06.冲刺满分强化篇·题型9精讲精练-2
好同学们，行，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个52题，这个题你看刚才有个同学一直说那什么根是什么，这个根是爆破对吧？我就觉得你老是用这个，每个老师可能有一些这个方法的名字啊。那么，比如说你去跟别人说这个三剑客，别人说的这个东西是什么呀？你知道这是什么吗？好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个52题，这个题啊，怎么操作的呢？来一起来看看来解。那么，首先我们先来看看这个求这个人极限对吧？哎，求这个极限开N次方。然后下面过程当中有好多个数进行相加。好多数相加，那这个问题怎么做呢？你怎么处理啊？每个人都是大于零的。那这个人的话，你看呃，这是sinn它的一个什么平方，
然后这个的什么二倍的这个cos。你怎么写？你可以把这个东西啊，其实可以拆一下。你把它写成cosine n的方，你再加上cosine n的方。对吧，写成这样，你写成这样了，之后的话，这个前面这个部分不就是一吗？是不是这个情况？然后接下来我们再来看cos，肯定比一小对吧？放大那就小于等于二。
然后这个时候的cosine，这个人是正的，大于等于一，那这个时候的话，你发现这个开个N次方了之后，其实就是多少二开N次方。然后这是一那这时候啊，马上出来这是一，然后这是解一一加就出来了。所以说这个题正确答案选几啊选b。可以直接算了。怎么算呀啊？这题怎么算呀？怎么计算？啊，
别胡来哦。你算出来，你再说话，你不要你老是你觉得这个东西能算啊？呃，这个同学啊，我已经注意你好久好久了，你真的听过基础课吗？这个同学。你这个问题点很大呀，对吧？哈，你这问题点非常非常大。这有个同学的话，他是这样的一个情况啊。
你注意，这不是一的无穷大问题啊。然后有同学说那我取个一。啊，取个一，然后这个人就变成什么？就变成了对数，然后这是si nen的方，加上cosine n的方，它又来了。然后这个时候的话，它说limit n趋向无穷大，然后这是n分之一。你怎么办呢？你把这个和变成积。
啊，难道把和变成鸡吗？你怎么老是犯这种问题？这是胡来的嘛？这这问题非常非常大，你看说一节课不行，说两节课两节课不行，说三节课节节课都说这个问题。就是这个对数函数就转不过去嘛。我再说一遍啊，人家对数函数是这个次方数可以移钱，没有问题。然后第二件事情，如果是乘法变什么法？变加法。
乘法变加法，然后这个东西是除法变减法。啊变减法，然后这个人的话，你发现这个人如果是lna，你怎么办？除以lnb这东西等于lna-b吗？这不胡来吗？每节课都能翻这种文，那下去也不总结啊。这跟高中没有任何关关系，我觉得这就是个态度问题。你想想这件事情，我在呃我们课堂当中说的不下十次了，我感觉。
简直不下十次了，你说这个问题点非常的大。好了，这个问题啊，我们就讲到这过去了。来，继续吧。好了，这是这个点吧，我们就说到这呃，那不一定，刚才有同学说那一定都是一吗？你比如说看这个题。我们在基础班过程当中啊，还总结过一个内容，
就是n趋向无穷大，然后这个人开N次方a的n。b的nc的n开上N次方，这个结果等于多少？这个结果等于三个人的max还记得吗？这个结论要记住啊，这考试过程当中能直接用的。啊，还记得这个人吗？他等于三个人之间的max。啊，三个人之间的最大值，这是我们基础班讲的，我就不说了，我们基础班过程当中还秒过一些题呢，
你比如说n趋向无穷大，他出一个题。二的n3的n4的n，然后开个N次方等于几啊等于四是不是这个事情，然后这里面当中是n趋向无穷，大有一个题改了。我现在有一个题的话，改成这样a的这个人，然后加上b的负n，然后开N次方，这是有一年的考研真题哦。然后a是大于0b是大于零哎等于几啊？那这个时候的话，你看你这个东西就可以整一下了，这是limit n趋向无穷大，
然后这个人是开N次方。然后这是a分之一的N次方，然后这是b分之一的N次方，对吧诶，这里面当中应该是这样。好，这个结果等于几啊？那这个时候越小越大呀，所以说这个结果等于几b分之一。你看这两个考题啊。这考研真题考过这个事情，所以你可不能说这种所有的结果都是一哎，这不对啊，好这种问题。行吧，
那么这个点我们就讲到这可以了吧？好，所以下去过程当中啊，把这个基本问题点呢梳理清楚。这不是无穷小城，有界罗印这个人。路因这个人。他也算有节啊，你这样做是可以的。有些同学可能这个题的话，他怎么做呢？他这样做。你这样做是可以的，如果这里面当中啊，你来了个幂值转换。
n趋向无穷，大来了个幂值转换呃，这里面当中的话就是多少呢？就是e的这个什么limit n趋向无穷大。然后这是n分之一ln多少sine，这个人平方cosine这个人的平方啊，这是可以的，然后这是什么情况呢？你看。你这个人是大于。大于零，小于一，这是大于零，小于一，所以这个整个的话，
这个部分应该是。这不一定，不一定。不一定，它未必是有机。啊，未必是有界啊，你这个sinn的这个平方是大于等于零啊，大于等于零。小于等于一，然后cosine这个人大于等于零，小于等于一，你一加的话，这个人的话是多少？它应该是大于零，
小于二。啊，没有，这是二倍是吧？那大于等于小于二，那这个东西一加是多少呢？这俩东西一加。你注意这个东西肯定得大于零，它不能等于零，你应该是大于零小于三啊，这块东西啊，你加起来之后啊，它绝对不能等于零。等于零这个题啊，它就没有意义了。
是吧，你取对数了吗？你取对数这里面当中大于零，但是你想想一个事情。罗音这个人趋向于零的时候，它是无界函数，它不是个有界函数。它是个无界函数。你罗音这个人的话，你看你在零这个附近，它是无界函数，它不是有界函数，你不能用无穷小乘有界哦，别胡来哦。能听懂我的意思吗？
它不是个有界函数，你不能用无穷小乘有界。哪个人呢？什么是一到二啊？噢，你改成一加上这个东西就可以了。如果你把这个题改成了一，加上这个cosn方哎，那这个题就可以了，它就大于等于一，小于等于二啊，那这个就对了。这就对了，那这个人就是e的零=1，这样做是对的。
你这样控制好就对了。你没有控制好就错了，你听懂我的意思吗？如果是这种情况的话，这个ln是什么？ln是一到二。这种情况就对了。听懂我的意思吗？就说你这样进行处理的时候就对了。因为它是一到二这个函数的话，它肯定是有阶的无穷小乘有阶，但是如果刚才做到是零，那就不对了。就是你做题的这个手法，你听得懂我的意思吗？
就说你能做到一到二，它是有界的，那就可以。如果是零那个部分的话，它不行啊，这个人。好了吧，那么这个点呢，我们就讲到这，这是加b准则这个问题，所以加b准则啊，我们在考研过程当中啊，是非常非常关键的，你下去过程当中啊，好好进行处理一下。
能听懂吧？好了，我们再来看看最后一种情况，单调有界必有极限呃，这个问题啊，基本上是证明题比较多。所以说对于我们这个三九六的考生啊，我们基本上知道这个内容就行，单调递增有上进哎，极限是存在。单调递减有下界极限结果时存在。可以了吧？好这个题啊，我们就讲到这。行吧，
那么这个问题啊，我们就说到这，我再说一遍上课过程当中是学这种题型，学这种手法的。不要老是固执己见，你要学更好的方法。你要学更加普适性的，这种操作这才是你强化班上课的意义啊。好了，那么这个问题啊，我们就讲到这儿可以的吗？基本问题点，那么接下来我们就继续，我们再来看看下面一个重点问题，连续和尖端。
呃，这是我们在第一章过程当中啊，最后一个部分问题连续和间断。连续和间断呢，如果进行出题啊，哎，基本上是两分题居多。对吧，出一道出一道，连续和间断的这个判定，比如说连不连续的问题啊，间断点的判定性问题啊，会出一道。但是还有一种题是我们在这个基础班过程当中啊，没有进行去大方面进行去讲的问题，
那就是连续的四则运算法则。还有复合函数的连续性。那么，这种考题啊，你要稍微注意啊，就这种题。啊，就这个题。呃，这个题啊，你都知道每年的话，这个考研呢，它会有一个这个，我看看在不在这个电脑封面上。应该在啊，
就我看看。是这个吗？哎，是这个呃，每年的话，这个考试分析啊，它后面会附录了一套这个模拟卷。就是每年的话，这个你比如说到了今年，今年的话，二零二三年啊，这个是今年是二零二三年出的是二零二四年的考试分析。二零二四年的这个考试分析啊呃，二零二四年的考试分析是今年九月份出。每年那个考试分析的话，
后面会附录了一套模拟卷。你看在这个。去年的考试分析当中啊，他出的这个模拟卷里面当中有一个这样的题，你看就这个题。看看就这个题。那所以说你看你这个题，它的这个出题点。我记得应该是放在这上面，因为我去年讲这套卷子的时候专门放在这了，然后我们接下来继续吧，我们来看看这个操作性的问题。先来看第一个点，我们先来讲讲连续的问题啊，先讲连续的问题。
那连续的点呢？首先第一个事情连续的判定。对吧，连续的判定方法。那么，连续的判定方法，核心方法，当然是用定义啊。定义是最重要的，所以说这个时候啊，就要分成两种，一种情况是不分左右极限的时候。就说你不需要分左右极限。如果你不需要进行分左右极限的时候，他这个人的判定方法其实就是极限等于函数值。
啊，就是趋向于这个点处的极限，等于这个点处的函数值，这是考研重点啊。如果这里面当中，它需要分左右机械能。如果你需要分成左右极限。那这个人一定是左极限。等于右极限。都要等于这个点处的函数值。哎，左极限等于右极限都要等于这个点函数值好，这是这个问题，所以用定义法进行判定呢是根本。我们见到连续立即反映极限等于函数值。
对吧，只要判断一个什么事情呢，就说如果在考试过程当中，你碰到这句话，它说这个函数怎么了？这个函数在这个点处是连续的。这个函数在这个点连续，你立即反映几个事情呢，第一个事情极限是存在的。你极限当然是存在的呀，然后第二事情你函数值得是存在的。然后第三个事情，你们得是相等的。对吧，另外一件事情我们再来看。
其实你发现如果这个函数在这个点连续，不光是这个点存在，你看这条。如果这个极限存在，应该得保证这个点的去心领域内。哎，去心领域内这个函数处处存在。对吧，你就得保证这个函数在这个去心领域内存在。而这个点处也存在，所以说这个fs啊，都是存在的。因此，你要注意，如果这个函数在这个点连续，
应该能保证这个函数在这个点的邻域内都是有定义的。淋浴当中都是有定义的，这是要注意的好，我们这是第一种方法，当然你还可以怎么办呢？你还可以用第二种方法。第二种方法就是初等函数，我们用的很多，如果你是个初等函数，你在你的定义区间内都是连续的。好注意啊，一个初等函数。在定义区间内都是连续的。所以对于初等函数怎么判断连续性呢？你就看看有没有定义，
如果在这个点处有定义，它肯定是连续的。能听懂吗？就看看有没有定义，然后最后一件事情呢，就是图像不端。什么叫连续呢？连续就是在这个点处啊，没有断，如果你的图像在那个点处没有断，哎，我们这个时候就可以说明了。说明什么事情？这个函数在这个点连续。比如说这个点。
你发现图像在这个点处呢，不断。如果这个函数在这点处没有端，它是连续的。啊，所以这就是基本问题，哪个人最重要？当然是首先想的定义啊。如果见到这个函数，在这个点处连续立即反应极限等于函数值啊，非常简单啊，好，这是我们讲的这个第一个问题。连续的判定方法来，那么接下来我们再来看看第二件事情，
连续的保护性。讲讲这个问题啊。连续饱和性。那我先问一个事情。比如说如果说。这个点处大于零。你能说附近都大于零吗？能不能你比如说这一点大于零，它有可能是这样，你这个点在这儿，但是我图像在这儿。能不能不能你不能说这个点大于零，你就说附近都大于零，你不能这样说。但是注意什么时候就能了呢？
连续的时候不要背哦，谁背谁就傻了，不要背哦。连续的时候就可以了。如果已知这个函数。在这个点处是连续的。如果这个函数在这个点连续，那它在这个点处大于零，你看你分析一下。连续什么意思啊？连续就是极限等于函数值。求这个点处的极限等于这个点处函数值，而这个点函数值大于零，来吧，同学们，
我们一起来看，如果这个极限大于零。我立即可以说明什么，就可以说明在这个点的附近。他都大于零，你脱掉帽子嘛。是不是就说明这两个部分它是大于零，那这两个部分大于零，而这个点本来就大于零。你这个点本来就大于零，那就说明不光是去心领域了，是领域，所以我们就可以说这个函数怎么了？这个函数在这个点邻域内。都大于零。
没问题吧？好，这是这个事情，如果你小于零呢？零域当中都小于零。其实这件事儿看什么东西是最简单的，就是看看那个什么看图像，图像是最简单的，你不是连续吗？你连续的话，你看你这个点是大于零，你身边的人不就大于零吗？连续啊，你这个点大于零，你身边的那一块都是大于零，
所以邻域当中都大于零。跟得上吧，哎，连续都行。所以以前呢，极限跟这个点处的函数值没有关系。只有连续了极限，会等于函数值，那这个时候函数值就跟极限挂钩起来了，能理解吗？以前是极限，跟这个点没有关系，所以说说的都是去心领域，那么今天过程当中连续的话是极限等于函数值，它是可以的。
好，这是我们讲的连续的饱和性，那么接下来我们来看看一个考题吧，先来看看54题这个题。来秒了这个题啊。赶紧看他说这个函数在这个零处啊，是连续的。啊，这个函数在零处连续。连续反应什么？连续反应极限等于函数值，那就说趋向于什么呢？零处的极限。得等于零处的函数值，我想问一个事情，
这个题需不需要分呢？你零的两侧都是它，这个题就不分那不分的话，你就要继续去求极限，你求一下s趋向零的极限。趋向于零不为零，对谁求极限不就是对这个根号下多少一+s- 1，然后这是tant多少2s。加上1e到2 as- 1求极限。那求这个极限的话，我们可以先把这个下面这个部分怎么把这个下面部分等价一下，下面一等价是二分之x能看懂吗？啊，非常快啊，然后这是多少t an ENT 2s，
然后这是e的2 as- 1。怎么做啊，同学们？马上一看，下面是一阶一阶比一阶存在。然后再看哦，一阶比一阶存在。是吧，俩都是一级另一级怎么办？另一级把它拆开。所以说这里面当中啊，这是tant多少二s，这是二分之s，然后这是limit多少s趋向零。然后这是一到二的as减一二分之s。
所以说这个时候啊，你就会发现当s趋向零，其实你能写的贼快，我给你写的慢了啊。你要做早都做完了，然后上面等价多少二s，这是二分之s，然后这是limits趋向零。一亿的框吧。哎，这个部分是框，所以说上面等价无穷，二as二分之s，所以这是四，然后加上多少？
4a好，这个问题那么所以说这个事情它要等于谁呢？它要等于这个点处的函数值是a。对吧，它一定要等于这点函数值a，所以说这个a呀，马上出来a就等于负的三分之四。选几啊，选d。可以了吧？54题这个题。所以这个题的核心考点就是一个事情连续，我现在连续立即反应极限等函数值，这是我们在考试过程当中啊，非常重要的一个问题啊。
基本点过去了，可以吗？来再来看看第二个问题，不连续什么叫不连续呢？不连续就会间断。那么，接下来我们来看看这个点。那么，如果是间断呢？那么，首先第一个问题，你必须要会进行去判断间断点。一定要会判断间断点，那么这要这里面当中就注意一个问题，间断点的分类。
间断点分成第一类间断点和第二类间断点，我们先看第一类，第一类间断点当中包括可去间断点，我们快速复习一下啊，这个内容比较简单。如果是可去间断点，它是什么呢？它就是趋向于这个点，你极限必须是存在的。但是你千万不能等于函数值。是不是这个问题？你极限是存在的，但是你不能等于函数值从图形走向上而言呢，图像上它的表现其实非常明显。这是y，
然后这是零，然后这是s，这是s0，那图像上怎么进行表现呢？它现在比如说这样幅图。那这幅图的极限呢？诶，这幅图的极限就是存在的极限是a，但是函数值绝对不能在这。或者说函数值就没用。就相当于一条线，把一个点挖掉，可去间断点。然后接下来我们再来看看第二件事情，跳跃间断点。
啊，再看跳跃那跳跃间断点怎么判定呢？它其实就是右极限是存在的。左极限呢，也是存在的左右极限都是存在的，但是不相等。所以这个时候的话，它是什么情况？它这半边存在，这半边也存在，你看这半边存在是a这半边存在是b都存在，但不相等。哎，跳跃间断点。然后接下来我们再来看看第二第二件事情，
第二类间断点，那第二类间断点的话，一个事情是无穷间断点，还有一个事情是震荡间断点。什么是无穷间断点呢？只要有一侧。是无穷大就行，所以说这里面当中啊，就说我s趋向s0正或者是什么s趋向s0负。只要有一侧是无穷大，它就是个无穷间断点，你比如说这里面当中，我们来看看这个事。啊，我们来画画。
比如说它的图像是这样。是的吧，只要有一侧是无穷大，它就是个无穷间断点。那如何是震荡间断点呢？他这样说。如果s趋向s0帧。这个极限结果呢，是不唯一的。其实是震荡的，只要有一侧是震荡，它就是震荡间断点。只要有一侧是不唯一，只要有一侧是正当就是正当，间断点能听懂我的意思吗？
这就是间断点的求解和判定。那么，通常而言，我们继续去求间断点会怎么做？那么，接下来我们来梳理一下这个事情。好，我们先来看看第一个问题哎，考点好先看第一个点。嗯，好好听课对吧啊？好，先看第一个事情，那么考研中间断点的求解思路。那么，
请同学们告诉我一件事，求解间断点当中的第一步，干嘛先找函数的无定义点？哎，注意找无定义点，无定义点一定是间断点。为什么呢？无定义点肯定不连续，连续一定是极限等于函数值，你函数值必须存在，你如果这个点的函数值都不存在，你一定不会连续的。一定是间断点，无定义点，一定是间断点，
另外一件事情分段函数。的分段点可能是。间断点注意啊，如果它是分段函数，还得进行去找分段点。分段函数的分段点是可能式。但是无定义点呢，是一定是你就找这两种点，如果它不是分段函数就找无定义点，如果是分段函数，把分段点也进行看看。然后第二步呢？第二步求该点处的极限。啊，该点处的极限并做判定。
所以这其实就是我们的这个操作性的方法，两步走啊。你先进去去找吴丁一点。如果分段函数还得找分段点，然后第二件事情求极限做判定就行，所以这种问题啊，它的核心是干嘛？核心还是在求极限？核心重点还是在求极限来先看第一个题，你选几啊？这个题等会再讲。哎，这个题我们等会儿讲，那因为这个题啊，很有意思啊，
来我们先来这个题也等一会儿，我们先看57题这个题。先看这个题。好，先看这个题。那么这个题怎么做呢？先看57题。这题让我们继续去求，可去间断点。哎，只让去求可取，那么先找无定义点，那么请告诉我无定义点有几个？先找无定义点。有几个人呢？
首先，分母为零的点让这个人等于零。其实就是让里面等于一。里面等于一的话，几处为一二处就能等于一零处也行。零处也是也是一样。还有没有哎，还有。除了这个分母为零的点之外，你还要注意对数的这个部分必须大于零。必须大于零。而你现在是大于等于零，所以说你千万不能为零就一。一就不行，我一定大于零，
你现在是大于等于零，所以说不能为零，因此一不行，好找到这三个人。那么，接下来怎么办？我们就来求极限了，我们就求什么求？三个点处，这个人的极限先来看第一个人。好，我们先进行求limit多少s趋向二。极限是多少？你眼睛漂一下就行了。那上面是二一是零二，
除零是无穷大无穷间断点不算。然后接下来我们继续，我们再看第二个人。第二任的话就是limits趋向几趋向零。零是最难的啊，零是最难的，但是这个零最难的，它也不难。那当s趋向零的时候的话，你发现上面是零。你下面这人呢？ln 1是零零比零型的未定式。但是你要注意啊。这里面当中，你稍微进去去注意一个信息点。
什么叫做x趋向于零啊？x趋向零就是在零的附近。是不是这个事情在零的附近？你在林的附近的话，你减个一呢？如果你这个人减个一，你x- 1这个人其实就趋向多少负一，你就在负一的附近。告诉我负一的附近一定什么零负一的附近一定小于零。所以这个x减一这个人一定是小于零，你既然小于零，它就等于相反数一减x。所以说这个时候啊，马上出来当s趋向于零，然后上面是s下面等价无穷大，
这是负一极限存在，但是不会等于函数值的没有这个。这个人呢？是可去间断点。能听懂我好，这是这个事儿啊，速度一定要上来，然后第三件事情我们继续看。limits趋向减去向移。如果趋向一的时候的话，你发现上面这根极限是多少？上面这人极限是一，你下面呢lu in 0 lu in 0，这个人是无穷大，所以这个结果是零。
你极限是存在的，但不等于函数值仍然是一个可取间断点。因此啊，这个题的正确答案选几啊选c。可以了吧？好这个题啊，正确答案选c。过去了吗？老朋友的体劳。呃，其实这个题你能做的很快哦，来再来看下面这个题。好看一下这个题。呃，这个题啊，
有点骗人的感觉啊，骗人的感觉，那么这个题的话，你想首先第一件事。这个函数可以稍微的进行整理一下。整理一下的话，就是x- 1，这是x+1，然后这是x倍的x- 1。你要注意这个人的上面其实是根号下一+x^2。然后下面是不是根号s方，你一定要注意一个事情，根号s方是绝对值，不是s啊。是绝对值。
有些同学这样做的，他先把这个东西约掉了。他就说这个人的无定义点只有两个，一个是一，一个是零。有些同学更夸张，他把这个东西约掉了，他说无定点，只有一个胡扯。注意找无定义点的时候，千万不等于。那你想想一个事情，第一件事。我问你一算不算无顶点？负一算不算？
零算不算？这都算固定一点。你听懂我的意思吗？这几个人都是无顶点。哎，这仨都是无定义点好，我们先来看看第一个人。让我们进行算谁呢？让我们去算x趋向于一。那趋向于一的话，你发现你看你这是根二，然后这是一非零因子，可以淡化根二。然后这是一非磷因子，可淡化。
趋向于一不为一，这个人不要了。留下这个人，所以说这个极限，结果它是等于二分之根号二，因此是存在的，所以说它是可去间断点。极限存在，但不是等于函数值可去间断点。然后我们再来看看第二个人。哎，跟得上吗？一定要跟上啊，你这个速度一定要上来，然后紧接着就是limits趋向多少趋向负一。
那趋向负一的话，你看非零因子，然后这是根号二非零因子，然后这个东西呢？也是非零因子。负的根儿。然后趋向于负一的话，你发现趋向负一在负一的附近，那这人肯定不要了。所以说这个人结果是几无穷大，下面零是上面是一嘛。那因此这个人是个无穷间断点。然后接下来我们再来看看第三个人趋向于零。雷米塔s趋向零。那趋向零的话，
你发现零的附近这个人不要了。然后这是一非零因子，这是一非零因子，所以说这个题就立即做成这样了。然后这个时候是不是需要进行去分呢？你就要分limits趋向零正，那就是s分之s limits趋向零负，然后是负s分之s。一负一不相等，那既然不相等，这应该是什么间断点？跳跃间断点。所以说这个题啊，立即正确答案选几啊选b。好了，
这是这个题吧，我们就讲到这，其实首先的话，你看你看到三个无定义点，他肯定不会选四。对吧，他肯定不会是四个，我只有三个无定点，我顶多只有三个什么东西啊，哎，只有三个啊，间断点，他不会有四个的。你先把这个人排除。好，
这是这个题吧？能掌握清楚吗？你一定要速战速决啊。你这个操作性得拉满。水平点还是非常重要的。好，掌握清楚给我回复一吧，都是在做极限啊，都是在求极限。好，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下面一个问题，来看看考题三这个人。这里面当中啊，我加了一个考题，
而这种考题啊，也是需要会的，你可能在这个很多书籍当中啊，你碰到过这种题。那么，接下来我们再来看看一种题，叫做利用极限包装的函数。哎，用极限包装的函数那么首先我们先来认识一下这种问题。来，同学们，你告诉我件事啊。如果x趋向于这个极限是多少？这个极限是不一。啊，
是不是啊？就说我对一求极限，就说我对s求极限，结果肯定不能用s。这这这太简单了，就是对谁求极限。结果肯定不能没有谁。这是一定的。那么，另外一件事情的话呢？再来看。那这等于几啊？你对s求极限，这是t吧？你对s求极限，
结果肯定不能有s。你对s求极限的话t是个常数。所以就留下题。因此，这种情况是什么情况呢？我们来看看他非常喜欢包装，比如说这种情况。好，比如说我t一个曲形。然后这里面当中有t也有x。好，我们先看啊，你对t求极限，结果还有t吗？没有s充当常数，
留下了x你告诉我件事，这是不是一个s的函数啊？是不是啊？你对它求极限没有它嘛，留下了ss的函数啊，非常简单啊，来我们继续看。比如说这有n也有SN，趋向无穷大。数列极限。那你想我对n求极限，结果没有n。对吧，没有n。然后对n求极限s是个常数，
留下了x是不是s的函数啊？啊，是不是也是啊？好，这种问题那么接下来我们再来看。比如说这是n这是x如果x一个趋向。我对s求极限，结果肯定没有s。留下了n那这是不是n的一个数列啊？你看，这都是一种包装方法树立。所以你要理解啊，这种东西都是怎么进行去定义的？哎，这种东西啊，
就叫包装。我们喜欢把这东西给包装起来。对吧，把这个函数包装起来，把这个数列包装起来，那么像这种问题，通常怎么做呢？非常简单。第一步怎么办？求极限打开包装。啊，所以说这里面当中的第一步就是求极限打开包装。你去求极限，把这个包装怎么办？给打开。
啊，但是这里面当中啊，你要注意一个问题哎，注意。对谁求极限。对吧，把谁看成常数？嗯，把谁看成常数？就说你是对谁求极限的，你是把谁看成场输？好，这个问题很重要。就说第一步，我一定要进行求极限。
我把这个包装先打开。但是g类目当中要面临两个问题，你对谁求极限呢？所以说求极限呢，看limit。对吧，你要看帽子，帽子下是谁你就对谁求极限，所以一定要注意啊，你帽子下是t对t求极限。你帽子下是n对n求极限，你帽子下是s对s求极限，你对谁求极限？你对这个人求极限，别人都是看成常数。
这是要注意的问题，能听懂吗？所以第一步怎么办？求极限打开这个人的包装。好，这是这个问题。过去了，可以吗？你先求极限，把这个包装你先打开。然后接下来我们就来看看这里面当中的第一个题啊，我们来讲讲这个题，这个题特别经典啊。但是贼简单。会做的同学，
你做的贼快。你不会做同学的，你在这蒙的连答案都没看懂，我们今天讲完这种题已经不在话下了，好，我们来看看这个题。他对谁求极限。他这个人一定是对n求极限。注意啊，我是对n求极限。你在数学当中啊，通常只有一个主角，我对n求极限，那对n求极限的时候应该将什么东西啊？将x视作成常数处理。
这没问题吧？所以我要对n求极限，我把s当做成常数，在求极限的过程当中，当常数你求完了之后啊，它就是s的函数了。所以这里面当中，我们稍微分析一下。你看这个人。你要想做这个题，你必须要知道哪一块的东西啊？你不是要对n求极限吗？你对n求极限，你最重要的问题就是这一块。只有你戴恩了。
别人都没有代n，别人都是常数，所以我只要研究清楚当什么呢？n趋向无穷大的时候。x的2N次方其实就是x平方的N次方，何去何从就行了。我只要能知道这个人何去何从，那这个问题点就非常的简单了。能听懂吧哎，我就觉得这个东西就很简单了。那么，接下来同学们告诉我件事。如果下面这个东西是个常数。哎，下面这个东西是个常数。
上面这个东西在跑，这个东西应该看成什么函数？下面是个常数，我知道这个东西，我们原来在那个每日一记讲过了，有同学没有听，没有关系啊，你就听今天的就行了。如果下面是常数。上面再跑动是不是指数函数指数函数应该是个等比数列？能理解吧，它是个等比数列。很多人看幂函数。可不要这样啊，这这初高中知识点啊。
所以这个部分呢，它的核心考点就是这个人。我要想看n趋向无穷大的时候，你下面是个常数，然后上面这个人跑动，他何去何从的问题。是吧，指数函数等比数列的问题，那这个人何去何从呢？这个题的核心考点就是。指数数列也叫等，比数列等比数列，何去何从的问题。那等比数列的图像按照谁来分呢？你想想指数函数的图像，
按照谁来分？是不按照一来分？如果这个人大于一。对吧，就说q如果是大于一，但是你要注意啊，它只是上面的点。数列嘛q的N次方。原本这条线叫q的x嘛次方，那现在是qn次方，它只是上面的一些点。哎，它是这个情况，然后接下来我们再来看看下一个问题。那如果这个q怎么了？
大于零小于一呢？大于零小于一的话，你比如说q的x次方这个指数函数是这样吧？现在大于零，小于一，如果是上面的点就是竖列，它是这个情况。但是其实啊，你想想。这个q可不可以小于零呢？如果从等比数列的这些人的定义的角度上啊，尤其是指数函数的这种定义的角度上，一般研究的是大于零。但是我想问一下，你这是一个等比数列，
这个人公比能不能小于零？从函数的角度上，当然是不行的。但是从数列的角度上可不可以？可以啊，比如说负二的N次方。你求一的时候就是负二。你求二的时候平方，你求三的时候负二的三次方，你求四的二的四次方，你求五的时候负二的五次方。是不是这个小区？所以有一半在负的二的N次方上，有一半在二的N次方上。是不这个情况，
所以说这个人呢，他是可以的。因此，这个部分的这个图像，它又变成什么情况好？我们接下来看，如果是小于零。小于零的话，它就变成这样。你先看，如果这个q。注意了啊，如果这个q。它是小于负一，如果小于负一的话，
你看它应该是这样上下走。它一会在上面，它一会在下面，它一会在上面，它一会在下面，一会在上面，一会在下面。是不这个情况，如果这个人使大于负一小于零呢？那大于负一小于零的话，它是这样。对吧，如果这是大于负一小于零。他疑惑在上面。他一会在下面，
一会在上面，一会在下面，一会在上面，一会在下面啊，如果你听过美日记啊，这个是我讲过的。但是没有听过，没关系啊，我们今天第一次讲，一点影响都没有。好，这个人就变成这样，然后接下来我们来看看n趋向于正无穷的极限，你发现。第一个n趋向于正无穷的极限是多少无穷大？
第二个人呢？你看这个人趋向无穷大，无论你是正的还是负的，反正你是无穷大，不存在。这没问题吧，然后这幅图的极限呢n趋向无穷，大的时候极限是零。然后这幅图的极限呢，它是零。所以啊，我就明白了诶，我终于明白了。什么情况呢？一个等比数列在正无穷方向，
何去何从呢？如果这个公比的绝对值大于一，都是无穷大。如果公比的绝对值小于一都是零。有些同学说，哎，老师不对呀，你大于零，小于一，大于负，一小于零，你怎么能写绝对值小于一呢？那还有一个q=0呢。等于零没关系嘛，你如果q就是零的话，
那这更是零了。实实在在的零对吧？零的N次方当然是零。有的说老师零的N次方，你不是讲过一些未定式吗？零的多少零的零次方是未定式，但是你注意啊。什么叫未定式啊？未定式是这个东西趋向零，这个东西趋向于零。是一个人趋向于零，一个人趋向于一个人趋向无穷大，这叫什么未定式？它不是以。它是趋向于一，
它不是无穷大，它是趋向无穷大，这才叫未定式。你现在这个零就是实实在在的零，你要注意啊，然后第三件事情q绝对值等于一呢，你得单独讨论。单独分析。好，这是这个事情，能理解吗？好，这就是我们的破题方法，把它给我记到笔记上，你将来这种问题啊，
绝对不在话下。一个等比数，列在正无穷方向上何去何从的问题。一个等比数，列在正无穷方向上何去何从的问题。这个点一定要学会哦。一个等比数，列在正无穷。方向何去何从的问题，大家想想，这又何尝不是那个q呢？是不是那个q啊？所以说接下来我们就直接写答案了。你看一下这个答案，你怎么写第一件事情？
你得这样写，你看做这个题其实非常快啊。这可以考给我们其实做的非常快，第一事情公比的绝对值大于一的时候。然后这个人的N次方就趋向于无穷大，有人说啊，老师，这个绝对值不用加吧，我想让你看的更清晰一点，我才写的。你不要再说这个问题了，这都能看懂。好了，那这个时候这是无穷大，所以说这个函数等于多少？
你下面是无穷大，你上面是一个数s，是个常数，那这个结果就是零。然后再看第二件事情，如果这个公比的绝对值小于一。小于一的时候的话，这个人的N次方呢诶，这个人是趋向于零的。如果趋向零的话，你发现你下面这个结果是一你上面这个人是个常数，所以这个人就是一+s。这常数啊，然后第三件事情当这个x绝对值的这个什么平方的绝对值是等于一。你注意啊，
我再说一遍，等于一这个东西等于多少？这是多少？注意下面不是趋向于一，是等于一一的任何次方数都是等于一，你注意一下这个问题啊。它一定是等于一，它都不是趋向于一了等于一，所以说这个时候这个函数等于多少呢？下面这个结果就是二上面这个结果是一+x。没问题吧，下面是二，上面是一+s。而平方的绝对值等于一，其实里面只有俩人。
对吧，你想平方等于一嘛，只有俩人，一个是一，一个是负一一的时候往里面带是多少一？负一往里面带是几负一往里面带是零。所以说这个函数啊，立即出来了啊，它就马上非常明确了。那我想问一个事，那这个函数你可以稍微写一下，你其实不用写啊，你直接做了。它的意思就是说绝对值平方，绝对值大于就是它大于一对吧？
它大于一是零。小于一是一+s，然后等于一的数是几？一=-1的数，这是零。好，这个情况平方大于一，其实就是s绝对值大于一。平方小于一，其实就是绝对值小于一。好，这个情况。那么，接下来我们来看看，那这题怎么做？
怎么处理啊？求间断点吗？眼睛一瞅，发现图像是不是非常好画呀？图像非常好画，我就画个图是不就出来了？不用求极限哦。你当然可以求极限啊，你去求一的左右的极限，零的左右的极限，如果图像好画，你可以画个图嘛。你画个图，这是负一，这是一两边都是几啊？
两边都是零。然后这个部分呢，是一+x。那这个时候的话，你再来看。负一的时候就是就是零。然后这个点的话，它是二这个点是零，然后一的时候等于一。来看图像间断点是谁啊？很明显间断点不就是一吗？因此这个人的间断点其实就是一。会做这种题了吧？你像这种题啊，今天的作业当中是有这种题的，
你不要说不会做啊，一个等比数列在正无穷方向，何去何从的问题。它是根据着公比来分，公比绝对值大于一，那这人就是无穷大公比绝对值小于一，这个结果就是零，所以这种题非常的简单。就是你有了这个水平，点了之后就会非常简单。你没有这个水平点的话，你看了半天你都做不出来。注意啊，它是按照这个公比的绝对值来分的。大于一无穷，
大小于一，这个结果是零。好了，那么接下来我们再来看一个题吧，来看看前面这个题做一下55题这个题。看一下这个题。看一下这个人。呃，这个题啊，55题。十点钟那个你你要不想听那也行，那个那个是习题课那都无所谓的。好了，我们再来看看这个人吧。它这一题有点骗子，
你看这个人是对谁求极限，你对t求极限没有t留下了xx的函数。是吧，所以说最后而言的话，它就是s函数。是这个东西骗子骗子来看这个题。那首先我们先看你是对谁求极限t求极限。你对t求极限的话，你看s是个常数。s in 0是零，除以一个常数，这是零，那这是一。你下面这人是零，上面是个常数零分之，
它这个人是无穷大。e的无穷大未定式答案等于多少答案等于e的极限符号找超对踢球期间s这个常数。头顶部分要照写d减一s分之sint。是不是这个事情，然后你要注意，你是对t求极限，这个人等价无穷，小t对角线约掉，立即得到多少？e的x能听懂吧，所以你看这个t立即约掉，然后这两个东西啊，你刚好变成x。所以说这个题的图像就是谁e的s，因此这个题选a是不是啊？
选几啊啊？告诉我件事情，选几啊？你发现这是e的s吗？是不选a啊。这个题。死舰火箭的啊啊舰火箭的。你要注意拿到一个函数啊，要看看它的定义域吧。你要注意这个函数是不会为零的。函数不会为零的。注意啊，函数是不会为零的。所以你发现它就没有这个点，因此在这个点处啊，
具有可去间断点。好，这是这个题。这个题就是大骗子题。原本它是连续的，对吧？原本是连续的。然后的话，你发现你看你这个函数是不这个题，其实你发现啊，有一点我们的感觉。对吧，有一点我们的感觉难也不难啊，这哪难了？这几十秒钟时间就能做到这儿。
很快，我们就能坐到这儿。但是你发现它这个x是不为零的，所以你得把这个点给去掉啊，因此这个人是可去间断点。所以你做函做什么东西呢？就说你做这个函数的时候的话，你要稍微注意一下它这个人不为零。好了，这个题啊，我们就讲到这55题。能听懂了吧？好，那么这个点我们就讲到这儿。所以说呃，
看看函数的定义域啊，是一个基本的素养这个题。行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，自己下去过程当中啊，好好进行处理一下吧，那么其实你稍微梳理一下这个今天的部分的内容啊，也不是说特别多。你可能现在解决的东西还挺多，等你回头再看的时候，其实我给你梳理一下，今天讲了哪些问题呢？第一个事情我们讲了一个n项和的问题，我们先上定期分定义，
如果定期分定义能做，我就用定期分定义。定积分定义做不了，我们立即使用加倍准则，这是第一大板块内容，这是我们讲了半天内容，然后紧接着我们又讲了第二个事情。如果是n项积的问题，我们可以怎么办？取对数变成n项和这是第二个问题，然后第三个问题呢？第三个问题点其实就是我们这里面当中的这个什么啊，就是加逼准则的问题，首先讲到加逼准则的内容。然后又讲了一种特殊题型，
这种特殊题型就是很多个人相加开个N次方的题型都放大，留下一个最大。哎，这种题型包括我们讲的这个经验，比如说a的NB的nc的n开N次方极限等于多少，这又是个重点。所以你看这其实占领了我们今天课程的大部分内容，然后紧接着我们又讲了一个事情，我们讲了这里面当中的第一个点，我们讲了可去间断点。跳跃间断点无穷，间断点还有这个震荡间断点，所以我们讲的这个间断点的问题，然后第二件事情又讲了连续性的问题啊，这是这个部分内容。
然后这个呃，明天上午会给你们统计这个发货的地址啊，这个大家也等了好久了。但是你我们第一次发了那么多啊，它肯定是用不完啊。啊，会用不完，所以说呃，不要着急，这这两天我已经催了他们好久了啊呃，明天的话，上午我们会收集这个地址。呃，会够用啊，就是这个电子版的话，
就是我们第一次发的这么多的电子版，用完之前的话，你就能收到这个书。呃，但是的话，这个具体的时间就是。反正就是四号呃，要不然就是五号，这种就四号，五号就是如果五号和六号的话，这两天没有发，就是周一发。哎，刚刚好，所以说你这个你前面这个部分的东西，
你把它先用一下，明天上午的话，我们去统计这个地址好吧？行，那么今天课程呢？我们就讲到这啊，这个第一次部分的东西啊呃，东西的东西呃，内容啊，也不是稍微的比较多一点。第一章的内容我们讲了好久了，你所以下去把它进行去好好处理一下，今天的作业就是一会儿我我们一会儿不是要进行去讲这个第一次作业吗？把这个第一次作业讲完了之后，你会去APP里面进行下，
有第二次作业，把第二次作业全部讲完啊，这个做完就行了。可以吧，刚好是第一章，把这个第一个部分的作业全部讲完，然后的话，这个第一章的话，这个题我们还有一个题没有讲。就是56题，这个题没有讲，能理解吧？这个题没有讲，我们下节课在这个上课之前呢，我们会讲这个问题，
还有59题。因为这里面当中啊，还有几个点，所以下去啊，你好好进行，把它好好看看。行吧，那么这个。这个问题啊，我们就说到这强化是一定要进行预习的。哎，必须要预习我们今天的话，这个上了这么多次课程了，我相信大家已经了解了这个强化部分呃，其实如果你基础打好了。
你再上这个强化，你会非常的舒服。看有些同学我发现是零基础的同学，然后来听你这种状态可不行，你这是非常对自己特别不负责任。行吧，我马上去进行去呃，给你们导这个笔记吧，好呃，那么接下来我说一下下节课的任务。啊，下节课的预习任务。那么，首先第一件事情你要进行预习的是导数的定义。注意啊，
你要预习导数定义，导数定义里面当中啊的东西还挺多的，比如说这里面当中我们有什么呢？我们有计算性定义。比较重要，还有推广定义，你重点去看，一个是计算性定义，还有一个事情是推广定义。推广定义，比如说我们讲一凑结构，二看零，你还记得吗？一凑结构二看零，这是我们很喜欢考的。
非常喜欢考倒数第一，然后第二件事情你再进行去看一个问题啊，你再进行看看，就是连续我都不想说这个问题了存在。可导之间的关系。啊，可导关系，比如说fs在这个点可导，只能推出fs在这点连续，但是还有一件事情就是我们上节课讲的那个问题。什么事情呢？说fs。二阶可导。二阶可导的意思是什么意思啊？就是二阶导数是存在的。
你要注意啊，二阶可导的意思是二阶导数是存在的，应该是一阶导数连续。你注意这句话，很多人说那不是看到可导，应该说fx去可导fx在这点连续。你听得懂我的意思吗？fs去可导fs在这边连续啊，这是这个事，然后第三件事情我们再看。单侧导数定义好了，这是这个问题呃，这是我们下节课的一个重点内容，然后第三件事情。呃，
我们再来进行去，你还要进行去预习这个内容，就是导数的计算第一个事情，复合函数求导这个这个我觉得。呃，问题点不大，然后第二件事情每年必考的隐函数求导，每年必考。那所以这里面当中一元隐函数是什么？对吧？怎么去求导？然后这里面当中你要注意些什么东西？这几个问题比较简单啊。然后第三个第六个事情，还有什么还有这个分段函数求导。
所以在下节课上课之前呢，你把这个东西啊，你好好进行去看看可以吧，哎，把这几个问题你像导数定义啦。对吧，连续这个东西我们已经讲了好多遍了啊，然后的话这个单侧导数定义了，把它看看好了，那么今天课程呢，我们就讲到这哎，等一会我们把这个。可以做的这些题，我们再来勾一下。一定要提前做哦，
来我们接下来看看这个事，有些题你可以提前做一下。呃，这个题可以做60题。61题。62题。63题。64。有失误。66。67。好，这前面吧。呃，能做就做。
哎，能做就做。可以吧，就是第一节的问题，下节课我们的重点，你能做就做了，你提前把它做一下，如果你这个。实在是没有时间呢，你先进行去整理。我觉得我们这个强度还好一点，我们基本上是两天，然后或者三天一次课程，所以我觉得你有足够的时间进行去整理。然后这个预习啊，
你应该是能做的非常的充分。好了，这是这个点吧，所以我觉得这个呃，大家不要太着急，有些同学的这个问题点呢，是这样的一个事情就是。你没有进行去学这个基础。然后就来进行直接进行强化，你发现自己学的非常的辛苦，你听课的话，你就需要两个小时。你整理的时候，你又需要两个多小时，因为你发现你消化的不好啊，
你又得两个多小时，你还要进行做作业。所以你就会觉得啊，每天的话，这个数学时间非常多，但是你把这个基础部分东西，你真的是复盘好了。你虽然这个前期过程当中复盘了很多时间，但是你在这个呃再进行上这个强化课的时候，你有的时候这个时间的话，你就会稍微少很多。你下去整理的时候，你就进行去重点整理自己有问题的点就行好了，那么今天课程呢，我们就讲到这，
自己下去过程当中好好处理嘛，一会十点钟。我们就继续，然后再来继续去讲这个习题课程可以吧？好，那么今天课程呢？我们就讲到这自己下去好好整理整理吧。好呃，晚上你有事儿，你就不用听了，你就听回放就行。呃，然后或者你听你自己有问题的题，如果你有时间呢，你可以来听这个习题的精讲课程好吧，
我们一会儿见吧。
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