8-03球体
接下来我们再看一下球体啊，球体的公式比较少，一个就是体积和表面积好，那么假设球的半径为r，它体积是三分之四派r立方。表面积s=4派r方。s就是四派r方好，这是它的这个特征啊，就表面积和体积情况，然后在这里面我们来看一下球的一些。呃，这个名称啊，一些概念好，中间这个点就把它称为球心啊，看一下图，这个把它称为球心，然后过球心的。啊，就像圆里面的直径一样，也可以把它看成球的，这个直径是吧？然后呢？就这个，这也叫做轴，就像咱们地球一样，它绕着一个轴来旋转啊，其实这是。它的它的轴。好，然后球呢？
是旋转体球呢？就相当于圆绕着直径旋转一圈构成的这个旋转体啊？然后这块就是球的半径，这块球的半径，然后这个外面就叫球面弯曲，就叫球面球面，然后中间这个都是叫做截面。小圆叫做截面是吧？然后过球心的截面其实就是咱们地球所谓的呃赤道一样是吧？就地。跟地球差不多啊，好，这就是过球心的截面，其他截面看有的呢，没过球心，
没过球心的话，在这里面就是一个小的圆，它的截面只是一个小的圆。好，那这是球的截面啊，那么我们看一下那么球心与截面的连线垂直截面就球心球心与这个截面。这个圆心这个连线跟这个跟这截面垂直，然后假设球心到。球心到这个截面的距离是dd，然后球的半径是r啊，球的半径，比如说这个球的半径是r。然后这个圆柱呃圆的小截面是小r，这样的话，我们就可以列一个勾股定理是吧？
勾股定理啊，这是d的平方+r平方等于这个球的半径的平方啊。所以有固定的，所以要构造成一个直角三角形来进行学习。好，接下来我们学习一下球的基本公式，其实基本公式吧，第一个就是球的体的表面积公式，那这个比较简单，注意表面与球的半径。它的平方成正比体与半径的立方是成正比的是吧？因为它的球表面等于四派r方嘛，它只与r方哎相关，然后体v呢等于三分之四。派r的立方是不是派r立方与半径的立方成正比好，
我们看一下，若一个球体的表面积增加到原来的9倍。给它提示的多少倍好，我们首先可以看，如果表面积是原来九倍表面积。它跟这个r平方，这两者是一个正比关系，那表面如果增加九倍，如果s要增加九倍。增加到原来九倍啊，就增加到原来九倍。好，那就得到。就推出这个半径r为原来的。三倍是不是啊？
半径r为原三倍，原则上那那再推出这个体积，因为体积这些体积呢是跟r的立方是成正比的。所以体积就为原来的27倍。好体积就为原来27倍叫三的立方啊，这些答案就选b选项好看，这道题是不是学坏了？这道题它以后比如说在我们立体图形里面告某一段长度啊，增加多少或者减少多少？问，表面积是原来多少倍？这样一个比例要会写。下面我们再学习一下另外一个知识点，外接球和内接球啊，外接球和内接球好将圆柱底面半径为r求半径。
为大r圆柱的高为h。啊，圆柱的高，它是h。在这里面，我们看一下内切球，好内切球的话是对图形有要求的，并不是任何哪一个图形它都有内切球，它对图形是有要求的。比如说对于一般的长方体，没有只有正方体，它才有就是上下左右四周啊，它比较规整，这样才有内切球，因为啊，
这个长方体如果太扁的话。这个长方体内部很难放一个球，跟上下左右前后四面八方都切上，那不可能，所以只有正方体才有，比如正方体。啊，这是一个正方体。好，如果要是一个正方体的话，在这里面就可以里面画一个内切球啊，上下左左右。那都相切上下面，左右面前，后面都是相切的，
是不是这样的啊？都是相切的情况，所以在这里面。有只有正方体它才有，而且这个时候正方体棱长，就这个那些球的直径啊，这样就写好了是吧，所以这个给大家强调了，所以就正方体。它是有的啊，它的棱长等于球的直径。好，那么这是给大家进行写的这个特征好，然后咱们再看一下圆柱，就把那些就讲完圆柱，
圆柱的话也是轴截面是正方形的圆，它有这个。圆柱叫做等边圆柱是吧？这个刚咱们讲了一个概念，叫做等边圆柱。所以只有等边圆柱，它才有这个内切球等边圆柱，它才有这时候等边圆柱的话，大家可以发现我们画一个。好，这是一个等边圆柱是吧？然后在这里面，大家可以发现它上下左右前后呢，它都是相切的。这时候，
它的这个球的直径跟圆柱的高一样，或者说这个球的半径跟圆柱的半径一样。是不是所以在这里面它的半径都是一样的啊，这个内接球呢，比较简单一点好，我们再说一下外接球，外接球的话那么长方体正方体都很简单，有体对角线。就行了啊，体对角线，所以掌握体对角线，体对角线就是外接球的直径啊，体对角线就得到是外接球的直径，这样就写好了。好看，
这一块儿是不是学会了？好，我们再看一下这个圆柱这一块儿啊，再看一下圆柱，圆柱的话，它的外接球什么情况呢啊？这是一个圆柱，然后这里面画一个。这是一个球里面。好一个球画一个圆柱，好圆柱的特征是什么呢？我们来给大家画一下它轴截面的对角线啊，这个可以把它理解成轴截面。好，这个轴截面的这个对角线好就是。
啊求的直径好吧，就这一段的长度就求的直径球心呢，是在这啊球心在这，所以这个呢就求的直径我们用。2r来表示，然后下面这一块儿呢，是圆柱的直径啊，下面这一块儿是圆柱的，直径是2r，这是它得到它高。这个它高是h，然后这样我们就可以根据勾股定理写一个啊，就h方加2r方等于2r好吧，就h方加2r方得到这个。平方啊，
这个是外接球，这个情况大家要掌握啊，这这个就可以把它看成就它的轴截，面对角线长。轴截面对角线。就等于球的外接球的直径。好，这个写好了好，这是它的这个特征。好，接下来我们来看一下啊，这个题目。这个题啊，主要考察就呃内切球，还有外接球，
记住刚才咱们讲的公式就行了啊，公式好，我们来看一下，如果求的一个内接常方体的三条棱长分别一二三。则该球的表面到底是多少？好在这里面只要求出球的呃半径就可以算它表面积好，因为它的这个长方体。那它是一二三注意，要知道谁在内谁在外啊，求的一个内接长方体内接长方体就是长方体在球内部长就球内部这个球的半径。就等于它体对角线长的一半啊，一方加二方加三方就等于二分之根号下。啊，一+4+9就14是吧？所以它这个有二分之根号14，
它求表面积就等于四派r方。把它带到里面去，四派乘以它的平方，平方四分之。14就等于14派好这个呢，就选d选项好，注意这个内接外切，上面是谁相对于谁要弄清楚啊？这个球的内接正方体就是球在外头，它里头放一个长方体，放一个这样的长方体。好，下面咱们看能切割为球的一个等边圆柱就是一个等边圆柱呢，你可以把它切成球，比如说我给大家画一个这个等边圆柱。
等面中你可以切成这个球啊，可以切的非常小，对吧？比如说我们呃，用机器把它加工成一个很小的球，也可以加工稍微大点儿球，也可以加工更大一点儿球。它问什么问切割下来的部分体积？切割部分下来，体积占球的体积越少越越少，越好越少越好，那么相当于这个少一点是吧？切割下要少一点。切割下来少一点，那说明球要越来越大是吧？
所以这道题表面上是求一个至少至多最值问题，其次呢，就转换成这个球最大球最大，那正好呢就是。采用这个。这样的一个关系是吧？这个球是一个内切球，这样的特征，因为它要求一个比例情况，求比例情况，我们就取一个特值好吧，我们讲这个圆柱的半径为一圆柱，半径为大家知道。这个内斜球的半径也是一是吧，所以它的半径它它也为一。
你好，这个等边圆柱的体积，我们看切个微切下来，体积比上微球的体积，你看切体怎么算呢？具体用整个等边圆柱的体减掉一个球体就可以了好吧？等边圆柱减掉一个球体，那么等边圆柱那这个等边圆柱，因为它高，这个就为二嘛，高为二，它的体怎么算呢？就等于派r方。然后再乘以高高就为二好，这是柱体体，
然后减到球体体，球体三分之四派r的立方。然后再除以球的情况，三分之四派乘以一的三次方好，这就写好了，写好，然后最后正好得到二分之一选c选项，剩下约一约。得到二分之一，所以七道题用整个柱体体减掉里面球体体就可以得到，那这个切掉体，然后比上球体体这样就可以得到结果。看这块是不是明白了，是不是学会了？好，
接下接下来我们看一下这个题，这题考察半球啊，考察半球，这咱们二零一九年考试有没有考过半球，把一个半球给它削成底面半径为球半径一半的圆柱？那么，半球体和这个圆柱体之比到底是多少啊？好在这里面我们来看一下它这个情况。好，这是一个半球啊，半半球，然后削成球半径一半的圆柱，好一半圆柱在这里面，我们来看一下这个圆柱。就这样的是吧？
好原作是这样，因为他要求比值求比值的话，我们就用这个特值法做，我们假设设求半径。求半径r它等于二好，那么圆柱半径。圆柱半径，它有唯一是吧？圆柱半径，它有唯一接下来我们只要求出圆柱的高就行了啊，我们做一个辅助线，这样一连啊，这样一连。这样呢，我们可以看到什么情况呢？
然后这一块就是一啊，这块就圆柱半径，它就为一啊，这块就为一。然后呢？这个就是。这条就求的半径，求的半径为二啊，求的半径为二，你看这个是一，这个是二，根据勾股定理，我们就可以得到h呢，就为三圆柱半径，圆柱高就根号三。
啊，圆度高就根号三就写出来，其实我们接下来就微半球。比上v柱体。它要等于一个半球就等于二呃，就等于二分之一，这个整个球啊，大家知道整个球的体积是不是三分之四派r的立方呀，它一半就三分之二派。派r的立方啊，刚才说了它的它的这个球的半径为二是吧？所以在这里面我们就可以写作球的半径为二三分之二派。r的地方除以一个为柱体，柱体就等于派r方再乘以高。就等于派r方，
然后再乘以高。好，这样就可以写出它的这个结果，然后上下把它约一约，约一约派就可以约掉，是不是派就可以约掉？所以在这里面，大家呢，就可以写出这个是。上面26啊，24杠16比上三倍根号三，所以这个呢，应该选择e选项好，这是考察半球它的特征。那半球咱们还考过，
里面放一个正方体等等一样的去分析，做一个辅助线，从球心连接一条线构，造成一个直角三角形就可以得到它的结果，看是不是学会了。好，下面咱们再说一下球的这个截面啊，球的截面。啊求的截面的话，叫做球心到截面距离为d球的半径为r截面的半径为小r，根据勾股定理，那么有这样一个关系啊，你的关我们看这个题。用两个平行啊平面去接半径为五的球，若截面面积分别为九派和16派，
则这两个平行平面的具体到底多少？求这两个平行平面的距离在这里面，它有两种情况，大家不要漏掉了啊，好一种情况就这两个截面。正好在球心的两侧啊，比如说啊是这样的情况。这是一个截面，这是一个截面好，这个截面它都是圆啊，它都为圆，这个截面面积是九派。这个截面面积呢？大一点是16派，然后求的半径r呢是等于五。
r=5在这里面，我们要做一下辅助线啊，做一下辅辅助线，这样一连好，这就是一个直角，是三三角形，是不是这样一连？好，这就是一个直角三角形，然后下面同样道理也给它做一个这样的辅助线啊，这也是直角三角形是不是这样的？啊直角三角直角三角，接下来我们就看一下它的数值情况，看一下它的一些数值，然后这一块大家可以发现球的半径为五，
这块是V5。然后这块它的截面也是一个圆圆的面，要九派的话，它的半径是不是为三呀？为三这个是五这个三，然后这个高度是不是就四啊？高度它就为四这个写好了，然后这同样道理，那这一块它半径它也为五球的半径为五。好，这个截面它面积要16派，它的半径就为四，然后这一块就为三啊，这块就为三好两个截面的距离怎么算就两个截面之间距离就这段距离到球心的距离是四。这个截面到全去三那么两个截面去就是四+3就得到七。
就得到七还有一种情况就不在话，大家想象一下就是相当这两个截面都在球心的同一侧，都在球心的同同一侧，它的距离就是四减三啊，四减三就为一好吧。就这样，答案就选d选项这个比较简单，看大家是不是学会了，所以这个球的里面的一些截面的情况。看大家听懂了没有，好立体几何，把基本的公式和方法给大家进行介绍了，大家把这些题呢好好消化一下，总之考试内容不多，因为咱们立体几何，
不考呃锥体圆锥之类的，所以内容量呢就要小很多，所以大家呢？只要把这些几个规则图形公式记住。
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