9-01基本理论知识（2）-排列与组合
接下来我们来看一下这个排列，看一下排列好排列就是排序好，那排序的话，那么什么时候需要排序，我们来看看。好定义从n个不同语言中任意取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，就称为。从不同元素中取出m个元素的其中一一种排列。好，这句话可能大家觉得比较抽象，比如说abcd四个。四个四个取两个。好取两取两个，好在这里面你可以取AB是吧啊，也可以取AC取完后呢，这个AB这两个怎么放？谁放在左边？谁放在右边？是不是所以在这里面，它又可以产生很多这样的排列，这样的排列的定义。好，大家注意，什么叫做排列？排列就是其中一种陈列方式，它有好多种，我们看到一种陈列方式。是其中的一个排列，注意排列跟排列数，
它的区别好吧，所以在这里面什么叫做排列数就所有的排列方法数？刚咱们讲的这个排列是其中一种呈现方式，你比如说现在我取完AB，那么AB呢a放在左边b放在右边，这是其中一种呈现方式。这时候就其中一个排列，当然它有很多个这样的排列，那所有的排列组成的方法总数就称为排列数。好吧，排列数就所有。排列的总情况数。好，那我们就称为排列数。所以大家要注意排列和排列数的呃，
一个区别啊，排列就是其中一种，你看到一种，其中一种那么多，里面的其中一种就像。咱们去逛商场一样是吧？人家商场这个售货员把这个商品在这个橱窗里面摆好，这是你看到一种哎，过几天哎，人家又换了一个摆法是吧？换了摆法又是另外一种。另外一种，那所有的这个摆法加在一起就叫做排列数好，这是它的这个概念好，那接下来我们来看一下用列一法求ABC的不同排列数。
到底是多少啊？给大家进进行增加一个例题。好ABC，这时候这个代表什么呀？代表ABC全取出来了。听着没？比如说我给你三个东西，我现在我手边有三个东西，我给你三个东西啊，你全给我。取取出来全国排，然后假如咱没学过公式啊，假如咱们就是各位同学呢，把以前学的先忘记掉好吧，先没学过没学过公式好，
我们要求用列举法。是吧，要列列一法，列完看ABC。可以列ABC。a cb.bac.BC a.cab.CBA是不是这样的，所以可以用那个列举法嗯，然后来列出来好吧，所以在这里面大家呢，就用列举法这样一列。这样可以看列出来，
这有六种情况，是不是这样的？所以列列出来，这有六种，共六种。所以说就告诉大家，人们在没有发明这门学科的时候，这时候呢，我们呢，都是列举法啊，一开始比如说这个有多少种情况算一下算一下呢啊，那就列举出来。因为当大家可以发现，如果这个数比较大，给了很多个数，
给了很多个数，那这样要列出来的话，那就不太现实，对吧？比如给你十个100个，那这个列怎么列啊？不好列，所以在这里面我们又称为呃产那个排列数。好什么排列数就从n个不同语言当中取出，m个所有排列的总数，所有排列方式。总共有多少种？它的总数就称为从n个呃不同元素取出m个不同元素的排列数，然后记住啊，这个呃a也好p也好。
然后在这里面，我们可以看一下这个下标下标，这个a下标呢，就代表是样本总数。是吧，总共就是相当于我买东西总共有多少个样本是吧，总共有多多少件商品好，那么这个m就代表取出多少个？就像咱们逛超市一样，人家超市那么多东西，你不可能把人家超市东西全买完呀啊，超市比如说100件商品，我只买其中的三件。是不是所以只取三件好，这是下标和上标，
它的表达数字的含义。好一种特殊情况，当m=n的时候啊m=n的时候可以记住an就称为一个全排列。啊，称为全排排列好，这是它的这个特征，接下来我们给大家进行讲一下。它的几个注意的一个呢，就是它的注意。排列数与排列的区别。啊，排列数跟排列句刚才通过老师的讲解，是不是明白了排列就一种展现形式，所以我们后面再。讲课的时候我们都讲。
排列其中一种形式，比如说要组成一个三位数啊，比如说要组成一个三位的偶数，老师给你举的例子都是其中一种，明白吧一种，比如说。啊，三位偶数326。诶，老师，到时候会给你举其中一种这个排列的结果，这个偶数排列结果。然后但是我们在写表达式的时候，写的是所有的排列情况数啊，就像大家在做题的时候，
慢慢就会意识到我们在做题的时候，我们在呃老师一般在教你的时候都。都会让你写其中一种啊，你比如说要组成一个三位的偶数，你给我写其中的一种啊，写其中一种啊，长这样子，然后根据这个样子呢，我们就知道。排列数总共有多少个偶数了？是不是这样的好？这是要注意它的区别，排列的是其中一种呈现形式，一种你看到的结果，其中一种结果。
然后排列数是所有结果加在一起的，总共有多少个好？另外我们来看它计算公式好吧，它的公式另外一个就是它的公式情况。好，那公式是什么情况呢？我们来看看。好，这个an m就等于n×n- 1，一直乘到n-m+1。好吧，这是它的这个特征啊，这是它的公式好，尤其这个annan算出来后就等于n×n- 1，一直乘到三。
三二一这个大家学过，我们用阶层来表示好吧，用阶层来表示它n个。呃，东西这个叫做全排，什么叫全排列就n个元素全都拿过来啊，比如说这些商品我全拿过来进行排序，总共有多少种排法？好，这是an它的这个特征啊，就是用n的阶层来表示这个阶层它的定义就是从n一直乘到一这个咱们前面介绍过啊，阶层的内容。好，那么在这里大家背一下常用的阶层的数值，常用的阶层数值好，
那么常用的阶层数值的话，在这里面我们来来背一背，为什么让它背一背呢？因为咱们在做题的时候。哎，考试呢，它的时间非常紧迫，所以我们呢，为了节省时间，我们把这些数值呢给它背下来，背下这样话，我们就可以节省运算时间啊，比如说零的阶乘。等于一的间距为一零的阶乘，不是把这个n=0套在公式上。
有同学说，这个零的阶乘如果n要换成零的时候n=0，不是所有的零乘以任何数都为零吗？零任何数都为零，那这个。答案应该是零啊，为什么为一呢？这个零的阶乘。等于是人为的规定好吧，就是这个也不要问为什么，它不是通过公式算出来，就像就像咱们法律一样，人为规定规定就是这样的，你遵守就就行了。是吧，
比如说为什么闯红红灯不行，这是人为的规定是吧啊，这个这个人家人家规定啊，这个就不要管它了。好那么一的间就是一二的间，为二三的间，为四六四的间，为24我间成120积到五就差不多了好吧。然后我们再看一下am刚才阶层，咱们讲完了这个am am它的特征，什么特征呢？这边呢就有有m个数相乘。啊，有m个数相，到时候别给写错了，
比如这m是几就有几个数相乘，明明白这个道理没有，比如说a四二。a四二，它应该有两个数相乘，从四开始写到三看输入是不是两个数相乘就用这样的计算方法啊？好，那么在这里面。我们重点掌握阶乘就可以了啊，重点掌握阶乘那么几个元素的全排列，就可以写成几的阶乘，这也是个口诀，就是几个。元素全排列就写几的阶乘在这里面，我要把关键词这一页的关键词用红笔给大家画出来啊，
画出来大家一定要看清楚，刚才咱们在讲前面一个小事例的时候也给大家介绍过啊。一定是n个不同元素。首先是n个是不一样的啊，不一样，比如说这n个里面有一样的，有不一样的，那这时候就不能用这个公式了啊啊，所以说n个不同元素，而且这任意取。取出任意取的就是随便取，你就闭着眼睛随随机的去取，不是说不是说我取的时候必须要包含张三这个同学。必须包含李四这些同学，这是不行的，
他没有任何约束啊，任意去取，没有限制。然后取，然后另外呢，它一定要是排序。一定要排列，一定要排序，所以它有三个关键词，一个是样本，要是完全不同，第二个一定要任意取，第三个取完以后要排序。所以它的注意点，我要给大家强调一下好吧，
也就说它的三要素。第一个样本都是不同的。第二个一定要任意取。不能有限制，第三个取后。要排序。啊取后啊，要要摆一下，取完后放在哪要摆一下顺序好，这是它的这个特征。好，接下来我们再看一下组合。再学一下组合好，那什么是组合？组合定义就是从n个不同语言中任取m个元素变为一组。
好就称从n个不同语言中取出m的一个组合，所以大家同样道理也要区分组合与组合数。它的概念，这个组合也是你看到一种展现形式好吧，比如说给你四个abcd四个。四个你任意取两个，一个组合，这时候取完这AB呢，左右它就不再排序了，比如谁放在左边，谁放在右边，这时候我们就不用再区分了。明白吧，就不用再区分顺序了，谁在左谁在右就不用加以区分。
好在这里面好，那我们就可以看你现在看到这其中一种展现形式，就把它称为其中一个组合。当然，它有很多个这样的。展现形式，我们看一下总共有多少种，这又称为组合数啊，组合数接下来我们讲到这，先把咱们排列跟组合呢。啊，做一个区分好吧，做个区分在这里面，大家看看这两个题，我给它呃放在一起做一下区分啊，
好要用列举法从abcd四个不同元素任取两个元素的排列有多少种？然后这个呢，任意两元两个元素的组合有多少种？好在这里面大家可以看它的关键词是不都是不同元素啊？这不同元素是吧？比如说我给你改改成这样的abcc。啊，这个四个元素ABC两个c是一样的是吧？然后任取两个元素的排列到底有多少种？那这时候呢？又怎么验列呢？都给大家进行说一说好吧。所以在这里面我们看一下，咱们现在用列举法啊，不要用公式。
先从根上啊来掌握啊，学习内容好，那么列举法我们来看一下，列举法列举法任取两个的排列有多少种啊？有可能取的是AB取的AB可以排成BA。是吧AB和BA啊，想要取的是AB AB呢，可以排成b，它左右可以交换嘛，好，如果要取的是AC，它可以排成CA。啊，取的是AD。可以排成da。
是吧，然后还可以排BC。cb啊BD。dbcddc这样的情况是不是好这样的，所以大家可以数一数。这总共呢，是应该是有啊，这个六个加这六个，所以总共12个是吧，所以在这里面大家可以列出来有12个。让大家列举一下，通过这个列举，大家要明白的道理，什么呢？什么叫做排列？
什么叫做排序是吧？接下来我们看一下例四这个题例四这个题的话，它要取的是组合。组合的话，我们在这里面看一下，从四个里面取两不同的组合组合，然后AB。AB啊AB这个BA这个就不再排序，也就说那个AB放在手里面就行了，然后这时候谁在左谁在右呢它是？不加以区别的啊，所以AB。然后AC。AD是吧，然后BC BD CD。
好吧，就a bac AD BC BD和CD这样的情况好，那这是它的这个特征，所以在这里面大家可以发现它总共有六个。啊，总共有六个好，这个大家列举出来就六种情况好看，这一块是不是明白了啊？对照它的区别，对照它的区别的话，大家注意的样本一定要是不同。好比如说这道题要做完了，我把这个四个元素改成改成，如果完全一样的啊，比如说全是a。
选项任意两个元素排列只有一种，明白吧，因为这四个你取哪两个都一样，比如说我们四根笔一模一样，或者四本书一模一样，一模一样，老师说你随便挑两本吧，你挑哪两本是不一模一样的？是不是然后比如说呃例四也是这样的，如果四个AA它都是一样。随便取哪两个组合，也就是一种方法是吧？没什么可挑的呀，都是一样的，明白没有？
好，那接下来我们看一下，如果有一部分一样怎么办？比如说a。bcc.啊，这个abcc，所以刚才有同学套公式，你用公式的同学，你现在不就是傻眼了吗？所以说一定要掌握基本功能得列举。明阳光系比abcd，你用公式吧，目前还没有公式，是不是问你任取两个元素，
它的排列到底有有多少种啊？你现在是不你就得练呀，是不是？所以大家一定要从根上啊，扎扎实实的先把基本功啊，好好练练，就像咱们学开车一样，一开始呢，你总想上路。啊总总总想啊，去开那么教练，他就不让你开，先把基本功，比如说拐弯啊，各类s图啊呃，
这个s路线呀，等等的是吧，然后上坡下坡啊。然后还有这个呃停车呀，它让你把基本技能先练清楚，所以这个也是这样的，比如abcd，你给我列列任意两个元素的排列有多少种呢？你看我们列列好吧，有可能取AB AB跟BA。好，这是两两种是吧？然后呢？还有AC跟CA。啊，
又是两种。是不是还有什么呢？还有这个BC。跟cb。是吧BC跟cb这样的情况是不是这样的，然后接着还有什么呢？大家可能做到这有同学就呃就漏了吧。是不是就漏了，还有就是。c跟c。是吧c跟c只不过c跟c这两个一样，你取到手里的时候，然后呢，这两个一样的就不用再排序了c跟c就一种情况，所以这个大家可以发现这算出来。
应该是七种是吧，这时候就就七种，七种的话就选择c选项是不是如果这样一改就变成七种了？好，那接下来我们来看一下，如果改成abcc四个元素任选两个的组合有多少种？组合的话，大家可以看AB跟BA是一样，就不用再写了。AC跟c一样，就不用再写了，然后BC跟cb一样，就不用再再写了，然后CC。所以它就有四种情况了，
是不是？所以它就有四种列举出来就有四个。好，这个简单的，如果知道了，那复杂的你也会了复杂，比如说a bb ccc是吧？那这些复杂的也会了，比如说还是从给你这个这个？这几个元给你六个元素，让你从里面任取两个，它的排列有多少种或者组合有多少种啊？那这个一样的分析好吧，所以通过这个题，大家看是不是明白了，
是不是学会了？好，接下来我们就来看组合数，刚才咱们讲的组合是其中一种展现形式，那组合数呢？就所有的展现形式总共有多少个啊？好从n个不同语言中取出m个的所有组合的个数。好，就称为它的组合数记作cnm好，我们用c来表示好吧，这是它的特征啊，写成c。好在这里面关键词跟刚才一样，画一下n个不同元素，强调了必须是不不同的做上一题，
我也讲了，如果这个要改成不同的。和改成相同的，或者改成部分相同的，所以元素它分为三大类，听到没有？就元素呢，完全一模一样。还有部分一样，有一部分又不一样，还有什么整个都是不一样的，所以这些特征看是否学会了。好，这是它的这个内容啊，所以咱们先研究n个元素都不一样，
都不一样，取出m元素所有组合的个数。啊，那就称为它的组合数好，那在这里面好，我们就记住cm这个n的下角标也是样本数。m呢，就代表是取出的数。m又代表取取出的这个情况好，那第三个这个组合数，它的计算公式我们开始写写。计算公式这个cnm就等于分子呢，就是n×n- 1，一直乘到n-m+1。这个分子大家注意分子，
它有m个数相乘。分子它有m个数相乘啊，这个分子它有m个数相乘好要分母要除以m的阶乘。分母要除以m的阶乘，它在它的计算公式。好，这是它的公式的情况，当然也可以用后面的公式来表示，后面的公式太复杂，咱们先不说了，你自己去看看就行了啊。好，那这是组合数的，它的计算公式和方法。然后接下来我们看组合数的一些性质，
组合数的性质好，这些基本功能我给你举个事例，比如说c四二c四二就可以写成分子，就四×3。分子一定要是两个数相乘啊。那么c四二它就应该是两数相乘，是不是c四二好？这两个数分母呢？就要除以二的阶乘。二的阶次是不是刚才大家背的，然后这个数量就等于六是不是好看，这不学会了，学会同学大家各位同学再练一个c七三。各位同学，快速练练分子告诉我有几个数相乘呀？
是不有三个数相乘，七×6×5。分母是不是应该除以三的阶乘啊？三的阶乘大家背一下，三的阶乘等于几啊？是不是等于六啊？所以上下是不是可以约掉一个六约掉六的话，这个正好等于35。这样写好了，是不是所以这个c七三c3注意分子有三个数相乘？同样道理，大家如果要不知道那个性质，就c七四大家练一下c七四是不是分子有四个数相乘呀？七六五四数数是不是就四个数相乘分母是不是除以四的阶乘呀？大家知道这个四的阶乘是不是等于24啊？
四的阶乘跟。六跟四正好又约掉了，是不是这样的？前面这个三的阶乘跟六约掉了，所以约完以后大家可以看到这个等于几呀？是不是也等于35啊？大家可以看c七三跟c七四是不是一模一样的啊？c七三跟c七四是不是相等的一模一样的？好，那既然一模一样的，就得到一个性质，但是我们比较可以发现，虽然这个计算结果一样，但这个c七四的计算过程显然复杂，你看看这个数写的多。
对不对？数写多，所以就告诉我们它的性能特征性特征是什么样一个特征呢？我们看看当上面两个数。相加等于下面这个七的时候，比如三+4正好等于下面这个数的时候，然后这时候它两个组合数呢，它是一样的排列，没有这样的性质啊，组合是这样性质。组合为什么是这样？现在大家想一想，原因是什么原因？为你想想七个里面你取走三个作为一组的情况数。那七个你拿走三个，
是不是还剩下四个？那这四个一样的情况说你取走三个有多少种取法，剩下四个也作为一组啊？作为一组，它的方法数一样，是不是所以这是它的理解情况，所以组合数的这个性质，大家就可以看出来这个性质非常重要啊。非常重要。好就cnm就等于cnn-m好吧cnm它就等于cnn-m，所以这个性质呢是非常重要，这个性质它什么时候用呢？可以看一下。就当上面这两个数相同的时候。上面这两个数相同的时候，
然后这个啊，它这个就是上面两个数。相加正好等于下面这个数的时候，然后这一块就可以。满足这些性质好，那么尤其第三个要强调一下，如果这两个组合数一样，它的下标都是n下标，都是n，它有两种情况，刚才说的有可能上面这两个数相同。那么这时候它两个组合数相等，还有可能是x+y上面两个相加，正好等于下面的n，这样也可以到，
到时候大家注意不要漏掉情况，尤其考试。出题的比如c几等于c几几，可能有同学呢，只考虑到其中一种情况，就忽略了一种情况，就是选的时候就会少选答案。这样就会漏掉好吧，这是给大家说的这个特征。好它等式的特点呢，给大家讲讲讲等式呢，左右两边的下标一定要相同啊，下标如果不同的话就就不能用了啊，下标都是n。而且上标它的和正好等于下标啊，
比如说c九六，我们在算的时候c九六算的时候我们可以看c九六算的时候它数就比较多。啊，不好算，或者容易错，我们可以转到c九三来算c九三的话，这就简单了是吧？实际上就等于84啊，84就写好了。好，那这个性质的作用是什么作用呢？当上面这个数你发现正好大于下面的一半就超过它的一半，超过它的一半就取。例外小半好吧，取例外小，
比如四九六，我们可以看六是不是超过九的一半啊？超过九的一半，然后取它的反面，这样的话运算才有简化一些。好吧，这是它的这个特特征好，关于这个性质，我们强调这三点，大家把这书上这三点呢，要掌握住，以后我们再做题就方便了。接下来我们来看一下常用的组合恒等式。朝左横等式的话，第一个。
就CN 0+CN一+CN二一加到CN就所有的组合数加在一起等于二的N次方，比如说c四零+c四一。加c四二，加c四三，加c四四，你自己算算等于24次方就等于16好吧，就为16。这样的情况好，另外就是把这个组合数里面所有偶数拿出来，零二四六八把所有偶数拿出来。正好占这个二的N次方的一半，知道吧？就二的N次方的一半正好等于二的n- 1次方。好吧，就占一半。
那么，这所有的奇数拿出来，它也占一半，知道吧？所有奇数拿出来，它也是占一半的。比如说啊，还是这个题，比如说我把所有的偶数拿出来看零零÷0算偶数啊。c是0c是二+c是四好，这几个偶数拿出来偶偶数拿出来就是占16的一半就等于八，你自己可以算，它就等于八。或者说那么在这里面，大家把这个基数拿到c四一c四三c四一c四三，
也占这个16的一半。十六一半也是八好吧，16÷2它也为八，所以也占16的一半好，这是在这里面，大家可以看出它这个常用的这个恒恒等式，它的这个特征。好，那么关于这个，我们还可以看一个什么样特征呢？看这个c四零跟c四四是不是这两个数相等啊？因为刚才咱们讲过这性质，对吧？c四一跟c四三是相等的，所以它具备一个对称性，
那就要把所有的组合数写成一排，那么第一个跟最后一个对应相。相等第二根倒数第二个，它正好是对应的，它有点像中间是一个对称轴一样是吧？两边呢是对称的。好，那接下来我们要记住常用组合数，常用组合数把它背下来的好处呢，就是我们在做题的时候可以节省我们的答题时间。啊，比如说。看这几个常常用的好CN 0=CN它为一是吧？CN 0=CN它又为一。啊为一然后呢这个呢c 0=c一为一，
你可以套公式啊，可以套公式，也可以从它意义角度来分析，比如c0代表什么意思呢？c0就是n个取零个。啊，我一个都都不想取是吧？比如说你逛一遍超市，超市有n件商品，逛完了发现没什么可买的，又出来了，这也算你去超市的一种方法，也是你一个选择。是不是也是选择，然后CN CN代表什么意思？
代表是这n个全都要，比如说人家给你送来这三个东西，让你挑嗯，你说这些都比较喜欢啊。都要了是吧？所以这个也是一种选择，然后CN 1。就等于cnn- 1，它等于n- 1比比，比如说在这里面啊，我们来看一下它这个特征是吧，所以在这里面我们可以看一下它的这个式式子啊。好，这个应该是n。啊，
这个是ncn 1 CN 1，它应该是等于n的CN 1是什么意思？就n键里面我们挑出一键。n键跳出一键有n种方法，比如说三键里面跳一键，它就等于四=3是吧，然后在这里面，所以c三一比如说等于c三二它都都为三。是吧，都为三啊，所以这一块要改一下，它正好是n啊，正好是n。然后接下来我们再看一下啊，接下来我们就记住常见的几个，
常见的几个，我们就从三到六给记一记好吧，三到六，而且这个带零的和。上下一样都是的，咱们就不用再写了，比如说三零还有三三，这个都不用再写了，都比较简单，四零或或者四四，这都不用写了。接下来我们呢？啊，就来看一下，然后这一块儿就c三二=c三一，
我们就从二开始啊，然后等于3c四二得个倍c四二=6。c五二这个得背c五二=10，这个经常考啊，因为它整十的啊，经常考，然后c六二=c六四=15。c六三=20。这样的情况啊c十三把这几个常常的把把它背一背，这样的话我们在做题的时候就直接口算，不用再套公式算了啊。好，这是常用组合数好，另外我们讲到这可以发现整个排列组合和概率是咱们所有数学章节里面公式最少的内容。工作是最少的。
计算量也最少，你看在这里面，它没有什么根号是吗？我们发现没有，而且都是整十整五，反正大概都都比较好，算数又不太大。所以说计算不是咱们这些章节，就是排除和概率这些章节的呃难点。啊，计算都很简单嘛，不是难点，难点就在于思维啊，要给它锻炼好好吧，所以大家做点思维，
要把它训练训练。好，接下来我们就来看一下啊，里面的一些题目和方法好，首先我们来看一下这个排列组合，它的一个计算情况。好根据排列和组的定义及公式来进行计算。啊，根据排列组合，它的定义和公式来进行计算，好在这里面，比如说让你算c八四减c七三。这时候呢，你你等于几呀？这就是纯训练的题好吧，
我们看c八四减c七三。c八四还记不记得刚才讲的公式啊？各位同学都训练一下。就八七六五。是不是分子应该有四个数相乘呀？是吧？分母应该多少除以四的阶乘是不是这样的？减去c七三就是七×6×5。啊，就由4 CG 3，然后除以三的阶乘，这样就行了，然后这个大家知道四的阶乘是24对吧？然后二二十四跟六六八四十八。然后约就可以得到二上面就是70。
减去这个上下可以约，约完有35。得到就35，所以这道正确答案就选择e选项，看这个是不是明白了，是不是学会了？下面我们来看一下这个题目。好，这个题目它给的内容是一个等式，然后问mn满足什么样的关系，在这里面我们根据组合的公式来进行化简和求解。接下来我们来看一下左边。呃，左边的话，我们用它的性质啊，
所以cm- 1 m- 2可以写成cm减一一。是不是所以在这里面套一下公式啊，这m- 1+m- 2，所以这个这个地方可以写成一。然后等于。三÷n减，一×1个，然后右边也用一下公式，就是CN+1这个三。啊CN加一三，所以这个n- 2呃可以把它变成三。然后左边我们可以看出。左边的话，这个cm减一一就相当于是m- 1是吧？这样的话就是m- 1等于。
等于然后呢？右边右边这个组合，我们用一下公式啊，前面是n减一四分之三。然后呢？我们乘以一个。好，这个用公式就写成n+1乘以个n，然后再乘以个n- 1，然后除以三的阶乘。好，这是它的特征是吧？套这公式。它公式以后，我们可以看到上下这个n- 1，
它可以约掉，是不是n- 1约掉约掉完后，然后这个？三跟三的阶乘也可以约掉啊，就推出m- 1就等于。然后这三跟三的阶乘，然后这个算完就是二就二，然后上面就变成了n。乘以n+1。好，这n×n+1正好用咱们前面学过数列的同学，可以发现正好是一个等差数列，求和你看一+2+3。一加到n是不是这样的，所以在这里面我们就可以。
写出这样的式子，所以一+2+3加到n可以写成sigma k从一到n，然后对它进行求和，所以这个。sigma k从一到求和，这个就是连续求和的一个公式啊，这样就从一开始一直加到n啊加起来，这然后呢，把这个左边这个一呢给它移过来就行了啊。如果m就等于一+sigma k，从一到nk，然后这样就写出来，所以这样呢，应该选择d选项。好，
那么通过这道题，大家还可以取特值法，听到没啊？如果有同学对这个符号变化，然后。然后掌握不太好，可以取特的话，比如说你n取一个三。然后看m为几是吧，比如说把n=3带到里面去，好带到里面去，然后呢，我们算出m为七啊，比如说n。等于三。
然后求出m值m值，如果算上正好为7m值是算上正好为七。接下来再也可以验证这几个选项是吧？你看n=3的时候m是不是为七啊？然后在这里面啊，你排排除选项。那么，排除选项，那只有d选项是满足的，是不是这样的？所以，这是给大家强调的。啊，做题的方法好那么大家在考试时候遇到符号都可以用特值法。下面咱们看一下这两个呢，
我们放在一起做一下对比啊，看这两个它的区别什么好，我们可以看一下。这个有从一到九共九个号码，求也就这这九个号码是不一样的是吧？元素都是不相同的。然后如果三个一组代表一个小组，或者叫做一个联盟，那么可以组成几个这样的三国联盟就是几个。几个这样的组合是吧？就三个是一组，三个一组。在这里面，我们就给大家进行写一种展现形式，比如说。
一三五啊，这就是作为一个联盟或作为一个小组。那么有多少个这样的小组呢？在这里面我们可以看它呢，这个不排序，对不对？不排序我们呢就用。组合来表示，所以c九三。啊c九三就代表所有的这样的情况数有多少种？c九三这样就可以写出来好c九三就等于九×8×7，然后除以个三的阶乘。所以三的阶乘，然后这样就等于84。这个呢，
就选择a选项啊，这个呢，就写出来等于84。好，下面咱们来看一下呃，这个题目。好，这个题目它从一到九这九个号码下任选三个，可以组成几个三位数，这道题大家做知道三位数是不是要排序的，对不对？三数啊，它是需要排序个位，十位百位，它是有顺序的，
所以在这里面大家要掌握一下它的这个特征啊，要排序。所以我们要用啊，这个排列来表示这三个数我们也也写其中一种排列的方式，比如说135。对吧，这是其中一种排列方式，然后它有多少个这样的排列方式呢？有多少个这样排列呢？我们看一下就可以写成a九三。当然，也可以写成c九三，它就等于九×8×7好，这样就写好了，好，
这样写完后我们就可以得到。它的数值。然后这样就可以算出来等于504。好得到504这个呢，就选择呃e选项好通过这道题，大家要理解两个关键问题，第一个关键问题这个元素。拿到以后需不需要左右排序，看它有没有位置上的区分，第二个大家可以观察一个非常重要的内容。什么内容呢？你可以看出这个分子九八七，其实就是这个九八七，通过这两个题，我为什么把它放在一页上？
原因是。可以得到a九三就等于c九三×3的阶乘。是不是可以看看，就差一个三的阶乘倍是不是这样的，所以说a九三就等于c九三×3的阶乘。做到这，我们就明白一个道理，什么道理呢？这个组合a九三，它可以分为两步来实现，第一步是先选。三个元素啊c九三从九个里面先选三个元素，先组合组合就代表选取。然后这个三的界限就代表排序，所以我们就可以看出它就可以分为两步，
第一步呢，就是相当于选取。第二步，然后再排序。好，这是分为两步分步，我们就用乘法原理这个分完步以后达到的效果就是a九三的效果。啊，达到效果就可以写出来啊，所以这个选取和排序那么它的。啊，这个关系要写出来，所以以后我们就可以把a九三呢，就不用再写了，直接用c九三和三字经来替代。
好，为什么替代一会我们就会往下讲？接着就是我们要讲这个解题的准则啊，解题的基本准则好，解题的准则就是我们排列刚才。通过刚才写都可以写成组合，再乘一个阶乘是不是？这是根据刚才例题得到的一个结论。所以说我们怎么样理解排列呢？排列可以先组合，然后再排序，比如说我先组合选取。那么也就是说，这个排列可以用组合与阶层呢来代替。可以用组合，
还有阶层代替情况。代替，然后为了思路清晰，然后本书呢，我们都用cnm和m的阶层来表示，也就说符号，我们下面要统一，也就从此呢，这个an m就。不需要了，这个解决很大的一个，大家根本性的一个问题，为什么是很大的一个根本性问题呢？因为大家以前。学过的同学，
想想在高中为什么学不好，你在做题的时候是不是大脑很容易受到什么干扰啊？什么时候该写c什么时候该写a？这时候呢，你是不是在思考这个思考这个肯定就会影响你的做题的经历，这样话就会写作，现在的话咱就不用思考c还是a了。在在这里面就没有这个a了是吧？我们都用这个c和阶层来表示，这样话就可以把。很容易混淆的错误，东西给它明显的区分开了，就区分成两个动作，要么就选取，要么就排序，
就二跟三给大家写的啊。如果选取东西啊，这时候用组合什么时候需要选，记住啊，什么时候需要选，需要选那么下面这个树呢，把它称为是个供应的。上面这个数是需求的是吧？就是供求关系啊，就是下面下角标这个n呢？是供应的m就代表需求的啊。就选取m或选取元素或者位置，那在这里面好当这个供大于求的时候。供大于求，比如说我提供五个，
你只需要三个，只需要三个，这时候是不是就得选就写c五三就几个选几个就写c几几？然后当供等于求起求的时候，它sinn它有一种好吧，供等于求的时候供供不应求的时候，这个是没法做题，比如说我给你五个，你想需要六个，那这个题呢？就没法做。是不是所以那种情况是不存在的啊啊，这个给大家强调，所以供大于求的时候，你就需要选一选。
好选元素，比如说我给你几个样品，你需要几个，然后如果要选位置，比如说给几个座位，给几个凳子，你需要选几个来做啊，这样的情况。交汇分析好，这是强调的这个特征，接下来我们看排序用m阶层选完以后，那么到底有几个需要排序？刚咱们讲了这个，比如说先选的是从n个里面选出m个。这m个里面有的需要排，
有的是不需要排，所以在这里面几个需要排序就写几个阶层就行了。好，第四个就是非常重要的一个实现过程，将所有题目都拆解成排序，选取和排序的过程，再对应写表达式，比如说咱们。所有题目就两个动作，就选取和排序这两个动作好吧啊，用这两个动作来表示所有的内容。好，这是它的解题的准则和方法。
页:
[1]