x的绝对值。没问题吧，然后第二件事情我们继续看，如果这个s绝对值这个东西啊，
小于一。那小于一这个东西的话，那现在谁牛逼啊，那很明显是前面你这个人就不要了，你这个人不要的话，你看刚好变成了n方倍的ln 1n方ln 1是一。所以说这个函数啊，它又等于一了。那么特殊情况是什么呢？就是s这个绝对值这个东西啊，它等于一。对吧，这是特殊情况，如果这个东西等于一的话，你发现那这里面当中的fs就是多少呢？
我现在抓谁啊？质量一样，那质量一样的话，其实就是limit n趋向无穷大，那应该是ln两倍的e的n的平方。对吧，两倍的一不要了，然后这个时候的话，这是n方，因为这两个一样嘛，两个一样的话，这个题就变成多少就变成了ln 2，再加上ln 1的n方。比上多少n方，然后接下来我们去求极限。
那一求极限的话，你看这个部分的极限是零，然后这个东西把n方抽出去，这个部分是一，所以说这个函数啊，它还是等于几啊，还是等于一？能跟上我的意思吗？所以你看这个操作就出来了。是吧，这个结果就等于一，因此这个函数啊，我们就把它具体了。来，我们来看看这个函数，
它的间断点有几个？那这个时候的话，你发现fs这个函数啊，马上可以写出来fs这个函数就写成这样。就是lns绝对值，如果这个绝对值啊，它大于一，如果这是什么呢？这是s绝对值，它小于一，它就是一，然后等于呢也是一。那这种情况你可以画一个草图，我们来看看对吧？可以画一下。
画一下草图，然后这是fs这是零，然后这是s那这个时候的话，你发现刚好是负一到一。然后在这个部分的时候，它等于几啊，它等于一。注意啊，在这一段的时候，它等于一。然后接下继续看。e的时候lne刚好是一对吧lne刚好是一，然后它是这样，而且它是个偶函数。哎，
因此图像就是这样，你所以说你发现这个人有没有间断点，没有间断点，处处连续答案选a啊。哎，这个东西啊，是处处连续的。能学会吗？所以你要想清楚一个问题，这个东西到底是怎么做的？对吧啊？好了，这是我们讲的这个59题，这个题要不再来一道？啊，
再做一道怎么样？我看大家的这个水平点怎么样？比如说我们再来出一道。如果这里面当中啊，给了一个fs。然后这里面当中是n趋向无穷大。好，我们再来一个，那么这个面当中它是一个e的x方。啊，或者写一个多少呢？写个x方。然后这是多少呢？这是sin x我乘一个多少e的nx？然后这里面当中继续来，
然后的话这是x，然后再乘上e的nx。哎呀，这个题出的还挺好啊，然后这个时候的话，这是一加上它。好让我们进行求解，这个人你怎么做？来继续看这个题，那请告诉我件事，这是不是用极限进行包装的函数啊？啊，用极限包装的函数。用极限包装的函数，你一定要注意一个事情，
我们是对谁进行求极限，我们对n进行求极限。是吧，我们一定是要对n进行求极限。我对n进行求极限的话，你发现这里面当中带有n的部分是不只有这个部分？只有这个部分带有n，只有这个部分带有n。我们现在要研究它s是个常数，现在而言是什么情况呢？现在是e的x×n。你想想你这个n是往哪跑？你这个n是往正无穷跑。没问题吧，而e这个东西呢，
在无穷大方向上要分。一亿的正无穷是正无穷，一亿的负无穷是几一亿的负无穷是零，所以你告诉我一件事情，这个题的分界点在何处啊？不要胡做啊。对，非常好，就是正负，你看有些人这个抓住重点了，对吧？所以说这个题啊，它的核心重点就是正负。就是当s什么情况，如果s是大于零。
那你想想e的s乘上n你s是个常数大于零的e的正无穷，这就是正无穷。那既然是真无穷的话，你发现这个时候我就可以抓大头了，我抓大头的话，这个人就不要了。对吧，我可以抓了一抓的话，这两个一除其实就是x分之s in。没问题吧？好了，那么接下来我们继续，我们再来看第二事情，如果这s小于零。小于零的话，
这个x就是负的，然后n1定是正无穷e的负无穷是几e的负无穷是0e的负无穷是零的话，你发现你看这两项是零。然后上面是x方，下面是一一定是一定是这个部分是x方没问题吧？好，这是这个人，然后接下来我们再来看第三个事情，当x=0。等于零的时候呢，你继续看，等于零请注意啊，你现在这个x它就是零，你听懂我的意思吗？如果这个上面这个东西就是零，
你不要跟我说零乘无穷大未定式啊，这就是零零乘任何珠都是零，所以说这个结果等于一。那等于一的话，那这里面当中的fs等于多少呢？我们来看看，那这就是一那就是一+s，然后这是s方，然后再加上多少，再加上s in。而你发现这里面当中只有一个人，就是零零的话，往里面带，那这个结果是零。所以这个函数啊，
我们就立即出来了，你发现你看这个函数就具体了，它就是多少呢？这个部分是x分之三。这是s大于零的时候，然后这个部分是s方s小于零的时候，然后等于零的时候呢，它就是零。是不是这个情况好了，那么接下来我们继续看研究一下吧，有没有间断点，只用研究零这个点零这个点的右极限是几一左极限是几零？左右极限都存在，但不相等。很明显，
一个事情是一个跳跃间断点。因此啊，它在临处具有跳跃间断点。哎呀，这个题不错。那这个题啊，我觉得比这个这个题也易行吧也行啊，不同类型啊，这几个考题啊，它都属于我们上节课讲的。用极限包装的函数。对谁进行求极限，结果就没有谁，对吧？你对谁进行求极限，
结果就没有谁，然后留下了另外一个人，他其实就是什么情况？它就是我们在这里面当中讲的一个什么啊，包装性的函数的问题好了，这个内容我们就讲到这来继续吧，我们再来看看最后一个核心考点，连续的性质。好来看下一个问题。那么这个点呢，我们可以把这个所有的内容啊放到一起来讲，对吧？一起来看那么首先我们先来看看这个连续函数的性质。第一个事情，四则运算的性质。
你要抓住一个问题啊，就是连续是用谁来定义的呢？连续这个东西啊，它是用极限来定义的，就说我极限是定义了连续。而且我连续呃这个什么极限也定义了导数。所以你会发现这俩人都是通过极限来定义的，我极限定义谁，我极限定义了连续我极限定义谁，我极限定义了导数。所以说你会发现这两个人的四则运算法则的性质啊，跟这个极限的四则运算法则性质简直是一模一样的。那么，接下来我们来看看这个事情，第一条你比如说存在加减上存在就是存在。
存在加减上不存在就是不存在，知道我讲的是什么吧？是极限里面，然后不存在。加减不存在这个东西是什么？这个东西是未知。然后如果是存在乘存在这个结果是存在存在乘以不存在这个结果是不存在，然后最后一个事情啊，这个是存在乘以不存在这个东西是未知。然后最后一个事情不存在乘以不存在这个东西啊，它也是未知。诶，你发现你看得到这个情况，所以说对于我们这个极限而言，它拥有这些性质，
那极限拥有这些性质啊，你发现连续简直是一模一样的。你来看连续连续，它怎么说连续的加减上连续的，它一定是连续的连续的。加减上什么不连续，就是间断加减上间断的，那这个东西呢？一定是间断的，能理解吧，然后这个是间断的。加减上间断的，那这个东西啊，它是个未知的情况。一样吧，
后面都一样。而对于导数呢，你发现就是如果这是可导，然后加减上可导，这个结果是可导。可导加减不可导啊，这个是不可导不可导加减，不可导未知后面东西啊，都一样。所以你就会发现这个四则运算法则的性质啊，它跟我们这个极限简直是一模一样的。你要注意啊，连续函数。的四则运算法则性质，还有导数的四则运算法则性质，
它完全跟着极限在走，所以这波内容完全可以迁移。跟得上我的意思吗？好，这是我们讲的这个第一个问题，你看内中点非常的相似，但是同学们这里面当中啊，大家可能会觉得恶心的东西啊，不是上面那个人。是谁呢？是这个人。这是很多同学学的不好的点，就是复合函数的连续性的问题。可能我们在基础班过程当中，我们也重点讲过了，
我让你去看看那个内容是非常恶心的，那么今天啊，我们来做重点的精讲。我们再来回顾一下复合函数的连续性问题。那复合函数连续性问题是怎么说的呢？它是这样的一个东西。诶，这个复合函数。那么，它中间是这样的一个关联关系，什么关联关系呢？内层函数看似变量。好，我们就要写了，说什么东西呢？
说这样的一个内容。如果里面这个函数。它在什么？它在x0处是连续的。诶，里面这个人在自变量处连续连续你都知道，连续极限就会等于函数值。对吧，就会等于函数值，你可以在这里面当中，你再记一下，把这个函数值记作成多少记作成u0。啊，我把这个函数值记作成u0。然后接下来我们又写且且什么东西呢？
外面这个函数在u0处连续就说fu这个函数。它在什么东西呢？它在幽灵处连续。它们之间是这样的一个关系。就说里面这个东西在自变量处连续连续出来的结果是这个函数在这个点处的函数值。而外层函数呢？在这个函数值处连续那这时候呢，我们马上就可以写了，连续复合，连续是连续则什么情况？则这个复合函数。就在这个起点处是连续的。能理解吧哎，这叫连续复合连续啊，是连续要跟上这个事情，
所以说你在这个操作的过程当中啊，他们之间在转了一个什么样的弯儿你得知道。所以我们得到了第一个非常重点的信息，就说连续复合，连续是连续，但是你要注意一个事情，它是怎么进行去连续的？是里面这个人在自变量处连续连续出来的这个结果，而外面这个函数要在这个结果处连续。要记住，连续复合，连续是连续，然后啊，我告诉你一个经验。这个经验呢，
将来会帮着你进行去处理，这种问题非常的简单，你记住了，只有连续复合，连续是连续，别的都不知道。你记清楚啊，只有连续复合，连续是连续，别人都不知道什么连续复合间断呢？什么间断复合连续呢？什么间断复合间断呢？不知道都不知道它有可能结果是连续的，它有可能结果是间断的，你记住这个经验。
你记住这个经验了之后，将来再处理这种问题啊，非常的简单，记住，只有连续复合，连续是连续，别人一律不知道。你记清楚，只有连续复合，连续是连续，别人一律不知道。当你拥有了这个经验了之后啊，你再进行去处理相关问题啊，就非常简单，我们来看一道模拟题吧，
来看一下这道题。你可以秒了吗？来，我们先来看看这题。它这里面当中说fs和fs这个人呢，在负无穷到正无穷上有定义，而且这个人是一个连续函数。诶，它是连续的，而且这个人有间断点，他是间断的。好，我们先看a选项，那这个题怎么做呢？我们先看方法一。
诶，先看方法一那方法一，这个东西是什么呢？它是连续复合了间断诶，不知道。然后再看c选项c选项是间断负荷的，连续不知道。然后再来看看b选项，b选项怎么复合的？b选项就是用这个函数。作为整体。替换了什么东西呢？替换了x方里面的x，然后得到了这个人。能理解吗？
诶，就说用这个整体复合了x方里面的x就得到它，而x方是什么函数？x方是连续函数？所以就是间断复合，连续不知道，然后下面这人复合几次方四次方间断复合，连续不知道。选一，你看这个题，这叫什么方法？这叫经验法。啊，经验法凭借着一点经验这个题啊，立即把它秒了。
只有连续复合，连续是连续，别人一律不知道。但是接下来啊，我们还得继续再来做，再来看第二种。那么再来看第二种方法推演法。那么，推演法的话，你要稍微注意啊，我们通常在做选择题啊，如果每个选项都不一样的时候，怎么看呢？就这样做的。你理解一下这个做题思路啊，
我们先上来看a诶a不好看好不管了，先看BB不好看诶，我们再看c。c不好看，我们再看d对吧？是这样的一个做题思路，然后再看一。那一好不好看呢？他说这个人一定有间断点。你一定有间断点的话，你发现你看一定有，而这个人是连续的诶，我觉得有点问题啊，因为什么情况呢？你想想。
你这个人。乘以这个人是不会等于什么东西呢？会等于ph is啊，大家想想有个事儿，如果这个人是连续。对吧，如果它连续那这个东西也是连续连续乘连续，应该是连续啊。对吧，那这个东西相乘是连续也就说你说这个fins是连续不可能说明什么问题，说明你说错了。不可能，因此你要注意啊，我再说一遍。如果这个人是连续你连续乘上这个连续，
肯定是连续你得到了fins是连续，但是我fins是间断的，你说错了。你说错了话，矛盾了，它一定怎么有间断点五选一？能听懂吧，你看这种情况的话，我也迅速把这个题做出来了。好，这是这个事情，你可以按照经验法排除四个，最后一定对。然后接下来我可以怎么办？我可以直接进行去推演法。
你要是这个东西连续连续乘连续，肯定是连续，那肯定不对。好了，这是这个事情，但是我先说一个问题啊。我说一个点呢，因为前两天呢，我看到了一个比较荒谬的事情，这个事情啊，发生在某站啊。然后的话，一个有一个。这个里面当中啊呃。就是在B站上的话，
有一个更新的一个视频，里面是这样的。若什么情况？啊说下列正确的是一二三四给了四个人，然后这个做题方式啊，我以为是什么样的一个精辟的方法。啊，这个这个标题啊，答的比较巧妙。就是立即秒啊，立即秒，立即秒的话，你发现一个事情怎么出来的呢？它这样出来的。他先举的第一个例子。
比如说啊，这个第一个例子给了一个极限，给了一个极限，比如说等于一他举了一个例子，举了一个例子哦，一对他就说对。又举了一个例子，说二对二就对了，然后又举了一个例子，说三不对啊，排除，然后又举了一个例子，说四对它就对了。同学们，注意你这个方法有问题，
你逻辑感有问题。这个逻辑感有问题。你发现一个事情，你看你举一个例子，说它对你能说所有人都对吗？你这不是胡扯呢吗？对吧？你举一个例子说它对你不能说它对。我下一个例子，你能说我对吗？你只能把怎么所有的例子都说对，它才叫对你这个东西方法论有问题。哎，方法论有问题，但是你举了一个例子，
你说它不对，哎，可以排除，这是没有问题的，所以大家注意啊。举例子只能进行去排除，不能去肯定。你听懂我的意思吗？你注意啊，举例子只能排除，绝对不能肯定你要举一个例子，说它对你就说它对，那就纯属胡扯。别乱来啊，千万不要乱来啊，
这是这个人。那么，接下来我们就继续，我们再来看这个题，其实这个题啊，我们还有一个方法，那当然是取反例啊。对吧，取反例。那么，接下来我们先来看看第一个点，你来看这个人，他说这个人是连续的。而且这个人不为零。对吧，
这个人不为零，然后这个东西啊，有间断点。有间断点了之后的话，你发现它说平方一定有间断点吗？啊平方一定有吗？这里面当中，你可以举例子，我们再来看看方法三。哎，你可以举个例子，同学们想想。你举什么样的一个例子，平方了之后他没有见你注意要举例子啊，我来给你讲讲这事情，
有些同学就不会举例子。你看举例子就要说反话，唱反调。它怎么说我就反着想。能理解吧，哎，注意啊，这个举例子就要做好一个杠精。就是这样的一个情况，你比如说他说这个人一定有间断点，我就要去想诶，什么情况下他没有间断点。它是连续的，你听懂我的意思吗？你就反着想，
有些同学不会举例子，他朝着这个正方向想，你就反着想。它说有间断点，你就要去想，哎呀，什么时候它是连续，如果想到了，它就排除了，你听懂我的意思吗？好了，我们来看看这个事情。什么时候平方了之后，它没有间断点呢？哎，
非常简单，你可以出一个什么哎，出一个这样的一个函数。什么呢？你看这是一个y这是零，然后这是x，你出这样的一个函数不就行了。是不非常完美，你平方一下，你看你这人是一你这人是负一，假设这人不取这个人取。我在这个点处确定了一个什么情况，你觉得这个不好。我要举一个尖端的例子，绝对值是连续的，
你取的不好啊，你这个这这取取的不好，你看这个函数在这个点处具有跳跃间断点。但是你发现呢诶，你发现你可以举例。对吧，我fins就是这个人，我fins这个人是什么呢？就说我s大于零的时候，我是一我s小于等于零的时候，我是负一。对吧，是这个情况，那这个时候你发现一个事儿诶，我马上就可以看出来什么情况，
我就可以看出来我这个人的什么。我这个人的平方就出来了，我这个人平方等于多少呢？我这个人的平方永远会等于一。而我这个人的四次方呢，我这个人的四次方永远会等于一，我永远都等于一的话，你看我没有间断点吧，你说错了呀，说错了这个人就不对。能听懂吧？好了，这是第一个人，然后接下来我们再来看看a选项，那a选项怎么办呢？
好，再来看a。我还是用这个例子吧。对吧，你想想象一个事情，用个连续进行复合间断。大家琢磨一个问题哦，我知道这个函数在大于零的时候永远大于零。如果我这个人连续函数永远都是大于零，永远都大于零，我去复合，永远复合这一段行不行可以啊？你发现看，如果我举例子这个东西，我举个es。
我永远大于零，我永远大于零的话，你发现我进行去复合的时候。大家注意，你进行复合是不是永远只能复合这一段？你符合这一段的话，你发现它永远都是一。我没有间断点啊，你又说错了。然后我们再来看四这个人是用间断复合连续而b选项和d选项就是间断复合连续，你就可以取什么哎，你就可以取就是x方。因为取个s方了之后的话，这个f方s这个人呢，他就立即变成了b选项，
变成了b选项的话，其实就是。负is这个人的平方，你看永远等于一我没有啊，你又说错了，排除三个，最后一定对。能理解吧，你看这个题。所以这个操作性的方式啊，你一定注意。举例子可以排除，绝对不能肯定。所以这里面当中，我咔咔咔排除四个啊，
就出来了。但这个东西啊，你得去想，你得多想，这个没有别的方法，你只能多进行去储存储存，对吧？多去想想。一定要注意啊，举例子的方向就是唱反调，说反话，他怎么说我就反着想。反正想如果想出了例子，哎，它就不对，
听懂我的意思吗？好了，这是这个点啊，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个问题呃，这个东西啊，你得慢慢学哦。慢慢学就行，好，我们再来看看56题。呃，这个题啊，我们在考研真题当中是考过这种题，这个题是考过的。那么，
接下来我们来看看这个人，他说fs这个人gs这个人这里面当中啊，含有未知参数，说两个相加在这个r上是连续的。问，我们a是多少b是多少这个题啊？就怕学的太好了。学得差，你发现还能做得好。就怕学的太好了，有些同学就想了一个事情，说诶，我一看我在零处是什么间断的？对吧，我在这个零处是间断的。
零处是间断的，你要想连续你这个人就不能连续。你这个要连续连续加间断是间断，那不行，我这个人肯定间断，所以说我这个人在几处，我这个人在零处一定间断。但是问题点出来了。我想问一个事情间断了，怎么去求那个待定参数？你间断的话，你这个极限是多少？这个极限是多少？对吧？你这个东西你发现你就想不出来了。
连续的时候知道左极限，右极限函数值是相等的，可以求待定参数，但是你发现间断呢，什么东西都求不出来。所以大家注意啊，你这样想，你其实就把这个题做麻烦了，这个题怎么办呢？这个题其实非常简单。你想想不就是两个相加吗？两个相加的话，我们先看这个，这个前面这个人。啊，
先看前面这个人。那么，首先看第一个部分。那这个人的话，他的分段点是零。然后第二人的分段点是几呢？第二人的分段点。诶，这个人的分段点是负一和零。那不就加呗，然后你在这一段的时候是多少？这是负一，然后你在这一段的时候是一对吧？然后的话你在这一段的话是二减as。你这段是s，
这是s-b，你直接加起来不就行了。那所以说把这个东西啊，想的太多了。所以这里面当中啊，直接做直接把这两个东西啊加起来就害怕你想太多了。那么所以说这里面当中啊，不是啊，你做出来不是说你学的不好啊？对吧，不是学的很不好，来这两个东西的话，你发现这一段相加，那是多少的s，如果是小于等于多少？
负一的时候，那就这两项加，那就是多少一减as？然后接下来我们再来看这一段，这一段时候是多少呢？这一段时候是负一到零。负一到零的话，这两个相加，这是s怎么办？减一然后第三个事情的话就是s大于等于零，然后这两个相加，这两个相加是多少是？是x-b再加一。能理解吧，好了，
这个事情我们就写成这样了，那写成这样了之后，我们再来研究那研究几个点呢，两个点，一个是在负一处。诶负一处那负一处的话，这半边的什么东西呢？这个左极限是一+a右极限是多少？你看这个右极限右极限是负二。然后第二件事情再看零处都不用去看，该点值了啊，直接相等就行，然后在这个人呢，这个人的话，你发现这是负一。
然后零处呢，这是负b，再加上一，然后这个a是多少a是负三，然后这个b是多少b是这个移过去，这是二。所以一个结果是负三，一个结果是二，正确答案选几啊选d。可以了吧，好核心问题想清楚。呃，这就是我们在这个考研过程当中啊，讲的这个最后一波内容，我们就说到这可以了吗？
希望那么接下来我们继续，我们就正式开始看第二章部分的核心知识点了，导数的定义和微分的定义。啊，我们来看看专题七。那么，这个专题这应该是。是专题七吗？我们这个标的是多少？我看看啊，专题八是吧？好，那么接下来我们来看看专题八。啊，专题八那么专题八的部分呢？
我们核心重点，我们去研究两个问题，一个东西呢，叫做导数定义。一个事情叫微分定义。哎，可以这样讲，这个部分内容一定会考的。考研必考内容，绝对会考，你要稍微注意下专题，八是必考内容。而且啊，对于我们三九六同学，你就会发现一个事情，
如果去研究这个考点部分内容，你就会发现第一个事情导数定义肯定会考。而且我们的微分定义特别喜欢考。我们贼喜欢考微分定义。对吧，微分地，比如说包装性的考题，比如说微分的这个几何意义，特别喜欢考这个人，所以你发现这两个点都可以出题。有可能在这里面当中出两个题，这里面当中出一个题，这都有可能性。你要注意啊，我们的高等数学的这个题量是很大的。
它有充足的出题的空间，所以导数的定义，还有这里面当中微分的定义，它是一定会重点考察的。那么这样吧，我们在这个讲之前呢，我们来把这个第二章部分的核心知识点呢，我们稍微跟同学们去讲一下，我们看看有哪些核心考点。那么，如果从单独的核心考点当中第一个事情就是导数定义这个东西啊，年年一到。对吧，每年一定会出一刀，这是你要注意的，
然后第二件事情就是微分定义。对吧，这个内容也是高频考点，所以说你猜都能猜的出来，然后第三件事情导数计算。我们在考研的导数计算当中啊，我们不是说每年都考那些特别难的，你观察一下这么多年的考研真题当中的这个导数计算。你会发现我们喜欢考几个人，一个事情是复合函数的，求导抽象性的，非常的简单，哎，抽象性的。而且我们贼喜欢考隐函数的导数计算，
有没有发现？我们贼喜欢考隐函数，基本上是每年必有隐函数求导。就算没有分段函数求导，就算没有参数方程，没有反函数，没有高阶导数，也一定会有隐函数求导。你去看看吧，是不是这样的一个特点？每年一定会有，所以在我们这个考点过程当中，你要抓住这个东西，跟数一数二数三同学可不一样。我在强化班过程当中，
基本上你像什么隐函数求导这个问题，我们就大致的进行过一下就行，因为这个东西不再是重点了，因为难度系数比较小。你更难的部分在后面呢。一个是分段函数，一个是高阶导数，但是你发现你根据我们的考勤形式的话，你会发现我们很喜欢考复合函数。我们很喜欢考隐函数，对吧？这两个点你要打死啊，然后第三件事情你再来看，还有一个必考内容。谁呀？
非常喜欢考的，我说一下，你马上就有惊喜了，切线方程。法线方程是不是？如果你继续去做真题的话，你发现你看这个人贼喜欢考。但是这个内容如果放到数三里面，它又不是个重点，它又是个次重点，你发现你看这个内容贼喜欢考。它不光去年考，前年考对吧？特别喜欢考这个切线和法线，然后接下来我们再来看第五个点。
对吧，这是这个问题，然后紧接着就是遇到了单调性。极值诶，这是一个重点，然后又是凹凸性。和拐点。有没有发现一个事情，如果说我们的考研当中，你觉得这两个东西哪个更重要？是单调性和极值更重要。我们在考研过程当中，凹凸性和拐点考的少，但是你要注意，今年你可不能这样。
凹凸性和拐点要照常去进行学，我们其实考极值考的多。诶，这是这个问题，然后第七个点就是渐近线。这个东西啊，都没怎么考过。渐进线都没怎么考过。所以说你要稍微小心一点啊，然后还有个东西叫什么，还有个曲率啊，这个曲率这个部分呢，这都没有考过。而且这两个部分的东西啊，你发现这两年出题啊，
都没怎么出过。那么，接下来我们很喜欢出的是下面一个问题。就是方程根的问题。啊，方程根零点问题诶，这个特别简单。等到上完这个强化班，我相信你做这种题啊，应该是游刃有余，就是两个点研究单调性判断端点值。研究单调性判断单调值啊，好了，这是这个问题，然后接下来第九个点就是不等式。
那不等式这个问题啊，你要注意，有的说老师这个不等式不是喜欢考证明题吗？我举个例子。比如说我可以随便出一个题。这里面有个函数。比如说我大于等于x方，我问你一个事情，我说什么时候在哪个范围内成立？对吧，在哪个范围内成立啊？这种考题，所以说这种不等式的考题啊，它也是会考的，所以像这两个东西啊，
是我们基础班讲的非常弱化的。我们来看看一级重点，我用红色标，你看这都是一级重点。对吧，这仨都是一级重点，然后这里面当中的这个部分都是一级重点。这个部分都是一级重点。好，这是一级，然后紧接着的话，你发现这是二级重点，我用绿色。然后这是二级重点。我用绿色。
然后这个东西啊，基本上是三级考点了。所以在这章的过程当中，你发现我点的这几个点，它有可能一个点出一道，一个点出一道，一二三四五六七八。他可以出八道都有可能性。这个问题点不大，有的时候大部分的考题控制在四五道。哎，这是没有问题的，四五道肯定是没有问题的。就说这个部分当中出四五道题，肯定是没啥问题，
所以第二章的过程当中，你一定要好好进行学，对吧？哎，这个内容你一定要好好学。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看专题八导数定义和微分的定义，那么首先我们先来看看第一个点啊，考点串讲，我们先把内容部分呢，我们先串一下。我们先来看看第一个事情导数的四大定义。好，我们先来讲讲导数四大题。
这个部分内容应该是最基础的。啊，它非常基础的，我们先来看看导数的定义。什么叫导数呢？导数叫做那个点处的什么切线斜率，导数叫做那个点处的瞬时变化率。这个梗都能被你玩上啊。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个下面一个问题啊。来操作一下，那这个部分呢？是x，然后这是零，
然后这是y。那么，在这里面当中啊，什么叫导数呢？导数是这个点处的。瞬时变化率。诶，就是这个点处的瞬时变化率。那这个点处的瞬时变化率啊，你请记住一个事情，导数定义里面当中啊，有两个特点。一个动点，一个定点，大家注意啊，
一个动点，一个定点，这个点呢，是一个定点。好，这个点是个定点，所以你会发现我们研究这个点处的瞬时变化率怎么研究呢？那非常简单，我们再来个动点。好，这是个动点，根据这个动点的这个坐标的不同，我们把导数定义啊，分成了以下几种情况。所以两个情况，
一个事情是移动一定动点，必近于定点，大家注意啊，这个事情移动一定。动点逼近于定点好，这就是它的一个特点，如果这里面当中啊，你发现我把这个动点我写成x写成x的话，你发现一个事儿，那就是。fx-fs零。比上x-s零是这个点处的平均变化率，然后再让什么呢？再让x趋向s0。那这个极限就是这个点导数。
有些同学时至今日啊，他仍然对这个问题啊，没有理解的非常深刻，我再强调一遍同学们。你要注意一个问题啊。这个人是谁？啊，这是谁呀？这个人就是刚才那个人。这个人就是刚才这个人，这俩人一样不一样。一样。这两个人是同一个人。你这个极限存在了，你极限等于三，
我是等于三，你极限等于四，我是四，你不存在我就不存在，我俩是一样，我俩是等号。注意啊，就是这一坨，你认识一下这个人。不能多不能少，就这么的一坨就这个极限，就是这个点导数，它俩是一样的，这就像大小名的关系，比如说举个例子。
你在学校里面叫导书。对吧，你学校里面叫导数，你在家里面叫狗蛋。都是你啊，这俩人都是你。所以说这俩人是同一个人，注意啊，这是同一个人，不要把它给我分开。然后接下来我们再来看这个动点，也有可能是什么这个动点，也有可能是s0，加上德尔塔s情况。所以说这个时候我们来看看这个事。
来操作一下它的末点是什么呢？末点是s0，加上德尔塔s，然后这个起点是fs 0。我们再比上这个德尔塔x，然后用动点逼近定点，动点逼近定点，就让这个德尔塔s趋向零就行了好了，这个极限也是这个点导数。能听懂吧？好了，这是这个问题，然后接下来我们就继续，我们再来看你发现。这一类目当中还有一个单侧导数定义，
单侧导数定义啊，其实就是要不要分的问题，哎，需不需要分成左右极限？那么，这里面当中的右极限，右极限叫做右导数，左极限叫左导数。左右极限存在，且相等，那这个极限存在这个极限存在就是导数存在，所以说左右导数存在且相等。对吧，左右导数存在且相等，那该点导数它是存在的，
能理解吧？好了，这是单侧导数，一定要注意知识点了。但是你光记住知识点呢，也不行。但是你不记住知识点，那更不行。你记住了，未必会做题。但是你发现一个事，如果你没有记住呢，你没有记住，你一定不会做题好了，我们来看看今天最重要的问题就是这个人。
好推广定义。那么，推广定义啊，这是我们在这个今天过程当中的黄金，重点就是把这个东西啊变成框的形式。对吧，变成框那变成框的话，我们接下来我们来写一下这个人。好写下写下这个人的，他是结构出来了s0加上框，你再减去fs 0。就记住这个结构，往这个结构上凑。一定要注意啊，往这个结构上使劲的凑。
对吧s0加框减fs 0比框s0加框减fs 0比框对吧？凑结构一凑结构。所以第一件事情把这个结构凑出来，然后单独的给它求一个极限，注意啊，单独求个极限，就说一凑结构，二看零。那怎么看零呢？我们就要看看这个limit下这个人的极限是不是零？能听懂吗？一凑结构二看零。如果这个部分趋向零，我就可以说这个部分的极限就是这个点处的导数。能理解吧，
好了，那么接下来我们就继续看，如果在这个limit下，这个人只能趋向于林阵呢，恭喜你，你只能叫做诱导数。如果在这个结构下，你只能趋向零负呢？恭喜你，你只能叫左导数。好了，像这种问题啊，你一定要学会着看，对吧啊，基本问题点好了，
这是两个人。可以了吧，所以说这个人叫做诱导。哎，这个人叫做左导数，能分析清楚吗？应该问题点不大啊，一凑结构二看零。好了，这是我们讲的这个第一个问题啊，你下去的时候你好好想想这个事，就是往这个结构上凑，然后再看零。你看一朝吃到偷。那么，
零对零基础提前学就开始讲了，你复习到今天你还不会这个问题点很大哦。问题点非常大。好了，这是这个问题，所以说这么久了呃，如果你进行去做练习的时候，你发现效果不好，如果有大量的题，效果不好。我觉得你应该先停止做题。啊，应该要停止做题，因为你发现上课的内容必须要消化，我就强调一个事情吧，
你应该把上课讲义上的题当做成母题来做。一定要当做是母题来做，把这种题刷烂，你见到这个知识点，你就能想得到，你见到这个题型，你就知道怎么去处理。然后再进行就枯枝散叶。应该是这样的一个方式。所以你注意你的这个前提条件呢，你应该是第一个部分，应该是讲义上的题。对吧，讲义讲义上的题意知识点刷烂，然后接下来你再进行去扩展，
那这个效果是非常好的。所以我觉得希望同学们注意啊，你下去训练的时候一定要把它做好好了，这个问题啊，我们就说到这来，那么接下来我们就继续，我们再来看第二个点。啊，第二点连续可导存在的关系，我今天再讲一遍。可以吧，我们再讲一遍好，我们先来看看第一件事情，因为我害怕很多同学又又有问题了。讲了不下七八遍了吧？
再不会能对得起人吗？啊，说实话，能对得起人吗？当然有可能，我到了这个呃讲模拟卷的时候还会再讲一下，然后到了点金课程呢，我再说一遍啊。行吧啊。来，我们来看看第一件事情连续连续的话，什么情况呢？好，我们今天来深层次的再说一下，那这个函数在这个点处。
是连续。能不能推出在这个点存在，不光在这个点存在，而且能推出这个函数，在这个点的邻域内都存在，所以一定是可以的。它一定可以推出来，在这个点处是存在的。存在就叫做有意义，听懂吧，我觉得让大家学逻辑啊，还是挺好的，事情也帮助了数学的理解。哎，是帮助数学的理解，
我前两天的话有个同学问我一个问题，我说在一个区间当中处处有定义。处处有定义，什么意思啊？不就说明在这个区间内有定义吗？那么轴干嘛？有的说老师什么叫处处有定义？我的天，这是数学课程，它不是一个语文课程。他不是语文课，这这怎么能学得好呢？你处处有定义，不就说在这块都有定义吗？不就有定义吗？
离不要在那儿轴轴对吧？这样这样的话，怎么去学啊？好了，那么接下来我们就继续，你看那存在能不能推出连续呢？这东西不行。诶，这个东西不行好了，这是第一个事情，然后第二件事情我们再来看，如果题目说再一点可导。注意啊，它的说法是再一点可导，再一点可导的意思，
就说如果你比如说我说的是一阶导数，在这点可导。你在这点可导推出的是你在这个点连续。对吧，高阶连续肯定能推低阶连续。这是一定可以的。好，这个问题，然后接下来我们就继续，我们再来看看第三个事情，第三个事情呢，这个导数存在，如果说什么呢，如果这里面当中说。二阶导数存在。
二阶导数存在，其实你只能推出什么要第一阶连续吧，二阶导数存在，其实是一阶导数可导，应该能推出第一阶的连续。其实你发现不就是这个部分吗？对吧，其实就是这个部分。诶，就是这个点能理解吗？另外一件事情，比如说呃，考研题当中啊，出现这种事情，你比如说一个题啊，
他说这个事情，他说二阶可导。比如说fx 2阶可导。是第二种情况吗？不是的。我们说它在这点可导，说的是这种二阶可导的意思，说的是二阶导数存在。不要犯轴啊，二阶导数存在，应该推的是一阶导数连续。能理解吧，好了，这是这个问题。所以我觉得这个学学逻辑还是挺好的，
对吧？你发现这个事儿，这个逻辑感啊，逻辑感还是挺有用。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这过去了，可以吗？就跟我们这个前两天的话，我讲那个。讲了一个不等式。有些同学转半天都转不出来。就跟我们学那个什么学那个方差，叫做平方的期望减去期望平方，你比如说我讲那个数一数二数三同学那个不等式。
你看读这句话，叫做乘积平方的积分，对吧？应该是乘积的积分平方。然后小于等于什么平方积分的乘积哎，其实你发现这绕一个逻辑感啊。你说绕半天绕不出来。好了，这个事情吧，我们就讲到这，你自己下去好好进行，把它处理处理。好了，这是这个过去了可以吗？来那么接下来我们继续我们来看看今天的核心考点。
来先看第一个人。那么，接下来我们就继续我们来看看今天的黄金重点内容。我们来把这个第一个部分的东西啊，然后把这个事情哎转成什么东西呢？转成核心考点，接下来这个问题啊，就是我们的重点部分的内容。好好听哦，我们先看第一个考点内容。利用导数定义进行求导数。利用导数定义求导数，我们今天把它分的贼形详细啊，贼细致，我相信将来过程当中你不会说这个类型问题啊，
你看不出来。好，我们先看第一个点。你不就是用导数定义凑导数定义求导数吗？你就记住了，我们在刚才过程当中，虽然学了那么多的导数定义。但是，在众多的导数定义当中，如果不分的情况，核心重点是他俩。如果需要分的时候，重点是它。增量定义一般很少用。所以这里面当中，
我们就把它分的细致一点，你就记住怎么去凑。如果这个极限里面它是一个fx。你就凑谁呢？你就凑计算心理。你就凑这个人。能听懂我的意思吗？你就往这上面凑，就是fs-fs零比上s-s零。s趋向s0，这可以吧？好了，这是这个问题，就说如果你这个你这个极限里面当中是fs括号，里面是x，
你就凑这个题。你就往这上面凑，如果这个括号里面，比如说我举个例子啊，我这个极限符号里面当中是fx方，你凑谁呀？你计算性定义就不好，错了吧？有些同学水平点一点都没达到，说那我做一个变量代换low。很明显就没有切进去，你考研当中的核心模槛，这个门槛没摸到，你要注意一个事情，如果这里面当中的话，
是不是一个s是一个框，你就凑推广的？能听懂吗？一定往这个推广里上走，所以这里面当中啊，你就是变成多少变成这个x0，加上这个框。然后再减去多少fs 0比上这个框？然后这个时候你要保证这个框趋向零就行了，那这个极限呢，其实也是这点导数。能听懂吧，所以说将来的话，你要做的非常的准，你比如说我举个简单例子啊。
你像这个人。这个极限里面当中是fs，我就凑计算机零。如果这里面当中是fs，我凑计算型题。如果这里面当中的话，你继续看你，比如说如果是这种里面当中是不是x我就凑推广里，所以说思维方式非常准快准狠。很快就把这个题啊，操作清楚了。好了，那么接下来我们就继续吧，这是第一件事情，利用导数定义求导数，
那么接下来我们再来看看第二件事情。那么，通常而言，我们还会考这种问题，一个导呃，一个函数在这个点处连不连续啊？一个函数在这个点处可不可导啊？就说一个函数在这个点处的连续性，可导性的判定，连续性就是极限等于函数值嘛？对吧，那可导性怎么判定呢？我们就分分成几种情况呢？要不要分左右？如果分左右的情况怎么办？
不分左右的情况怎么办？你注意，如果它分作用。注意啊，如果它分作用就是fx在x0处是可导的。fs在这个点处是可导的，其实就是f导s0是存在的。对吧，存在的这个东西的判定方法就是如果分的话，就是左右导数。都存在。且相等都等于。所以这是要分的，你要需要分左右判断该点可导呢，就是左导数右导数都存在切相等，
是不是这样的一个方向？如果这种情况它不分呢，你注意了，如果它不分这个函数，在这个点处可导。其实它的充要条件是什么？充要条件其实就是导数的，这个导数定义的极限是存在的。能理解吧，就是这个极限是存在的，当然也有可能是什么情况呢？也有可能是推广力。啊，也有可能是推广定义，那么推广定义的这个极限呢？
它是存在的，所以说这里面当中就是x0，我再加上个框，我再减去个fs 0。比上这个框哎，这个极限是存在的。能听懂吗？所以说你要学的详细一点，就是这个题，你要继续去判断可导性，我先看要不要分，如果要分就是左右导数存在且相等。如果不要分，那就是导数定义的极限是存在的。那如果是计算性定义，
就是这个极限存在，如果是推广定义，就是这个极限存在，听懂我的意思吗？这个极限就是这个导数，这个极限存在的就是这个导数存在跟得上我的意思吗？那什么情况下我们会喜欢用导数定义呢？一些常见的场景，我们必须要知道。有哪些常见的场景呢？应该是有以下几种情况，第一种情况分段函数在分段点处的导数计算。对吧，分段函数在分段点处的导数计算。那分段函数在分段点处求导，
我们肯定想导数定义啊好，这是第一件事情，第二件事情将极限。跟导数挂钩的问题，比如说已知极限，求导数已知导数，求极限，你像有些同学做的非常的准的话，见到这个极限，看到导数，那这个东西立即凑导数定义。方向要摆正，然后最后一个事情，未知这个函数可导性，我还要进行去求这个函数的导函数。
对吧，我不知道这个函数的可导性，然后怎么办呢诶？这个函数的话，我还要在这点求导数，那就要用导数定义了。好，这是常见的场景，当然求导直接进行求导，麻烦的时候我们也可以用。对吧，你直接算你非常麻烦，我也是可以用的好了，那么接下来我们比如说我们先出一个题。离呃，
看看同学们的这个水平点怎么样？比如说我出一个题。已知fs这个值。等于这个符号。然后这是摊正题。四分之派x。这个题有点难啊。呃，四分之派s。然后再减去几呢？减去一。这里面当中N次方吧。嗯，叫我想想。x的话。
这是x。求一处导函数。减n吧。然后这个n从一。不太多啊，来五个。好这个题啊，然后我们进行求谁呢？求一处的导函数。怎么做？啊，怎么处理？这是连乘符号吧？好注意啊，这是一个连乘符号。
这叫联合富豪吗？对吧，这是联合符号，这是连乘符号，那么接下来我们看看这个题，这题不是特别难的啊。你要抓住一个事情，你就知道一个什么，你就知道这是第一个式，是tan 4分之派s。我们要怎么办？减个一。就我想想啊。这个没问题，没问题啊，
这个提出的。还行啊，还可以，然后接下来我们就继续，我们再来看这是tan多少四分之派s，我要减个二。然后一直乘到多少tangent 4分之派s，我要减去个五。好了，这是这个情况。对吧，给了这个人。所以这个时候就是这些人相乘的情况，这个题稍微的难一点啊，我们稍微改的可以改简单一点，
改简单一点的话，我觉得这个题就可以出了。变成这样，其实我们在这个基础班做过这个题。你发现这个题啊，如果直接求导，稍微的麻烦一点，我可以怎么办？我先想方法一。那方法一的话，你发现我可以怎么办？我求一处的导函数。那一处导函数我可以直接上导数定义啊s趋向1s趋向一用fs-f一，然后再比上s- 1。那这个时候的话，
你来看看这个f1是多少？tan四分之派，这是一一减一是零，所以这是零，所以说这个极限呢，它就变成了当x趋向于。然后这是多少？这是tan 4分之派s减个一。然后再乘上tan 4分之派s减去个二，然后咔咔咔一直乘到tan 4分之派s- 5。没问题吧，然后再比上s- 1。那么，同学们告诉我一件事，你看你这个部分。
你这个部分的话，你看tangent四分之派是一一减二，这是负一。然后这个部分呢，一减五是负四。所以像这些项，它都是非零因子。非零因子的话，这是出去一个负一。然后的话，这个出去一个负二。出去个负三，出去个负四。然后最后一个事情就留下了谁呢？留下了x趋向于x- 1，
然后这是tan 4分之派。减去一，是不是做成这样了，然后这个时候的话，这是零比零型的未定式，零比零型未定式，这是四的阶乘。那这个人就可以使用洛必达法则的方式来做嘛，一路。一落下面求导没了，上面呢？second 4分之派x的平方中间变量再求导。那然后这个结果就出来了。一亿代。second，
四分之派。它就等于cosine 4分之派分之一。那cosine 4分之派是多少呢？是二分之根号二，一般是根号二，那根号二的话，你发现这个人就是多少？那就是二，然后这是四分之派。所以就是这个结果能理解吧，其实这个题我们是做过的。哎，这题是做这个题有点难了。就是设置的函数有点恶心了。但是我可以出个几个呢，
我出个两三个，就是我们的考题了。其实你发现基础班做过这个题。基础班做的是什么题呢？基础班做的是这个题。还记得这个题吗？哎，基础班我们做的是这个题。就说1s减一一，2 s- 2乙的ns-n。你像这种连乘的题，能理解吧？好了，这是第一种方法。那么，
对于这个题而言，还有没有方法呢？我们觉得还有就是我们原来讲过的分家法吧，好多个人相乘的时候，我们可以进行去分家。好，那么接下来我们就继续，我们再来看看方法二。很多同学的这个水平点还非常好啊，这个很明显，这个基础班呢呃，掌握的还是非常非常牢靠的。那么，接下来怎么办呢？你不是要研究一处吗？
我就把一带进去。一代进去的话，你发现这一项是等于零，它是一加，然后这些项不为零，你们是一加。所以这个时候啊，我就把这个人分成了两个人，这个是gs。对吧，这是分加法，所以说这个时候的fs就等于多少呢？它就等于tan 4分之派s减个一，然后再乘一个gs。然后进行求导，
那么求导的话，前导前导是四分之派，然后是second 4分之派的，这个人的平方。前导后面不导，然后再加上前面不导。后面来导，虽然后面很难导，但是没有关系，等你把这个一往里面一带的时候，你发现一个事情，这一项自动为零了。因为它那四分之派是一一减一是零了，那这人就不要了，然后直接往这带，
然后这人是几这人是二那g一呢，你g一往第一个人带是负一。往第二代是负二，往最后一个人带是多少是负四，是不是一样的诶？这个点。所以说你会发现，你看这个出题点呢，这个方向性，他就把这个东西啊给运用起来了。就说原来那个题啊，你是会做那这个题的，这个操作性你也得会处理，你听懂我的意思吗？就说像这种情况哎，
连乘的形式。如果是遇到多个人相乘的，你可以怎么办呢？你就可以把这个东西啊呃，分加法也行，导数定义的方式啊，也都是可以的啊，怎么操作都行。可以了吧诶，这是第一个方向。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个下面的考题，我们先来看第一个题，60题，
要不这样吧，我们稍微休息会儿。可以吗？呃，你在休息过程当中啊，你再看一下这个题啊。稍微休息会吧，一会我们继续吧。呃，休息会吧，可以吧？
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