05.冲刺满分强化篇·题型8精讲精练-1
请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。可以听到声音哦。好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。可以是吧，好那么接下来我们就正式开始吧，不要再说那个冰箱我不去啊啊，好了，那么接下来我们就继续吧，我们来开始看一下这个今天部分的内容啊。呃，在这个今天过程当中，我们就继续开始我们的这个强化班部分的核心课程，那么首先我们在这个正式上课之前呢？我们有两个事情需要进行去通知一下。呃，第一个事情啊，其实就是我们的这个强化决胜300题篇的这个部分当中的这个主题精讲的这个增值课程。啊，你可能在你的那个课表里面当中啊，已经查阅到了，对吧？你现在进行去看你的APP里面当中已经是有这个课程了。那么，在后续我们先排了两节课，因为这个课程呢，会跟着我们的这个正课的东西啊，
然后逐步进行。所以说之后过程当中，这300个题我们都会跟大家讲啊，如果你在这里面当中啊，你有问题你可以来听直播课程。我先说一下这个时间啊，就是从晚上的这个十点钟啊，你自己看一下，基本上都是十点钟，然后这个这排的是什么？十点到十点。啊，十点钟，然后到哪儿呢？呃，
这个不知道，反正我讲完为止啊呃，这个课程的话基本上都是习题课。所以说你自己如果没有时间听直播，你就看回放就行，或者而言的话，你自己做作业的时候，你觉得哪个题有问题，你就进行看哪个题，你也未必说啊，这里面当中每个题我都需要进行看。好了，那么这个事儿我们就简单说到这儿，那么接下来我们就正式开始吧，我们先来看看这个上次过程当中的核心知识点呃，
今天部分的东西啊，比较重要一点，所以希望同学们好好听啊。那么，首先，我们先来回顾一下上次过程当中的核心内容。第一个事情就是函数极限计算部分的尾缀部分内容。一个事情叫做已知极限，求解其中的待定参数。一个事情是七种未定式的极限计算，那还有一个事情呢，叫做我们的这个左右开弓法的求极限。但是我们在上次过程当中的核心重点。就讲了两个部分，一个事情是左右开弓法求极限，
一个事情是已知极限求解，其中的待定参数，那这两个问题，那这两个问题啊，是非常重要的。呃，我再说一下这个课程呢，你要是没有时间听这个。直播课程你就看回放就行，因为基本上都是习题啊，所以说这件事儿嗯，自己的话呃，因为不想占用你白天的这个正课的时间。你也可以这个上午去讲，但这个东西啊，
就不会占用你白天的这个复习时间，你白天的话，你想干你自己的事儿，你就干你自己的事儿，你该复习你的英语。该复习你的政治，你的逻辑，你的写作，还有你的数学，你该复习哪个你就复习哪个就行好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们先来看看上次过程内容。函数极限部分内容我们就不复习了，那么接下来我们就正式来看看，哎，
上次过程当中讲的函数极限定义部分的内容。呃，好好听课，现在那个讲义已经是在印刷了啊，已经在印刷了，然后的话他们印刷的这个时间的话基本上就是五到七天的这个时间。好吧呃，我看了有些同学这个。催的比较着急啊，然后今天的话我也去那个公司了，然后一趟，然后昨天晚上的课程，还有这个今天上午的课程，我基本上都在公司上的。然后我也看了一下这个后台，
一些情况都是呃，一方面吧，确实呃，这个挺不好意思，因为这个今天今年的话，那个书浩他下来的。这个东西晚，然后的话，这个一直没有印刷出来啊，确实挺抱歉的，但是第一个板块的话，这个电子版发给你，你就先用着。有些同学说的那个话也挺难听的，对吧？
你是个毕竟是个大学生嘛，对吧啊？好了，那么接下来我们就正式开始吧啊，这个前面部分的东西啊，我先已经给大家进行发过去了。然后的话，这个我们也尽可能的话，然后进行去催一下那个出版社，所以说前面部分呢，你至少第一个板块儿先发给大家的啊，足够使用啊。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看下面部分内容啊，
来继续吧，我们来看看诶，我笔呢，好在这儿。那么，接下来我们先来看看第一个点函数极限的定义部分内容，我们先来把这个定义的内容啊，我们先做一个重点的回顾，对吧？因为这个定义的这个内容啊。对很多同学而言，反而是痛点。那么，接下来在这个定义当中，其实有两个重点定义，
一个事情是s趋向s0，然后这个极限结果等原因。那么还有一个是什么呢？还有一个是s趋向无穷大，然后这个极限，结果它等于a啊，这个东西那么接下来我们先来看看这里面当中的第一个点。啊，先看第一个点。那第一个点呢呃，我们先来看看这个事。好了，不说这个事儿了，我觉得因为大家呢，可能你发那个消息吧，
那对客服那样啊，其实一般我看不到，我知道有些东西可能不是对于我的啊，但是。嗯啊，其实我们也是在尽量在催啊，然后的话，这个第一章前面部分的电子版呢，我们先发给大家，你先用着。好不好？好了，那么接下来我们就继续吧，我们先来看第一个点啊，这个定义这个定义怎么说的呢？
其实总共有四句话，第一件事情啊，叫做对于任意的一步松的大于零。但是这句话你要注意一个问题啊，它表明的是无论你有多么的小。别管你有多么的小，然后最后一个事情，他说的是这个函数和它之间的距离比它还小。是不是这个问题？那么上次过程当中，我们也稍微的进行去改了一下，你想想我把这个人改成什么属于零到一对不对？零到二对不对？零到三对不对？哎，
这个东西都是对的，所以说这个东西啊，是没有关系的，就说你把这句话你想怎么改都怎么改，对吧？你改成一不送了，属于零到一。一不思路属于零到二哎，这都对包括什么情况？你这个东西改成小于等于也是对的啊，没有任何问题，但是你注意啊。你改成这个东西就不对了。你改成这样的话，你就发现你就无法保证它非常的小。
其实你发现虽然说一不是我们大于零。但不是说把所有大于零的东西我都用了，那么其实在这种当中我们用的是什么呢？其实就是用的那个很小的那个部分。非常挨近零的那个部分啊，这是你要注意的，好了，那么接下来我们继续，然后中间这句话呢，它说的是当什么东西呢？s趋向s0的时候。那其实在这里面当中，你在这件事情当中的理解啊，你就可以画一条线哎，你知道是哪个范围就行了，
就是这个点的去心领域挖掉它，左边来一个德尔塔。挖掉它，右边来个德尔塔，你知道这是这个范围就行，如果你想把这个范围写出来，也非常简单，就是存在那个德尔塔大于零。也就说这个范围的长度是有的就行了，至于有多长无所谓，存在就行，然后怎么办？当这个x和x0之间的距离，它比什么德尔塔小比？比林大的时候。
好了，这是这个部分问题，那么接下来我们再来看看第二点，那第二点就是s趋向无穷大，那趋向无穷大的话，这个内容我们先来看看这个人的这个定义。对吧，这个定义内容这个定义说，无论你有多么的小，然后这个时候啊，这个ifs和a之间的距离啊，比它还小。哎，这个问题，然后接下来我们再来看看什么叫做趋向无穷大呢？
有可能是很大，有可能是很小，所以它说的是存在了一个很大的数。当什么情况有可能s比这个人大，也有可能是s比负的这个人小，你就写个绝对值比他大就行。好了，这是这个问题，会写吧啊，这个东西啊，你要会写，其实你发现你也可以不会写，你会选就行了。对吧，就说我们只要会做这种选择题就行，
你只要会选你不会写都行，你能认识它，那也可以。好，这是这个问题，就跟你学英语一样，有些单词儿你未必要会写，你能认出来它，对吧？你知道这个东西什么意思？也不影响你在这个做题过程当中的理解啊。好了，这是第一个事情，然后再来看第二件事情，一个极限的存在，
跟该点的函数值有没有关系啊？没有关系。哎，没有关系，所以你发现如果这个极限是a，你能说明那个点处的函数值是a吗？不一定有可能就没用。有可能是有，有可能有等于这个函数值，也有可能怎么办？不等于这个a。能理解吧，包括你这个极限，结果是a你在那个去心领域当中，它有可能是两边儿，
它有可能等于a，也有可能不等于a啊，都有可能性。好了，这是我们讲的这个第一个事情，我们再来看看第二点极限存在的必要条件，那这是我们上次过程当中讲的一个重点。我们说什么？如果说limits趋向s0，如果这个极限存在。大家注意它的必要条件是什么？就是在这个趋向过程当中，这个函数得处处有定义。要注意啊，谁的极限存在就是谁在这个趋向过程当中处处有定，
就说你在这个区心领域当中，你这个fs得怎么了？有定义。那也就说你必须要在x0的什么注意啊，是区域性领域。没有零。能听懂我的意思吧iu定义，那么接下来我们来看看这个今天部分内容吧啊，这个上次过程当知识点呢，我们就讲到这儿，那么接下来我们来看看下面一个重点问题。那么，上次过程当中，我们说这个题啊呃，我们再来讲讲呃，
这个板块的东西啊，我在这个这节课你稍微注意啊，这个我这节课增加了很多模拟题。因为最近我在编题，我发现我越编，哎呀，这个感觉的话，有些题我觉得可以放在这儿，所以我增加了好多模拟题，你上课不要抄啊。你上课不用抄，你下去过程当中，你自己再整理就行了，能听懂我的意思吗？好了，
那么接下来我们来看看42题这个题。来看这个题。那么，首先我们先看看它说在趋向于这个点对吧？趋向于s0，然后这个极限是存在的，则下列极限当中也是存在的是。那么其实这个题考的是什么？其实这个题你发现选答案是最简单的。对吧，选答案是最简单的。那么，在这种当中，我们来看看考了件什么事情呢？考了这个内容。
什么问题就说，如果说limits趋向s0。fs极限是a我立即可以推出什么当s趋向s0，然后绝对值的极限结果是a的绝对值。能理解吧，就说你的这个极限，结果是a绝对值的极限，结果是a的绝对值。但是你要注意这个问题啊，回推不行。哎，不能回去。这件事情绝对不能回去，就说你极限是a了，我能推出这个人是绝对值没问题，
但是这件事情绝对不能回去。哎，但是所有情况当中总有特殊的，有一个特殊的，它是可以的，谁呢？零如果这个极限结果是零，那这个极限结果就是零的绝对值。对吧，但是这种情况就可以回去，为什么呢？你想想绝对值嘛，不就是正负吗？对吧，不就是正负吗？
你正负的话，你发现这边是正的，那这个这边是零不影响负的，你约一下也不影响。所以零的时候是可以的，好了，这其实就是一个非常重要的内容，对吧？基本知识点，我记得这个这个题目啊，我们在这个基础阶段的结束。有两套通关测试卷，然后这个通关测试卷的话，你发现那个呃应该是第一套卷子还是第二套卷子？应该是第二套卷子那个第二套卷子啊，
你发现我们就考了这个知识点。能理解吧，好了，这个基本问题那么所以说这个题啊，选答案是非常简单的。那你想想，如果这个极限是存在，那这个东西你发现呃趋向方框都行。未必是趋向于这个点，也可以是趋向无穷大什么趋向都行，能理解吧唉，什么趋向都行，所以我一般情况下写这个趋向。别的趋向也都是可以的，好那么接下来你发现那这题的正确答案选几你如果极限存在是a，
那我是a的绝对值，我不也存在吗？选d所以对于这个题怎么做呢？直接法的做题是最简单的，我就一下挑出这个题的正确答案，这是最简单的，也是最快速的。那么，接下来我们再来看看排除法啊。那别的选项为什么就错了呢？啊，为什么错了？你困了。你咋能困呢？今天这么重要。
啊，我为你感到遗憾啊，太遗憾了，来我接下来我们来看看这几个事情，那么首先第一点呢，我可以进行去排除这个b。唉，我可以排除这个b，那么这里面当中，我把这个知识点呢，我们现在讲讲。一个事情是y=arcs in s这个人。那这个人的图像你还记得吗？就这个函数图像，你要注意啊，
这个东西不可不是这个什么y=r呃y等于三一的反函数。它不是的，它是s in怎么了？s in在这一段的反函数。注意啊，只有这一段的反函数。能听懂吧哎，它只有这一段的反函数。那这一段的话，你发现你看这一段的反函数可不是它，所以说注意这个事情啊，只有这一段的反函数。那这个时候的话，你发现反函数和原函数关于y=s对称，所以说r可赛因的图像是这样。
你的这个值域是负一到一，我的定义域就是负一到一，然后你的定义域是负二分之派到二分之派，我就是多少负二分之派到二分之派。好了，这是第一个事情。阿克塞因这个图像，然后接下来我们再来看看第二件事情。arccos in这个图像。好，这个图像那么这个图像长什么样子呢？这不要打点，赶紧给我取消了这零基础提前学讲的啊。啊，赶紧取消，
那这个人是谁的反函数？他可不是cosine的反函数。它是cosine在这一段的反函数，注意只有这一段，这一段的反函数才叫arccosine。所以说这个时候我们来看看这个事儿，你发现它的值域是负一到一，它的定义域其实就是负一到一。然后你的定这个什么定义域是领导派我的值域，就是领导派，所以说它的图像是这样。能理解吧，哎，就是这样，所以你要注意，
对于这两个函数而言，它的定义域是负一到一。只有在负一到一内，它才有定义。对吧，它才有定义，那你想想一个事，我们来看看这个事情。就说如果这个极限要想存在。你得保证这个点的去心领域内这个人得处处有定义吧。是不是处处有定义？那举个例子吧，比如说你发现你看我如果说b选项。我就举这样的一个例子，假设这是s趋向零。
行吧，趋向零那这个东西的话，你发现假设这个东西趋向零那趋向零的话，你可以举这样的一个例子。这是arccos in，然后你取多少呢？你就取x方加上十。诶，那这个时候你来看看这个事儿，你就会发现当x趋向零的时候。好注意啊，在零的这个去心领域内就是在零的附近。零的附近的话，加个十就是在十的附近。哎阿克泼散一个石头附近的一个人。
你的这个人的定义域是负一到一，那这个时候你发现这个附近就没有定义啊，唉，没有定义它的极限，有可能不存在。不是说我说这个人有可能不存在，对于这个人是一定不存在，你能理解吧，我举了一个例子。有一个例子不存在，你说一定存在，它不就不对吗？好，这是这个人那同理而言，你发现e选项是不是也不对？
你也可以举这个例子，对吧？你这是阿克塞因这个人。然后这是多少，你也可以取s方加上十。那这个时候你发现在零的附近这个人就在十的附近，他就没有定义，你没有定义的话，你这个人也不行。因为如果这个极限存在，它得在这个去心领域当中处处有定义，那同理而言c选项也非常简单。那你想想，我趋向于零，然后什么情况呢？
这个人。你可以取多少你比如说我limits趋向零，你出一个负的。你出一个负的话，比如说x ln x- 9。比如说s- 10。那这个时候你发现你看零的附近，这就负多少呢？负十的附近。你负的十的附近的话，你发现在这个零的这个去心领域当中，它就没有定义，你没有定义的话，它当然不存在。是吧，
我们再看a选项a选项最简单。他说，这个极限一定存在吗？你随便举一个，比如说这个is 0是零。这个阿尔法是任意常数，比如说fs就取x，你这个人取负一，那你告诉我这个极限是不是无穷大不存在呀？所以说，对于a选项非常简单，你随便的举例子。他说如果这个人要想存在任意的函数，任意的阿尔法都存在，我就取一个阿尔法是负一。
对吧，我就取这个函数是s。那这是s分之s分之一，那这个极限不存在。所以说对于这个题而言，我觉得非常简单，一个事情打的点是什么呢？你这个极限要想存在，你得在这个趋向过程当中处处有定义。对吧，你得处处有定义，那么现在你怎么办呢？我就举个例子。我就举一个趋向这个情况，我也举一个函数，
结果你发现诶，这个人不存在，那就说明你说错了呀，你说任意函数都是应该存在的，那不就说错了吗？好了，这个点呢，其实非常简单。所以如果将来再看这个题的时候，你就可以大可不必举例子，你眼神瞅一下你就知道。如果在s趋向s0的时候，这个函数有没有可能超过一？这个函数的极限，结果有没有可能小于负一？
如果有可能注意，如果有可能你发现一个事儿，那这个东西啊，它就没有定义。它就不存在那，这个人也是这样。如果在这个趋向过程当中，这个人有没有可能小于零？有可能如果有可能的话，你发现他就有可能没有第一，它就不存在。能理解吧好，这是这个点。好了，那么这个问题啊，
我们就讲到这儿。呃，有些同学的话，这个arcs in和arccos in的图像，你一定要去看看。去看一下零基础，提前学课程，唉，不丢人的不丢人，零基础提前学课程，我讲的反三角函数，把它看一看。因为这个阿克塞因当中啊，还有个考点。有些同学可能看的是同济七版教材，
哎，它上面还有一段。你去看看他这段打的是虚线，这就不是他。你这是要注意到它只有这一段，你到了今天的话，你发现这个图像你都不确定，你这可不行啊。但是没关系，暑期过程当中就是这样，缺什么补什么。哪怕缺的这个东西，你发现是非常非常简单，你也把它补一下。好注意啊，
去把什么情况把那个零基础提前学的第一次课程的反三角函数，把它看看好了，那么这个问题啊，我们就讲到这儿。其实我觉得呃，暑期过程当中遇到错题是很开心的事情，但是遇到错题要适可而止。你错20个题，你15个题都错了，你应该就要知道一个事情是自己的知识体系出现了严重问题。对吧，你包括的话，这个题型的方法肯定处理不好，赶紧重新把这个上课的内容整理一下再做题。但是如果就做一个错了个四五个五六个，
我觉得很开心的事情，你至少而言不是今年24号错的呀。不是最后一场考试错的，如果你做错了，把它改正过来，每当做错一个东西，把它改正过来，那就是提高。啊，这是这个问题。当然呐，这这还用问吗？哦，这这肯定要记住啊。这是最简单的东西了啊。
好了，这是这个问题，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看今天的核心重点内容，大家好好听，我们来看看下一个问题，当这个点也很重要，我把这个内容啊，我们来讲讲。极限的关系定理。啊，极限的关系定理，那这个内容是非常重要的东西。什么叫做关系定理呢？它是这样说的，
就说如果s趋向零啊，趋向于一个点。未必是趋向零我趋向一个这个点，我的极限是a。那你想想一个问题。如果这个极限是a。极限是a，你能说这个人就是a吗？你不能这样说吧，你比如说我说个几啊，非常简单的例子。比如说这是y这是零这是s。你看这个函数。s方这个函数。趋向零的时候极限是零。
对吧，极限是零，极限是零的话，你能说在这个去心领域当中，它一直都是零吗？你不能说，你只能说它接近于零。那怎么说呢？我就这样讲。那立即可以把这个帽子给摘掉，那ifs就等于这个数，再加上一个无穷小量。注意啊，这个东西是个无穷小量，也就说这个东西就是s趋向s0，
这个极限是零无穷小量。一定要听清楚，如果这个极限是a。说明在这个去新领域当中，我算了，我把这个东西写满。所以当什么情况？当x趋向于s0的时候。那这个时候这个函数啊，它就等于这个数，加上一个无穷小量。那这个内容得跟那个等价无穷小的充要条件区分开，等价无穷小量是什么？俩人等价。我就等于它加上一个高阶无穷小，
那个东西不一样啊，一个是无穷小的等价，一个事情是极限等于一个数。把这个帽子给摘了，所以说这个东西啊，你发现叫做极限的关系定理，也叫做脱帽定理，对吧？去掉这个帽子的定理，所以这是在数学分析当中的一个什么啊，通常我们会这样讲。啊，这个东西已经不是一个什么这个呃，非常难的一个东西了啊，这个非常普遍的东西。
就说如果这个极限等于a，我在这个趋向下不能说这个函数，就是a，应该是这个a，再加上一个无穷小量。能理解吧，所以说这种方式啊，通常可以怎么办？去掉这个极限的符号哎，脱帽等式啊，注意一下它。可以了吧，来那么接下来我们继续，我们再来看看下一个问题，极限的性质函数，
极限性质那么函数，极限性质当中啊有三大性质。第一个性质叫做唯一性，第二性质叫做有界性，有界性叫做局部有界性，我们稍微复习一下。第一个内容是这样说的，说如果这是limits一个趋向价。如果这个趋向下，它的极限结果等于个数。那你想如果这个极限是存在的，我就可以说什么，我就可以说在这个趋向下。那这个fs怎么了？是有界的。
哎，有界就说，如果你这个比如说是趋向于三，那我就可以说在三的去心领域内是有界的，别的范围不知道叫做局部有界性。那第二件事情我们继续看，如果说什么呢？说如果在这个趋向下，你发现它的极限结果是无穷大，我立即说什么我就可以说在。在这个趋向下，那这个函数怎么办？它一定是没有解的。对吧，第三个事情，
如果说什么呢？如果说这个limits这个趋向下，你fs这个人极限结果是什么？比如说是震荡的不唯一。正当的不存在，因为这个极限的话，你发现啊，一个极限，它会有以下两种情况，它要不然是存在，要不然是不存在。不存在，有两种。无穷大算不存在，那还有一种不存在呢，
左右极限存在，却不相等，也是不存在。对吧，波唯一的不存在。如果说什么情况呢？你是正当你或者是什么你或者是不唯一都行，这个时候你发现哎，我在这个趋向下。我到底有没有接？这是未知的。好注意下这个问题，所以你要注意啊。如果极限存在趋向下是有界的，如果极限是无穷大趋向下是没有界的，
如果这个极限是不唯一趋向下是不知道的。能理解吧，梳理清楚就行了，这个不是特别难，你今天就把它给我干掉啊，不要一直的话，你就觉得啊，这个知识点。来来回回在这里面当中干扰你好，这是这个第一个问题，那么接下来我们再来看看今天的重点内容。饱和性。饱和性啊，非常非常关键哎，饱和性。
那这个保护性呢？叫做局部保护性。这个保护性叫做局部保护性。呃，所以说我觉得这个每天的上午啊，你不妨拿出这个对吧？拿出一个20分钟的这个时间。然后把这个什么呃，当天的这个公式啊，进行去熟悉一下。该进行去记的这个定理，把它看一看，比如说经常错的这些公式啊，把它看一看，这也是一个非常好的一个情况。
好了，那么接下来我们继续，我们来看看保护性第一个事情叫做脱帽保护性。哎，脱模那这个脱模饱和性呢，它什么情况呢？它这样说的。就说如果在这个什么，我就写这个趋向，我就写趋向于s0行不行？你趋向于别的取向都是可以的。对吧诶，趋向别的情况都是可以。嗯，以后说这种话，
你在前面加一句话啊，我觉得。你左右极限存在不相等，不也是不唯一吗？你震荡的话，不也是不唯一吗？因为你发现这个极限，结果到底取多少不知道嘛啊，也叫不唯一啊。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这个事情，脱帽保护性。那这个脱模饱和性这样说的，我就写这个趋向啊，
别的趋向都一样，如果这个极限大于零。哎，同学们，你想想。如果这个极限大于零。我们来看看这个问题。比如说这是一个y这是零这是s你比如说这是s0你假设你发现你看这个趋向下的极限，结果是a它现在大于零。如果这个极限大一点，对吧？这个大于零，你这个人大于零的话，你发现你看你说明这个附近是不是就大于零？你能听懂我的意思吗？
你看我极限大于零，我就说明附近是大于零，但是很远处呢，不知道不知道，我有可能大于零，有可能小于零，不知道。我只能说明在什么，在这个去新领域当中，我们就可以说在什么，在这个趋向下趋向下什么意思啊？去心领域内怎么了？它这个fs是大于零。能理解吧，注意啊，
我把它给写一下。我把它写开，一定注意这个趋向下，就说我在什么x0的注意是去心领域内。哎，它大于零。但是我有一个问题点啊。你注意一个事情，请问这个点处是什么情况？这个点处是不也有可能是小于零？有没有可能？对吧唉，它是有可能的，所以你要注意这个事情啊，就说如果这个极限大于零。
我只能说在去心领域当中，它是大于零，你就想这幅图就行了，那么接下来我们再来看看第二件事情，非常简单哦。非常非常简单，来再看第二件事情。如果这是s0。对吧，这是s0那如果这个极限结果是什么？零你发现这个极限结果是小于零好，现在这个人是小于零。那这个小于零的话就可以说明什么？说明在这个附近。对吧，
在这个附近，它是小于零的。就可以说明在这个附近，它是小于零。能听懂我的意思吗？哎，就在这个附近，它是小于零。啊，注意一下这个事儿，就在这个附近，它小于零。那所以说我们接下来我们把这条内容，我们又可以进行延展。就说如果这个人小于零，
在这个去心领域当中。它是小于零。但是接下来有一个问题点，那如果这个极限等于零呢？我们再来看第三件事情。等于零的。那就不好说了。对吧，如果在这里面当中是等于零。好，我们再看，你也可以这样。假如这个点挖掉。你发现这幅图在这个点处的极限，是不是等于零？
但是在它的附近有正的也有负的，说不清楚了吧？对吧，就说不清楚了，所以说我们经常讲脱帽饱和性是保证好保负好不保零。那么，接下来我们可以把这件事情讲的更有趣味一点，其实非常的简单。来，同学们，你给我盯着这个人。现在这个极限是不是大于零？你要注意，你想把这个帽子给摘掉。注意下这个事情，
你把这个帽子给摘掉，你只能在怎么你只能在x趋向于x0的时候摘掉。我把这件事情叫做家里。对吧，你只能在家里摘掉。你只能在这个趋向过程当中摘掉。你别的世界的范围内。对吧，别的事件的范围内，那你发现一个事儿，这个东西不一定。你听懂我的意思吗？所以注意啊，你要想摘掉这个帽子，你只能在这个趋向下摘掉，
你听懂我的意思吗？好了，那么接下来我们就来想一个事情。比如说，如果x是趋向于四帧。你fs是大于零。那你告诉我，你在什么范围内才能摘掉这个帽子，你只能在这个趋向于丝针的时候才能摘掉，也就说你只能得到。四的右区性领域当中你大于零。你听懂我的意思吗？好注意一下这个事儿，你只能在四针右曲心领域当中摘掉这个帽子。跟得上吧，
所以这叫脱帽保护性，你想把这个帽帽子摘掉，只能在家里面摘掉。能听懂吗？哎，只能在家里面摘掉。好了，这是这个事情，能听懂吧？好，这是我们讲的这个第一件事情，我们可以把这件事儿，我们可以拓宽的更广一点，要注意啊，保证号保负号不保零。
那你想想一个事情，如果再来。我如果这个极限，我在趋向下它大于数大于a。那不就可以说明什么，在家里面他就怎么了，他就大于零。没问题吧？好，这是这个事情，那如果在这里面当中，我们继续看，如果这个极限怎么了？小于一个数。那我怎么办？
我就可以在家里摘掉这个帽子，我说你小于这个数。其实这个事情非常简单，你把这个a移过去不就是fx-a的极限大于零或者小于零吗？这是一样的。然后接下来我们就继续，我们再来看，如果说什么呢？好，我们继续看。如果这个人的极限比这个人的极限大。唉，我的极限比你的极限大，你能说所有情况比我大吗？不能，
你只能说在你家里面，你比他大。能理解吧，好注意下这个事儿，然后接下来我们再来看看最后一条内容，如果你的极限比它的极限小。啊，那这个时候的话，你发现你只能说什么，你只能说在家里面，你比他小。好了，这是这个问题，所以说凡是要脱掉帽子的时候注意没有等号，你自己写啊，
没有等号。保正保负不保零，所以这一条你看我写的咔咔咔六条，脑子一转就出来了，不要背啊，脑子一转就出来了。我极限大于零，我在家里脱掉帽子大于零，我极限小于零，家里脱掉帽子小于零，我极限大于这个数，家里脱掉帽子大于这个数。小于这个数，家里脱掉帽子，小于这个数对吧？
你发现这个东西真的是脑子一转就出来了。对吧，不用硬着背，千万不要硬着背，那么接下来我们再来看一个东西，有一个人非常恶心。你刚才你发现你是脱掉帽子，那么接下来还有一个问题，那就是加掉帽子这个东西啊，我们在基础班没有讲，所以到了这个强化班的时候就是一个非常完整的体系。来再看这个人叫加调帽子。那么这个时候他怎么说呢？他说如果呀好了，我们讲在趋向过程当中。
啊，就说去腥领域内，如果在去腥领域内，我一直都是大于零的。而且你发现个事儿，而且这个极限趋向下，这个极限是存在的。那你告诉我这个极限什么情况？就是什么情况呢？就说你自己一定要听清楚，就说我在这个去薪领域当中。我一直都是什么零呢？我一直都是大于零。哎，我一直都是大于零，
而且我极限是存在它什么情况？这种情况你稍微进行注意一下，你看。这个人不一样，比如说举个例子啊。你看我可以举两个例子。哎，我可以举两个例子。第一个例子，你看这个人。挖掉它。好，这是s方这里。你发现没？我在这个去新领域当中，
我一直都是大于零。而且我极限存在，我极限什么零？什么零我极限是不是等于零了？我没有大于零，我极限是等于零，你说极限一直大于零，唉，我极限等于零，你不是说错了吗？另外一件事情，我们再来看。s分之一这个人。x分之一这个人在趋向正无穷的时候。一直都大于零，
最后极限什么零？等于零，所以你注意啊，加冒的时候无论怎么样，尾缀当中有个等号，一点都不绕啊，有些同学绕了。如果你绕了，你就说明没有捋清楚，一点都不牢贼清楚。就家冒的时候。就家暴的时候，你就说你在这个什么呢？在这个趋向下，你一直都大于零。
对吧，你极限还存在你的极限，结果是大于等于零。有可能大于零，也有可能等于零，你得把这种可能性把它给我加上去。能听懂吗？所以说这就是家貌保护性。不要背啊，谁背谁就傻了，千万不要背，脑子一转就出来了。能听懂吧，就说它有可能是等于零的。另外一件事情你发现，
比如说我在这个趋向下，我一直都是大于等于零。哎，我一直都大于等于零，我极限存在，我极限照样是大于等于零，所以你注意一个问题，如果想加上这个帽子啊。你别管，你一直都是大于零还是大于等于零，你最后都是大于等于零。能听懂吧，小于号也是这样。如果你在这个去心零当中，你一直都是小于零，
你极限存在你的极限应该是小于等于零。如果在这个去心领域当中，一直是小于等于零，你极限存在，你极限也是小于等于零，就是无论怎么样，你这块东西一定是零。跟得上我的意思吗？就说加冒的时候，后面一定有个什么有个等号好了，这是这个事情，听懂我的意思吗？哎。你发现这有同学问这个问题啊，还有刚才有个同学问为什么没有导航，
我是我上课的时候是没有说吗？你看看上了这么久课了，你其实已经不是第一次听我们的课程了。对吧，除了那天上午的那个八点钟那个课程，我现在仍然非常的内疚啊。状态非常差，但是你发现别的事情，我哪个点没有告诉你这个所以然呐？对吧，哪个东西我没有前面跟你讲，摘帽的时候我说等于零判断不出来，判断不出来，我是没有讲嘛，对吧？
你上课注意力一定要集中一点。好了，这是这个点能听懂我的意思吗？所以你注意，如果想进行去去掉这个帽子。对吧，他一定是保正保负不保零，但加掉这个帽子，他永远都是大于等于零。你看这位同学又来了，要不要连续不要胡扯，千万不要胡扯，我们说的是这个趋向过程当中。这跟连续半毛钱关系都没有，不要胡来啊好了，
那这个点我们就讲到这儿，那么接下来我们再来给你出一个题，我看你水平怎么样？我这样说，如果说。我在x=4的。去新领域内。wif is啊，我一直是小于零。那么请告诉我件事，我的这个极限是小于等于零，对不对？好，告诉我件事情对还是不对？对不对？
对不对？对不对？不对啊。这个我其实不太想用这种题来骗你，因为我觉得非常没有意思啊，非常没有意思，就说但是你去做有些这种书籍啊。呃，这这种书籍其实大部分是数一数二数三的这种书籍啊，我相信有一本书经常这个碰到这种题，你注意啊，你得说一件事情。切什么东西呢？且这个人极限是存在的。必须是存在的。
你如果不存在，我什么小于等于零，那就是不存在啊，还有什么小于等于零啊，你注意一下这事儿，你得说一下这个极限存在是不是？很没有意思啊，这这这，但是你去做这种有的，有时候因为我们三九六的这个题目啊，很少会这样。但你做这个数一数二数三的真的好多，这种题对吧？硬生生来骗你。你能听懂我的，
你得得存在，你不存在的话，你什么小也懂不定啊，那多没有意思，好，我来看看这个事儿，我看看大家到底有没有学清楚来看一下这个题？好，先看这个题。呃，这个题我觉得是大家你不要看的文字儿多啊，迅速战速决啊，很快就做完了。啊，很快做完了。
那么，这里面当中，我们先提前先把这个内容点，我们先梳理一下，稍微等一会儿吧，我把这个保护性的内容，考研的方向，我们先跟同学们梳理一下。来看看这个事情。黄金重点。黄金重点。那么，在这里面当中啊，考研保护性的方向。保护性考题。
两大方向。那么，第一大方向。那第一个方向就是什么呢？就说如果已知极限的正负性。对吧，就说我已经知道这个极限的正负性。这个极限是正的还是负的，我就知道了，这个极限的正负性予以判断。预判定。被求极限。函数的正负性。立即想到饱和性。能理解我的意思吗？
就说你在这里面当中，你已经知道了什么东西呢？你已经知道了这个极限的正负性。好，我们看第一条就说你已经知道了这个极限的正负性，你想干嘛呢？你想看看这个被求极限函数的正负性。那这时候怎么办？我会立即想到报号信。你能听懂我的意思吗？那非常简单，这个极限的正负性都知道，我想看里面的正负性，我不就是把帽子脱掉嘛，其实立即想到脱帽保护性。
好了，这是第一件事情，然后第二件事情对吧域？比较两函数。在一。趋向下的大小。对吧，那这个时候我怎么办？我也会立即会想到不好写。所以说这其实就是我们这个部分内容。就说你知道了这个极限的正负性，大家知道我们是学数学啊，你不要光背像背语文一样的去背这几个字儿。对吧，我这又不是什么语录，
对吧，你不需要背啊，你需要理解就行了，你只要理解就行，所以大家注意，我知道了这个极限征服性。我想看里面的正负心，那这个时候你发现我肯定脱帽啊，这不用想。然后第二件事情你想比较两个函数在一个趋向下的大小。对吧，比较两个函数在一个趋向下大小。我就想到饱和性，为什么呢？因为我们知道，
我就立即来进行去求这两个趋向下的极限。对吧，谁的极限牛逼，你的极限大，我在趋向过程中，你就大，如果你的极限小，你在趋向过程当中，你就小。就是这两个问题。你不是要想比较这两个函数在这个趋向下大小就比较极限大小。谁的极限大，谁在这个趋向下他就大，那这个思维方式其实是非常非常明显的能理解我的意思吗？好了，
这是这个问题，能想清楚吧，哎，两大方向性的考题。那么，我们先来看看一个题吧，你先把这个第一个题做了。来，我们先看第一个题选几啊？告诉我件事，第一题选几？首先，他说这个极限等于二零二四，这个极限等于二零二三，你能说这个函数值就等于二零二四二零二三吗？
肯定不行啊。连续的时候才可以极限跟这个点处的函数值没有关系。然后接下来我们再来看你，发现我马上得到了一个事情，这个趋向于s0，你发现这个极限是二零二四，它的极限比它的极限大吧？你的极限比你的极限大，你只能说什么东西啊，你只能推出一个声儿。在x0的什么去心领域内。你比他大。你只能说明在这个去心领域内比他大，你不能说任意点处都比他大，这不对的。
然后再来看他说在这个某去新领域当中均有意义。c对不对？对吧，某领域当中的话，你发现某领域当中均有意义。这个c选项有点骗人。你注意啊c选项为什么不对呀？c选项为什么不对？啊c选项为什么不对处？处处跟有定义是一样的哎，你没没抓住啊？诶，非常好，你注意一下这个事儿。你看limits趋向s0，
这是二零二四，它的极限是存在的吧？limits趋向s0。你这个极限是二零二三，你极限是存在的吧？如果这个极限是存在的，不是处处的问题哦。处处的意思就是说在这个呃，在这个去心领域当中，它是有定义，每个点有定义啊，就这个意思。这个东西的话，你看你的极限存在，应该说的是在这个去心领域当中，
它是有定义。对吧，去腥，而你这个点说的是什么淋浴？淋浴的话，同学们注意淋浴是包括了那个点。大家想想一个事儿，我只能说去新领域当中有定义，没有任何问题。邻域包括了那个点，我问你个事儿，你这个极限存在能不能在那个点处没有定义？可不可以？可不可以在那个点处没有定义可以的呀，我这个极限存在，
我在那个点处没有定义可以啊。所以你发现你看领域就错了，改成去腥领域就对了。这个选项出的真好。当时是怎么想的呢啊？这个选项出的非常棒，好了，那么接下来我们再来看看e选项。他说你发现这是二零二四。大于零，大于零，如果这两个极限大于零，我只能说明在这个去心领域内大于零，只能说明在家里脱掉这个帽子，你不能说任意，
这不对。所以说，正确答案选几啊选d。所以你一定要听清楚你这个极限是二零二四那个点处的函数值，我不知道你这个gs极限是二零二三那个点处不知道，所以说那个点处我不知道是什么情况，因此你发现。d选项当然对能听懂我的意思吗？好，这是这个事儿，能听懂吗？行，那这个这个问题能想清楚吧，就说这个去心，这不是领域，
这是去心领域啊。那个点没有定义的话，为什么有极限？你这样学习怎么行啊啊？你上节课没有听课吧啊？这是上节课讲的极限，跟这个点数函数真没有关，这我说了好多遍了啊。哎呀，这。这个问题可很大了啊，你这这下去得自驱一点来，这个点我们就讲到这儿。好了，那么接下来我们来看看下面这个题来做一下这个。
我给你出的模拟题，这个题。来看这个题。看这个题目，你注意啊，这个。你不能这样学习啊，你这样学习的话，你发现一个事儿，你最后你会发现你还挺你说你付出时间了吗？你也付出了，你说你努力了吗？你也努力了。但是你发现这个效果不好，有什么问题呢？
就是上课的内容，你发现刚讲的东西，你你转头就能忘。一定注意，你下去一定要把知识点啊，梳理清楚啊，好没关系啊，没关系，不不不用不用道歉，好好好来，我们继续啊。所以说下次稍微注意一下就行，来看这个题吧。看一下这个题，选几我给你。
一分钟时间来做来动手吧。我给你一分钟啊，一分钟之后我再开这个评论区啊。啊，慢慢做，不要着急啊，对吧啊，慢慢来。好，做完了可以给我回复一下了，这个题。好，我们来看一看这个题。那第一句话没问题吧？如果这个极限大于100，
在去心领域当中大于100没有问题，这是我们原模原样化。你的极限比他的极限大，在这个去心领域内比他大，没有任何问题。我们先来看看c选项吧，可以吧？先看c选项。c选项的话，你你发现啊，这个是四选项，这个第四个人，那这个人的话，其实你发现不就是limits趋向零。fs比上二分之一s方，
它等于二啊等于一。你把这个二分之一乘过去，那这个人其实就是二分之一。那你想现在我想看这个去心灵域范围内被求极限函数的正负性，也说我想看看这里面的这个人的正负性。那这题考什么不就说我知道了，极限的正负性，想看里面的正负性，我立即怎么办？我立即脱掉这个帽子。立即脱掉这个帽子的话，你发现只能在那脱，你只能在这个林的区域性领域当中脱。对吧，你只能在这儿拖。
也就说你只能得到这个去心邻域范围内，你这个人大于零，而你s方一定是大于零，那fs不就大于零吗？所以说这个时候啊，你就会发现它是对的。在这个去心领域范围内fs肯定是大于零，没有任何问题。那么关键点就是三这个人。对吧三这个人对不对？三这个人的话，你发现他说我在这个趋向下。我这个人比你大，而且你的极限存在，你的极限存在。
你看这有同学又来了，不需要要求你发现你你我先说一个问题，你的知识体系非常的混乱。呃，非常混乱啊，极其混乱，你稍微好好捋一捋啊。这跟连续半毛钱关系都没有。好了，那么接下来我们再来看看第三个人。那这个东西的话就说什么呢？你发现看这个第三个人，我在这个趋向下。我这个人比你大，不就说明我减这个人一定大于零吗？
是吧，然后接下来的话，你发现这个极限存不存在呢？我们来看看。你第一个极限存在，你第二个人极限存在，我这两个做差的极限不也是存在吗？能理解吧，就说你在这个去腥淋浴当中，你一直都大于零。而且你这个极限是存在的，那你这个极限是什么情况？你这个极限一定是大于等于零，同学们注意，这是加帽子的东西。
注意这个东西是假帽子东西。不是趣帽子，是假帽子，所以说这个东西啊，马上出来了。对吧诶，这个东西，所以说这个a1定是大于等于b，不是大于b不对。好了，这是这个问题吧，你要想清楚这个事儿啊，所以说这个点呢啊，慢慢来啊。啊行行行，
这个上课。啊，都是同班同学对吧啊好，所以说这个题的正确答案选几啊呃，选d。能理解吧哎，所以说这个部分的内容马上出来。比值极限不应该是零。在在讲什么呀？我知道了，我知道你的意思。你说下面的极限是零，上面极限是零。那上面的这个东西的话，你就发现上面的极限是零的话，
你就说保不住好，所以说这个东西不对，是不是啊？哎，你注意啊，就不是这个知识点，你用串了，你判断不出来，就说明你这个方法用错了。他其实这个东西是能判断出来的。注意啊，我再来梳理一下这个事情，比如说比值极限存在下面极限是零，上面极限是零。极限是零。
对吧，极限是零，那这时候就保不住好了，那说明的话，你这个方法有问题。对吧，你得统一着看你这个整体大于零，然后这个什么在趋向过程当大于零，你下面大于零，上面大于零。好了，这是这个点吧，我们就讲清楚了，能听懂吧？唉，
所以说一定要想清楚哦。怎么怎么进行去看？加帽子还是去帽子？你这不是知道了他的正负性，想看极限正负性，你就加那个帽子，看帽子的正负性嘛。啊，你再梳理梳理吧。去帽就是去掉帽子嘛，你加帽就是加着帽子好了，这是这个问题啊，我们想清楚了吧，你下面极限是零，上面极限是零，
你极限是零，保不住好了，你就说明你这个方法有问题。你得换方法啊，换方法。好了，这是这个点，所以说像这个内容啊，你就会发现一个事儿。哎呀，我发现这个大家有些同学的话，这个你基础班，你说实话，你这老是不复盘的，你这有可能耽耽误很多同学的，
大部分同学时间。就说你下面极限是零，你上面的极限不就是零吗？大于零能保住正号，小于零能保住负号，等于零不就保不住吗？好了，这个问题啊，我们就讲到这。行吧，那么这个事情我们就说到这儿。那么，这个问题点呢？你下去好好来一来呃，有些同学可能基础班你没有看的同学，
你不要着急进去去看强化班。你把基础班的话，你的东西你好好消化，你都能进行去处理，很高的一个分数了，我们今年的话，这个基础阶段的那个通关测试卷那两套通关测试卷。其实是去年的话，那个冲刺阶段的两套模拟卷的大部分的题，那所以你看很多同学都能做的非常的好啊。所以我觉得呃，慢慢来，尤其我们考三九六的同学，你这个要稳稳当当的，你基础都没有的话，
这个上强化问题点还是很大。好了，那么这个问题啊，我们就讲到这儿过去了，可以吗？唉，这是这个问题，这是我们讲的这个强化42。来吧，那么接下来我们继续，我们再来看看下面一个题，你看看这个题怎么做？看一下这个题。那么，接下来我们来看看这个人，
你看这里面当中有三个人。他说，充分大的时候会怎么样？什么叫充分大呀？这个题可以秒啊，这个题特别适合考给我们。什么叫充分大？充分大其实就是s趋向于正无穷。就是s趋向正无穷，我们刚才讲过。比较一个趋向下的大小，只需要比较什么大小，只需要比较极限，谁的极限牛逼，谁在这个趋向下就牛逼。
你就来进行，怎么办？你求这个人的极限，你还要怎么办？你去求什么？你去求这个x极限。你而且还要求什么？你还要继续去求一亿的十分之x极限。你要去求这个极限，那么这三个极限之间什么关系呢？你发现这正无穷，这个正无穷，这个也是正无穷，三个人都是正无穷。那三个人都是正无穷的话，
这个正无穷有没有大小关系呢？我们有。这件事情是我们讲过的。什么问题呢？就是趋向状态的问题。就说当s如果趋向正无穷。对数函数。远远小于幂函数，远远小于指数函数。对吧，就说你趋向正无穷的时候，你是非常大的。你这个人要想非常大，你必须要保证阿尔法大于零。幂函数的第三幅图。
对吧，你这个时候是正无穷。你要想保证这个指数函数是正无穷的话，你必须要保证这个a大于往上跑的诶，这个人也是正无穷。就说趋向正无穷的时候，对数函数远远的小于幂函数，远远的小于这个指数函数，我相信听完这个基础班，你发现一点都不陌生，这叫指数爆炸吧。是不这个事情，那有同学说来了，说老师我打了十次方啊。那打了十次方，
那就不一定了吧，你这个人比他小，我打了十次方是不是就不一定了，我原来过程当中我基础班的时候我讲过一个什么事情。啊，我讲过什么？我讲过一个东西叫me。阶级。对吧，阶级你不要说你十次方，你打个一亿次方，你也超不过他。是不是啊？哎，这是个阶级，
你不要说我十分之一，我一亿分之一，你发现你也超不过我。我讲过这个事情吧，所以你就会发现个事儿，这是个阶级上的跨越。所以这个问题点的话，你要想清楚就说这个东西，它是远远小于这个人，远远小于这个人。能听懂吧，所以说这个时候你发现当s趋向于正无穷的时候，我的极限远远比你大，远远比你大。那这时候我就可以立即说你的极限比他大，
在这个趋向过程当中，你这个人呢？就比我小。就比我小，所以说正确答案选几啊，最大的是hgf答案选c。呃，这是一道真题，我把它稍微改了一点点啊，改了一点点。好了，这是这个问题啊，但是啊。不要这样，不要抛开数学，
我们不谈，我们谈的是数学，你别别别扯了啊，对吧？我们谈的是数学。啊，谈的是数学。我们在谈这个数啊，不要跟我上升到别的什么哲学了啊，好了，这是这个问题，能听懂我的意思吗？所以你看比较这个趋向下大小，你就求解这三个人的极限比较极限大小。谁的极限大，
谁在这个趋向过程当中，谁就大听懂我的意思吗？谁的极限大，谁在这个趋向过程当中，谁就大？好，这是这个问题，我们就讲到这可以了吗？行吧，那这是这个问题。过去了。呃，所以说函数极限这个部分内容我们就讲到这儿，那么接下来我们就继续，我们再来看看下一个专题问题，
我们来看看数。数列极限的定义和性质问题啊，数列极限。那么今天的话，我们尽可能的，如果能把这个什么数列极限讲完，那是最好的啊，这是我们今天的目标。我们能把这个数列极限的定义和性质，我们把它讲完。然后这个明天的话，会有下一个板块的，这个决胜300题，然后这个时候的话，你看明天的时候。
26号那26号，27号两天，你可以把这个作业做了，然后27号的这个晚上我刚好去讲第一次这个作业。然后讲作业的时候的话，可能这个因为我，我就会把这两次作业一块儿讲了啊，足以等到。好了，这是这个问题，那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个问题啊，数列极限的这个定义和这个性质。啊，还有还有个题吗？
啊，没了吧啊。哦，我以为是27题呢，是27号好吧，好这个问题。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看数列极限的这个定义和它的性质。那么，首先我们先看看第一件事，数列极限的定义。在讲这个问题点之前呢，我们先来看看数列啊，注意数列。
这是数列吗？那么同学们告诉我一件事儿，数列这个人。对吧，这个数列里面当中有多少人呐？里面当中有无数多个人听懂我的意思吗？里面当中有无数多个人。它里面当中你不要看到一个SN就是第n项，不是的，它有s1s2s3移植到多少？一直到SN，一直到后面去。能听懂吧，它里面当中有无数多个人。这叫数列，
是一堆人一列数。听懂我的意思吗？所以这种当中面临第一个问题，你发现子数列，你看这个2n。谁是谁的自处理啊？你这个n要从这个什么一开始动你为一的时候，这是二你在这是四，然后一直下去。你很明显会发现你这个下面这个人是上面的子数列。你只是我的偶数项，所以说你叫做我的偶子数列。对吧，这是这个人，然后接下来我们继续看，
如果这是2n怎么办？减一呢？你为一的时候的话，这是s1。你v2的时候，这是x3好了，这是这个人，所以说这个东西是上面这个人的基字数列，你只是我的奇数项。机子助理。那另外一个点的话，你要分析清楚，请注意数列极限，只有一种趋向，就是n趋向无穷大。
这个无穷大指的是正无穷。数列极限只能往，正无穷跑好了。这是第一个问题，然后第二件事情你要注意了，我们通常说什么呢？我们说如果这个人的极限。对吧，极限有两种，要不然是存在存在，我就说这个数列是收敛。如果这个极限不存在，我就说这个数列是发三。能听懂吧哎，就要注意一下这个事儿，
如果极限是存在，我就说这个数列是收敛，如果这个极限不存在，我就说这个数列是发散。所以你发现这件事儿纯属装逼，对吧？原本的话，你发现存在和不存在就行了，但是呢，他偏偏在这里面当中又起了一个名儿，叫收敛和发散好了，这几个信息点呢，你把它了解清楚。那么，接下来我们来看看数列极限的定义。
哎，我们来看看这个电影。竖列好，我们先来看看这个事情。比如说我们写一个数列极限，就说当n非常大的时候SN的极限是a。对吧，当n非常大的时候，它的极限结果是a。那这个情况的话，到底是什么样子呢？它这样子的，那么写这个定义的话，其实也非常简单。你要想写它的极限，
是a你来告诉我件事儿，注意这块儿东西，好好理解啊，我害怕在这里面当中考定义的题啊。第一件事情，他第一句话怎么说？叫做无论你有多么的小。我和你之间的距离比他还小。无论你有多么的小，我和他之间的距离比你还小，不就说明了SN的极限是a吗？SN极限谁？对吧，就说SN接近于a，但是你发现什么时候SN才接近于a呀？
当n趋向无穷大的时候，你的极限是a就行。那么，这种状态是什么样的状态呢？他这种状态是这样，你发现看这是第一项，比如说你的极限，结果是a，你能保证第一项就接近于a吗？你不能，你能保证第二项吗？第三项，第四项，第五项，你能保证这些东西接近于a吗？
你不能保证。你只能保证的是，哎呀，后面那些人都非常的接近于a。对吧，后面那些人都接近于零，所以说什么叫做n趋向无穷大呢？它是这样说的，就是存在的一个正整数。存在的一个大n。从这个大n之后的这些点。大n之后的这些人都接近于a就行。所以他是这样说的，就说我存在了一个正整数大n。当什么情况？
当我比这个人大的时候。就说我只要能保真。从一个点开始之后。这后面的所有人都接近于a，它的极限就是a，你听清楚这个事情啊，就说你只要能保证从一个人开始之后。所有人。不能写人是说所有的这个东西都跟a非常接近，它的极限就是a。你能听懂我的意思吗？就说你得保证从谁开始，那我问题来了，你从这个人开始可以。那我想问你个事情。
大家来告诉我一件事，我说这个大n从这儿开始行不行？行不行？你告诉我可以还是不可以？我这之后是不是所有人？我只要从一个人开始，之后所有人都接近于a它的极限，就是a。可以啊，没有任何问题啊，你当然可以在这儿，所以说他这个大n是存在的，你只要理清楚一个事情。只要从一个人开始。之后所有人都接近于a就行了，
只要有一个人开始。对吧，从这个人开始之后，所有人那就行，只要是这种情况，你听得懂我的意思吗？所以说这个极限的定义啊，四句话一定要非常理解。第一句话和最后一句话说明了SN的极限水平。而中间这句话，它的意思就说从一个人开始之后，所有人他就叫做n趋向无穷大。就是从一个人开始之后，所有人所以说这里面当中啊，我每当讲到这个事情的时候，
我都会给你讲这个事儿叫什么东西呢？叫至高礼节。哎，注意啊，数列极限的至高理解。那这个东西到底是什么意思呢？它就这个意思好，我们再来梳理一遍来看看，就说如果。n趋向无穷大的时候，你的SN的极限谁？那这个时候我们来看看这个事。哎，马上来处理一下这个事情。拉条线。
那你会发现，如何能保证SN的极限是a呢？就是从一个人开始之后，注意这个人在哪无所谓。只要从这个人一旦从他开始，所有人。之后的这个人的数列结果，这个人这个人后面所有的数列结果，你比如说这个数列结果叫做n+1。这叫n+2，你只要能保证这后面的所有的数列结果。都跟a非常接近就行。只要能保证从一个人开始之后的所有人就行。对吧，只要能保证从一个人开始之后，
所有人所以接下来我们看看这个定义啊，来出一个题。我们来写。如果这是n趋向无穷大。SN的极限是a。我们现在来看看这几个人能能不能作为我的定义，你觉得能你就你就说对的就行了，对吧？我们来看看能不能作为定义。第一个人，他说。对于任意的一步之中。它属于零到一。然后怎么？存在了一个正整数大于零，
当这个n趋向这个什么大于这个人时候。你这个什么东西呢？你SN和a之间的距离比它还小。行不行可以没有任何问题，这句话绝对对。为什么呢？你想想这个事儿。那这个东西的话，你发现它是什么？他就能保证非常的小，我和他之间的距离比他还小。可以吧，因为这就是n趋向无穷大嘛。这就是n趋向无穷大呀。然后的话你发现只要保证这个事儿就行，
来那么接下来我们继续，我们再来看。再更改一下。大家好好听啊，那么如果这个东西我改成什么？小于等于一不增，对不对？对还是不对？那这件事情我们也讲过。你发现你可以把这个东西说小于二倍的一不错。那这个时候你发现你这个人对于任意的一不从他二倍的一不从不就属于零到二吗？你把这个人记作成一不送一撇。那这个时候的话，他的问题点就说你无论多小，我和他之间距离永远比他小。
这是对的吧？好了，我们接下来继续啊，你循序渐进啊，你这样才能学好来，那么接下来我们继续，我们在这里面当中继续改。好注意啊，是对的啊，这上节课讲的原模原样内容来，我们接下来继续改，我把这个人改成什么东西呢？等号对不对？对还是不对？你就告诉我件事，
这个人对不对？我要先讲这个什么诶，你先看吧，这个人。对不对？它能不能表明从一个人开始之后？能还是不能？他有没有表示从一个人开始之后，他说存在了一个大n。然后什么情况呢？他然后说从这个点及他之后有没有保证从这个人之后有，只要表明了从这个人之后他就是n趋向无穷大。所以这句话对不对？仍然对它仍然表明了什么东西呢？仍然表明了是。
n趋向无穷大。你当然可以说存在那个n- 1大于零，从这个人之后你可以啊，所以说大家注意这三条内容都是对的。好了，那么这个题啊，我们就出成这样。你发现这样的话，我们就把定义真的是深层次理解了，你要注意，我一开始上来就加两个等号，我估计你有点儿受不了。你看我先讲第一个人，你理解了。我再讲第二个人，
我在这儿加个等号诶，你也理解了我，然后接下来在这儿加个等号，再加个等号诶，你也理解了，那么接下来请看我们下面后面的一个题。我记得讲义当中是应该是有一个题吧？我们来看看这个事。有吗？应该有一个题啊。行吧，我们稍微休息会儿啊，休息会儿，我稍微找一下那个题。啊，
找一个题，我们来看看。行吧，我们稍微休息会儿啊，我应该没有放这儿。行吧，稍微休息会儿，一会儿我们继续。来休息会儿吧，一会儿我们继续。
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