05.冲刺满分强化篇·题型8精讲精练-2
呃，这个你们看一个题啊，然后你们继续休息可以吧，然后你下课休息的时候你继续看这个题，你们继续休息啊，继续休息，然后。然后的话，这样的话，然后助教这边的话，你继续放你的歌就行了，好吧？好，你继续看这个题啊。kindle the masses run on my palms for the few day,look a mixed me sugar,make me sing from hearting.呃，行吧，你们做吧啊，做一下这个题不听了吧，我发现还是不行，因为这个呃，我其实是这个，我想把这个切一下，然后的话，这样的话，下课休息的时候你还能看这个东西。你还能看到这个，但是它这个音乐的话，
有一个什么呢？呃，就是呃，好像是你，你会听到两个音乐，那算了吧啊。来看一下这个题吧。好，我们继续吧，看一下这个题。做题吧啊。这题可以了吧，所以我觉得现在诶，这题已经没什么可做的了啊。谁选a呀？
这题还能选错。这没法讲了，对吧？这是充要条件啊。好家伙呀，这都能写错啊。我这不是刚讲的吗？哎呀，这这这咋行呢，对吧？那这这不是刚才的话，你发现我刚讲的这个事儿，这选几啊？选c吧诶，这是充要条件。
冲要条件。所以你发现个事儿，你看你中间这两句话依然能表明n趋向无穷大。是不是这个事儿，然后你小于二倍的伊布斯龙，你可以写成小于三倍的伊布斯龙，那这个时候的话，这个三倍的伊布斯龙，它不就属于多少零到三，仍然能表示。非常的小呀。无论有多么的小啊，我和他之间的距离比他还小。这这这咋行呢？是吧？
你就像考试旁边写了一个答案，你说啊，这是正确答案。你这个怎么行呢？对吧？好了，这是这个题吧，我们就讲到这儿能听懂吧？好把这个定义的东西啊，你下去好好进行去想想。那么，接下来我们继续吧，我们再来看看这个下面部分问题啊。可以了吗？你注意你这这个题，
你再把它这个是这个没有理解清楚啊，我觉得不太好意思了。呃，我这个统计不了，它这个是有这个功能，叫我看看啊，有一个。嗯。好像有一个答题卡功能，但是我这个功能是没有什么用的，你看。因为你们都能看到我在设置。他们一般的话，用的是那个我因为我用的是这个桌面共享的功能，所以说我在上面设置的话，
你都能看得到啊。那就没什么意思了，他们那个用的是那个用，因为他们用PPT上课呃，所以说你们是看不到他怎么设置的啊？行吧，那么这个事儿我们就说到这儿啊，用的是不同功能，你会发现这个，因为我们用的是呃，我这也没法连麦。因为我用的是这个呃屏幕共享的这个情况。好了，那么接下来继续吧，我们来看看这个下面一个问题来，
再来看收敛数列和子数列之间的关系。好，这个问题继续啊，来看这个点。好，来看看这个事。呃，可以啊，是这样啊，你们今天呃不要再犯那种低级问题，我们今天下课我们抽。抽四个错题本。怎么样？可以吧？来看一下这个题。
那么，收敛数列和子数列，它之间的关系啊，收敛数列和子数列之间的关系，那么这里面当中，我们先来看看这个事儿。啊，看一下这个点。它什么情况呢？你发现就说，如果你这个limit。n趋向无穷大你SN的极限是a。对吧，就说这个数列是收敛于a的。那数列收敛于a的话，
你就会发现我就从一个大n开始，之后你所有人都要接近于a。当然，你所有人都要接近a。那你既然是所有人都接近于a的话，你就会发现，那既然是所有人都接近于a，你在这后面随便挑他的儿子，这种数列接不接近于a？当然接近，所以这个问题点就是这样，如果这个数列收敛于a任何一个子数列。从一个人开始之后，所有人都接近a，他当然收敛于a，
对吧？所有子数列都收敛于a。那么，这种当中啊，我们常考的几个点呢？来复习一下。第一个事情limit n趋向无穷，大SN的极限是a，那既然SN的极限是a的话，你会发现n趋向无穷大。s2n是一个子树林。然后s2 n+1也是个字数列。是吧，都适应。如果这个人的极限结果是a所有子数列，
他都收敛为没有任何问题，那这件事情能不能回来呢？哎，这件事情也是可以回来的，因为这俩人就能保证是所有的子树林。是可以回来的，所有子助理没有任何问题，然后接下来我们继续，我们再来看，如果这是n趋向无穷大。SN的这个极限，结果是a。那请问n趋向无穷大3n呢？你比如说第一个点就是3n点。你隔两个点就是3n点，
隔两个点，隔两个点就是3n点，那3n这个人接不接近于a啊接近？对吧，他是自助列，然后这是3 n+1，这个人是不是也是自助列，然后接下来继续n趋向无穷大？3 n+2，这个人是不是也是子数列？没问题吧？好，这是这个人，他们都是a那这个时候能不能回去呢？你这是3n，
然后这旁边就是3 n+1。你在旁边就是3 n+2。能不能回去？可以回去没有问题。只要你这些子数列占满了这后面的所有人，他就可以好，这是这个问题，这两条特性呢，你得把它给我记住。对吧，如果SN的极限是a，那2n和2 n+1这个子数列都收敛为3n3n加一三n+2，这些子数列都收敛为。好了，这是这个事情，
能听懂吧？当然，如果这件事情我们可以做反例。对吧，可以做反例，如果有两个子数列收敛于不同的极限，那这个数列肯定是无法。肯定是发散的呀，你想是吧，如果这个极限结果是a所有子数列都要收敛，为你这个子数列收敛于它。那个子数列收敛于它，你就违背了这个条件，所以说它肯定是发散的。好了，
这条内容我们就讲到这。可以了吗？同学们唉，基本问题哦，来那么接下来我们再来看看下面一个事情数列极限的这个什么啊性质？呃，这个性质就比较简单了。你就进行去模仿下函数极限的性质就行，来继续吧，我们再来看。那么，首先我们先来看看第一个问题。好，我们先来看看第一个问题，唯一性啊，
唯一性如果这个数列是收敛的，它的极限一定是存在的，而且是唯一的。对吧哎，是存在的，而且是唯一的，那肯定的极限存在必唯一。啊，极限存在b为一，那当然是的，那么再来看看第二件事情有界限，这个事儿很重要。对吧，有界限。呃，
有这些呢，这个内容，它跟这个函数是有点不一样的。啊，有点不一样。就什么样的一个问题呢？他这样的一个事情就说。如果说什么呢？limit你n趋向无穷大你SN这个极限结果是数。如果这个东西的话，你发现它的极限结果是存在的。如果这个极限结果是存在的。我就可以推出什么呢？我是不就可以推出n趋向无穷大的时候有界，我就可以说存在了一个大n大于零。
当什么呢？当n大于大n的时候。这个人是有机。没问题吧？唉，这个东西它就会有情，所以说你会发现个事儿，那么接下来我们来看看这个问题。好，我们继续处理。也就说什么意思呢？就说你从这个大恩开始之后，你这些人是有界的。对吧，你这之后的这些人肯定是有劲。
但是你发现一个事儿，我们再来看诶，他前面这些人呢？啊，前面呢？注意他前面是有限个人。一定要注意啊，他前面有多少个人，他前面刚好有n个人。这些人。他是有限个人。啊，这是有限个人。你能听懂我的意思吗？就说前面是有限，
个人有限，个数有限，个数你进行去PK的时候。他肯定能PK出最小值和最大值。前面这些人一定是有机的。那你只要后面这些人有戒，他不就有戒吗？所以说大家注意他就不是局部有戒心了，你就直接写他一定有戒。啊，你就直接写这个东西啊，数列是有界的，能听懂吧？就说如果这个极限是存在的，那这里一定有界。
那如果是无穷大呢？我们都知道，如果这个方向没有解，那肯定没有解。好，这是这个内容，所以这是跟函数极限有一点儿区别点的地方啊，稍微有点儿区别点的地方，然后这个保号信呢，那就完全的一致了。保护性一点区别都没有。我们来看看这个事情，第一个事儿稍微复习了来先看脱帽保护性。就说如果这是limit n趋向无穷大。米埃森这个人极限结果是大于零。
如果这个极限大于零，它应该说的是什么呢？就说从一个大n开始之后。当这个n大于大n的时候。它是不是大于零，就说你可以在你家里面脱掉帽子嘛。如果这个极限小于零，在你家里面是不是小于零？如果这个极限大于a在你家里面，是不是大于a？如果这个极限小于a在你家里面，不就小于a吗？如果这个极限怎么了n趋向无穷大的时候，你大于这个人，那你在你家里面不就是大于这个人吗？
如果你这个极限小于这个极限，在你家里面的话，就是从一个人开始之后，你就小于这个人。没问题吧？好了，这是饱和性，所以说这个内容跟函数极限是一模一样的，学起来也非常的轻松啊，不要有压力啊。然后我们再来看看第二件事情，家贸保护性，那家贸保护性说如果是这样。如果存在一个大m。当什么情况呢？
当n大于大n的时候，你这个SN一直都是大于零。而且你告诉我这个人，如果他n趋向无穷大，你SN的这个极限是存在的，那请告诉我这个极限什么情况？就说你在那个后面部分的话，它一直都是大于零。而且你极限存在极限什么零极限是大于等于零。诶，注意是大于等于零，就说别管前面是大于零还是大于等于零，之后一定是大于等于零。那这两个内容是不一样的，所以你要注意一个事情，
就说这个数列极限，我管的是从一个大n之后的怎么样？因为你如果极限是a的话，你只要保证后面那些人对吧？保证后面那些人是这个情况就行。好了，这有个同学问有记性，如果x1等于无穷大。我问你个事情。什么叫无穷大呀啊，你知道什么叫无穷大吗？什么是无穷大？只有极限才会有无穷大。无穷大不是一个具体的人，你告诉我无穷大是多少？
无穷大是多少？无穷大是一种趋向下的结果。它不是一个具体的数。一个数列的第一项。你一个数列的第一项，第一项是无穷大，你说一个数是无穷大，你见过一个数是无穷大，比如说s1=3好没问题，s=3个一没问题，你说s1=5，这什么鬼？你注意下这个事，你发现你就犯了根本性的知识上的问题。对吧，
你这就不像学过一个微积分的这样一个同学说出来的话啊。你要注意无穷大是什么？我一个趋向下的结果是无穷大。对吧，我趋向它不是一个具体的数，一定要注意哦。好了，这是这个问题，能听懂我的意思吗？好注意一下这个事儿啊，无穷大，它不是个具体的数，它是一个趋向下的一个结果。比如说我往这跑哎，他最后跑到武雄打。
但无穷大不是个具体的数，你说ice是无穷大那无穷大到底是多少？你不知道的哎。你看有同学说这什么？我发现这个有些同学这个基础啊，我之前呃留给我们三九六同学的复盘时间是非常多的。你看我们的强化班上课的时间是7月15号。我一直从那个六月差不多十几号的样子，一直到这个7月20号啊，七月十几号就这么长的时间，一直让复盘，你发现这哪叫复盘呢？刚才有个同学说，那如果是这个人呢？那这个人的话，
那等于一的时候不就是无穷大注意这个等于一不叫无穷大这个等于一的时候叫做没有意义，它不能为一。它只能从二开始。是一分之一。二分之一三分之一四分之一。啊，这个问题点。还有这同学问为什么这能驱动好？哎呀，这真真的不像一个。好，继续吧，我们再来看看下面一个问题，来看看下面的题目。好，
我们来看看下面的点。呃，为了讲这些问题啊，对吧？为了进行去讲这些题，我们是这样，因为我们一块儿不可避免的，要涉及了一下这个数列极限的计算，所以这样啊。我们先继续去看看下一的数列极限计算可不可以？我们先翻到第六节啊，先看第六节，然后第六节呢，我们先把这个第一个知识点讲完了之后，我们再回过头来再看这些题。
没有问题吧，来看看第一个问题啊。数列极限的计算性问题。那么，在数列极限计算当中啊，我们包括有好多种题型，我们先来看看第一种题型啊，先看第一种。那么，把这里面当中啊，分的非常细，我们总共啊呃，其实对我们三九六同学而言，只用掌握四大题型，只需要掌握四种题型。
那么，像这个数一和数二数三同学，可能后面还有一个更难的单调，有些必有极限，但那个部分不是我们的核心考点，我们的核心考点是前四个。我们先看第一种情况。如果这个人的极限通项是知道的，什么意思呢？就说你n趋向无穷大，你不是求一个sn吗？你这个sn是一个n的函数。就说什么情况呢？就说你这个东西啊。对吧，
你这个通项是已知的。你像这种情况，而且它是一个未定式的极限，我们怎么做？那么，首先第一件事你要注意一个问题。数列极限，它不可洛必达。这你能理解吧，数列极限是不能洛必达的，数列不能求导的。只有咳到必连续。要想可导，前提得连续。你都不连续，
你肯定不能求导好，这是第一件事情，第二件事情数列极限。数列极限。n只能往无穷大跑，这个无穷大指的是正无穷。哎，数列极限，它只能往正无穷跑。所以同学们注意，我们可以不用进行去看这个事儿，另外一件事情我们是考了选择题，其实你写错了，他也看不出来。啊，
其实也看不出来，所以接下来我们来看看这个事儿，所以对于什么情况呢？你发现一个数列极限。通项是知道的，而且它是未定式的，这种样子，比如说我举个例子，你看这个题。你看这个题。那对于这个题而言的话，它不就是多少，它就是n方加上n，然后这是2 n- 1次方。你看这种情况，
那下面这个部分呢？如果这里面当中n趋向无穷大，你下面这人是无穷大，这是零。对吧，就说我看到什么情况呢，你这通项是知道的，而且你这个东西怎么跟我们原来讲的函数极限怎么长得那么的像？那这时候怎么办？我就可以使用一种方法叫做连续化处理。当连续化处理啊，它有个装逼的名字，你可以把它叫做归结原理，这是我们都讲过的，如果你想把它进行取一个更装逼的名字。
它还有一个名字叫做海涅定理。这几个事情都是一样的，你可以说是连续化处理，你也可以说归结原理，你也可以说海涅定理都行，你怎么说都行，其实你发现我们学数学不是为了进行，记住一个名字。对吧，我们的核心重点是这个知识点到底有没有学会来，我们来看看这个事儿什么样的内容呢？这个内容。就说如果这个x趋向于正无穷。你这个函数极限，结果是a。
那这个时候你发现我立即怎么办？我把它改成n。趋向无穷大你的极限，结果也是a。这个事情的话，你发现它的理解是非常非常简单的一个事情啊，就是这样的一个问题。然后这个部分呢？它是y，然后这是零，然后这是x，那么这里面当中的话，我们来看看这个问题，你发现啊？首先，
我们先看函数。你比如说你看。这个函数fs这个函数这个函数啊，当n趋s趋向正无穷的时候，极限是a那你想想你上面的点呢？我这条线的话都趋向于对吧？都是趋向a那这上面的点呢？你上面的点肯定也是趋向a啊。对吧，你这个线都趋向于a，你这上面的点肯定是趋向于a，没有任何问题。所以说这个内容。就叫连续化处理的方式，也叫归结原则。
归结原理或者叫海涅定理啊，这几个人。都是一样的，所以我们做题怎么办呢？你想想我现在在做这个数列机械。这个数列极限，只要你长得像七种未定式的样子，因为我们知道数列极限有很多局限性，它不能落必达。它只能n趋向于无穷大，而且是正无穷，具有这么多的这种局限性，我们怎么办呢？你发现个事儿，我就可以把这个n。
注意第一个事，把这个n换成这个x。对吧，换成x把这个无穷大换成正无穷。就说我就可以把它变成什么东西啊，变成函数极限组，那函数极限当然可以洛必达呀，函数极限有六种去向，它可以趋向于一个点，一个点正，一个点负无穷，大正无穷负无穷。没有任何问题，所以接下来我们来看看这个题来，先看四点六啊46题这个题。
先看第一个证。当然有些题啊。只要你不触碰这个洛必达，不触碰这个呃趋向于正无穷的这种情况，只要你不触碰这些东西。你不换也行，你直接做也行。但是当你不知道你触不触碰，你就换。其实对我们三九六同学这件事情，他其实判不出来，因为我们考的是选择题，他哪知道你换了没换呢？啊，这只能是什么情况呢？
我们学习的一个基本素养了。来看这个人来立，立即看。那么，这个人长得像什么东西呢？长得像七种未定式的样子。长得像七种威力士的样子，那这人怎么办？我就把无穷大改成正无穷。然后把这个n改成这个s，然后这人就变成了2 s- 1。那这个时候的话，你发现这是无穷大的零次幂，答案等于多少e的极限符号照抄，然后是头顶部分造型。
然后再是lin这个底。是不是这个情况好了，那么这个时候的话，你发现这是以limits趋向正无穷？然后这是2 s- 1，然后这是ln多少s方加上s来继续看，你发现这是无穷大。l无穷，大无穷，大无穷，大比无穷，大的未定式，那怎么办？我立即使用下洛必达法则。一落的话，
下面是几是二？然后上面求导是多少？上面求导的话就是x方，加上x分之二x加上一。能理解吧，就说什么情况呢？就说你这个中间变量求导是它，然后里面求导是它，那这个时候就非常简单了，然后怎么办？这是无穷大比无穷大的未定式，当然可以抓大头啊，你一抓这是2s方，你这是2s，你约掉一下肯定是零一的，
零是一。好了，这个事情啊，马上出来了，所以说这个题的正确答案选几啊选一。不难吧，所以对于这个类型问题的点呢，你把它想清楚，对吧？操作性把它梳理清楚就行。哎，这是个基本问题哦，哎，一定要想清楚。还有一件事儿就说呃，
如果这个什么幂函数比这个对数函数大，如果这个对数函数里面当中进行复合了，那就不好说了，我比如说举个简单例子。你来看这个人。这什么呢？这是s，然后这是l多少es+1？你看这个事情，那这个事情的话，你发现你下面是无穷大的，你上面是无穷大的，你要说这个幂函数远远大于对数函数，你这个对数函数不纯的。你这个对数函数里面当中又复合了一个指数函数，
你看看这个结果，它就不是零，你可以试一下洛必达法则。你洛必达法则了之后的话，你看你下面一球倒没了，你上面球倒是es加一分之一s，你一抓这个人是一。那所以你看你这个问题点的话，它不是这样，你如果用不好，你就先不要用，你稍微稳一步，也就是十几秒钟的时间。但是这样的话，你就把题做对了。
你如果用的不稳，你把题做错了，你就算的话，你几秒钟你抢了十几秒使用时间，我觉得也不划算。对吧，所以说一定要做稳一点啊，这个人。好了，这是无穷大比无穷大未定式，当然有些同学这个水平点高一点无穷大比无穷大未定式，你对数函数的里面。如果拥有远远大关系，可以抓大头，我把一抓掉，
抓掉留下它。lees是sbs之一。也是可以的，就说只要什么情况呢？无穷大比无穷大的不一定是。只有无穷比无穷才能抓。只有有远远大的关系，才能抓对手，里面是可以抓的。听懂我的意思吗？哎，这个同学说的很好。好了，那么这个点呢，我们就先说到这，
那么接下来我们来回看刚才的这些题啊，我们先来看第一个题。你看这个题怎么做？那么这个题啊，他说了一个事情，他说如果这个极限存在。那2n给了他，他问2 n+1的极限是多少？那我们都知道，如果这个人的极限存在。那2 n+1和2n的极限是存在且相等的吧？所以说这个时候你发现那你2 n+1的这个极限不就是什么呢？不就是2n这个人的极限吗？其实就是这个极限这个题啊，骗子。
对吧，骗了一下，骗了一下，但是这个点的话，你发现也不难，然后这个时候怎么办？这是n趋向无穷大。然后这是多少根号下n加根号n，然后再减去多少根号n？然后这个题怎么办呢？那这个题的话，你发现这是无穷大减无穷大的未定式。但这题啊，我稍微的话有个点没有出好。我这个选项的话，
里面当中应该设置一个零。有的说n去向无穷，大的时候这个人比他大的多。不要了，两个意见都给你，那就费用完了。你这样一做就废完了，绝对不行。所以说这个题怎么办呢？两根号做差可以有理化，所以说对于这种题啊，有理化就非常快，如果是一这个什么二次根号的话，有理化非常快。对吧，
有理化讲n加根号n，然后再加上个根号n，然后这个时候的话，前面平方减后面的平方。那你想前面平方是多少？这是n加上多少？这是n加根号n再减去n那，所以说这留下了个根号n。好，做成这样，你做成这样了之后的话，你看这就是无穷大比无穷大。无穷大比无穷大，它就可以抓，那这时候把它不要了。
这时候可以抓吧，那这时候一抓的话，这个结果是多少二分之一，所以答案选几c？所以这个方式啊，应该是最快的，它比提毛法，我觉得还要强一点，你提毛法也可以。也可以提啊，你把这个根号n提出去，唉，都是可以的。所以说像我们这几种方法，这叫正规方法，
常规方法，还有的话，你看到这个，其实每年都有这种事情。啊，这个什么还有爆破法，怎么怎么样？你听到这些你都别看对吧？你发现一些事儿，有些东西根本就不知道你这东西的原理，你把这个事儿你梳理清楚就行了。有理化这个东西就会很快。啊，这个东西有理化。好了，
这是这个点能听懂我的意思吗？所以你发现你一个有理化这东西就出来了。好，这个基本点你当然可以提锚，但是两根号做差的时候有理化是最快的。就说两根号做差的时候有理化最快。那为什么很多人说那老师以前我怎么不优理化呢？那有可能的话，你发现开的就不是，比如说不是一个二次方。你比如说开三次方，你这个开三次方，这个东西就没有忧虑化了呀，好注意一下这个问题啊，基本点。
好了，那么接下来我们再来看个题啊，注意啊，我出了一个很贱很贱的题。这个题啊，当然对我们而言就太狠了。啊，这太狠了，但是我觉得复习嘛。因为我这一个题当中里面有好多个题。我这个题出了一个有点狠啊，这个题。来试一下吧。就说这个题的话，我觉得你做完了之后的话，
你能做好多个题。你基本上能做三四个题，所以说我们从复习的角度上，我觉得还是可以的，来看看这个题。先看第一个题。他说了这样的一个事情，他说3n3 n+1的极限是一。则这个人收敛的充分条件。那么，同学们告诉我一件事。你只有保证了3 n+2的极限，也是一。这三个人的极限都是一，他这个极限是第一。
所以我们就要看看一个事情。哪个3 n+2的极限是一，我们先看第一个人。那么，这里面当中啊，有一个知识点，我们先来复习一下。啊，有个知识点叫做这样的一个知识点。就是n趋向无穷，大给一个大于零的数开N次方的极限是一我不写大于零了啊，你自己知道。然后接下来我们就继续当n趋向无穷大的时候，给n开N次方的极限是一。第一个题不是max。
不是max。能听懂吧哎，不是麦克斯。好，这是这个点来，那么接下来我们就继续，你看这两个极限要注意啊，这两个极限是一给一个大于零的数开N次方的极限是一。给n开N次方的极限，结果也是一好了，这是一好，我们先来看看这个题。那么，首先我们先来看看第一个点啊，第一个点先看a选项。
那a选项的话，你其实你发现。给二开N次方极限是一。这个极限是一。那二÷2的话，这是一一的无穷大。所以说这个题是一个一的无穷大的未定式。那一的无穷大费力是我也不知道怎么办，我先把它换成函数。能理解吧，我把它换成函数那这二，然后这是二的s分之一次方，这是三三的s分之一次方，然后这s次方。我就换成x，
因为是未定式嘛，我也不知道怎么样，如果从严谨的角度上而言就换。啊，这是一个问题，然后接下来这些人既然是一的无穷大答案，就等于多少一亿的这个极限符号照抄。头顶部分照写，然后是d减一，只是二的s分之一，加上三的s分之一，再减b。好，我们就做成这样了，一旦做成这样，
然后这个题就变成了x趋向于正无穷，这题基础班做过。然后这个后面这个人呢？他就是二，然后这是二的s分之一，加上三的s分之一，你再减二。然后这个题怎么办呢？你看我可以把这个什么你自己注意啊，这是x。那这个题啊，其实你发现它就变成了无穷大乘零的未定式。对吧，无穷大乘零的倍定式，有些东西可能见过一些的话，
这个结论对吧？说长这个样子，背这个人长那个样子，背那个人，你如果是这个，真的是像这样的情形学习啊，我觉得很难把数学学好。你纯属背题，你遇到它，你就把它做了，你没有遇到它怎么办呢？好了，这是这个事儿。所以这个点怎么办呢？我们来看看这个事情。
凌晨无穷大未定式，当然是把一个人下方。下放了之后，变成它分之一。但是如果你不想看分之一的话，你就最好怎么办？你把这个分之一换成t，你换成t了之后的话，这是limit怎么了？t趋向零正。然后这是二把这个分之一下去，这是t2的t+3的t减个二。好，做成这样，然后这个时候就变成了零比零型被定式。
可能有些同学是这样做的，因为他知道a的x- 1等价无穷小于x倍的lna当x趋向零的时候。那这个时候怎么办呢？把这个2t减个一等价一下。把这个三的t减个一等价下，是不是这个事件？但是你发现你有这个等价的功夫，你找到怎么办？一个洛比达这题结束了。我落笔打一下一落，然后这是二的t倍的ln 2。然后这是三的t倍的ln三，所以说这个结果就等于多少，那这是二分之一，然后这是多少二的零，
它是一ln二。三的零是一ln三，所以说这个结果等于多少二分之一倍的ln六？然后把这个二分之一上去，那就是多少根号零？所以说在这个题当中啊，你发现个事儿，它不行。因为我这个题的结果的话，你发现我要等一等一的话，你这个题等根号六，你肯定不选。所以我这个题出的有点狠啊，这个题。这个题出的狠的，
这个点在何处呢？就是这一个题就能抵得上我们一个题能听懂我的意思吗？我这一个题有可能能抵上我们三四个题。就这一个体能抵我们一个体。所以你慢慢来啊，所以我们叫做训练嘛。好了，这是讲到这个第一个人，那么接下来我们再继续来看看第二件事情啊，能听懂吧？但是你要注意，如果这个选项你都看不懂。我觉得一个问题，你基础班绝对没过关。这个页面没有问题吧？
你自己下去呃，有些同学的这个基础啊，说实话问题点非常大，我建议你稍微的稳一点，你每次在上课之前一定要把基础班部分的东西复习一下。啊，你一定要进行去复习一下。好了，这是这个问题。这是基础班讲过的原题啊。有人说啊，我这个题我觉得好难，你觉得你说你这种话怎么能说的出口呢？对吧？这上课讲过的原模原样的题啊。
来那么接下来我们继续，我们再来看看第二个事情。再看第二个人b选项。那b选项这个东西啊，大家继续看。再看BB这个人怎么办呢？你看这是无穷大，这是无穷大，那你想想一个事儿，如果你说我抓大头，我抓大头，这是零，那肯定不对。那这个选项怎么做？这刚讲的吧？
唉，这总会，然后怎么两根号做差有理化，立即变成了根号下n方加二。加上个n方再减二，然后分之多少四？那这时候可以抓了呀。因为你发现现在变成了无穷大比无穷大，可以抓了你一抓抓它。你一抓着它，所以说这个结果等于二。因为你发现这个n趋向的是正无穷，是大于零的，直接开那，所以说这个人也不行，
我要的是一，我不要你。然后再来看c选项，c选项就是个大骗子。骗的非常的简单，你发现这个c选项的话，看起来是不是非常复杂，贼容易。你看这个人的极限是几？这个人的极限结果是一。对吧，这个极限结果是一。你这个极限结果是一就是非零因子，我先把它淡化了，是n倍的，
然后这是二的n分之一次方再减一。那你想当x趋向零的时候a的x- 1等价无穷小于x倍的lna。那框趋向零的时候a的框减一不就等价无穷框倍的lna吗？那这个时候的话，你发现继续看n趋向无穷大。你这是a的什么？你当趋向无穷大，这人不就趋向零吗？a的x倍的lna等价无穷到多少？这是框倍的这个lna。那这个结果等于多少录音二也不选？是不是这个事情，所以很多同学估计困在哪呢d选项也不对。你发现看d选项那么这个d选项的话，我们看d呃看e选项e选项的话，
当n趋向无穷大。你首先n分之一，这是无穷小吧？你无穷小的话，只是阿克tangent这个人这是有界吧？阿克贪着有界无穷，小臣有界是无穷小无穷，小极限是零，你也不会选的。你是不是这个事情，你发现你看你这个极限是零吗？你arctan是天然的无穷小那无穷小，你肯定不选了，我们再看d。那d这个人是多少呢？
这是limit n趋向无穷大。那这个d选项怎么办？你再看这个题，这个题的话，你发现n等于一的时候其实是一乘二分之一，二的时候是二乘三分之一，然后一是加到多少？n的时候是n乘n加一分之一。所以说对于这个题而言，考的是什么呢？考的东西就是个列项n趋向无穷大，然后这里面当中啊，你看第一个人。就是一减二分之一，二分之一减三分之一，
然后咔咔咔一直加n分之一减n加一分之一啊这个什么n减n分之一？对吧，这是n加一分之一，所以说这个时候我们就约约约前留头后留尾。那所以说你发现看你这个后面这个极限是几零，那这就是一。所以说这个题的话，你发现正确答案选几选d？那对于这个题的话，你发现啊，虽然我觉得出的有点过于狠。他肯定我们的考研真题不可能是这样出。所以我们在训练嘛。对吧，所以在训练嘛，
那这个训练的过程当中，你发现出的最狠的一个选项，我怎么进行去改这个题就非常好了。我只需要把a选项，我只需要把a选项再改的简单一点，这就是一道非常好的题了。对吧，我只需要把a选项再改的简单一点，它就是完完整整的，我们应该能处理的题，因为你发现看。你b选项，你c选项，你d选项这呃，这个e选项和d选项都是能快速反应，
唯一只有一个事情就是这种当中的a选项。太过于复杂。对吧，稍微的过于复杂了啊，这就是这个事情。行吧，那么这个点我们就讲到这。好了，这是这个问题吧，我们就说到这儿，你自己下去过程当中好好进行梳理一下，但是这种题得好做。其实我觉得这个题而言，对大家的复习是非常有帮助的，因为一个题的话，
你发现把好多知识点我们都融会贯通。复习的目的是什么？不就是为了把这些知识点题型进行去操作清楚吗？所以我再强调一遍，这把讲义得刷最起码的而言呃，对于大部分同学，你最起码得两遍。有些同学可能的话，理论当中错题还需要第三遍。有些同学可能一遍就过去了，你只要能保证这把讲义上的知识点和题型呢，你最终而言的话，你全部都找不清楚了，我觉得就可以了。就说你能达到这个目标就行，
就是最终我见到这个题，哎呦，我知道哎呀，怎么操作怎么处理怎么办，他就可以了。好了，这是这个事情，可以吧？来那么接下来我们继续，我们来看看这个题。再来看这个题。呃，这个题可以稍微放一下，我们先来看看这个45题这个题吧。先看45题啊。
呃，不用抄，我不是这次会有给你们发那个。都会给你们发那个讲义，你上上课先不抄了啊，不要不要不要抄，我不喜欢你们抄题。不要抄题，不要抄题。有抄题那个时间多进行去做两道题都行。多复盘两道题都行，反正这个回头这个东西我都会发给你啊。啊，先不抄了，先不抄了，
不抄了，你上课抄完我都讲完了，来看这个题。这个题选几啊？看一下这个题。选几啊？这题选几？好，我们先看第一个人。他已经说了，说什么说这个数列是收敛的。说明这个人的极限是存在的，我就设这个极限是a行不行？可不可以你的极限谁？那你的极限是as in它的极限呢？
s in它的极限就是s in a。那s in a10里呢？那多了去了。s in 0是零，s in派是零，s in 2派也是零，你这个a应该等于k派啊。你不光是一个零，我VB等于我等于派行不行？你比如说我的极限是派s in派也是零，这不对的好，我们再来看。那第二类呢？它的极限是谁a？我们都知道SN的极限是a绝对值的极限，
是a的绝对值，这没有任何问题吧？这今天刚复习的，所以说第一个人的极限存在是a第二人的极限存在是根号a的绝对值好了，这个人等于零。那你告诉我a有几种可能性，有没有可能是零有可能，而且还有可能是负一呢？因为负一的话，你发现一加也是零，所以我未必一定是零，我有可能是负一，它不对好，我们再看第二个事情。你发现这个人极限是存在的，
那这个人极限存在是a方。对吧，你这个人极限存在，你这个人极限也存在，你这是a你这是a方，然后这个人等于零都存在可拆吗？那这时候a有几种可能，零和负一都行。你这人也不对呀。那么再来看看e选项，e选项的话，你看你这个人极限是a，你这个人极限是三次方都存在，可以拆吗？那这个时候的话，
你发现这个a呢，它有可能是零，它有可能是一。是吧，那所以说未必一定是零它不对，只有谁呢？只有d选项，你看它的极限是谁？它的极限是a，而它的极限是谁？它的极限是s in a。都存在就可以拆它等于零，那a呢？那你想想这个人是谁啊？这个人是这样，
他其实就是x+sins=0。其实就是sins和负s的交点。对吧？sins和负s的交点。啊，这个情况，然后负s呢？是这个人。你三页和s和负s交点，你只有一个交点，就是这个点。除了这个点之外，没有第二个点a只能为零选d。它一定只有这一个焦点，唯一的焦点，
正确答案选几选d好了，这是这个事情，能听懂我的意思吗？所以说下去过程当中，你好好处理处理。对吧，这是第一件事情，就说你只要极限存在。那你是多少？是该是多少是多少呗，所以这个题不难，这个题就是一个一个判断，对吧？这个题不是说特别难哦。完完全全做极限的题，
你极限是多少对吧？你说我一定是零，我不一定，我有可能是一，我有可能是负一啊，你说的不不对。就排除就行啊，这个人。好了，这是这个问题，能想清楚吧？呃，这个函包括那个函数不等式，我们都讲过。我问一个事情，
如果是x等于三一有几个交点？也只有一个，因为我们都讲了大于零的时候x会比s in大。小于零的时候x会比s in小，这都讲过。你看它只有唯一的焦点。他也只有唯一的焦点。你这是要注意的。对吧，因为x大于零的时候s会比s in大这个图这个不等式啊，我们下节课我们再来说，我们下节课再讲一遍。我把这些重点的不等式都给你捋到一堆。这是非常重要的考研，我们很喜欢考它。
后面有一个比较定理的那块东西，非常喜欢考这几个不等式，我们下节课再传。好了，那么接下来我们再来看一个题，你看看这个题。好，先看这个题。那这个题的考点是什么呢？他说n充分大的时候。就是n趋向无穷大的时候。我们要进行去比较什么呢？比较一个趋向下的大小。比较一个趋向下大小，你只需要比较这个极限的大小。
我的极限比你的极限大，我在趋向过程中比你大，你看这个人。那这个人的话，你比如说我们看看c。你这个人的极限是谁a？然后你这个人极限是多少？当n趋向无穷大这个极限是零，它也是零。你发现你这个人的极限和我的极限一样，我俩极限是一样，那在趋向过程中谁大不知道。这不对对吧，这不知道，然后接下来再看你的极限是a当n趋向无穷大的时候，
你的极限是a你俩极限相等不知道。我的理论是我的极限比你的极限大，我在趋向过程中比你大。再看这个人。极限是a极限，也是a你这两个极限是一样的，那说不清楚。所以说这个题我们只能怎么办？我们去看看AB那AB的话，你发现我其实重点而言，就看这个人。第一个人是这个绝对值的极限，他绝对值的极限是多少？是a的绝对值，然后第二件事情。
我们再来看后面这个人，你后面这个人是二分之a的绝对值，它的极限呢？它的极限就是这个数。对吧，你极限就是这个数。所以说这里面当中我们就知道了，那么现在而且你会发现这个人不为零，那这个人一定大于零。那大于零的东西一倍肯定比二分之一倍大呀，我比你大。我的极限比你的极限大，我在趋向过程中，我就比你大，所以说正确答案选几选a哦。
能理解吗？那这个题的考点的话，其实非常明显，考的就是我们刚才说的那个事情，你想进行去比较一个趋向下两人大小。你想比较一个趋向下的大小，你就比较这两个极限大小，我的极限比你极限大，我在趋向过程中比你大。我的极限比你的极限小，我在趋向过程中比你小。那如果我的极限跟你极限相等呢？保号信是保不住的。所以这是这个问题，能想清楚吗？
好了，听明白的给我回复一啊。可以了吗？能理解给我回复个一呃，下去好好串一串，我觉得这两天呢？上了这个强化班，有些同学的话，这个上强化班的这种状态是不合格的，对吧？你每节课我觉得最起码得保证一个事情。就说我们讲过的东西，是不是应该装到脑子里面？这是最起码的啊，来我们来再来看一个题，
把这题一讲，我们就下课。好，我们就下课呃，在讲这个问题之前呢，我们先来讲讲这个问题。如果你的极限是a。请问。n+1的极限是比谁？是不是啊？好，我们就谈这个问题，对不对？对不对？你的极限是a。
n+1的极限有谁对不对？当然对，为什么？因为xn这个人和xn+1这个人。那这是s1s2s3s4s5，你第一项是s2s3。ss 5。是不是子数列？子数列你下面这个人是上面子数列。那我问你回过来还对吗？回过来了，对不对？真的是理解了同学的话，这个东西非常简单。对不对？
完全正确，一定是正确的。都对大家想想一个事情。你这个极限等于a。我是看前面还是看后面？如果你这个人极限是a，我就保证了后面这些项都接近于a。你的后面跟我的后面有啥差别？我们俩人的后面都是一样的。都是一样的。所以你会发现，你看如果你的极限是你后面这些人都接近零，那我也接近零，你接近零，我也接近零，
那不是一样的吗？当然可以啊。所以你看这个理解是非常简单的。我如果把它改成二呢？你s2的话，你不就从第三项开始吗？那你的后面跟我的后面也是一样的呀。所以大家注意，这两个东西是可以互通的，没有任何的问题。极限，比如说我等于100。我是后面那些人都接近100，我跟后面这些人有关系，我跟前面这些人没有关系，
我管你前面这个人怎么办呢？那所以说接下来我们看这个题。看一下这个题，你会选几啊？这题高手题啊？来看这个题。你稳一点做。你稳一点做啊。大家你你你想想我来说一个问题啊。你听好了。你听好，我就说一个信息点。倘若这条线对。你听好了。倘若这么，
这条线对。也就说后面一项比上前面一项，这项的极限结果等于一，它就一定是收敛的。如果有这么好的判定性的方法。我为什么去学加比准则呢？我为什么要进行学单调？有借必有极限呢？我学那些东西干嘛呢？如果有这么好的方法，他为什么不写到教材里面？为什么你想我这些句？我要想判断一个数列收不收敛，我就把后面这个人比前面这个我求极限。只要你是一，
我就收敛，只要你不是一，我就发财，有这么好的方法，他为啥不写到教材里面？其实你发现你非常简单，你比如说我们这个xn。我先第问第一个问题啊。这个方向叫充分性还是必要性？好，先回答我这个方向叫充分性还是必要性？充分性还是必要性？充分性好，我们先来看看充分性对不对？充分性不对。
为什么呢？比如说举个例子ysn就是n。你想想。你n趋向无穷大的时候，你n+1比n是不是一？你这两者作比极限是一样。你这两者作比的极限是一，但是你收敛了吗？你没有瘦脸。你发散了。我两者作比你看，如果你SN就是n我两者作比的极限，结果是一样，你发散了。所以你注意这条内容不对。
这套方向是非常简单的。这条方向不对，那么接下来我们再来看这条方向对不对？我们再来看第二条方向必要性这个题啊，考过我们可以啊，我就可以速战速决这个方向对不对？你想想，如果说什么呢？它收敛。收敛的话，你发现n趋向无穷大你SN的极限是v。你这个极限是a的话，我就可以立即推出来什么？xn+1的极限是不是也是a？你的极限是a，
它的极限就是a，是不是啊？所以说你发现一个事儿，当n趋向无穷大那xn+1比上SN，你是a，我也是a，是不是就是一呀？是个鬼，这不对。不对，你看。嗯，所以说这个题考得好。你说上面是a，下面是a，
那这个人其实就是一吗？胡扯。你注意，如果这个a是零呢？你a是零，你上面是零，下面是零零比零型未定式了。所以大家注意，一定是什么？当这个人不为零的时候。你是a，他是a，这人肯定是一。对吧，你这是11，
但是你注意，如果a=0的时候。你想想你上面的极限，结果是零，你下面的极限，结果也是零，这是个什么式？这是个未定式啊。不信我们试一下。我来给你取。我给你举一个，我举一个它收敛，但是作弊不适宜。你娶啊，你可以娶谁？
我取一个人的极限，结果是零，比如说我取这个人。你想这个极限，结果是不是零？收不收敛？你极限结果是连收敛的，但是你来看看。n趋向无穷大的时候，你SN+1和SN这个人做比，他就是limit n趋向无穷大。你三的n加一次方和三的N次方作比它是多少？它是三分之一。你看我不是一呀，我是三分之一耶。
我不是一眼，你看你说错了吧，你不对吧？所以一定要听清楚，你发现看我这个人收敛，你这个人做比的极限，结果就是一吗？你不是啊，你看当我这个人极限是零的时候，你上面是零，下面是零，未一定是了，不信你再改。如果这个人改成四的N次方分之一，这个结果是四分之一，
你改成五的N次方分之一，这个结果是五分之一，你改成六六分之一。所有结果都有可能发生。所以大家注意这个情况就不写了，答案选几选d啊？所以你想想这种题，我们可以考。不说别的，这种题可以考。哎，这种题是可以考的，我们去年有些这个真题的话，其实难度系数其实很接近这种。这种题可以考啊。
考下没有任何问题。对吧，你这个人做笔是一是这个人的什么条件？所以说这个题你发现是既非充分也非充要条件。所以下去的时候呃，没有关系啊，我觉得强化的时候多碰一碰是没有关系的。但是有一个问题点啊。有些同学碰到钉子了之后，他下次过程当中觉得碰到这个题嗯，我印象深刻。有些同学的话，你发现碰到钉子的时候，他下次嗯，我做过这个题。
你看这个问题点。所以我一直跟你讲一个事情，这个出错是没有任何问题的。出错能不能把它下次过程当中改正？这把很多同学的水平分成了两个等级。有些同学叫冲刺满分，有些同学的话，你发现止步不前。它的问题点就是在这儿。所以我觉得暑期过程当中，你多出错，没有任何问题，你永远注意你现在出的错，其实你发现就是规避了24号那场考试的错误。但是问题点就是这样的一个事情，
有的这个出错了之后的话，你发现他下次过程当他根本就不记得，这是让我很痛苦的点啊。你其实你上了这么久的课程呢呃，第一个事情。我上课说你啊，我也不是针对你这个人，我是针对你当下过程当中完成的，这个错误的问题。我是针对于这个问题，所以我一直跟你讲，因为我们上线上课我也看不到大家。我只能看到大家发的这个字儿。所以我们是救事儿不救人。但是有些同学也就这个事情也就过去了啊。
这是第一个事情，然后第二个事情的话，我觉得。这个暑期课程呢，有的时候的话，我我觉得吧，你上课可以问任何问题，没有任何关系。你就像刚才一个同学问阿克塞，因我觉得也没关系啊，因为那个东西经常容易忘，我可以点点，但是我有一个问题点。你能不能不要把我刚讲的三分钟之前的问题的话，你转过头来唉啊，
这是什么？那这种东西我真的是。相当的痛苦，对吧？那是这是我问题的话，你这。来不了。好了，那么这个事儿我们就讲到这儿，所以说有些东西你自己想想，你都觉得这个东西很不应该。你自己你都感觉到这个东西，你怎么可能会问出这种问题？那刚讲的。你自己刚才过程当中，
你还觉得哦我我这个这个东西我会了。另外一件事情，有些东西这个基础部分的东西一点都没有基础，你这这怎么上强化课程呢啊？问题点一定注意哦。好了，那么今天啊，我们就讲到这儿，我们来抽几个。你们是要我今天也收到这个，你们要这个，但我觉得错题本更更更有用一点。你不是要这个？抽这个必胜套装，还是抽那个错题本，
但是我觉得这个这个东西里面有用的话就是一些。就是有些。我觉得错题本还有用一点，对吧？因为我是觉得实用性比较重要啊。行吧，我们来抽四个啊，你想要哪个？到时候的话，你就跟那个呃，跟那个呃，就是官微说一下就行了，你要的是这个错题本还是？还是这个必胜套装。好，
我们。先抽两个。可以吧，先抽两个呃，大家回复一个。认真复盘，可以吧？啊，认真复盘好，我们先抽两个，我数到五。一二。呃，等会刷起来，我们再看一。
二三。四五。这咋算呀？好这个同学也送你了好吧，等我一下啊，我往下来一点。好，恭喜这三个同学，你们能看到吧？好，这三个同学啊，助教可以解一下好，这三个同学。行，这第一步。
然后第二波嗯，还是给大家加个油吧啊，回复一下暑期加油可以吧啊，暑期加油，我们再抽两个。啊，再出两个。一二。三四。五好，我们来看看这几个同学。嗯，三个就三个吧，行好了，这几个。
好，这三个同学可以吧？抽了六个啊。行，那么今天课程呢？我们就讲到这儿，所以说你下去啊呃，我觉得有有些同学，但是我觉得你上课呃，说的那些问题，你下去得好好进行去反思反思，复盘复盘对吧？多自驱一点啊。自驱是这个自驱啊。不是这个字，
取有些同学的话，你发现这个。不是这个，不是这个。你听懂我的意思吗？不是，他不是这个，是这个字曲，你下去的时候呃好好进行去复盘复盘，你不能老是这个问题，你最后就是要考试的呀。很明显的话，这个上课的时候你有可能是听课效率的，这个问题你有可能是下去整理的问题，你发现一个事儿，
你上节课讲的东西你一点都不记得了，那我强化讲完了之后啥东西都不记得了。那这问题点可太大了，行吧，同学们好了，那么今天课程呢，我们就不讲了，因为一会儿十点钟啊呃，我还有那个数一数二数三的那个考点全刷的那个。呃，习题课讲解当然的话，我们我们也会有对吧，然后27号是我们第一次，我们的决胜300题的这个呃，这个习题的讲解啊，
我们都有。所以说这个下去过程当中啊，把这个相对问题啊，好好处理处理行吧啊。呃，大家好好加油，对吧？尤其是自己上课有问题的点，你及时把它解决了。一定及时解决，不要老是的话，这个觉得说这个东西无所谓，无所谓时间长了之后的话，你这个问题点非常大。好，
那么今天课程呢？我们就讲到这儿可以吧？然后呃，我想想啊。今天哎呀。没有讲完。没有讲完。嗯。其实我想把这个数列极限，这个东西讲完。讲到这儿，然后有一堆作业行吧，我们先布置一些可不可以哎，我们先布置一些好了，那么这个部分内容啊，
我们就说到这儿，你可不要老说难难难，你去看看。去年的考题的这种形式的话，你再去看，你注意你最后是要考试的。那你要天天的话，不然怎么叫做强化呢？你天天做的这个东西的话呃，但是也不要太超过我们三九六的这种控制的范围。我觉得这个度吧，你得稍微把握好，如果你把握不好的话，你想多做一些题，你就进行去买三九六的这种配套的书。
市面当中，任何一本儿都行，你不用问我是哪一本儿呃，很现在的话，这个三九六的这个习题的书也很多，你买一本儿就行了。能听懂吧诶，这是这个。所以我觉得这个部分的东西啊，你自己你注意强化的时候，你还是这个水平点得拉上来啊。行吧，那么这个部分呢？我们就讲到这儿行下去的时候啊，把这个相对问题啊，
好好处理处理行吧？同学们好，那么今天课程呢？我们就讲到这儿好，下节课见吧。哎对了，还有个预习任务哦。预习任务的话，两个事情，一个事情是把定积分定义，如果预习了，你就预习了，对吧？定积分定义。如果定期分定义的话，
预习完了之后，然后的话，下面有一个什么呢啊，有一个连续和间断。把连续和间断，然后再看看。连续的判定方法。线段的判定方法。还有这个什么东西呢？还有连续的四则运算法则，还有这里面当中复合函数的连续性。唉，这几个部分内容把它看看好吧，同学们好了，那么今天课程呢，
我们就讲到这儿行吗？同学们，你下去好好来啊，对吧，反正这个暑期啊，还是得好好进行曲啊。啊，加把劲儿啊，好那么今天课程呢，我们就讲到这儿好下节课见吧。嗯。
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