06.冲刺满分强化篇·题型9精讲精练-1
好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，清空护肤液好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。好，那么接下来我们就继续开始我们的三九六的暑期强化班的课程呃，在上次过程当中啊，我们其实重点而言呢，讲了一些呃概念性的问题。那么，从这个概念性的问题啊，也是很多同学的痛点，我不知道下去有没有过程当中啊，做一个重点的整理好了，那么接下来我们把这些核心重点的部分内容啊，我们先做一个重点的回顾。呃，因为这些东西啊呃，其实每年过程当中出这种概念性的题，它往往会有一刀，所以像这种问题啊，你还是要把它梳理清楚。好了，那么接下来我们先来看看第一件事情。我们先来看看这个里面当中的第一个问题函数的，这个局部的保护性的问题，
对吧？函数局部保护性，当然我们讲了函数的极限的定义。那这个定义啊，我们就不讲了，对吧？它包括了几个重点内容，比如说函数的极限，结果跟该点处的函数值有没有定义？是多少没有任何关系，然后第二件事情，如果这个极限要想存在，必须要保证在这个趋向下，那这个被求极限函数处处有定义。你像这些重点的内容啊，
我们就讲到这儿，那么接下来我们就正式开始吧呃，注意啊，今天的这个课程呢，我们是。七点钟到九点钟是正课的部分内容，然后是十点钟啊，到我们讲完对吧？到讲完今天晚上是有这个习题课。所以说到时候我们如果你有问题啊，你可以来听，如果你觉得你有事情对吧？没法听，你可以看回放针对自己不会的问题啊，你重点听就行啊。
好了，那么接下来我们就正式开始，我们先来看看这里面当中的第一个问题啊，函数极限的性质当中的局部保护性的问题。那这个保号信啊，包括两个事情，一个事情叫托末保号信，一个事情叫加冒保号信，那托末保号信这个人呢，他只能在家里进行托。你比如说我们这样说的，说如果这里面当中是limit x一个趋向下，比如说这个极限，结果它是大于零的。如果这个极限结果大于零，
我们怎么办呢？你要想脱掉这个帽子，你只能在这样就说x趋向于这个点下。就是这个点的去心领域，只有在这个去心领域内，你才能脱掉这个帽子大于零。那如果小于零呢，也是一样对吧？但是这里面当中要注意一个问题，等于零就不行了，所以我们叫保证好保负号不保零，保证保负不保零。如果这个极限是大于一个数呢？也是这样，大于另外一个极限呢？
也是这样，所以这叫托帽保护型，然后接下来我们再来看看这个加帽保护型。你加冒保护线，这里面当中稍微注意一个问题，他这样说，如果说什么呢？如果在这个趋向下就是这个点的去心领域。那这个fs啊，它一直都是大于零的，而且能保证一个事情这个极限，结果是存在的。那这个时候我们立即说那这个极限，结果呢，是大于等于零，
你要注意啊，有可能等于零，你如果在这个区形领域当中一直都大于零。我最后极限存在我这个极限，结果有可能是等于零，也就说你前面无论是大大于零还是大于等于零。你最后这个极限结果一定是大于等于零好，这个内容我们就讲到这，然后接下来我们再来看看第三件事情，那就是我们数列极限的这个定义。那数列极限定义啊，首先第一件事情你要会写这个定义内容，那首先注意第一个问题，数列极限只有一种去向。那就是这个n1定要趋向于正无穷，
对吧？n1定是趋向无穷大，然后这个SN的这个极限，结果它是个a。那这个定义怎么写的呢？第一句话，无论你有多么的小哎，我们上节课讲的这个定义啊，这个定义非常的重要。你可以怎么去改，对吧？这个东西都是对的，无论你有多么的小，然后说我和他之间的距离比他还小。对吧，
这个东西是可以的，然后这里面当中你发现我把这句话改成什么呢？属于零到一行不行？零到二行不行？零到三行不行？只要能保证非常小就行，然后这个部分也可以改成小于等。啊，这都没有任何问题，然后接下来我们再来看它，说一定会存在一个数。哎，正整数当什么情况呢？当这个n大于这个正整数的时候，有这些人当中，
你也可以改，你可以把这个东西改成什么改成大于等。也是对的哎，所以说这里面当中的东西啊，你可以随便改，你改成这样的东西，它的定义的结果都是一样的。好，这个问题啊，我们就讲到这，我很害怕今年过程当中考这种题。但是如果我们学到现在啊，如果今年考这种题，你立即可以把它选出来了，好了，
这个问题啊，我们就讲到这。然后紧接着我们又讲了一个问题，叫做子数列子数列是什么内容呢？它这样说。如果这个数列的极限，结果谁？所有子数列的这个极限，结果都是a，而且是相等的，那这里面当中有偶子数列，有奇子数列。有3n的情况，3 n+1的情况，3 n+2的情况是吧？
好，这是这个问题，然后接下来我们再来看看这个。极限的静止两个事情，第一个事情局部保号信，这个保号信内容跟这个函数极限的保号信是一样的。如果说什么呢？他这样说，比如说第一个人是脱模饱和性，如果这个人的极限结果是大于零。那怎么说呢？则一定可以推出来，当什么情况n趋向于正无穷的时候，它大于零。那什么叫做n趋向于正无穷呢？
就说存在了一个很大的数，我比你还大的时候对吧？存在一个很大的数，我比你还大的时候，它才大于零。就说后面那些部分是大于零，你前面这些人呢？不知道对吧？这叫脱帽保护性，然后也有加帽保护性，加帽保护性，你稍微注意一下你后面这个东西，带上等号就行。好了，这是这个问题，
然后就是有界性有界性跟函数极限的，这个有界性呢不一样。函数极限有界限，你注意它是局部有界限，但是你发现一个事，如果这个人的极限是存在的。我就可以说明n趋向于无穷大的时候有截，但是前面这些东西呢，它是有限个数，所以说我立即就可以推出来这个数列。一定是有界的。对吧，不需要说那个部分的范围是有界的，是所有部分它都是有界的好了，那么这个问题啊，
我们就讲到这。这就是我们讲的这个数列极限的性质，然后在上节课过程当中，我们还讲了这个数列极限的计算性方法，我们又讲了第一种情况。就说如果你在做数列极限，这个人的通项是已知的，就说我知道这个人的通项，而且这个东西是个未定式极限。你可以怎么办？你可以用连续化处理的方式，你可以用什么东西呢？这个叫或者叫归结原则。归结原理或者叫海涅定理都是可以的，看你怎么说都行，
其实讲的这是一个内容，就是把这个数列极限换成这个函数极限来做。如果这个数列极限，要想洛必达了数列极限，不能洛必达换成函数来做数列极限，只能趋向于正无穷。不能趋向于别的趋向，所以你想变成别的趋向来做了，你把它变成什么函数极限来处理，所以这里面当中的方式就是啊。把这个数列进行。对吧，你有很大的局限性，我把它转成什么，我把它转成函数极限来做，
要注意啊，它们之间的这样的一个关系，把这个东西啊梳理清楚。好了，这就是我们在这个上次过程当中讲解的核心知识点，你下去有没有整理啊？呃，上次是没有作业啊？因为这个部分内容没有讲完，我们今天过程当中会把第一章全部结束，第一章全部结束啊，我们今天会有第二个板块的作业。所以说今天晚上的时候我们去讲这个作业题啊，这个作业题我们只讲上次的部分作业，所以你有任何的问题啊，
你今天晚上过程当中都可以过来听啊。好了，那么接下来我们就正式开始，我们来看看今天的核心重点内容，那么接下来我们来看看第二个考题。那么，刚才过程当中啊，我们讲的是第一个题型，就说如果这里面当中的话，它的通项是已知的。而且是未定式极限，我就可以怎么办？我就可以在这里面当中变成函数极限来做。那么，接下来我们再来看看第二种题型，
就是数列极限当中非常经典的一种情况。n项和是极限。啊n项和是极限，那这个问题啊，非常的重要。什么叫n项和式极限呢？就是这个数列极限，后面有n项求和的问题，那么像这种类型问题怎么去做呢？第一种方法，我们会想到定积分定义。你注意啊，立即会想到定积分第一，我只要见到这个考题是n项和是极限，我首先想到定积分第一。
那么，首先我们先来看看这里面当中的第一个问题呃，那个不用跟啊？B站发的那个东西你不用跟，因为那个那个对我们而言太难了啊，不用去做。好了，那么接下来我们先来看看第一件事情，先想什么定积分定义，所以接下来我们就要来重点进行去复习一下定积分定义。那这个定期分定义啊呃，我们通常喜欢考什么呢？我们通常喜欢考零到一的区间，这个这种情况。对吧，
喜欢考零到一的区间，但是这里面当中是我们基础班讲的，它其实还有很多情况，所以一会儿过程当中啊，我们再来重点讲。那么，首先我们先来看看零到一区间定积分这个东西，来源于一个什么样的背景呢？叫做求解曲边梯形的面积的一个东西。对吧，求解这样的一个东西。假设这里面当中，你发现上面有条曲线fs曲线。我想怎么办呢？我想进行去求解这个部分的什么东西呢？
哎，这个部分的面积。那么，位于x轴上方的这个定积分就是面积，我想求解这个面积怎么去求解呢？我们通常而言是分成四步。对吧，第一步叫什么呢？我无法直接做，所以说这里面当中，我们就把这个部分进行分割。当然，在这里面当中啊，你可以随便分，但是如果进行去做计算题，
一定是等分隔，我就怎么办呢？我就把这个零到一。等分成多少份？等分成n份，所以说如果把这个部分等分成n份，就等分成什么情况呢？我们来看看这个人。立即把这个零到一啊，这个区间部分内容等分成n份，一旦等分成n份，每一份的底端长度是多少？每一份底端长度就出来了，那这个时候的话，你发现每一份的底端长度就是n分之一。
是吧，这是这个情况好，我们先分割分割了之后，然后怎么办呢？我去求出每个条的这个面积。我先取出其中的一个条，假设这个部分是dk分。哎，假设这个东西是dk分，那这个东西是dk分，我先求出这个人面积，那这个面积怎么求呢？底端长度是知道的，那就差高了。那这个高的话，
怎么去求呢？哪些点的函数值是知道的，我们一看诶，你发现一个事儿，这个点的函数值知道。这个点的函数值是多少？而且这个终点的函数值啊，我们也知道对吧？这个右端点的函数值是多少呢？啊，非常简单，你看起点是零跨，一个是n分之一跨，两个是n分之二n分之三n分之四dk分呢，那这个东西就是n分之k。
然后这个部分是多少n分之k减一那其实这个东西的终点呢，你也是知道的，就是两个相加除以二。所以这里面当中啊，我们就可以开始做了。因为这个东西底端非常的小，我就近似可以把这个东西怎么办？把这个东西看成平的，就看成一个矩形条。那这个矩形条的面积怎么求呢？如果这里面当中你使用的是右端点。那右端点怎么求呢？就是用这个点的函数值做高，再乘上什么，再乘上底端长度。
那底乘高就是这个部分面积，当然这里面当中啊，你也可以用左端点，第一个部分是这个人，然后这个左端点其实就是k- 1。对吧n分之k减一这个部分的函数值，当然这里面当中啊，你也可以用中点，那中点的话，这是底。然后这个中点坐标是多少？两个相加除以二两个相加是这个人。然后除以二，所以说就是二n分之二k减一，这个人能理解吧，
那这就是这个黄色条部分的面积。把这个部分面积求出来之后怎么办？我要的是n个部分的面积，对吧？这里面当中有第一个条，第二个条，第三个条，第n个条。你要把所有条的面积怎么办？求和。要加起来，这是所有条部分的面积，因此这里面当中我们就来求个和让这个k从一加到n。让这个k从一加到n，然后让这个k从一加到n，
对吧？这是所有条部分面积，但是所有条部分面积就等于这个曲边梯形面积嘛，那也未必。那这个部分还需要最后一步，必须要分到无限的读。趋极性啊，就说你要保证每一份的底端长度非常的小。对吧，非常小，那最后一件事情，我们就来取个极限，就让这个n趋向无穷大，然后就让这个n。趋向无穷大，
就让这个n趋向无穷大，那这些部分它都表示了，这个部分面积把它叫做零到一的fs定积分。都叫做零到1 fs定积分，都叫做零到1 fs定s。但是通常而言的话，你发现一个事情，我们不喜欢这样写，我们喜欢什么呢？我们通常喜欢把这个n分之一怎么了？把这个n分之一写到前面去。把这个求和符号呢写到后面来。因为这里面当中是对k求和，然后这个n是个常数，所以说我们喜欢把这个n分之一啊放到前面去。
所以说这个时候三剑客就有了。第一剑客，你发现都是一个数列极限。然后紧接着都是一个n分之一，然后紧接着你发现都是一个求和符号，从一到n的求和符号。对吧，这三件课必须要有一个是数列极限。一个是n分之一，一个是求和符号，那这个时候的话，你发现最后一件事，那就剩下谁呢？n分之k。n分之k减一或者是多少二？
n分之二k减一的函数都行。只要是这些人，我们就相当于找到了fs。找到了fs塞到零到一的定积分，里面一积分，那这个东西就出来了。所以说通常做题啊，有三步第一步干嘛叫做第一步先提出来对吧，第一步先写求和。先把这个人写成求和形式，第二步再来提，提出个n分之一，第三步再怎么办？第三步再来找项。所以说这个做题方式就是一和二题三照相啊，
一和二题三照相。你要注意，你要保证前面是一个数列极限，你要保证这个东西是n分之一，保证这个是求和，然后最后这个部分必须是n分之k的函数。或者是n分之k减一的函数，或者是二n分之二k减一的函数，哎，无论是这三个当中的哪一个人都行。只要找到这个人的函数，我就找到了fs，找到fs塞到里面一积分就出来了。好，我们先来看几个题。
呃，接下来我讲这几个题啊，可能我们讲义上没有啊，但是你发现呃这个部分呢，你先进行操作一下好，我们先来看看第一个题。好，先看第一个人。那这个人怎么去处理呢？首先一看诶是一个数列极限。见到数列极限，见到求和形式，先想什么？只要见到数列极限，只要见到求和形式。
先想定几分定义。所以这里面当中啊，我们先进行去上定积分定义。定期分定义第一步干嘛一和，所以说这个人呢，你先把它写成求和形式。那求和非常简单，你看这个人这个人这个人都是多少呢？都是ln 1加上什么？n分之一n分之二n分之三n分之n，那就是n分之k，然后让这个k呢k这个人从一。加到n好了，这是第一件事情，先写求和写完求和了之后的话，
你看前面刚好有n分之一，所以说同学们想想这三剑客有了吗？有数列极限。有n分之一有求和这三剑客都有了，然后再来看看后面这个部分是不是n分之k的函数。它当然是n分之k的函数。那既然这个东西是n分之k的函数，我就找到了fs fs是谁呀？ln一加上s塞到零到一当中一积分出来了。好了，那么接下来我们把这个定积分呢？一算就出来了，你怎么做啊？分步积分法吧，那就是两项相乘。
然后代值减去两项调换位置，再代值，然后这个代值的话，你发现你看调换位置一求导是x+1。你可以做啊，你发现我可以在这里面当中怎么办？加个一减个一，但是这个速度就太慢了，你看我们班的同学的这个水平点非常的好啊。你这样一做，速度就非常慢，那有没有一种非常好的方式呢啊？这样做可以啊，但是有点慢。有更快的方式，
如果在这里面当中补个一呢？我不光瞻钱，我而且还雇后，如果这里面当中补个一了之后的话，这个东西就变成两项相乘。然后带个值，再减去两项调换位置，把x加一跑到前面去，后面一求导，刚好就是x加一分之一。你看这个东西非常的漂亮，所以说这个结果立即出来了，把一带去就是二倍的，ln二把零带去，那这个结果是零。
然后这个部分再减个一本题结束。你看，这是第一个题，对吧？就是一和二题三照相啊，这种题的操作是最菜的。对吧啊，这个题的操作是最菜的，就说你写了求和了之后提了一个n分之一，之后它直接就是一个n分之k的函数，这是最简单的。那么，接下来我们再来看看下一个题来继续吧，看看这个题。你看这个题怎么做？
那这个题的话，我们再来看看哎，你发现哦，注意啊，这个部分敲错了，这是n分之一，不是n方分之一。然后接下来我们再来看你，看这是个n分之一，还是个求和我们再来看题型数列极限。求和形式先想什么？先想定积分定义，你先想定积分定义的话，你看你这是一项。你这是两项，
你这是n- 1项，你看这就不行。我们喜欢的是n项和，但是这个东西只有几项，这个东西只有n- 1项，我怎么办呢？我补一项。所以这里面当中啊，我们有两种方法，我们先看第一种方法。那第一种方法怎么办呢？那就是这是n趋向无穷大，然后这是n分之一，那这个部分的话，你看这是ln一加n分之一。
你咔咔咔一直加到多少？一直加到n分之n减一，我在后面怎么办？我在后面加上一个lin一加n分之n。这是第n项，我加一个这个东西啊，我再减个这个东西是不是减去ln 2啊？刚好是露音儿，然后这样一减的话，你看你这个部分的东西不就变成了刚才那个题了吗？是不这个事情，所以说这个时候它就立即变成什么，它就变成了这样子。诶，你来看看这个事情，
然后这个部分不就变成了刚才那个题了吗？是不是啊？然后后面这个部分还有一个n分之ln二。哎，还有一个n分之ln二，n分之ln二的极限，结果是几是零，见到存在就拆开。啊，有些同学这都看不懂吗？n÷n是一吧。这不就是lowing 2吗？你加个lowing 2，减个lowing 2啊。所以说这个时候你发现你看这个极限，
结果是零不要了。加减法当中见到存在就拆开，所以说这样的话就立即变成了刚才那个题了。能听懂吗？好了，我就不讲了，马上就变成刚才那个题哎，那这个题还有没有别的方法呢？我们继续来看。好，我们再来看看方法二。除了在这里面当中啊，你补后面之外，你还可以在前面补。对吧，
你也可以在前面进行去补。那这是多少？这是n分之一。那这个部分的话，你看这是n分之你比如说这是第n项，那是n减一，那这是一减，这是什么二减一？那在前面补一个多少呢？补一个ln 1+n分之几零？那n分之零这个东西就是零ln一是零，你加上这个东西啊，其实不变对吧？这是无所谓的，然后这是ln多少一加上n分之一。
然后咔咔咔一直加到l多少一加上n分之n减一。是不是这个人呢？好，你就做成这样，一旦做成这样了之后，我们又可以进行一些求和了。好，那么接下来我们继续写，你发现这个人的通项是多少？通项是ln 1+n分之，你看这是n- 1。第一项是一减一，二减一，三减一。n减一你就写k减一，
然后这个k从几呢k从一？到n是不是这个情况，所以说这个时候啊，你发现求和形式也写完了，然后第一个人有数列极限，有n分之一有求和。三剑客都有了，你三剑客都有的话，你再来看看后面这个人，那后面这个人是谁？后面这个人刚好是n分之k减一的函数。那刚好是n分之k减一的函数，我就找到了这个函数，那这个函数是多少？ln一加上s这个人。
塞到零到一的定积分当中，一积分出来了。能听懂吧？好了，这是这个题，所以说刚才那个题考了右端点，然后这个题考了左端点，左端点还没有考过。但难度系数也不大，对吧？右端点左端点我们都会了，那么接下来我们再来看看一个题吧，再来看看这个题。好，继续，
我们再来看这个题。呃，我再说一遍啊，一个题它是什么就是什么。人家是右端点，就是右端点，有人说那右端点能不能凑中点？那我问你个事情，如果一个题的答案等于二，你能不能把它改成一？嗯，好了，那么接下来，我们来看看这个题，那么首先第一件事情，
我们立即看哎，眼睛一瞅，发现一个事情数列极限。然后第二件事情，这个东西啊，是个求和形式。数列极限求和形式，那么首先第一件事情，先想定期分第一，那么先想定期分第一的话，你发现先要进行怎么办？写成求和形式。那求和形式怎么写呢？你先看。那这个东西是n加一分之一n加三分之一n加二n减一分之一。
那第一个人不就是二×1-1嘛，第二人是二×2-1，所以你怎么写啊？你就写n加上多少二k减一分之一。没问题吧，二k减一分之一，然后这个k从几开始呢？一开始，然后到n好，这是这个人先写求和形式。写出求和形式了之后，第二件事情我们再来怎么办？提出这里面当中的n分之一，把这个n分之一立即提出来。那提出来之后的话，
你发现你看这就是一，然后这是多少n分之二k减一分之一？好，做成这样了，然后继续看你看极限符号n分之一求和三剑客都有了，那三剑客都有了，我们再来看看。这个部分后面是不是n分之k的函数呢？是不是啊？不是n分之k的函数，也不是n分之k减一的函数，那是谁呀？啊，这个人是谁？是终点有同学说这就是终点，
这不是啊，你得补个二它才是。能听懂吧，你这样一补的话，它就是多少二n分之二k减一的，这个人的函数，所以说这个时候啊，立即出来了，它的结果等于多少零到一？然后这是一加二s分之一ds。预测题哦。所以去年考了就考了这个点，那今年过程当中人家照样可以出。所以像这个终点这个东西啊，你一定要会好了，
注意啊，这个东西有个二。所以说这个结果马上出来了，你先在后面补个二，前面来个二分之一l多少一加二s，这个人把零和一带去。那带进去了之后的话，我们看第一个人一代ln三把零带ln 1是零，所以说这个题啊，我们立即出来了。好了，那么这个点呢，我们就讲到这，你发现看只要是数列极限，只要具备求和形式，
我先想定积分低。那定积分定义在这里面当中的操作就是三步先写求和形式，再提n分之一，补完这个三剑客了之后，然后到了后面过程当中再看。是不是n分之k的函数？n分之k减一的函数二？n分之二？k减一的函数？好，这是这个题，能听懂吧？那么接下来我们再来看看下面一个问题啊。再提啥因子？这啥名字？
好了n分之一这个人。好了，这个里面当中啊，我们接下来我们就继续，我们再来看看下面一个问题啊，这是第一个点，所以你发现一个第一件事情就是定积分的普通定义。然后接下来我们就继续，我们再来看看一个事情，我们来讲一个预测点啊，再来讲一个预测点。好，那么接下来我们就继续。再来看看一个预测点。考研的过程当中啊，
还没有考过的一个事情，那零到二是什么情况呢？对吧，那如果这个题的话，你发现我们今年过程当中考零到二这个东西，它到底怎么办呢？所以接下来我们一起来看看这个事情。那么这个东西啊，它是个y，然后这是零，然后这个部分呢，它是x啊，上课就好好听。这个你有些的话，你听我的课程呢，
你说别的这个术语，一些老师术语我也没听懂啊，我也不知道你在讲些什么事情。你就好好听这个事情就行好了，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个问题。那如果这个部分的东西，它考零到二怎么办？来，继续吧。那这个东西它考零到二，那这个区间怎么办呢？首先，接下来我们就继续，我们再来看第一件事情干嘛？
你先分割对吧？还是进行分割？那这时候这个分割的东西的话，你发现我怎么去分呢？要注意，我得把它分成2n份。对吧，我把这个零到二区间分成2n分。如果这里面当中分成二n，分了之后每一分的这个底端长度是多少？就是二n分之二，然后就是n分之一。所以说这里面当中啊，我还是进行分割，对吧？
我还是进行分割，我还是把它进行分割。依然分，那就说我在这里面当中把它分成多少份，我把它分成2n份这个东西。那分成2n份，这个东西的话之后我们再来看看这个事情，你发现这个时候的话，我再进行去取出第几份呐？再进行去取出这里面当中的dk分，因为底端长度非常的小，近似可以把上面这个东西啊看成平的。那么看成平的了，之后的话，你发现就得到了这个部分。
能理解吧，我们就得到了这样的一个阴影部分，请注意这个东西是d几分，这个东西是dk分。那这个dk分有哪些点的函数值是知道的呢？我们来观察下，我还是这样哎，这个人的右端点的坐标知道。这个人的左端点的坐标，知道那么请告诉我一件事儿，右端点的坐标是多少？有没有发生改变？你看起点是零过一个n分之一，过两个是n分之二，过三个是n分之三n分之四，
然后这个过k个这个人呢，就是n分之k。然后这是多少n分之k减一？能理解吧好，这是这个事情，其实没有变，终点也没有发生改变，所以接下来我们就来写这个事情，你告诉我dk部分的它的面积怎么写？它的面积非常简单，底端的话，部分长度是这个人。那么是这个人呢？之后的话，你发现再来取一个点的函数值做高，
我就取右端点。能听懂吧哎，我们就进行去取右端点，那么进行取右端点的话就是这个部分的面积，那这个部分的面积我再把所有部分的面积加合起来。分割嘛，近似然后求和那这个时候你要注意这个k就要从一加到多少？就要从一加到2n分，所以说这个东西要加到2n，然后这是所有条部分的面积，再让这个n去。趋向于无穷大。是不这个事情，然后这个部分等于多少呢？这个部分就等于零到2 fxds。
那么，通常我们怎么办？我们通常喜欢把这个n分之一这个东西对吧？第二，剑客把这个第二，剑客喜欢写到这儿来。所以说接下来你会发现一个事情非常的简单，有没有发现三剑客？哎，我们先不这样看我们，就这样来。你盯着这个人走。有没有发现你的做题思路跟原来是一样的，你第一步怎么办？你照样写求和符号对吧？
这是极限，然后的话是n分之一求和，然后照样是n分之k的函数，你只需要保证一个事情，如果这是二n，我就写零到二。如果这是3n，我就写零到三，如果这是多少呢？比如说这是mn，我就写多少零到m？能理解我的意思吗？就说你会发现个事，它这个后面这个东西也没有变，就是找的像仍然是n分之k的函数n分之k减一的函数或者是二n分之二k减一的函数。
就找这个项都没变，他只是怎么办？对老三变了。老三的上限变了，老三的上限的话，你发现是n就是零到一是2n的话就是零到二是3n就是零到三，你看你把这个东西给我记住。能听懂我的意思吗？你作为三九六的同学的话，你必须要速战速决。它只要考什么，你立即出来了。好了，那么接下来我们就来看看这个事情来做一下这个题吧，我来找了一个题。
继续啊，看这个题。你看这个题怎么做？首先我们先来看看第一件事。那么，见到这个数列极限而且具备求和形式。对吧，数列极限求混呃，我先说一个事儿啊，有些同学你不要老是拿来主义。如果你分成n份，每一份当然是n分之二，你可以推一下的啊，非常的简单。所以接下来我们来看看这个题，
那你发现这个东西是数列极限，而且是求和形式，那这个时候怎么办？第一步先写求和式。就是n趋向无穷大，然后这是n分之一，那么写求和式的话，你发现你看都是ln多少一加上n分之几？哎，都是n分之几，你想这是n分之一n分之二n分之二n，那就是n分之k，然后这个k从几啊k？可以从一加到二。是不是这个事情，
然后接下来我们看第一节课，第二节课，第三节课都有，然后这个部分是谁？这个部分是n分之k的函数。定积分定义可以用，然后这个时候的话，它是2n，那就是零到二，然后把它摆成ln多少一+sds。是不这个情况，这个分自己。跟得上我的意思吗？所以说像这个四个题啊，应该是把这个定积分定义能考的这个事情啊，
考满了，那如果今年考的是什么s in？考的是4n考5n，我们都会对吧？不光会零到这个什么一到n或者是一到2n一到3n一到4n，我们都是会的。好了，这个问题啊，我们就讲到这。跟得上我的意思吗？好了，这就是定积分低，它可能会考的点零到一的时候的话，这个部分的话，你发现它什么情况？
零到一的这个部分，它的内容，他就说我们的核心重点是什么？有右端点，有左端点，有中点。然后紧接着的话，我们再来看看第二件事情，那第二件事情的话，其实就是我们如果考零到二零到三零到四，怎么去操作？好了，这是这个问题啊，我们就讲到这。这个同学你没听过基础课吧？
你应该是没有听过。我敢保证你肯定没有听过。你要听的话，你不会是这样的一个情况。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看下面一个问题，我不光考这个东西，你考a到b我都会，我们基础班有没有讲过？我们基础班全讲过。a到b我们都讲过。
所以你会发现，就算它不是从零开始，我们照样会写好了，那么这个问题啊，我们就讲到这。跟得上吧，好这个问题啊，我们就说到这儿，那么接下来我们再来看几个题吧，来看看47题这个题。先来看第一个问题。如果遇到什么极限呢？只要见到数列极限。只要它具备求和形式，第一步先想什么，
第一步先想定积分定义，所以定积分定义的做题啊，其实就是三步。一和二题三照相，所以首先第一件事，我们先怎么办？先把这个人写成求和形式好，这是n分之一，我们写求和。怎么写呢？你发现它变的量是在哪儿？它变的量是在这儿啊？就说这是根号下，然后这是一+cosine多少？n分之多少派？
你看第一个人n分之一派n分之二派n分之三派n分之n派你就写n分之k派。k从几呢？k从一，然后一直加到n这个会写吧哎，从这个第一项开始加一直加到多少第n项？好了，那么这个时候你发现三剑客都有了，有这个极限符号，有这个n分之一，有这个求和符号，然后后面这个部分是谁的函数，这个部分是n分之k的函数。那既然是n分之k的函数，我就写到零到一当中，然后这是根号下一加上多少cos派s？
ds.但是有一个问题啊，你做到这儿了之后啊，这个积分怎么积呢？这个分会记吧。我们原来在讲不定积分的时候，我给你重点讲过这个经验，如果一和3e相碰一和3e相碰，立即怎么办？把这个一写成平方和把这个三写成二倍角，然后写成完全平方式的样子进行开方。如果这点当中是一和cosine相旁，一和cosine相旁立即用二倍角公式干掉那个一，你看这都是经验呐，有些同学没有你没有的话，
这个经验你得补。就说如果一和3e相同，我怎么办？如果一和cos相同，我怎么办？你还记得有一个题吗？我们想问一个题。这个题是个经典题吧？还记得吗？你怎么做的？把这个一把这个人先打成二倍角。然后把这个一写成平方，和你看看这些题都非常的重要啊。然后这个时候立即把它写成多少根号，下sine多少二分之s，
加上cosine二分之s，它的平方ds。有些同学看到这个事情的时候说哇，这个东西好巧妙，你要注意你达到什么能力呢？普普通通。对吧，掀不起内心一丝波澜。你只要是一和三一相碰，一写成平方和三用二倍角打开写成完全平方，然后这个cos和一相碰呢，立即用二倍角公式干掉那个一。这就做题方式好了，那么接下来我们来看看这个题。来操作一下吧。
零到一。用一下二倍角公式，那二倍角公式的话就是二倍的cos 2分之派s的平方。减个一加个一没有了，做成这样，然后这个时候的话，这是零到一，这是根号二，应该是cos 2分之派s的绝对值ds吧？一定要注意啊，这个东西是个绝对值，然后这个时候你要注意x这个范围是零到一没问题吧，然后二分之派这个x就是零到二分之派。零到二分之派cos这个人是正的，所以说这个绝对值还要不要？
不要了，所以这个人呢就是这样，那这个时候这个分就非常简单了。根号二，抛物线，然后在后面补个二分之派，前面来个派分之2 cosine的积分呢？是s in这个人。把零和一啊带进去，所以说这是根号二，然后这是派分之2s in 2分之派啊，这个结果是1s in 0呢是零。所以说这个结果是派分之二倍的根号二。答案选，几啊选c。
所以有些同学做这个题很可惜啊，他已经做到定积分了，但是非常尴尬的一个事情就是这个定积分怎么积呢？他不会记录。那这就有点尴尬了，所以强化班你要先进行去整理哦。你不光说我会列式子，那这个定积分也要会记好，那么这个题我们就讲到这好，这是47题来，接下来继续吧，我们再来看看下面一个题。48题。好，再看这个题。
呃，这个题等会儿啊，这块儿好像少敲了一个ling。你稍微加一下啊，这块少敲了一个lowing啊，那么接下来我们再来看看第50题这个题。先讲50题，你稍微等一会，我们一会把这所有的问题啊，我们都会讲完。好，再来看看50题50题这个题啊，它就比较简单了。哎，那这个题怎么办呢？
他考的是一个什么点呢？那么，接下来我们来看看。这一类目当中是数列极限。而且具备求和形式。啊n项和是极限，那我们想数列极限的这个呃，这个定积分的定义，那这人是一二三。哦，三剑客都有，那三剑客都有的话，你发现你看这个人。这个人刚好是多少？刚好是n分之k减一的函数。
是不是啊？刚好是n分之k减一的函数。那所以说这个结果直接就等于多少零到一，然后把这个n分之k减一改成s sin多少？派s分之一ds。好，那这个人呢？就立即变成这样，但这个题还有一个点，就是这个分怎么记啊？啊，这个分怎么做？我发现有些同学这个不定积分给忘完了啊。我们看看怎么做，你还记得这个分吗？
这个分还记得怎么做吗？那么，第一种方法的话，当然是怎么办？用二倍角公式干掉这个一。用二倍角公式干掉这个一诶，能理解吧？用二倍角公式干掉这个一就出来了。然后第二种方法怎么办？第二种方法我们有一个原则。三角不等式啊，这个什么三角函数的这个不定积分有个原则，喜欢头重脚轻。刚才这是第一种方法。然后还有一种方法怎么办？
你就给它的上下同时乘上一减cos in，那这个部分就变成了s in方。立即破题。对吧，这个方法也可以，所以说有两件事情，第一件事情用二倍角公式干掉这个一，第二件事情给它上下，同时乘上一减cos。立即变成头重脚轻就出来了，往下除除下去就出来了。那么，还有一种方法怎么办呢？你可以使用万能公式。万能代换啊，
万能代换，你注意这个万能代换的话，是我们在这个基础班呢，我们专门有一节习题课，是不是专门讲了？这三种方法都行，但是注意啊，前两种方法会更直接一点。当然，这两种方法可能会更好一点，那么接下来你看，这是第一种题。那如果碰到多少呢？这是一+s in怎么做？那这个时候这个s in是没法干掉这个一的，
我怎么办呢？那非常简单，我就给它上下怎么办？同时乘上一减s in。因此这个问题啊，它就立即出来了，那这是零到一我就给你上下同时乘上一减s in派x。一减s in派s的话，这是一减，然后的话，这是一加，然后这个部分的平方，这是ds一减s in方，那这个东西就是多少？就是cos派。
好这个人，然后这里面当中的第一项变成多少？那cosine分之一变成second，second这个人的平方。然后再减去让s in除上cosine，这是tangent。然后这个cos分之一呢，又是一个second，你看就变成了这个样子。能理解吧好，我们先来看看第一个人积分，它的积分是多少？这个人积分是不是先在后面补个派派分之一？tangent的导函数是它，它的积分是tangent pass，
把零和一带去，然后接下来我们就继续，我们再来看。那就该这个人了。那这个人的话，你发现他积分结果是多少？那这个积分结果刚好是second先补个派，前面派分之1 second派s把零和一带去。是不是这个情况好了，那么接下来我们就可以直接做了，你先看第一个人。它这里派是多少？那tangent这个人是这样。对吧，派这个结果是几是呃零零处也是零，
然后这是派分之一。然后就是一个second题，你要注意second题派x，它应该等于cos派x分之一。然后这个如果把一带进去呢，那这个人是负一把零带进去呢，这个人是一，所以说这个结果等于多少派分之二？好，这个题啊，我觉得呃，除了这个列式子很重要，这个积分呢也很重要，你看这个题的出题点呢？方向非常明显，
我在出的时候我就想打一个点，因为右端点。终点那其实你发现都是常见的，但是左端点不常见，所以我们就考了一个这个定义，然后第二件事情的话就是把这个式子列出来之后啊，这个定积分的这个计算。你要稍微进行去复习一下，你像这两种常见的，这种不定积分的这个东西啊，还非常重要。好了，这个事情我们就讲到这。好了，这是这样的一个问题吧，
我们就说到这，你自己下去好好想想呃，另外一件事情，既然谈到这事儿了，我就想多说一点啊，多说一点。我觉得这个不定积分的这个运算吧，我们原来做那100道不定积分的打卡题，我不知道同学们还记得多少，对吧？这种运算能力啊，你当时练完了之后，你的水平点应该是很高的。结果你发现，随着这个时间的变长，
你把它放上两个周，你把它放上一个月，那很多东西的话，你基本上就忘完了。所以说注意啊呃，最近一段时间你可以这样。你可以组一个小组，对吧？你们自己组啊，这个东西我不管啊，组一个小组，我这个小组还是？挺有用的啊，挺有用，因为每年的话，
我们这个呃在这个上数学课程的同学，然后组织那个小组。其实我发现最后的成绩都还挺好。呃，第一个是那个叫做我记得是。二级啊。二一吧，二一考研的时候有他们组的一个小组，叫什么叫国测组那个小组非常的辉煌。好像有13个同学。12个同学都上岸了。还有一个同学的话，其实也能上岸，但是他觉得他能考的更好，所以呢，
他这个又二战了一年。啊，这是那年，然后又有一年的话，他们组这个名儿叫啥叫啥，文文组啊，那个小组考的也很好。然后这个到了这个去年去年也考的很好，这个前两天的话，有些同学可能刷那个小红书，应该是看到了。然后有一个那个有一个群，他们专门等那个录取通知书。他们小组有11个人。然后他们凑了一个九宫格的这个通知书，
然后发给我呃，我觉得还是挺有感触的。所以我觉得是这样的一个情况，就是你人不用再太多，就基本上什么样的情况呢，就说呃，自己每天布置一下。你想不定积分每天如果是五到十道。这个东西的话，你每天练其实都不影响，而且不耽误你主要的时间，我说一下这个事情，每天是五到十道。每天五到十道好好你你下去，你自己再说啊，
你自己找几个你的好朋友一块来就行了。啊呃，五道十道，你不用太多，你不要说我一天刷个40多道，那太多了。一天刷个50多道太多了。对吧，每天就是五到十刀，你基本上如果是每天十刀。十天就是100道题，一个月可以过三遍。如果你每天是五刀，那基本上是20天能走一轮。那40天两个月可以走两轮，
你在考前过程当中再走两轮，这个不定积分能力一定没有问题，而且这个东西啊，不会占领你主要的时间。所以我觉得这个呃部分东西啊，还是挺重要，所以我今天我专门提个醒儿，你比如说有些同学，你想想你的积分表还记得吗？有些同学估计都忘完了。你积分表都不记得了，你怎么进行去做不定积分的题啊？对吧？积分表而且常见的这些不定积分的这个啊计算。你常规的这些题，
你一定要会算的，你不光要会算，而且你要算的非常的快，你算的非常的准，而且算的非常的狠。好了，这些事情我们就不讲了，好那么接下来继续吧啊。呃，这是我们讲的这个50题，这个题，所以我觉得这个题啊，也是有感而发啊，因为你发现很多同学这个不定积分，他积不出来了，
这个问题点很大。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看下一个题，51题这个题。来再看这个题。看这个题怎么做？来继续看那么首先先看第一件事。你发现这是一个什么？这是一个数列极限。而且具备什么形式啊？具备求和形式。数列极限求和形式，我可以首先想到什么？我可以首先想到定积分定义。
对吧，利用定积分定义求解这个人极限，那定积分定义的第一步怎么办？先写求和形式好，我们先来写求和。n趋向无穷，大如果你写求和的话，你发现看这是n方，加上2 n- 1，你看。二×1-1，二×2-1，所以说这个部分的话应该是变动的，是这个部分你就写多少2k-1？没问题吧，
这一块东西是变动的。然后上面这个部分呢，也是一个2 k- 1。所以说这个时候啊，我们再来进行区k从几呢从一刚好打完。好，这是这个人，然后接下来我们就继续，我们再看诶第一件事情写成求和第二步要拎出一个n分之一来。拎出一个n分之一来的话，那这个时候呢？那这个部分就变成了n，然后这个部分就变成多少？这个部分就变成了n分之二k减一。然后上面这个部分呢，
也是个2 k- 1。是不是这个情况诶？那这个东西它也变成2 k- 1，那这个时候我的问题点就来了。那么，请同学们告诉我，你发现问题点来了，这后面这个东西是我们要找的，那三个人的函数吗？是n分之k的函数吗？是n分之k减一的函数吗？是二n分之二k减一的函数吗？同学们告诉我是还是不是啊？很多人说是说我在上下同时怎么办？我在这补个二，
但是你看你这个人不是啊。大家注意，它就不是这个人的函数了，如果这个时候它不是这些人的函数的时候怎么办哎，就说明了定积分定义怎么了？失效了。那如果在考场过程当中定级分定义立即失效怎么办？马上转战一个事情，立即使用加逼准则。这就是我们的方法体系。能听懂我的意思吗？所以说这个操作性就非常的清楚，有些同学可能看到一些这个书籍，说如果次方数是这种情况，我们使用加b。
是那种情况，使用定积分定义，但是你要注意，如果在考场过程当中，定积分定义是首选，有同学说那这个题，我一看加b。不要马后炮啊，不用马后炮，那如果是刚才这个题，你为什么不定积分定义啊？不不什么加币准则呢？所以注意这个事情，梳理一下这个体系，两个事情，
第一件事情，如果遇到n项合适基金。遇到n项合适期限先上定积分定义，如果定积分定义能用，我就用，如果定积分定义用不了怎么办？用不了立即转账。加倍准则。所以这个操作性的方式啊，立即出来了，你听懂我的意思吗？把这个体系建立起来啊，就说定积分定义，能用我就用，如果定积分定义用不了，
我立即转战加倍准则。好了，我们来看看这个题。那加b准则，这个人呢？呃，最常规的加b方法是什么？那么，首先你可以看一下这个分子，那么加b准则常规的放缩方法就是放缩分母，让分子可加。还记得吗？你把这个部分叫做UN行不行？啊，这个人叫做尤文。
那这个时候我眼睛一瞅，发现分母这个东西是二次方。然后这个分子呢？分子这个东西如果能加就是一+3+5，一直加到多少2 n- 1？等差数列吧，等差数列就是首项，加上末项2n。乘以项数是多少？你看首项加上末项有多少项，刚好有n项，然后除以二这个部分是n方哦，非常漂亮。原来这个分子这个东西相加就是个n方，那这个人我就可以放锁了，
我怎么办？把这个东西的下面全部。全部都变成多少n方加一。下面这东西变小了，然后上面这东西就变大啊，这个结果就变大了，然后这个东西一直加到这个人，那这个部分就变成了n方加一分之。n方，然后接下来我们再来看看下面的事情啊，你都不用进行去看什么次要项的这个问题了，那今天就是个体系。如果是n项合适期间能用定期分地用定期分地，如果用不了定期分地立即转战加币准则能听懂吧，然后我们再来看这个人。
把这个东西怎么办？下面这人变大一点，结果就变小一点，然后这个东西是一+3，一直加到多少2 n- 1这个人。那这个部分立即变成了n方2 n- 1，这是n方，那这时候你看这个人呢？极限是一，这人呢？极限也是一。放大和缩小的极限，结果都是一一加，这个结果就是一。好，
注意体系。注意这个体系，所以这个体系的话，你把它梳理清楚了之后，你会学的非常的轻松。就是n项和是极限。先上定几分定义，定几分定义，能用我就用，用不了立即转战加币准则好了，那么接下来我们就继续啊，我们再来看一个题，来看看这个题。这个题啊，可非常的经典。
啊，这个题。先来试一下吧，好，我们先来分析一下。首先，我们先看第一件事情，这是一个数列极限吧。而且它具备什么形式啊？具备求和形式，那具备求和形式第一步干嘛？第一步先想定积分定义。啊，先想定积分定义，那先想定积分定义的话，
你先试一下，第一步先写求和式。那求和式的话，这个人怎么写呢？你发现这是n加一分之一n加二分之一n加三分之一，你就写n加k分之一。然后这时候是sinn分之一派，sinn分之二派，sinn分之三派，sinn分之n派，你就写s in。s in多少n分之k派。然后这个时候的这个k从几呢？从一加到n没有问题吧？你注意它变化的是在这儿嘛。
一分之一二分之一三分之一n分之一，你就写k分之一，从一到n嘛。然后上面这个东西也变化，然后第二件事情干嘛？第二件事情我再来提出一个n分之一，我提出这个n分之一了之后的话，你看。这人是一，你注意啊，你提个n这个人是nk分之一，不是n分之k哦。是nk分之一，然后上面这人呢？是sinn分之k派。
是不是这个情况好了，那么这个时候你发现一剑客两剑客三剑客三剑客都具备了之后，我们来看看第三个人。请同学们告诉我，它是n分之k的函数吗？啊，是不是啊？哎，结果发现一个事情，它不是了。对吧，这个东西它就不是n分之k的函数了，所以这个时候我就可以立即说明定积分定义怎么了，定积分定义是。失效了，
那如果定积分定义失效了，我就会立即转战什么，立即转战加比准则这个部分内容。是吧，我就立即转战加密准则，所以接下来我们来看看这个事情怎么加呢？在加b之前呢，我们再来分析一下，大家来好好看看。你发现没有？加逼准则肯定是放缩。你有没有发现一个事情？这个尾缀已经很像n分之k的函数了吧？你发现没？它已经非常像n分之k的函数了。
但是很可惜它不是。不是的，原因在何处呢？不是的，原因都是因为这个人。都怪你对吧，就是因为你。就是因为你导致了我不是n分之k的函数，那我怎么办呢？哎，你不是要放缩吗？我就这样。这是UN呐，我就把这个东西啊，给不要了。
也就说我把这些东西都不要了。那请同学们告诉我，如果下面这东西不要了，变小了，结果变什么结果这个人变大了，那结果这人变大了的话，他就变成多少？n分之s in多少？n分之派，然后一直加到sinn分之n派。是不是这个情况好了，转成成这样，那转成这样了之后的话，你看我立即写，这就是n分之一，
然后这是k从一到n。s in多少n分之k派哎，那这个数我知道一件事，你看看这个人的极限是多少？如果给这个人进行求极限，他的极限结果是零到1s in派sds。而且定积分是个数放大的极限是存在的。但你能说这个极限，结果就是它吗？不能，你还得缩小。注意啊，放大还不行，你还得缩小，所以接下来过程当中，
我们就继续再来把这个东西啊缩小一下。对吧，我们还得缩小，你注意啊，结果可不一定是它。放大和缩小这个极限，结果是统一的才可以。所以接下来我们怎么缩小呢？非常的简单，把下面变大一点，结果不就变小吗？我把下面这些东西都变成了n+1。下面变大，结果就变小了，然后上面这东西啊，
它就可以进行加起来了。n分之n派，所以说这个时候啊，马上这东西就可以了。立即就变成多少n加一分之一，然后这是k从一到ns in多少n分之k派。但是这个人的极限的话，你发现还是不行呐，好，那么接下来我们来看看这个极限跟上面长的不一样啊，没有关系，同学们告诉我。你这个部分你非常想要谁啊？缺了谁？缺了第二个人。
你缺了一个n分之一，你缺了一个n分之一，你就在下面补一个n上面来一个n，你上面来一个n，你告诉我一件事儿，这个极限是几？那这个极限是一这个极限是一就是非零因子就可以抛出去了，你抛出去了之后的话，你看这个人不就又是这个人漂亮。马上出来了，哎，这个东西不就是定积分定义吗？s in多少派xd x？放大的极限是这个定几分缩小的极限，结果是定几分，
所以说这个人的极限结果就是这个定几分。因此啊，原式这个结果它就会等于s in多少派xd x。所以说学完了，这个今天部分内容，我们所有的这个体系啊，就出来了，你看第一件事情。对吧，第一件事如果能用定积分定义，我就用定积分定义。如果用不了定积分定义转战加倍准则，然后第三件事情还可以怎么办？定积分定义和加倍准则双重作用结果的题。你看这个人非常非常的强。
能听懂我的意思吗？啊，有些同学直接给里面先算极限了，你别胡扯啊。那可不行，好了，这是这个问题啊，所以说你下去过程当中，你好好想想这个问题，那么所以这个积分结果是多少补一个派？前面来个派分之一负的cos派x0和一，然后这是负的派分之一。cos派是负一。cosine 0呢是一，因此这个结果派分之二。
好，这是这个点呢，我们就讲到这。呃，有些同学不是在做题，你是胡乱来呢？不要胡来啊。不要胡来，千万别胡做题。好了，这个事情我们就讲到这，你看有同学说感觉两分钟做不完，绰绰有余。你只不过今天过程当中是第一次见。你下次过程当中再见到这种题啊，
就非常的简单了。啊，你下次过程当中再见到这种题啊，就非常非常简单了。比如说我们在这里面当中，我再来一道。嗯。好了，那么接下来我们就继续，我们再来看。呃，大家少看点儿这种这种这种话会对你的学习有误导的。少看啊，少看。纯属胡来呢。
嘉宾准则都求一半了。你敢保证这个题一定是加比准则吗？你求一半。照你那样做任何极限，我都不用做了，任何极限都是无穷大，我就做一半啊，我把每个人放到正无穷结束了。不要乱来啊，不要乱来，别胡来啊。来，我们来看看这个题。你看这个题。所以说你将来过程当中，
你再见到这种题的时候，你会发现非常简单。你看这个人，我是不是先想什么？我先想定几分之一，所以说它是n加k分之一二的多少n分之k？k从一到n。大家想想已经非常像定积分定义，但是它不是不是的原因都在哪儿？不是的原因都在这儿。所以说怎么办呢？我就把这个东西啊放掉，不要了。我就把这些东西不要了，把这东西不要的话，
我把这个整体叫UN。下面变小了，结果变大了，所以说这个东西就是n，然后这是二的n分之一，一直加到二的n分之n。所以说这个东西就是n分之一，然后这是k从一到n二的n分之k。定积分定义吧，然后接下来怎么办呢？你发现你还要把它缩小，把下面变大就变小，下面怎么变大呢？都写成n加一，然后这是n分之一。
咔咔咔，一直加到n分之n。所以说这个人呐，马上前面是n分之一，然后这是k从一到n二的n分之k补n分之一来个n这是一，所以就出来了。所以你看你的这个水平点会越来越高，就说你原来过程当中做的时候，你觉得哎呀，这个东西怎么那么难？你多看几遍就行了。你多看几遍就行了，绝对是两分钟能处理的题啊。跟得上吗？你求极限的时候，
这个极限是一吗？你不就只需要求这个极限就行了吗？会做吧，你看这个速度就上来了。所以你会发现你这个操作性呢，水平点会越来越高啊，这个点。可以了吗？捋清楚了吗？所以说在这里面当中啊，我们做一个重点的总结。如果是n项合适期间先上定积分第一什么零到一的左端点，右端点中点呢？什么零到二区间，零到三区间，
零到十区间，我们都会做，所以说定积分定义的普通题，我们肯定会。好，这是第一种题，如果定积分定义的题，他做不了，立即转战加倍准则。那么，还有一种题就是加宾准则和定期分析双重作用结果的题，所以说你今天晚上你把这几个点掌握清楚。哦，对吧，我们怒拿两分。
啊，这个这个分数肯定是拿到了，就今年考这个东西啊，它怎么考都考不倒我们？这种点我们肯定是拿到了啊。这不就是这样吗？又说那我不要了，你要是学三九六，你老是这种感觉。那没法学了啊。好了，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个问题啊。n相机的问题。能拿下来吧。
好n项核心啊，合适问题来，那么接下来我们再来看看下一个点n项积问题。那如果这里面当中，你看。你做这个极限。比如说我做这个极限，这是n趋向无穷，大是第一项乘以第二项乘以第n项怎么办？那如果这些东西的话，你发现是n相机。我们怎么处理啊？那n相机这个东西我喜欢n相机吗？我不喜欢。我喜欢的是n项和。
谁能把乘法变成什么？变成这个加法呢？诶，对数函数就可以。所以这里面当中怎么办呢？我就取个一，我再取个对数。a1×a二一直乘到an。好，这个情况。那这个时候的话，你发现我们继续看。你做一亿一个人的极限，上面是一一的一，上面是二一到二，
你做一个人的极限不就只需要做头顶上的极限吗？然后这个时候它就变成多少变成lna 1+lna二，然后一直加l nan。哎，那这个时候的话，立即就变成什么，立即就变成了n项和是极限，所以说像这种问题怎么做呢？哎，当然非常简单。立即怎么办？立即取对数。所以做题方式就是取对数，然后把它变成n项和式问题。n项和式问题又是类型二了，
类型二我们当然会做啊。所以问题点一点都不大。好跟得上吗？所以说它的结果就等于e的这个取对数了之后的极限。那么，接下来我们来看一个题吧，来看看这个题。好，先看这个题。你看这个题怎么做？呃，这个题啊，我们先讲吧，先讲这个题。这是个模拟题啊。
当然的话，跟刚才那个前面一个题很像，你先不要管这个事，我们先看这个题。那这个题我一看你发现看一个人乘一个人乘一个人，好多个人相乘。好些个人相承。那这么多人相乘，我是不喜欢的，而且这里面当中是开了n分之一次方，我也不喜欢。那同学们想想，谁能把开方数把乘法给干掉？对数函数，所以这里面当中啊，
我们就来进行去取，对数一步写到位啊，来原是这个人等于。一等，然后的话，这个极限。哎，取对数了之后的极限。能听懂吗？啊，就说一的取对数之后的极限，那其实就是一加n分之一乘以一加n分之二。然后一直乘一一，加上n分之一，然后这人的n分之一次方没问题吧？
好了，那么这个结果的话马上就出来。这是n趋向无穷大，那这个n分之一是不是可以抛出去了来？里面这个人那这个对数的话，这个乘法就变成。撸你加上撸你。然后一直加到多少ln一加n分之n，你看这个题，这个题不就一下子就变成了我们刚才那个题吗？所以今天晚上一直在围绕这个事情在转，那这时候怎么做呢？遇到n项和是极限，先想定几分低，那所以说首先第一件事儿求和。
ln多少一加上这个人在动n分之kk，从一动到n好定积分定义，然后这个时候你看。来三剑客一剑客两剑客三剑客都具备了，然后后面这个东西是n分之k的函数，立即把它写成多少零到一ln一加sds。是不出来了，刚才这个分我记过了啊，我不算了，可以吧？这个分还记得吗？等于二倍的罗云二再减几减一。还记得这个分吗？好了，这个分这个分稍微的进行去整理一下，
二倍的ln 2，然后再乘上e的负一次方。然后我一步都不跳哦，然后这个二上去，然后是e的负一次方约掉，也就是四倍的e的负一次方。能理解吗？有些人说在这里面当中说啊，老师，我需不需要化简？我不化简行不行？万一我们考的选择题的答案是这个人。你写的是这个人，你找不到答案怎么办？所以一定要学会着这个东西的化简好这个题啊，
立即出来了。可以了吧好，你看n相机问题。那所以说如果遇到是n项和问题，我会处理，如果遇到是n项积问题，我怎么办？我取个一我取个对数立即出来。所以前面的话，那个里面当中有个48题，我们再来看看这个题目。那这个题就不讲了，可以吗？算了吧，还是说一下吧。
你还记得这个题吗？那这个题的话，你发现把这个什么情况？无穷小能算出来吗？这是一个强化班，选手能问得出来的问题啊。哎呀，有的时候吧。气着气着你就没脾气了啊。无穷小的极限都是零，不用算啊，不用算。啊，不要算不要算无穷小的极限都是零。好了，
那么接下来我们来看看这个事情吧，来看这个人，那这个时候你发现你看你把这个什么这个极限，那其实就是limit n趋向无穷大。你把n分之一抽出去。然后后面这个东西是求和k从一到nln多少一加n分之k，这个人有人说老师你怎么做这么快？刚做过了。你不要说你看不懂，你看不懂，说明刚才那个题就没有听啊，这是一样的题，所以说这个人就等于多少零到1l多少呢？一+sds的定积分。好，
这是这个人。那这个定积分呢？呃诶，前面是多少？这还有个二对吧？哦，这个题还不一样，不一样不一样，我还是稍微讲讲啊。啊，不一样，取了对数的话，他是这个人。算了，这个题还是讲讲，
这是这个人，然后这是罗英，这里面是多少一加n分之一？它的平方一加n分之二，它的平方，然后这是一加n分之n，它的平方，然后这个人的n分之一次方把二次方抽出去。那抽出去了之后的话，你发现这是n趋向多少无穷大，然后把这个n分之二抽出去。抽出去了之后的话，你看。对数吧乘法就变成加法，乘法变成加法ln多少一加n分之n。
好这个人，所以说这个时候啊，你把二抽出去，那就是limit n趋向无穷大，这是n分之一跟得上吗？k从一到nln多少一加n分之k应该没问题啊，讲了半天这个题了，那所以说这个结果等于二倍的零到一。罗印多少一+sds。好了，我们来看看这个事情，选哪个答案呢？那这个时候的话，你看这个答案的话，它都没有零到一，
你看这个人肯定错了。因为这个零到一差了一个二倍。但是都没有零到一，都是一到二。都是一到二，怎么办？我怎么才能变成一到二令一+s=t换个圆，然后这是零呢零的时候的话t是一。然后s是一呢，整式2 lnt，然后再dt，而且我们再来一句话，你这是一到二，然后这是二倍的。积分与变量字母的选取无关好，
变成这个人。那如果这里面当中，你去选一下正确答案，选几啊选b啊？选b哦。有人说那那a我感觉也对呀a不对啊a不对哦。你注意这个问题，ln x平方的意思是ln x这个人的平方。跟ln这个人平方不一样，你这个人的话，他等于二倍的ln x诶，其实要加绝对值。如果x是大于零，你就直接使这个。能听懂吗？
哦，注意啊，如果s大于零的话，你看你就直接提出去。如果这个东西的话，一般要加绝对值。你所以说你看你这a不对呀。那c也不对呀d也不对呀。好，这个题啊，正确答案选几啊选b。好，能看清楚吧？好了，像刚才这一问题啊，
我们在今年考研过程当中肯定是会有一道题的。啊，这种题的话，你稍微注意一下这种n项和n项积的问题，所以说学了这么半天呢，真的是怒拿两分啊。好了，那么这个问题啊，我们就讲到这，那么接下来我们就继续啊，我们再来看看下面一个问题，加倍准则。再来看下面一个点加v准则。那加b准则啊，首先我们先来看看第一个问题点啊，
加b准则的基本内容。啊，基本内容。那加倍准则，这里面当中啊，基本内容是怎么说的呢？他这样说的，他说如果呀。你SN这个人。他能被这两个人夹住。当然这个东西啊，加注我们都知道极限，只跟后面这些人有关，其实你不需要，每一项都被加注，
你只需要非常大的时候被加注就行。对吧，你只需要非常呃大的时候被夹住，然后他说第一件事情被夹住，第二件事情说。两边极限存在。且相等两边极限存在。且相等，然后这个时候啊，我就立即可以说什么，我立即可以说明中间的极限也是它。n趋向无穷大SN的极限也是它。所以说这个问题点的话，它是什么情况？就说两边极限存在且相等。
对吧，两边极限存在且相等，但是这里面当中一个问题点，你怎么加这是无所谓的。对吧，你爱怎么加怎么加，这个基础班的基本知识点，你怎么加都行，只要你能把它加住。两边极限存在，且相等中间极限一定存在。注意这个问题啊，两边极限存在，且相等中间呃，我再说一遍啊，
有些同学就没有听过基础课，我都不知道你怎么能听这个强化课？你着什么急，对吧？你考三九六的话，你发现时间是非常足够的。你这一点基础都没有，你说这个强化课你怎么听的？听了这么久，你每次问的那种问题呀？你要稍微把那个基础看，你都不会有这种问题啊。好了，那么接下来我们继续吧，我们再来看看这个点。
所以第一件事情就是两边极限存在，且相等推中间极限存在。对吧，这是这个问题，而且我们在基础班过程当中，我们还讲过一个事情。有一个题说已知什么东西呢？好，我们先看看这个事。说如果的话，已知这个xn这个人呐，他被加入。对吧，然后就说一个事情则。则什么呢？
这是n趋向无穷大，然后这个zn-yn的极限是零。是什么东西呢？是limit n趋向无穷大xn的这个极限存在。的什么条件？啊，什么条件好？我不写了，什么a选项说充分非必要b选项b要非充分c方c选项充分必要d选项什么？既非充分，也必啊，也不必要，然后d选项不知道。好了，那么接下来我们就继续，
我们来看看这个事。什么条件？啊，什么条件好，我们先来看看这个事儿。来分析一下。我们先从原理上分。要注意啊，第一件事情他已经被夹住了。说明这个东西啊，很想考加逼准则。它给的是什么呢？它给的是两边做差的，极限是零。对吧，
两边做差的极限是零。你两边做差的极限是零，但是我要什么呢？我要的是两边极限存在，且相等。哎，两边极限存在，且相等。这是我们要的那两边极限存在，且相等跟两边做差极限是零是等价的吗？等不等奖？当然不等价。你注意两边极限存在，且相等应该是这个极限减这个极限等于零。这中间是不是存在了一个拆开的问题啊？
不等价的。所以两边做差极限是零，你想存在减存在可以是零，不存在减不存在也能是零。那所以未必可以拆啊，因此这两个东西不等价的。所以这个东西绝对不是它的充分条件。而且如果这个极限存在两边的话，这个一减一定是零吗？这也不一定啊，所以这个东西是既非充分也非必要条件。能听懂吧哎，既非充分也非必要条件，所以这里面当中这是我基础班讲过的原模原样内容。你可以举例子啊，
你比如说我们看第一个例子。比如说你取谁呢？比如说我这块取了个n。然后的话n这个人小于等于多少呢？它这个人小于等于n加上多少n分之一，然后大于等于多少n减n分之一，这没问题吧？哦，注意啊，小于等这个东西占一半就行了，你占一半就可以这样写，然后这个时候你看你这个人减这个人。你这两个一减的话，极限是多少？两个一减是n分之二，
极限是零，两边做差极限是零，但是你会发现一个事儿。对吧，但是怎么了？但是我中间这个人的极限结果是无穷大呀。不存在啊，你看不行。然后如果你改一下，你看。我说这个n分之一怎么办？加上n方分之一，然后这个时候呢n分之一减去n方分之一。那这个时候两边做个差的，结果是多少？
两边做个差的，结果是n方分之二，你看这个极限是零，但是你要注意中间的这个极限呢？中间这个极限是n分之一，它的极限是零，又存在了，所以说不清楚的。两边做差极限是零。对吧，跟两边极限存在，且相等一定不一样，如果今年过程当中考一个这样的一个选择题，你立即把它秒了。对吧，
这就是结论性的问题，我要的是两边做差极限是零，你不能给我两边做差积啊，这个什么我要的是两边极限存在且相等。不能给我两边做差极限指令。绝对不能给我这个条件，这个条件是不行的。可以了吧，好基本问题点，你要把它想清楚。那么，这是我们讲的这个第一个信息点。能听懂吗？考了这种概念性的问题，一定要把它拿下来好了，
那么接下来我们再来看看第二件事情加币准则。嘉宾准则这个东西啊，它的做题方式是。放大的极限是多少？缩小的极限也得是多少，然后才能推中间是它。所以加b准则最重要的问题就是放松。对吧，我要把它放大。我要把它缩小，其实挺难的，但对我们的考试啊，它不会说出特别难。都是一些常见的放松方法。但是这个放松啊，
不能随便放，你不能说放大，你缩小你极限不一样，你比如说放大极限是四，你缩小极限12，你说极限不存在。胡扯，那是你没夹住。一定注意啊，你放大能放很大，你缩小也能缩很小，对吧？也能缩很小，所以说这个时候我要有个指标，就是两边极限存在且相等。
能听懂我的意思吗？两边极限存在，而且要相等，这是要注意的问题啊。所以一定要听清楚，这就是常见的放松形式，那么接下来我们来看看这个事，我们要讲些常见的放松方法好，我们先来看看第一种放松方法。常见的最常见的就是放缩分母，使得分子可以相加吗？常见吗？那怎么放呢？你把下面变小，结果不就变大了吗？
你把下面都变变大，结果不就变小了吗？这种情况特别简单。也是我们非常容易考的。啊，很容易考的一个事情，那么接下来我们再来看看，还有一个经验。好，我们再来看看第二件事情经验的加倍方法。啊。啊，经验的放松方法。那这个经验的放松方法呀，我们来看看这个事情你怎么做呢？
他这样做的你注意啊，这个事情你今天好好听，它就是个体系。就说如果这里面当中，我们告诉了一个a1。它是大于零。a2它大于0a三它大于零，然后一直到an它大于零。那这个时候我们怎么办？而且。这里面当中的最大值是谁啊？你最大值是这个人的max。是这个人最大的，你注意这个东西，我们可以秒到那这时候我们怎么办？
我们怎么放呢？你看非常简单。如果遇到了这么多人相加的时候。我可以怎么放这样放，把每个人都变大。每个人都变大。那就小于每个人都变大。而它们之间的最大值是大m。它们的最大值是大m，大m在不在它中间呢？肯定在中间啊。你想想它们之间的最大值是大m，你最大值肯定在中间，你最大值是在中间的话，你把别人不要了，
你假设你假设最大值是它。别人不要了，是不是留下一个最大？能听懂我的意思吗？所以说大家注意一个问题啊，你不要老是去纠结啊，这个东西能不能取等号？对吧，到底能不能进行去取等号你不写也行，你加b准则最重要，问题是能把它夹住两边极限存在且相等。这才是重点，但是大家注意啊，这种放缩方法有一个前提。它是有前提的。
你想一个问题啊。你这是一个罪大。你这是n倍最大。我觉得一般极限都不会相等的。一般情况下，极限都不会相等了。你比如说最大值。是多少？你再来个n倍的最大值。它一般都不会相等的。所以说这种方法的话，它它它的这个什么适用条件其实非常的精准。什么时候用呢？你注意就是给这些人开N次方的时候用，你把它给我记住。
你记住这个问题啊，我再说一遍，就是给这些人开N次方的时候用，你不信你看看。就是给这些人开N次方。如果给一个数开N次方，这是一。给n开N次方是一给这个数开N次方是一，所以说往往是这种条件下用，那这个时候我就非常的精准了。极其的特殊，而我们都知道考试就喜欢考特殊的。所以将来我们就知道，如果给很多个人。相加开个N次方，
我就会用它。我就绝对会用它，所以接下来我们来灭几个题来看看，这里面当中的第一个题。诶，非常简单，来看看这个人。节你看这个人。那这个题的话，你发现。这是好多个人相加开个N次方，我立即可以写。那么，请同学们告诉我，这里面当中最大的人是谁呀？
你看这个人。塞恩，这个人。好，这是三音。一这是二分之派。对吧，一在哪一在这二分之一在这三分之一四分之一。那所以这里面当中最大值是谁呀？你这是s in一s in二分之一，这些每个人都是大于零的。哎，每个人都大于零。那这人我就把每个人都变大，那就小于n倍的最大值。
别人都是大于零，不要了，留下一个最大值。是不这个问题，然后这件事情你发现你再开个N次方，你开个N次方其实就给这个数。开N次方，然后开N次方就是给n开N次方，然后给这个s in 1开N次方，那这时候你发现。给一个数开N次方极限是一给n开N次方极限是一给一个数开N次方极限是一我一加中间的极限，结果就是一正确答案选a。你看这个题。所以像这种情况的话，你发现操作性呢，
其实很窄，但是这种题我觉得几率性非常高，你要知道。这种考题是数学分析当中非常经典的一种考题。但是它又极具有操作性。就是你会的时候，它就非常的简单，你不会的时候，那这个东西就很困难了，你将来一定要能想得到。你将来能想到吗？如果说什么呢？好多个数相加，然后开N次方的这种情况。对吧，
好多个数相加，开个N次方的情况。这会做吧，你比如说我们再出一个题。再试一个啊，我看大家的这个水平点到底怎么样？n趋向无穷大，然后这是开N次方，然后这是cos 1的平啊，这个平方。cosine 2的平方，然后一直加cosine n的平方。等于几啊，好多个数相加，开个N次方诶，
我可以怎么做？来解怎么处理？注意啊，不要用到走火入魔了啊，每个人相加。怎么处理啊？你灵活一点，我觉得这个题比刚才灵活。你怎么办？cos 1的方。二的方每个人都大于零。你怎么办？谁最大一直在想谁最大？谁最大你管它呢，它肯定是小于一。
每个人小于一，每个人小于一，它就小于n。你其实可以应该写小于等于啊，注意这个东西无所谓啊。你看每个人都变比一小。而每个人都大于零，我随便来一个数就行了。我随便来无所谓，然后这个时候你发现你看你开个N次方，你就是给n开N次方。然后这个人呢，就是给这个数的平方开个N次方。然后这个极限呢？乙这个极限呢？
乙我一加呢？中间是乙本题结束。能听懂我的意思吗？你看这种问题。其实你一定要灵活一点，那那那谁最大，你要灵活一点，每个人变大，留下一个最大，那那就可以了。所以你注意这种题其实非常简单，它简单的点在何处呢？它简单的点，它的标志非常的明显。我将来看到好多个数相加开N次方，
你想这个东西肯定考这个人。哎，绝对考这个，我看看大家的灵活变通能力又怎么样？你把这个题你下课过程当中把它给我做一下。呃，你下课过程当中啊，完成一下这个题。能听懂吧哎，这是一种特殊题啊，你可以以前不会，但是你将来过程当中一定要会。好，稍微休息会儿吧，一会儿我们继续啊。
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