9-03八大应用技能（5）-涂色问题、特殊元素
下面我们来学习涂色问题。好什么涂色问题？就是染颜色，根据几种颜色来进行填涂，比如如果给几种颜色来填涂，所给的图形，这就是涂色问题。好，那这个图形它可以是点，比如几个点也可以是线段。也可以是面。啊几个平面？好，那么这个点的话，类似于咱们，比如说车站一样是吧？火车站也好，或者地铁站也好，它每个站呢，就是把它看成一个点。然后呢？这个点的颜色相邻颜色呢？不一样那么线段啊，线段就是一段一段的啊，一段的每个线段。它的颜色呢？是不一样的，好面儿面儿，就像咱们地图，它的图色就像每个行政区或者每个省份，
它的颜色呢？是不一样的。好，这是它的特征。好，这是写的这个题目的，这个特征，接下来我们看一下解题方法是什么？看一下它的解题方法，结果它按照图形呢，可以逐一填涂。比如，按照图形，比如先涂a点，然后再涂b点，
再涂c点是吧？按照或者说先涂第一个面，再涂第二个面，应该按照所用的颜色的总数来进行分类讨论。使用颜色总数，比如说我用三种颜色来涂，用四种颜色来涂，用五种颜色来涂啊，看使用颜色用了几种来进行涂，这样都是可以的。好，那么这个涂色问题，它的呃要求什么要求就是。给大家说一说它相邻颜色呢，不能一样，
所以在这里面就像我们做这些题一样，它相邻区域也好，相邻点也好。那么，它这一块它的颜色不能一样，而且呢，颜色是可以重复用的，什么意思？比如说像咱们彩笔一样，这个红色用完以后。那么后面红色还可以再再用好吧，所以这是它的特征啊。好，那我们来看一下区域图的，区域图的其中面图图色好吧，
给画几个面，因为区域图的咱们用的更广一点，比如说这个城市分为这几个区这些地图。它分为这几个区，然后呢，让你来涂颜色好用五种不同的颜色给图中一二三四五一二三四部分涂色，每一部分呢？只涂一种颜色，下面部分涂不同颜色。好，那在这里面，我们来看一下它的这个特征啊，它的特征好，那看一下第一块，我们就按照顺序图好吧？
然后第一块区域，第一块区域，它有多少种方法呢？它可以从五种颜色随便选一种是吧？这c5就代表第一块区域。它的颜色的总数。啊，颜色的方法数，然后咱们看一号图案，咱们看二号二号区域的话就变成c四一是吧？也就说它它五个颜色，它用掉一个用掉一个，这时候还剩下四个。所以这个就c4e。然后再看三号区域，
三号区域就可以写c三一。三号区c三一好，这个写好了。接着我们再涂四号区域，所以四号区域它可以跟一号区域颜色一样，因为四跟一它两者是分开了，它可以跟一号。四号区域也可以跟二号那么颜色一样，四号区域它只要去掉三的颜色不能用就可以了，比如说有五种颜色，那么三号区域它用掉一个，那么四号区域。还有四个颜色可以用是吧？这样就写出它的这个结果了，好，
很容易这样就求出来。好，大家看这个是不是明白了好这个答案就选择a选项对240这个很容易算。好，这是给大家强调的，做题的点，不管是区域图册还是点图还是线段图册。做题的特征都是一样的啊，都这样来进行划分都是一样的方法。下面咱们再看一下一个区域图册，这个区域图册跟刚刚那个区域图册呢，稍微麻烦一点啊，好那么一个地图分为五个行政区。啊，画了五个行政区，
然后现在给这个地图来涂颜色，要象征区域不得使用同一颜色。啊，向量区的颜色不能一样，像四种颜色可以涂，问有多少种方法啊？四种颜色可以涂好，这道题大家注意。先涂谁那么先涂一这一块，即使一这块序号，它不是第一个啊，比如说一它的标号是一二三四五，最后中间这块标号是五号，也要先涂中间这块。为什么先涂中间？
因为中间这块，它跟各区域都有关联是吧？都有关联一定要，因为因为一定要先涂什么先涂跟各区域都有影响的东西好吧，一定要先涂一号，一号的话就可以。写c，四亿。好，这是一号区。好吧，可以写c四一药居这个写好了啊c4e好一药学好，接着涂二号二号，大家可以发现是不c3e。是吧，
因为二号颜色要去掉一号用过的颜色啊，去掉，所以这就是c三一，然后再乘以三号区域好，三号区域大家可以发现。三号区那么这时候四种颜色去掉一的，用了一个去掉二的，用了一个，还剩下两个啊，所以是三号区。好，然后咱们再看四号区，所以四号区它可以跟二一样，也可以跟二不一样啊，所以有同学说四号区域，
四号区域就是四种颜色，去掉一跟三。还剩下两个，还剩下两个四号区域写个c二一，但四号区域如果你写个c二一，你想想那五号区域就不好写了，五号区域到底有几种颜色不好写了，因为五号区域在写的时候你可以发现二跟四。如果颜色一样，对五号区域的选择是受到影响了啊，所以在这里面，所以这块如果前面的选择对后面选择有影响。我们强调过记住一个词，互相干扰，要干什么要分类。
是吧，要分类。好分成什么分成四号与二号同色，四号与二号同色四的颜色就不用选了，或者四号就一一种颜颜色，它不用选了。比如二号，它涂的是红色，四号，它也涂红色嘛，是不是？所以在这个就四。与二同色。四与二如果同色的话，五号区域我们看有几种颜色可以选是吧？
五号区域，然后四与二要同色的时候，五号区域的话，这时候四种颜色里面。去掉二跟四用过的一种，然后再去掉一用过一种，那么五号区还有两种，所以这就是五号区。加上分类用加法，这样如果四跟二颜色要不一样，四跟二颜色要不一样，我们看这个颜色还有几种可以选？四跟二颜色要不同，那么四跟一也不同，所以总共有四种颜色对吧？
总共颜色比较少，四种颜色，四种颜色啊，四号区域要去掉一用过的。然后去掉二用过的，去掉三用过的，所以四号它也只有一种好吧，就四与二不同色的时候。不同色的，它也只有一种好，这个四跟二颜色是不一样的，那我们看五号区有几种选择，因为五号区的话，它不能用二号的，不能用一号的，
不能用四号的，所以五号区也只有一种选择。好，这样后面这个一就代表五号区域的。好，这个给大家进行分类啊，分类分类，这个写完就等于72种，这个答案选d选项好，这是给大家强调的好，什么时候需要分类，我要给大家进行强调。好，您可以发现，如果有两块区域同时影响这一块的时候，
就要分类，比如二影响这一块，四爷影响这一块，这时候呢，我们就要分类做。好吧，就要分类来进行思考，所以呃，要分二跟四同色，二跟四不同色来分析就可以了。好在这里面除了这种分类法做之外，还可以用什么使用几种颜色来涂，比如说总共四种颜色，四种颜色都用上我们看。怎么样？
我只用三种颜色来涂，怎怎么样是吧？那样的话，大家对它要求更高，大家容易错，所以我那个方法就不再讲了，大家自己可以看一下书上的方法。接下来我们再学一下线段涂色问题，线段涂色线段涂色跟跟这个呃区域涂色。这个都差不多啊，所以对线图色要要注意，各线段依次涂色方案有根据，总共用了多少种颜色来分类讨论？刚才还是那样的方法啊，总共用了几种颜色？
第二，根据相对线段是否同色来分类讨论？好，我们来看一下，用红黄蓝白四种颜色来涂这个矩形。四个边就像大家小时候学画画课，美术课一样，然后呢，这个四个边分别是abcd。啊四个边，然后每条边只涂一种颜色，然后切实相邻，两边涂不同的颜色。我问颜色好，如果颜色可以反复用啊，
颜色呢？是可以反复用问共有多少种不同的涂色方法？好在这里面我们来看一下我们呢，就按照顺序依次涂好吧，先涂AB边AB边的话就是c四一啊，这是AB边。写好了是吧？a边它有c4一种，然后再看BC边BC边的话就c三一，这是BC边就c三一好BC的边写好了。然后咱们再看CD边CD，这个边CD这个边的话CD这个边的话CD这个边要去掉BC边。是吧，因为四种颜色CD可以跟AB颜色一样啊CD，它只要去掉BC边，
去掉BC边四种颜色，去掉BC边用过是c三一，但如果CD要写c三一的话。AD最后一条边，你不好写了，面临的问题跟上一个题一样，它有可能同色，有可能不同色，所以我们要看啊，如果CD。与AB要同色。CD就一个方法啊，其实这个音可以省略明白吧，我写上主要让大家看得清楚一点，好CD跟AB一样，
比如AB涂的是红色，那么c。他涂的也是红色。然后这时候再看AD，如果这个CD跟AB颜色一模一样。一模一样，一模一样的话，这时候AD有几种选法AD是不是剩下三种选法好AD的话，只要剩下AB和CD的颜色就行了啊，剩下三种选法。所以这时候呢，就是AD的颜色，然后再加上再加上什么呢，再加上如果CD与AB要不同，色CD与AD不同色，
它有几种颜色可以选，总共是四种颜色，对吧？剩下的AB颜色去去掉一种BC颜色，去掉一种，这时候CD还剩下两种。好，这是CD与AB。它是不同色的。然后再乘乘以好，再乘以再乘以然后呢这块这这个颜色的情况，再乘以什么情况呢？再乘以这时候如果AB和CD颜色不一样。那这时候AD它有几种选法啊？几种选法我们看一下，
就是AB和CD颜色不一样，颜色不一样的话呢？那这个AD颜色在？在四种颜色里面去掉AB使用的，去掉CD使用的还剩下两个c二一是不这样的。啊，这个写了这12×1个三+4。然后这样就得到八四。好这个呢，选择a选项好那么点的图色，跟它们都类似，我们就不再一一讲了，好不好？也就说去涂色呀，现在涂色呀，
然后。然后还有这个点的图册都差不多，差不多也就说如果有两个干扰，同同一个时候，这时候你分分类。比如说这个AB跟CD都会影响它是吧？这个可能这个都会影响它这时候啊，大家分分类就可以了啊。分类的思考，分类来做好，这样就行了好，那通过这个题，大家呢？啊，要学会这个涂色，
咱们涂色要求也不高，好吧，大家把涂色每一块也好，每一个线段上每一个点也好，都给大家涂色，涂色的话，它跟咱们之前的。排组合里不一样的点呢，有这么几个，第一个颜色，它可以重复用，比如红色，用完后，后面你还可以再用。第二个就每个对象，
它只能选一个颜色，你不能说我AB这个边用两个颜色来涂，又涂红的又涂黄的，那这个不太行。然后第三个它要求呢，相邻的元素呢，相邻的是不同色好，这是掌握这三点就可以了，这就是图色问题，给大家强调的知识点。下面咱们再学习呀，特殊元素的分配情况。好特殊元素的分配。特殊元素分配我们来看一下什么是特殊元素分配。好特殊元素呢？
总共有两个，一个是。排序上定序。排序上，定序定序的元素或者位置啊，在排位置的时候，它定序好，对元素排列是出现部分元素相对固定，比如按照身高或者按照年龄大小，比如有时候咱们在上体育课，老师说按照身高来排。是吧，或者年龄大小来排，所以要除以定序数量的一个阶乘啊，要除以它的一个阶乘，
然后以消除它的排序。把排序给它消除掉啊，这是它的特征，然后或者用组合法啊，用组合选取法，组合选取法就避免了除法。然后对于定义元素，那么用组合法，只要选位置就可以了，不用再排序好，这是定序的情况，第二个我们看还有部分相同的。部部分相同的部分相同，我们解决什么呢？我们在学排组啊，
一开始时候给大家讲过啊，那么元素按照是否相同，可以分为。分为这三种情况。啊，一个元素完全相同。比如说呃，我们买这个笔，这个笔都是一样的是吧啊？这十根笔都是一样的，完完全相同，这样的情况。好，还有呢，就是完全不同。
啊，完全不同，都是不一样的，比如说这几个。书或者这几个笔，它都是不一样的，完全不同，还有就是部分相同。好有一部分的相同，比如这俩相同。另外三个是一样的是吧？部分相同，现在咱们解决的是这个，因为前面完全相同和完全不同，前面都给大家讲了很多方法，
比如完全相同的元素，我们在分的时候可以采用。啊，采用什么呢？采用这个隔板法是不是完全不同的元素？我们有讲过什么方幂法呀？还有这个分堆法呀，等等的是吧？这些方法掌握住。接下来我们就解决部分相同的好，这是咱们学这个知识模块啊，要达到的目的好，那元素相同，在所有元素中部分元素相同，这要除以相同元素的阶乘以销除排序。
或者用组合法组合法对相对元素直接选位置就可以了，不用再排序了，好吧，就不用再排。好，下面咱们来看一下考项一就元素定序的情况啊，元素的定序元素定序的话就是它大小或者身高来进行排序。好比如说，先将n个元素进行全排啊，这时候我也不管里面到底是不是定序的，然后m个元素的全排有m的接近轴，由于要求m个元素的次序一定，所以只能选取其中的一种。某一种排法用除法起到起到去除排序作用，这个为什么要除呢？
因为它算的是多算多少倍？这个这种多算呢？不能靠减法啊，所以说咱们解决多算问题。一个是减法，一个是除法，那么什么时候用除法？因为它算的是多，算的多少倍？它是一个倍数多算的，你很难去解啊，好这时候呢，先将m个元素排成列，其中呃n个元素排成列，其中m个元素。
顺序固定，它就有n的进程，除以m的进程总排列方法，当然这是一种方法，或者说用左法也可以好吧，左法左法对于定序元素直接选以位置就可以了，不用再排序。好，那这句话表达什么含义？我们来看一下例题，这个题所描述的内容好有四个男生，三个女生高矮互不相等，把它排成一行，要从左到右，女生要从矮到高来排。
好女生从矮到高排我们第一个方法就按照上面写的，我把这七个人呢一块排。啊，七个人呢？一起排一起排的话，这时候七个人在任意排的时候把女生也左中右啊，随便排所有位置都排了一遍。他说但是这个女生在排的时候，她要求这个从左到右女生呢，要从矮到高来排，从矮到高排女生不应该排序，就除以三的阶乘。好，这是它的做题的方法好吧，答案是等于840或者还有一种方法什么啊，
那么这个七个人我把它看成有七个位置。好，那么七个人把它看成七个位置，七个位置的话，那或者这样写也行，从七个位置选三个位置，把女生往里面排好。是吧，七个位位置选三个位置，把女生呢给她排好。拍好拍好，然后在这里面。我们呢，就可以看出剩下这个女生排好了，女生就不用再排序了，
比如这是选这个位置排女生。这位排女生啊，这个地方这个排女生情况。明白吧，好，这这时候大家可以看这个女生，她就不用再排序了，因为她就就从矮到高。矮的站在前面，高的站在后面，好这个排好了，剩下还有四个位置，把四个男的叫过来，四个男的他可以随便排。啊，
所以这算出来都等于840。算都都是一样，都等于840，答案是一样的好吧，用组合选也好啊，用咱们这个。除法做也行，一般我建议组合大家不容易错好吧，这是给大家强调这个特征，看到是不是明白了啊？就是谁如果这道题要明白同学，比如说从左到右不仅要求女生从爱到高战。男生也要从矮到高站，那这时候什么呢？这时候如果用除法再除一个四的阶乘就行了，
听到没有？就七的阶乘除以三的阶乘再除以四的阶乘，如果用组合写直接写c七三。后面就不用再写男生排序了，因为后面这四个位置，男生在站的时候，他也从矮到高站啊，他的顺序呢，也是固定的，这样就不用再写了。好，下面咱们看一下位置是定序的是吧位置？啊，就是位置元素，不要求位置是定序的，
好在所给的位置中某些位置有大小顺序，比如说咱们在排座位的时候好这个这个位置，比如说这个年纪最大的，或者说年长的要坐在这个位置。是吧，所以在这位置，它有要求，这时候呢，就直接用左法就好了，因为这时候用除法的话，那大家容易出错，尤其这个题，有同学说我能不能求？求出所有的三位数，把所有三位数求出来，
然后除以一个三的阶乘，因为它有三个位置定序，除以三的阶乘，这样话就会出错，出错原因是什么呢？因为因为它这个零在这，它的几率是不对等的，所以建议大家用组合来写，我给大家画个图。好讲，这是一个。啊，三位数啊，它组成没有重复数的三位数。这是一个三位数好，
那三位数的话，然后这个要求百位大于十位大于个位。百位大于十位大于个位，你不能把所有三位数求出来，然后除以三的阶乘，你自己可以试试那个是错的，所以很多同学不知道错因是哪错，因为这个零它不能在最高位，也就说百位它的几率跟其他两个呢它。不对称，不对等，明白吧？不对等呃，如果百位允许可以取零啊，百位如果可以取零的话，
那这样的话，它对等可以除法。所以除法它使用前提一定要是几率对等才能用除法啊，就是几率。相等才可用除法。啊，如果要不相等，就用组合写就行了，组合写是什么情况呢？我们其实大家可以发现直接从这六个数里面。直接从六个数数里面，然后取三个数就行了。听懂了没有？直接从六个数看零到五是不是六个数六个数啊？直接取三个，
直接取三个，那有同学说如果取到零怎么办？取到零零也没事啊，比如说零。一四啊，取得这三个数，取得这三个数以后，那剩下你别管了，剩下人家自动排，就这四自动就排在前面。一就排在中间，零排在最后就400，一就排好了，是不是？所以这样就不用去管它，
就选a选项。好在这里面就给大家进行了选好元素，放位置时无需排序，人家自己很聪明，自己就排好了。不用人工的去干涉好吧，所以在这里面大家呢，就可以写出它的值答案，就求出来了。好，这是给大家强调这个问题，不知道大家听懂没有，如果这道题要改成这样的。我给大家改一改好吧呃，改一改啊，
这个因为这样的题曾经呢也出现过。呃，改个百位，比如大于十位。百位大于十位。个位无要求，这个应该怎么写？百位大于十位，百位大于十位，这你这个地方你就取两个数就行了，六个数你就取两个数。听到没？这个零到五，这是不六个数六个数，你取两个数六个数，
取两个数以后，这时候呢，大的自然放在前面，比如说这个取的是零跟四。取个零跟四，那这个四自然放这零放这最后个位，它没有要求那写一个个位好吧，所以c的话就代表是。百位和十位，它的情况，然后个位的话，个位大家知道六个数六个数呃已经取走两个数，还剩下四个数，所以个位呢，就剩下四个数。
然后这样就可以写出它的结果好，如果这样一改就这样去去写就行了。好看是不明白了，好，如果这样，这个大家记完后，如果再改一改。改成什么呢？改成我百位小于十位，百位小于十位，个位无要求，如果百位要小于十位的话，这时候你就不能写c段。为什么写c不能写c？你要写c的话，
万一取一个零一个三的话，那就麻烦了，零一个三的话，零只能放在这，零只能放在最高位，它就为零就没有e了。所以有同学已经发现了是吧？只写c五二，就这时候就不要取零了，所以记住，如果最高位它在排序中最小的时候，那么这时候。要去掉零再取，所以把这个零给它去掉零再去掉一二三四五这五个这五个你取两个就行了，那五个取两个。
好五个取两个，五个取两个，比如说取的是一跟四一跟四的话，那这个一自然而然放在百位十十位就放四个位的话，大家可以发现这六个数个位，它可以放零啊。六个数去掉两个数已经取得，这时候呢个位还剩下四个数。这样写也行好，这是位置定域，比如说它要求什么？十位大于个位呀，或者十位大于什么位呀？这样的考试看会不会分析了？好，
那下面咱们再做一个稍微难一点的好吧，既然大家听懂了，我们就做一个稍微难一点的啊，用零一二三四五六共七个数字组成，没有重复四位数。没有重复四位数，要求千位小于百位小于十位，它个也没有要求啊，其实听懂了刚才讲的那个题，这个题的方法也会了，就要求千位小于百位。小于十位个位，它没有要求个位可以随便选，这时候我们刚才讲了，如果最高位要是排。
排序上最小的话，这个在选的时候一定得去掉零。如果这道题要改成千位大于百位大于十位。那这时候呢，再选的时候就不用去掉零了，反正千位是老大，那这一块它呢呃，取掉零它它它也没事，零它不会放在千位的。好吧，所以这类题我就写c六三啊，就一二三四五六写个c六三啊，一二三四五六写个c六三。好，所以呢，
然后乘以乘以这个个位。个位个位，大家可以发现个位，它可以放零，所以七个数七个数，然后去掉三个，去掉三个，还剩下四个。四个话在这里面个位呢，就可以选一个前面的c六三就代表千位百位和十位。好，后面再写个个位，这样就可以得到它的结果，好，那c六三等于二十二十×4得到是80。
所以这道题就选择d选项好看，这个题是不是学会了？好，这是它的做题的方法。好，那大家呢？在考察这个位置上的大小关系的时候啊，建议大家用组合来写，因为用除法，你可以试试，除法的话，主要它零在这它的千位呢，它的几率跟其他的就不再对等了啊。接下来我们再研究下部分元素相同的一个特征，部分元素相同。
部分元素相同，好部分元素相同的话，比如说啊，这个里头有元素一样，有元素不一样的，它的做法可以用除法。也可以用组合选跟上面原理是一样，我们通过题来讲解它的方法啊，看一下它的方法好，那么信号兵把红旗白旗从上到下挂在。旗杆上表示信号啊，这个这是一个旗杆。啊，旗杆好，那它有三面红旗。
对不？比如这个是红红旗，还有两面白旗是吧？好三面红旗，两面白白旗把它挂上去，挂上去，它表示信号有多少种？需要有多少种？比如说这个是三面红旗，还有两面这个白白旗，白旗我就用其他颜色来画吧。好，这样把它挂上去。光感器大家可以发现，红旗它是一样的，
对不对？白旗它是一样的，所以我们第一种方法可以。把它写成五的阶层，因为三+2总共是五面旗。然后总共五个，让它全排全排，然后这三面红旗。它是一样的，除以三的阶乘，然后两面白一样，除以二的阶乘，这样就可以了，然后或者还有一种方法，什么方法呢？
还有一种方法，你可以把这个旗杆看成有五个位置。明白吧，一二三四五。好，一二三四五，所以在这里面，大家可以可以把它看成有五个呃位位置啊，一二三四五。四五五个位置，我位置的话，从我位置选三个位置。把红旗放好，剩下两个位置放白旗，答案是一样的，
都等于十，这个答案选择a。好看，这个是不是听懂了啊？所以如果有部分元素相同，它在排的时候要掌握它的做题方法，我们还是建议什么呢？建议呢，用这个。组合写一个是要简单，另外这个阶层除不好，有时候会出现几率不对等的情况，明白吧，几率不对等的情况，这时候呢，
你在用除法的时候就会出错，我给你举个例子，它出现几率？不对等，比如说我们再换一个题。同样的题，比如说呃用。两个零。两个一两个二组成，可以组成几个六位数啊，组成几个六位数？好，这时候你不能说我把这个六个数全排跟刚才一样，我让这五面红旗全排呃，五面旗全排，
然后除以阶乘，这就不行了，因为这个零。啊，这个零的话，在这里面大家呢啊，就不能放在最高位六位数个十百千万十万是吧？好这六位数。这个数那这个怎么办呢？我们这样，我们先考虑零零的话，零不能放在最高位，对吧？不能放在最高位，就从这五个数位里面。
选两个位置，把零放好，比如选到这，选到这零就放好了，零放好，这时候还剩下几个位置，还剩下四个位置，从四四个位置选两个位置，把一放好，比如一放在这。或一放这，这个一就放好了，然后剩下还有两个位置就放那个二是吧？这是零这是放一这是放二，这样就写好了好吧？
那什么时候可以用除法呢？比如要改成啊，两个三。两个一两二组成几个六位数，除了用这个左写之外，那么可以用除法用六的阶乘除以二的阶乘除以二的阶乘。主要的阶层，当然这个也可以用组合写，可以写成c六二。c四二，c2，c六二代表什么呢？从六个位置选两个位置，把三放好了，然后c四二代表什么意思？
从剩下四个选两个位置，把一放好了。c2就最后把两二给放好了好吧，这时候大家呢，写到这注意写c六二c四二c2不要除啊，不要除有同学说这个c六二c四二c2是不是重复了没有？它是不是又不是等数量分组？人家放到个位，十位，百位，千位，人家位置有区分嘛，如果等数量分组的话，刚才咱们讲的时候什么二二分，它会出现重复，
会要除法是吧？这个就不用除了啊。所以这个给大家强调了这个区别，所以有零的时候出现几率不对等的时候不能用除法，那但这个组合的话，它是万能的组合，不管是几率对等还是几率不对等组合，它没有任何。呃，漏洞或者陷阱，这样的话，大家在做的时候呢，不会出错，所以建议大家用比较安全的方法就组合法来做。好，
那我们来看一下这个题，这个题就是有两a三个b，四个c共几个字母排成一排，问有多少种排法是吧？两a那么大家可以看两a，它是一样的。三个b是一样的，四个c它一样的，它排行排有多少种排法好，我们第一种要除法，非要用除法用九的阶乘啊，而且这数也不好算除法。二的阶乘，三的阶乘，四的阶乘是吧？
或者说呢，你把它看成有九个位置，听到没？这有几个位置？一二三四五六七八九这个九个位置，我就不再一一画了。从九位的选两位的，把这个两a字母放到里面去。两a字母放到里面去，然后乘以一个啊c七三也就剩下还有七个位置，七个位置选三个位置，把b字母放到里面去。然后最后呢，还有四个位置放c字母，这样就可以得到它结果好吧，
然后这样就得到幺二六零。这个大家选e选项好，这是给大家强调的这个特征好，另外这里如果改一改，它又不能。不能有错啊，比如说改成这样的。还还是这个两a三个b四个c共九个之后排成一排，而且这个a不能放在开头。好吧a不能放在开头a不能放在开头跟刚咱们举的例子那个零一样是吧，比如说零它不能放在最高位就这个位置不能放。a那其他位置都可以放a都都可以放，知道吧？如果改成啊a不能在开头。a不能在开头，
还是把这九个字母排成一排a不能在开头a不能在开头跟刚才咱们讲过这个。零不能放在最前面一样，这时候它就出现几率不对等，出现几率不对等，它就不能用除法，不能用除法啊，用除法就会错。啊，这个a不带开头，那怎么写呢？a既然不带开头a，只能从后面八个位置里面选选选两个是吧？这个a放好了，这个能看到吧？a放好了，
然后这时候BB的话，这时候剩下还有七个位置，因为b可以放在开头啊，这个位置可以用七个位置选三个放b。然后呢？剩下。四个位置放c，这样就可以了，所以在这里面大家注意，如果某一个位置。不管是第一个位置还是第二个位置还是什么，有约束的时候，这它几率发生了不对等，发生不对等，这时候呢，
不能用除法建议大家用组合法做。好，这是给大家强调特殊的内容，特殊内容大家呢？看是否学会了一个呢？是排序上特殊，另外一个就是它的这个元素上有相同元素。部分相对元素，它的特殊情况看是不是掌握住了？接下来我们来看一下反面思考法，反面思考法，它是一个非常重要的思维，如果正面情况比较复杂，那么就从反面思考啊，所以当正面情况不好做的时候，
我们可以从反面思考。那在正面情况就等于总情况时候检查它反面好，这是一个基本的思路，这个我们在做排列组合的时候用到，而且我们在做这个几何的时候也要用。啊几何几何，比如说我们在求面积的时候啊，求面积看这个面积不好，求我们可以用总面积减掉其他空白的反面的面积是吧？好放到应用当中出现至少至多还有或还有且还不完全相同完全不同这类的词，有时候正面呢不好做，你可以从反面来思考。好从反面做，然后这个大家在考试的时候遇到正面复杂，就从反面做好吧，
这些给大家罗列了这些词，这些词出现的时候我们就可以从反面思考。接下来我们来看一下考像一。ctrl 1的话，在这里面大家可以看一下，当某一排组正面入手复杂。不容易解决，我们从反面思考转化成一个较简单问题来处理。可以先用总的情况数，然后再减去不符合要求的，就是它反面情况数，从而啊，得到答案，这有它的情况。但是有时候这个减它不是用总数减，
是局部减啊，你比如说像这个题，这个题它从十个数取三个数，使得和为不小于十的偶数。它的要求是不是有两个，一个是和不能小于十十啊，就是这三个数它的和。假如这有三个数，它的和不小于十，不小于十，又大于等于十是吧？这个和是不不不小于十。而且它这个。还有等于偶数。啊和还要等于偶数。
有时候它要满足两个要求，明白吧啊，有两个要要要求，我给大家画个图。好，这是所有的取法c13所有取法，因为它总共十个数，任意取三个，全体就c13，但这道题它的反面分析法跟咱们之前反面分析法要难。它的难点就在于你不能用整个的c13去减c13去减的话，那这个就不好弄了。因为它这两个东西，它求的是。且的关系是吧？
你看它且它如果要用整个去减反面反面就变成或了反面就变成或。反面又变成它小于十，或者它为奇数，那这个很不好弄，所以说在这里面，我们看怎么弄，假如这个圈是代表第一个条件好吧，假如这个a这个b就代表两个集合，这个a集合。就代表是大于等于等于十的，然后b集合。b集合就代表三个数的和要为偶数，然后这个整个全集就代表三个数，所有的取法就三个数，所有取法它有可能呢呃大于十，
有可能是奇数等等的，反正这个。很复杂，咱们就要求呢，就这一块要求，这一块要求是。既要满足第一个条件，也要满足第二个条件。既要满足大于等于十，还要满足是偶数这一块。对吧，偶数这一块这块我们就采用局部减法，这个前面我们在思考的也给大家介绍过局部减法，局部减法，我们看是用a集合去减还是用b集合去减，
要简单。好吧，我觉得这个大于等于等于十那这一块的话，不如这个偶偶数算要简单，所以我们确定完偶数呢，要简单我们就可以看出。我用偶数用b这个集合b的集合减掉。减掉哪一块呢？减掉这个五角星的这这一块是吧？用这个红色的减掉这个五角星呢？就得到它所求的蓝色的区域了，这道题问的就是蓝色区域。好吧，好，接下来我们看红色的，
这块红色就代表这个所有的偶数，所有偶数我们有多少个呢？看所有偶数，所有偶数，因为这个零到九零到九有五奇有五偶是吧？你看一三五。五七九是五个奇数，零二四六八，然后是五个偶数是吧？所以说在这里面好有五个奇数，有五个偶数。有五个奇数，有五个偶数的话，三个数加在一起要等于偶数用咱们前面学过的奇偶的特性，明白吧，
三个数合在一起，它要为偶数用咱们讲的特性有可能是。呃呃，三个都为偶数是吧？所以在这里面它呢？这个b集合它的表示有可能三个都是偶数。还有可能是呃，这个两机一偶。是吧，这就是60种。好，这个就代表b集合有60种。好在这个这个五角星代表什么意思啊？五角星五角星就要满足这个这个红色圈就代表是偶数的情况下。还要满足它要小于十，
因为a这个圈不是大于十嘛AA这个圈是大大于大于等于十，但学过逻辑就知道了这一块呢，就相当于是小于十。又要小于十，还得是偶数啊，这时候就得列举法知道吧，所以这个结合咱们前面讲的列举法又得小于十，又得呃是偶数，大家呢，就去列列列，这时候列出来就有九九种啊，列出九九种，这时候呢，大家就列。一下啊，
又是呃小于十，又是偶数，比如说零啊零啊零二四。是吧，零二二四是不是就小于小于十啊？好零二六是不是这样的情况？零二二六。是不是这样的，这样的它都是。要小于小于十的，这个慢慢列呗，慢慢列，还有还有是什么零啊零一三？对吧，好零一一三啊，
这样的情况还有零。一五是吧？零一七啊，还有零二三。是吧啊，零二三还有零呃呃，不是要是偶数是吧呃，要是偶数的话，看一下啊，零呃零一三零一五零零一七。啊，写好了好，那我们来看一下零三五。是吧，零四三五啊，
先把零的列满前面，咱们讲过列举法的时候给大家强调过，一定要找好它的呃，基本的呃原则，我们先把含零的给大家列好是吧啊，零零的。零的这个列的差不多了啊，零的列好了，然后咱们再看呃二的好吧，再看二的，然后就是二+4+6，这个不太行是吧，二四六不太行啊，所以二的。二的话可以是呃，
这个二一三。是吧，二一三。啊，然后二一五是是不这样呢？就二一五啊，这样的情况啊，这样就就就列的差不多了是吧，所以这个二二一五。好，这个这个四的呃二的列完四四一三。四一三好，这样就列好了，好总共大家列出来可以看，这有九个好吧，
这是它的反面啊，有九个就所以答案就用b这个红色的圈就是就是60个。然后减掉九个，这样就得到51个，所以蓝色就是51个正确答案，选d选项好，这是给大家强调的做题点和方法，看是不是学会了？通过这个题，大家呢，要掌握我们局部的减法啊，局部减法，尤其它的要求呢，有两个要求，它要求的是a且b。
你不要用整个去减啊，你用a这个圈去减掉一半一部分或者用b这个圈减掉一部分都行。下面咱们看一下这个题，前面我们在讲排列时候给大家讲过这道题呢，又简单了是吧？就是一个排列问题，我们站在一排甲，不站在排头或者乙不站在排尾。好，这个是a或b。a或b的话，那么它反面就就要简单了，就像呢，咱们讲过的a并b就等于欧米伽减去AC交BC是不是这样的好？我们看它要是或的话，
它的反面就是且。且它的且什么它的反面就是甲站在排头，且乙站在排尾好，我们用总的情况数五的阶乘，因为这个咱们讲过，我们就快速的写。减去甲站在排头，且乙站在排尾啊，这五个人画五个空位。啊，五个人就画五个空位，五个空位甲必须站在头，且乙站在尾甲站在头，乙呢站在尾。以站在北这样的话，
只要检验中间三个人排就行了，就中间三个人呢，随便排，这样就等于120减掉六就等于114。好，这个题就选择e选项好，这就告诉我们遇到或的问题，我们可以呃采用这个反面法来思考，因为或的反面转换成且且的话，如果发现好分析，我们就用这个反面来求解。好，下面咱们来看一下这个题，然后有三本不同的数学书，四本不同的语文书呃，
四本不同的英语书，五本不同的语，从里面任取三本。索取。的三本书科目不完全相同啊，出现了不完全相同，所以这道题我们就从反面思考，因为从正面不完全相同，有可能出现两种书，有可能出现三种书，如果出现两种书，还得分类。分成数学书，英语书，数学书，
语文书，英语书，语文书是吧？还有可能是三三种书，所以这样话就很麻烦，所以我们呢，看从反面思考不完全相同的反面就是完全相同。对吧，不完全相同的反面，它就完全相同，这个在咱们考试最近几年考了好几次啊，所以用总的情况数减掉完全相同的。c十二三就代表是总的情况数啊c十二三，然后减掉减掉完全相等就都是数学书，都是语文书，
都是英语书，这样一减就可以了，最后答案就。就得到是。205选a，这样就求出来了，好看这个知识点是不是明白了？好吧，遇到刚咱们讲的至少至多问题啊，还有一些呃大于小于的范围啊，或者说遇到或啊且。还有这道题出现了，不完全相同啊，这些词语的时候，我们就可以从反面来思考。
好，那么以上我们就把呃这一章的内容整个给大家讲了，这章内容需要大家呢，好好的去消化和体会啊，那么多听几遍课啊，就这章多听几遍课，不是不是听完一遍课就可以了。因为每听完一遍课，做完题，然后再听一遍课，对老师讲的理解程度是不一样，这一章跟其他章节不一样，你每听一遍课，然后呢你的？呃，
思维理解上升的层次呢，是不一样的，大家可以把这些课这个排组课呢，多听几遍啊，要不厌其烦的去听。然后听完后，你可以发现那么这个慢慢慢就入门了，然后这样就提升了。
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