06.课件6-数学强化班第三讲（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-5 15:24:47

好同学们，那么下面呢？我们就进入到啊第三讲的第二部分啊，我们在第三讲的第一部分呢，跟大家把。平面几何的呃，这个综合题讲完了呃，下面呢？我们啊这个讲解的是专题二解析几何部分了，首先我们看到。啊，这个时段热身两道热身题啊，跟大家呢？啊，通过这两道题目，

把我们基础阶段所学的一些这个知识要点，以及我们啊，这个考试中所需要掌握的方法呢，跟大家。这个熟悉一下，热身一下好，我们看到热身体一。这道题目呢，它说点在圆的内部，对吧？这个a的取值范围是多少？首先我们先做复习。平面几何是吧？同学们注意了，它是用定理来去解题的，

那么我们解析几何呢？是靠计算来去。啊啊，来去解题的，也就是说啊，解析几何的特点是靠计算，对吧？在直角坐标系中去计算，所以我们首先复习的第一个要点呢是。啊点两点之间的距离公式。那么，我们设a点的坐标为x1。y1啊b点的坐标呢是x2y2，所以AB的。距离它是等于根号下x1-x二的平方啊，

加上y1-2y2的平方。这是两点之间的距离公式好，我们再复习一个。啊，这个圆的方程，圆的标准方程。同学们注意了圆的标准方程。实际上就是用。两点之间的距离公式得到的，我们说圆是什么呢？什么是圆呢？圆是不是呃到有个圆心呢？对吧？那这边有个圆心。圆心o对吧？

然后呢？这上面啊，这个p点呢？是一个。是圆周上的任意一个点，那么它的特点是po就是等于半径r对不对？也就是说它是这么来的po。啊，是等于半径r，然后根据这个推到的那么pop点的坐标是xy对吧？这个o点的坐标呢是？是我们比如说是x0y0，那么我们根据两点间的距离公式，所以po的长度应该是等于。啊，

等于x-x零的平方，加上y-y零的平方，再开个根号对不对？那么这个距离是要等于半径r的。两边平方就可以得到x-x零的平方，加上y-y零的平方=r^2。其实呢，这个公式啊，就是圆的标准方程，我们在基础阶段就给大家讲过，那么现在呢，我们从。统一的角度来给大家重新再来去审视它。我们发现这个圆的标准方程原来就是用两点间的距离公式得到的。所以说我们说这个解析几何，

它的三大基础公式是距离公式，斜率公式和终点坐标公式，我们这地方就用到了距离公式。对不对？我们不仅可以用两点间的距离公式推导出圆的标准方程，我们而且我们还可以用两点间的距离公式来判断点和圆的位置关系。好，所以接下来我们要看到第三点，大家注意了基础阶段和意识技巧，技巧强化阶段。啊，对同一个问题，我们的切入点和分析的视角是不一样的基础阶段啊，旨在是跟大家讲解它到底是什么，我们的意识技巧强，

后阶段是要把这些点把它盘活，把它中间的联系，把它构建起来，把它串联起来。起来对吧？所以说这个大家学习的时候角度是不一样的。我们再看一个点啊点p啊，一个点。一个点的坐啊，一个点假设它的坐标啊，我们设这个点为m嘛好吧，有一个点m它的坐标是。它的坐标是啊，这个mn。好吧，

或者说一个点q吧，一个点q，它的坐标是mn啊与原。啊与圆c它的坐标啊，它的标准方程是x-x零的平方，加上y-y零的平方=r^2。它的位置关系。啊，我们在基础阶段其实也讲过这个内容，对吧？我们现在呢，从句划一个圆出来。啊，这边我们画一个圆出来。这个地方是它的圆心c啊，

然后这边有一个点q，这q是在圆c的内部，那么这个时候我们发现了这个q点和c点连接起来，它是要小于半径r的，对不对？是不是这个意思啊？所以我们有这样的三种情况，第一点q。在圆内。对吧，点q在圆内，那么我们可以得到qc的长度，它是要小于r的。对吧，第二个如果点q。

如果点q在圆上，我们是可以得到qc的啊，这个长度是等于r的。第三点，如果点q在。如果点q在圆外，那么我们是不是可以得到这个qc的长度是要？啊，是要大于二的。是吧，是要大于二的。如果点k在圆内，那么同学们，那这个是等价于什么呢啊？这个等价于。

它是等价于啊，这个箭头表示双箭头表示对吧？两在两个方向的箭头表示是等价于等价于就是由前面可以退到后面，由后面可以退到前面。对吧，那么它的意思是一样的，就是说qc的长度，我们有两点间的距离，公式c点的坐标是x0y0对吧？通过这个地方看到。通过圆的标准方程，我们可以看到啊，圆心c点的坐标是x0y0q点的坐标是mn，所以我们把它带进来就是m-x零的平方。加上n-y零的平方，

它是要小于r的好两边平方。两边平方把根号去掉，所以就变成了m-x零的平方啊加上。n-y零的平方对吧？加上n-y零的平方，它是要小于r的平方。这表示什么呢？那那同学们注意了，我们怎么去理解这个问题啊？实际上就是把这个点m带到了这个圆的横坐标x=m纵坐标y=n。带到了这个圆的方程左边，它才小于右边的。那么，如果是点q在圆上的话。同学们注意了，

如果点q是在圆上的话，那么我们可以得到一个什么关系式呢？好，我们得到的关系式。注意了哦。好，我们得到的关系式。如果点在好，如果。啊，如果这个点q在。啊，如果这个点q同学们。如果这个点可以在圆上。啊，

说明什么呢？点q在圆上的话，是不是说明这个qc是要等于半径r的对不对？所以呢qc它又等于用两点间的距离公式可以得出来，等于根号下。啊m-x零的平方，加上y-y零的平方，它才等于r的，对吧？两边平方是不是也就等于？那意思就是说当q点在圆上的时候，我把q点的横纵坐标带到圆的方程左边，它是要等于右边的。如果点q在圆外呢？如果点q在圆外啊，

圆外的一个点啊，跟c点连接起来，跟它的圆心c点连接起来。对吧，是不是肯定要大于半径r，所以圆点q在圆外啊，它等价于qc啊，它的长度是要大于r的。而qc根据两点间的距离公式，可以得出来，它是等于根号下m-x零的平方叫n-y零的平方，对吧？它是要大于半径r的两边平方。可以得出来诶，这个是不是就大于r的平方，

我们也可以认为是当点q在圆外的时候把q点的横纵坐标带到圆的方程左边，它才大于右边的。对不对？所以以后我们研究啊，这个点和圆的位置关系的时候啊，我就不再去使用。距离公式了，对吧啊？尽管它的这个关系的推导证明是用距离公式得到的，但是我们实际考试的时候就不需要再去写写这个了。啊，直接利用点在圆点q在圆内，我就可以把点q的横纵坐标带到原来方程左边，它才大于右边的。我如果是点q在圆上，

那么把点q的横纵坐标带到圆的方程左边，它是等于右边的，如果点q在圆。在圆外呢啊，那把点q的横纵坐标带到圆的方程左边，它是要大于右边的。是不是啊？好，接下来我们啊，看到这个热身题一啊，我们刚刚才给大家做的这个。呃，热身的复习啊，归纳就说理完毕，下面我们看这个题目本身的解析。

首先第一步。因为点。一一。它是在。它的圆。x-a^2。加上y+a^2=4。类在圆内，所以我是把这个点的横纵坐标带到圆的方程里面，应该是一减去a的平方。加上一+a^2，在圆内是不是得小于右边了？带到左边要小于右边是不是？要小于号，所以呢，

第一步的工作咱们就做完了，现在这个题目要我们去求a的取值范围，实际上就是解这个关于a的。啊，这个方程就可以了，好，我们用完全平方公式展开，这边一减a的平方是等于一加上a的平方。减去2a。嗯，把一+a^2呢带进来，就变成了一+2 a+a^2，对吧？它是要小于四。嗯，

那么我们这边减一个2 a+1个2a，它就抵消了。对吧，所以这边我们整理出来就变成了二加上二a的平方要小于四，所以二a的平方要小于四减二就是二。所以a的平方是要小于一好，所以我们可以得到a是介于负一到一之间的，所以这道题目正确答案选择a选项。是不是很快呀？对吧啊，所所以您大家发现这个题目本质。上的理论依据是两点之间的距离公式。但实际上，解题的时候呢，当我们有了前面这个啊，

有了前面这个复习要点之后，对吧？搞清楚了它的来龙去脉之后，我就不需要什么东西都用最原始的东西去做了。啊，因为用从最原始的地方作为起点去啊，去解题呢，显然它不利于我们的快速。对吧，做出答案来，这就是我们复习的意义和价值之所在，就是提前把相关的要点准备好，考试的时候直接拿过来用就行。好，下面我们看到热身题二。

好，我们看到热身题啊。我们首先呢嗯。做一个要点，梳理和复习。复习第一个问题呢是。啊，直线过定点的含义。嗯，ax。嗯，前面加个。文字啊，直线。直线ax。

加上by+c=0。啊，过定点的含义。过定点px 0y0。式子。是指。把x=x零。y=y零。代入。直线的方程。等号成立。等号。是恒成立的。哪个等号是恒成立的呢？就是咱们把这个点p的横纵坐标带到这个直线的方程里面，

这个地方有个等号，对吧？这个等号是恒成立的。就就你带到这个直线的方程左边了，它是恒等于零的。也就是说，不管你的系数啊，这个AB取何值啊？不管你的系数ABC取何值？啊，那么你把p点的横纵坐标带到这个直线方程里面，左右两边都是相等的。那么，像这种过定点呢，是专门用来解决什么呢？

好，我们来给大家做一个示例。比如说。比如说ax。加上y。啊ax+y。减去啊，减去2a。加上一=0，这就是一个关于啊，关于啊，这这就是一条直线。对吧啊求，比如说要去求这个所经过的定点。我们现在去求这个问题，

首先我解释一下为什么有这么个有这么一个定点存在啊，就是因为啊。我们这条直线含有参数a。就是a取一个值，比如说我把a=1代进去，我得到了一条直线。对吧，我把a=2带进去，我又得到了另外一条直线，我把a=3带进去。我又得到了第三条直线，我实际上每取一个a的值，我就可以得到一条新的直线。那么，这无穷多条直线，

它都要经过的那一个点，就叫做定点。明白了吧，就是它都要经过好，这是直线l1对吧h一个值啊，画一条直线h另外一个值，那又又画一条直线。画一条直线h取第三个值，那我又得到一条直线，那么把它的图形画出来，那么这些直线。都要经过的那一个点就叫做定点，明白了吧？都要经过的那个点叫做定点，所以我们要去求定点的方法呢，

就是取几条直线。对吧，取几个直线，然后呢，求它的交点就是定点了。好，我们来做分析，它的方法是这样的啊。首先，令我们令a=1好带进来，我们就可以得到x。加上y- 2，加上一就是减去一=0了，对吧？好，

我们还可以令a=2。所以我们代进来之后，可以得到应该是2 x+y啊，这边是减去四+1就变成减三要等于零了。那么也就是说我。任意的让a取两个不同的值得到了两条直线，这两条直线的交点。就是那个定点p。对吧，好来我们来去解一下啊，那么这边呢？可以得到x+y是等于一的，对吧？这边呢？2 x+y是等于三的，

所以下面的方程减去上面这个方程，所以x是等于二的带进来y是等于负一的。所以我们就可以得出来这个定点的坐标。定点p的坐标是二。负一啊，定点p的坐标是二负一。好，这就是不管你a取什么值，对吧啊？你所得到的那个方程永远都要经过的那个固定的点p的坐标，咱们就求出来了。好，这是定点的含义，一般来说，直线方程中含有参数，

那么这条直线就存在定点。那么，求定点的方法就是我们刚才给大家所做的这个示例的方法。任啊，令这个参数取两个不同的，值得到两个方程联立求解就可以得到定点的坐标。好，这是第一个复习要点啊，第二个复习要点是。若若直线。过过圆内的点。p则该直线。一定。它一定与圆。有两个不同的焦点。

对吧，若点p啊，若过若直线呢，过圆内的一个点p，然后咱们画一个圆。然后。这边有一个点p。那同学们注意了，不管这个直线咱们怎么画？啊，不管这个直线咱们怎么去画它，对吧？它它一定是跟这个呃跟这个。它一定是跟这个圆对吧？因为它要经过点p原来的这个点p，

它一定是与这个圆有两个不同的交点。明白吧。我们还可以，比如说你旋转一个方向，它也是有两个交点，对吧你？只要经过这个点p，你不管是怎么画，你看它是不是一定有两个不同的交点对不对？啊啊，只要这个圆啊，这个直线经过点p，它一定是有两个不同的交点。是不是啊？好，

这是第三个呃，这第二个要点，我们看到第三个要点。呃，若。若直线过。原类的。点p。啊，这个点p。这个点p啊。不是圆心。啊，这个点p不是圆心。啊且。

直线。与圆。实现语言教育AB两点。则好执行语言教育AB两点。好这么我这么写过来，这是AB两点。同学们，这边呢？是圆心。好，这是圆心c。我们在连接。AC.在连接。CP.

好，这边呢，我设为m点，这是终点，对吧？m点是AB的终点。那么，在rt 3角形啊，在rt 3角形。啊，这个AC。m中。在rt 3角形。在rt 3角形a cm中，咱是不是可以称有勾股定理啊？

对不对？AC是等于半径r的。咳。好AC是等于半径r的，所以呢，我们就可以得到这个am，它要等于根号下。注意啊，它是等于根号下r的平方减去cm的平方。再开根号。是不是啊啊？那么同学们注意了，这个m点是m点是AB的中点。那么，这个cm的长度注意了，

如果m点跟c点是重合的。它有没有可能重合呢？可以，就是m点跟c点重合的时候，那么这个AB这个直线就变成了PC直线了。对吧，它就变成了这么一条直线。是不是它经过点p这个直线，经过点p，并且经过圆心了？那么啊，那么这个这个这个弦。的中点是不是就是m就是这m点就是c点了对不对？所以同学们cm的长度它最小是大于等于零的。对吧，

它最大啊这个。大家在看到这个图形中啊，在看到这个三角形cmp中cmp这个三角形，你看cm是个直角边CP是个斜边。所以cm是不是要小于CP啊？是吧？那么什么时候它等于CP呢？同学们注意了啊，什么时候它等于cp呢？就m点跟p点重合的时候。对吧m点跟p点重合的时候。这个cm就取最大值CP了。能理解吧，就取最大值CP，所以这样的话，

我们就可以得到am啊，也就是cm的平方是不是就大于等于零，小于等于CP的平方啊？对吧，因此我们就可以得到am啊啊，也就说我们减去了这个cm的平方，它的最大值是CP的平方。当当cm的平方取最大值CP的平方的时候，那么这个am是不是就取最小值啊？好它的。最小值为根号下r的平方减去CP的平方。那么am的。好，它的最大值取最大的时候cm的平方=0，对不对？

它最大值就等于。啊，是不是就等于根号下r的平方减去零的平方啊？所以它就等于r。明白吧，这是am的长度的取值范围。所以呢，我们就可以得到注意了，又因为AB的长度是等于两倍的m的长度。所以我们可以得出来AB。它的最小值为两倍的根号，下r的平方。减去CP的平方。啊c表示，圆心p表示嗯p表示，

圆圆内的一个点对吧？这两个点的坐标。如果都给我们了，那我根据两点间的距离公式，我就可以求出CP了。好，另外一方面。AB的最大值。为什么呢？AB的最大值为啊，直接就是直径两倍的r。就等于两倍的r。那么下面呢？我们把它取最大值和最小值的这个情况呢？我再给大家在这边画一下。

啊，取最大值的时候啊。咱们这边里面有一个。比如说这地方有一个点，这是点p。好，这是。这是圆心c。对吧好。把它复制过来。什么时候取最大呢啊？就是AB。去。啊，先写最小吧AB取最小值的时候。

是这个图，这边呢是。AB取最大值的时候。好，它取最小值。的时候它是这么一种结构啊。它是这么一种结构。啊，用黑色的呢？就是做这个垂线。明白吧，这是连接CP做CP的垂线。啊，做cb的垂线与圆交于AB两点，那么在这种情况下，

在这种情况下AB的值是最小的。啊，这种情况下AB的值是最小的。啊，连接它。那这边是半径r对吧？在直角三角形中。那么，这个AP。它是等于根号下r的平方减去CP的平方的。对吧，那么这个AB它就等于两倍的AP，它就等于两倍的根号下r的平方减去CP的平方。对不对？所以这边是当。

当什么呢？当AB直线垂直于CP的时候，这个AB取最小值。啊AB取最小值。好，然后呢？我们现在看什么时候它取最大值呢？它取最大值的时候啊？这是直接连接PC。啊，直接连接PC。直接连接PC，然后呢，与圆交于AB两点。啊，

这是a点。这个是b点。啊，那么这个CP。啊，就是连接CP。cb所在的直线就是AB直线，对吧？就AB直线cb所在的直线与圆交于AB两点，那么这个AB显示。这个AB长度AB线段是最大的。并且这个最大值，它就等于。啊，它就等于二倍的r，

就是它的直径。对不对？好，刚才呢是从啊，刚才呢是从代数的角度，从不等式的角度跟大家推理，然后呢，这个角度呢，是告诉大家这个图形怎么画？好，这是复习啊。啊，总共是啊，有三个要点跟大家复习完了，我们现在呢再来研究热身题二这个题目本身的解析。

首先，我们把相关的已知条件把它摆过来。圆c的方程是。啊圆c的方程是x减去呃一的平方。加上y- 2^2=25，25呢？可以写成五的平方。对吧，那反而是不是就可以得出来它的圆心呢？啊，它的圆心坐标是一二它的半径。r是等于五。那么下面呢？我们再看这个直线l。直线l。

这边呢，应该是。2 m+1。乘以x。加上m+1×y。它要减去7m，再减去四，它等于零，对吧？然后它就是要判断直线和圆的位置关系，我们常规的方法呢是？你看常规的方法是什么？常规的方法是求出圆心到直线的距离d，然后比较圆心到直线的距离d跟半径r的大小关系，如果d大于半径。

啊，如果这个圆心到直线的距离d啊，它大于半径，那么说明这个直线跟圆是相离的，如果这个d等于半径r，那说明这个直线跟圆是相切的，如果d小于r，说明这个直线跟圆是相交的。对吧，这是常规的方法，但是咱们这个地方啊，凡是这个直线含有参数，我们都可以从定点的角度来出发，这是一个另辟蹊径的道路。啊，

也是一个非常巧妙的方法，我先把直线的过的定点求出来，看这个直线过的这个定点在不在圆内？如果这个点啊，过了这个定点p在圆内，然后这个直线又一定要经过这个啊，圆内的这个定点p，那说明这个直线跟圆永远是相交的了。对不对？所以我们先求。我们先求直线l。它所。啊先求直线l所经过的定点p的坐标。那么怎么去求呢？同学们注意了。

我把这边变个色吧。啊，咱们变成红色。它的方法是什么？同学们注意了它的方法，大家还记得吗？刚才我们是不是复习的时候给大家讲过，是不是要取参数值啊？令令它取不同的值。对吧，好，咱们来求咱们令。令m等于令m=1，我们带进来可以求出来啊，令m=1，

咱们可以。可以求出来，应该是3 x+2 y啊，3 x+2 y。减去11=0对吧？减去11=0好，我还可以列什么呢？比如说我列m=- 1。稳定m=- 1好，咱们代进去，代进去之后呃，这个2 m+1就等于负对吧？负一所以这边是负的x。那m+1=0，那没有了对吧？

呃，减去7m就是减减7m就变成了呃，减负七变成了加七+7-4。是不是就变成了加三了，对不对？所以这边加三=0好，这样的话，咱们很快是不是就可以得到x是等于三的？对吧，把x=3带进来啊，把带到哪呢？带到这个方程里面三三得九。九啊九+2 y- 11=0。那是不是得到2y是等于二，所以y是等于一，

所以呢，我们就可以得出来这个p点的坐标是三。一也就是这个直线，不管你m取何值。对吧，你每取一个m的值这个直线就得到一个新的方程，这个新的方程就对应着一条直线，在图形中在直角坐标系里面就对应对应着一条直线，那么这条直线。啊，有无穷多个对不对？你m有无穷多个值那这个值线就有无穷多条？那么，这无穷多条直线都要经过这个点p，就叫做定点，

那么这个定点p的坐标，咱们求出来了。是不是然后我们再怎么办呢？我们再判断。好。我们再判断。p点p三一。与圆c的。在判断p3与圆c的位置关系。我们带进来，同学们注意了，我们这个时候。把它带进来，也就是。把x把p点的横纵坐标带到圆的方程，

带到圆的方程左边对吧啊？注意啊，这个p点的p点的坐标是三一把它带进来。应该是三减去一的平方，加上啊，一减去二的平方。同学们注意了，我们得出来，这边是三减一的平方，是四一减二的平方，是一四加一等于五，对吧？这个是小于二十五的。对不对？五的平方是这边，

五的平方是25啊，所以我们是不是可以得出来这个点p？三一。它是在圆圆c的圆c的内部。对吧，在圆c的内部，如果点p在圆c的内部，那么它等价于啊，把圆点p的横纵坐标到的圆的方程，左边是要小于那个值得到的，值是要小于右边的。对吧，小于二的平方了。明白吧，如果点p在圆c的上面，

那么我们就给它出来，把这个点p的横纵坐标带到圆的方程左边，它是要等于右边的。明白吧，好，那么这是我们的第二小步，我们继续再来。那我们刚才用结论，我们用一个什么结论呢？用什么结论呢？就是直线过圆内的一点对吧？直线过。原类一点。啊，那么这。

直线。语言。相交对吧？这直线与圆相交于两点。就不管你这个直线怎么画，它都要相交于两点，所以我们最终得到的结论是什么呢？啊，得到了这个好，我们的解，从而因此啊。咱们用到这个结论。所以这个题目第一个问题是直线l与圆圆c的位置关系，对吧？所以直线l。

与圆c。相交于两点。对吧，相较于两点好，这是我们的第一步。下面我们看到第二步啊，求直线l与圆c截得的弦最长的时候圆。啊，这个直线l的方程。咱得画个示意图是吧？来把示意图画出来。啊，这是一个圆。然后这个圆呢，我用绿色的笔来。

这边呢呃点点p呢，是在圆内的，是不是既然是示意图，就咱是不是可以随便画呀？好，这个是圆c，它的坐标，它的坐标是一。二然后这边呢是点p的坐标，它是三一对吧？它是三一，我们画示意图就可以了。点p是三一，按理说啊来咱来把它旋转一下啊。好，

那么我们连接CP。我们连接CP。弦长最短的时候是做垂线，做CP的垂线。对吧，那么这个点是a点啊，这个点是b点。这个点是p点。所以这个时候在这种状态的时候，这个直线是啊，这就是直线l这个直线。啊l被圆所截断的弦长是最短的，那么现在要去求直线l的方程，我是不是可以？用点斜式啊，

对吧？好，首先求斜率啊当。l垂直于CP时。l被。啊l。直线l被圆所截断的长度是最短的。对吧l被圆所截断的弦长是最短的。那么这个时候我们就可以得到啊，它的斜率啊PC的斜率对吧啊？kpc表示PC。这条直线的斜率用斜率公式对吧？嗯，两点所在的直线的这个斜率是怎么求的啊？前面是纵坐标之差，

除以横坐标之差，是不是应该是啊p点的啊？纵坐标之差应该是二减去一比上一减去三。对吧，也就是PC两点的纵坐标之差，比上它的横坐标之差，我们计算一下，它是等于。负的二分之一的。呃，又因为这个直线l的斜率和啊，又因为直线l垂直于PC，所以它的斜率之积是等于负一的。对吧，两条直线垂直的时候，

当它们的斜率都存在的时候，那么它的斜率之积是等于负一的，所以l的斜率。乘以PC的斜率是等于负一的，咱们把它带进来啊，直线l的斜率啊，乘以负的二分之一要等于负一。所以l的斜率是要等于。r的直线l的斜率是要等于二的。好，我们又啊又直线，又因为l它是过点p三一。所以有点斜视可得。由直线方程的点斜视可得啊y减去，一是要等于k啊kl就是二对吧？

就是直线l的斜率k。乘以二×x，减去三好即。咱带进来是不是应该是2 x-y再减去五是等于零的？对吧，那么最后得到了这个同学们注意了啊，最后得到这个方程就是。啊，就是当直线l被圆c所截断的弦长最短的时候，这个直线l的方程。好，这就是咱们的第二步。下面我们看到第三步。什么时候是最长的呢？啊，

我们前面也给大家分析过啊，这个弦长最长的时候呢，它是最简单的。好原始c在这。啊p点在这个地方。当这条弦。啊当直线l经过p点和c点的时候。好，同学们。好，这个p也就直线l经过PC两点的时候，它的这个所节奏的弦长是最长的。它要我们去求此时的l的方程啊，因为c点的坐标是一二啊b点的坐p点的坐标呢是三。一对吧，

所以我应该有两点四，所以呢？当l过。过PC时，过PC两点时。l被。圆。l被所原截带的弦长。嗯，当l被PC啊，过PC的时候，这个l被圆所截断的弦长是最长的。那么这个时候我们是不是应该是有两点四可得？这都是我们直线方程的点斜式直线方程的两点式，对吧？

我们在基础阶段都讲过，如果对这些基础知识。淡忘了的请同学们及时复习我们基础阶段上课的这个你所做的听课笔记，或者说把咱们这个课程你再重新再听一听对吧啊？即即便是现在到了应试技巧强化阶段，这个基础缺失的同学注意基础阶段的课程依然是值得去反复听的，因为它很重要。好，我们看到啊，有两点式，我们可以得到，应该是y减去二啊，比上x减去一要等于二减去一。啊比上二减去一比上一减去三。对吧，

实际上左边的得到的是呃，这个直线l的斜率右边的也是这个直线的斜率，对不对？咱们画一下减这边应该是。啊y减去二比上x减一是等于等于负的二分之一的对吧？所以呢，我们这样的话就可以得到应该是。2 y- 4。好2 y- 4+x- 1=0啊，所以即这边是x+2 y- 5。等于零啊x+2 y- 5=0。大家发现这个热身题二其实是一个比较复杂的问题是吧？它包含的问题很多，它包含的这个知识点和解题的方法很多，你看首先。

涉及到求直线过定点，那么这个定点坐标咱们怎么去求？这是一个点第二。判断点和圆的位置关系是不是这个定点和圆的位置关系，这是第二个要点，第三。在什么时候啊？在什么时候？这个直线l被圆所截断的弦长是最长的，什么时候是最短的？对吧，第四，它用到了勾股定理第第五，它用到了斜率公式，第六，

还用到了点到直线的啊，这个啊，不就是还用到了这个直线的？方程基本方程形式呃，第七还用到了两条直线的位置关系，如果两条直线是垂直的，那么它的斜率之积是等于负一的。是不是啊？所以这里面包含的知识要点是非常多的，就这么就就这个热身题二啊，它就包含了七个知识要点。好，下面呢，我给一点时间，大家快速消化啊，

快速消化我们所讲的这两个热身体看起来只讲了两道题，实际上它所包含的知识要点。啊，是比较多的对吧啊，相当于是咱们讲了好多道题了，好大家抓紧时间消化一下。好同学们，那么我们继续接着往前讲解，大家把讲义翻到第14页呃。我们这个。解析几何的专题呢？主要是呃，从三个命题角度来进行嗯，学习的。啊，

因为我曾经啊，在很多年前我就跟同学们说过，我说这个考试啊，就是说它是很有规律的。凡是考试，它就是有规律的，有规律的东西，它就有很好的应对的策略。怎么应对的策略呢？那就是要把命题思路要。对吧，要摸清楚啊啊，针对这个命题思路命题角度，咱们进行有针对性的复习。所以呢，

我们这三个命题角度就是我们学习的角度了，第一个角度呢，是解析几何中的基本公式，主要是终点公式，斜率公式和距离公式。第二个角度呢，是解析几何中的位置关系，比如说啊，直线和直线的位置关系啊，点和直线的位置关系啊，啊点和圆的位置关系啊，圆与圆的位置关系啊，还有直线和圆的位置关系啊等等。对吧，还包括这个有一些具体的，

比如说对称啊，对称啊，直线关于直线对称。啊点关于直线对称，直线关于直线对称，圆关于直线对称对不对？这都是一些特殊的位置关系，那么第三个命题角度呢？是解析几何中的一些面积和最值问题。啊，比如说要去求长度最短呐，对吧？要去求面积最大呀，面积最小啊，等等这一些问题。

下面呢，我们就给大家逐一攻克，大家看到命题角度一解析几何中的基本公式，首先看到考法一终点公式。中点公式呢嗯它啊，比如说给出两个点的坐标是a点是x1y1。那么b点的坐标呢？是x2y2则我们可以推出来AB的中点。对吧AB线段的中点m的坐标公式是二分之x一加x二二分之y一加上y二。也就是说AB两个点的中点，它的横坐标是等于a点的横坐标，加上b点横坐标除以二。实际上这个这个这这就不就是取中间值吗？就是x就是横坐标的一半对吧？横坐标和的一半是不是就取中间值啊？

对吧y 1+y二÷2是不是也取中间值啊？所以这个终点呢？就是啊，这个AB两点的中点坐标就是直接把a点和b点的坐标相加再除以二。是吧，好同学们注意了嗯，我在下面呢，还给大家写了一个备用的公式，就是三角形中的。啊，就是一个三角形啊，在直角坐标系里面一个三角形啊，我先画出来。在直角坐标系里面，咱们画一个三角形，

这个三角形呢？嗯。我用黑色的笔来画。啊，这个是。这个是a点啊，这个是b点，这个是c点，那么这个点的坐标是x1y1，这个b点的坐标呢是x2y2。c点的坐标呢是x3y3对吧？那么ABC三个点的就是说。形成一个三角形，这个三角形呢？我们再把它的中线找到，

大家看到我这里面呢，用绿色的笔来画这三条绿色的线就是三角形ABC的中线。那么这个中线呢？它要交于一个点，那么这个点呢？同学们注意了啊，这个点呢？我用红色的笔来写，叫做它的重心。g啊，叫重心三条中线的交点叫重心啊，这个重啊。叫重心g那么它的基点的坐标呢？是啊，三分之x一加x二加x三也就是它的。

三个啊，顶点的横坐标之和再除以三啊作为横坐标，作为近的横坐标，然后把三个顶点的纵坐标加起来，再除以三。对不对？这就是它的重心的坐标公式。其中，重心的坐标公式同学们注意了它。其实也是有三角形的中点坐标公式得到的，这个三角形的中点啊，不就这个啊，两个点的中点坐标公式啊，两个点的中点坐标公式是极端重要的啊。是非常非常重要的，

那么这个三角形的重心坐标公式是给大家，以防万一的啊。是给大家这个准备的，以防万一的。能理解吧。好，下面呢，我们通过例题来给大家示范啊，给大家示范它的应用，大家看到第125题。第125题，我们待会呢，主要是画示意图就可以了，比如说这边有个a点，有个b点，

对吧？我连直角坐标系咱们都可以不用画了。啊，随便画一个。AB点，然后这边呢，涉及到平行四边形的，我得画一个。对吧，画一个平行四边形出来，好同学们注意了，咱们看到第一步。第一个条件。第一个条件呢，它说a点的坐标是三一。

这是a点的坐标，是三一，它也告诉我们。这个b点的坐标是负三负五，我主要是画示意图，那么它的中间点的坐标要去求中点d的坐标。对吧，我们是马上可以得到这个d点的坐标，应该是三+-3。再除以二，这是横坐标。它的纵坐标是一，加上负五，再除以二，对不对啊？

所以呢，我们就可以得到这个d点的坐标。应该是零啊，这个负四÷20=-2对吧？d点的坐标是零。负二所以啊啊，它是推不出结论来的。条件一，推不出结论来，因为结论中这个地点的坐标是零负四，我们现在推出来地点的坐标是零负二，它是不一样的。所以条件一不能够推解了，那么下面呢？我们看到条件二。

所以呢，条件一我们使用到了终点坐标公式啊，我们看到呃条件二，它告诉我们平行四边形abcd的三个顶点的坐标。好，我们按顺序把它写下来，这是a点的坐标，是负一负5b点的坐标，是二六。c点的坐标是三七，然后d点的坐标呢？是不知道的对不对？d点的坐标呃是？我们干脆假设它是xy。啊，

那么同学们注意了，我们这个时候连接BD我用我用用这个红色的线把连接BD。啊，连接AC设它们相交于点o。使它们交于点o，那么这个o点的横中啊o点既是AC的中点也是。BD的中点是不是啊o？4 AC的。终点对吧o是AC的终点。那么也是BD的。它也是BD的中点。所以呢，我们从AC的角度来，从AC的角度对吧？我们从AC的角度求出o点的横坐标，

它应该是负一。加上三再除以二，这是o点的横坐标，我们再从BD的角度来去求o点的横坐标，对吧？应该是x+2再除以二。好，这是第一个方程，我们再从o再去o求o点的纵坐标，从AC的角度来说，o点的纵坐标应该是负五+7，再除以二。啊，对吧，然后呃，

再从BD的角度来去求o点的横坐标啊。唉啊，我们求的是纵坐标哦，对吧？求o点的纵坐标从AC的角度求纵坐标应该是负五+7÷2，我们从BD的角度来去求o点的纵坐标应该是。y+6再除以二这样的话，我们就可以得到这边啊，这个x是等于零的。好，这边呢，我们可以得出来这个y呢，是等于负四的，所以我们速度可以得出来这个d点的坐标是xy是等于零。负四对吧？

这样的话，这不就是我们结论吗？所以条件二它是可以推出结论来的。条件一，同学们注意了，它不能退减了。对吧，条件一不能推结论，条件二可以推结论那么正确，答案选择b选项正确，答案选择b选项。就是第125题。好，下面呢？我们看到嗯，

我们看到这个。呃考法二，斜率公式。斜率公式呢，我们简单的复习一下这个基础阶段已经讲过了啊，已知啊，这个p一点的坐标和p二点的坐标，那么p1p2所在直线的斜率公式是等于。这两个点的纵坐标之差，除以横坐标之差，对吧？y二减y一除以x二减x一，这是第一个要点，第二个要点，如果三条三个点ABC是共线的。

啊，也就是说AB直线和呃AB直线和AC直线是重叠的，说明它的斜率AC直线的斜率和AB直线的斜率是不是也是一样的？好，那么我们结合具体的题目来搞一下，分析大家看到第126题。好，我们看到第126题。他说，若直线l的斜率是k啊，在k的取值范围，题目条件一告诉我们a点b点p点，他根本就没有告诉我们说直线l是谁。所以条件一肯定是不能推结论的。啊，

条件一它是。条件一是推不出结论来的。好，我们看到第二步啊，条件二呢，他说直线l过点p，且与直线AB相交，他根本就没有告诉我这个任何一个坐标值，对吧？只是告诉我l是谁？所以条件二肯定也推不出结论来，得不到具体的数值的，所以这个时候咱们是只能够把一和二联合起来啊。对吧，条件一跟条件二单独都不能推结论，

这个时候必须考虑联合好条件一跟条件二联合起来。联合起来是一个什么情况呢？那我得画个示意图来分析了。好画示意图的话，我就在。这个地方画了。也不觉得这上面。更加地方，更加。宽敞一些。好同学们，我呢画一些这个。或者是画成绿色的线嘛。好坐标轴呢，咱们画出来，

这是x轴，这是y轴条件，一跟条件二联合起来就是这两个条件都都满足，对吧？都是已知的。a点的坐标是二三，咱们把它找到，这个是a点。a点的坐标是二三。啊b点的坐标是负三负二负三负二，在这个地方。这是负三负二这个p点的坐标是一点一点在这。嗯，它说直线l呢是过点p的，并且与线段AB相交，

那咱就把线段AB连接起来。好线段AB连接起来，它是一条黑色的线。对吧，然后呢？这个过p的直直线要跟AB线段相交，我们考虑它的极端情况。极端情况是过p点啊，连接b点。好这条线呢，我设它为好，我用这个黄色的线来表示它。然后呢，我再连一条线连接PA。这条线呢，

我用。啊啊，我用这个紫色的线来表示它。好，这个设为l1。这边这条线呢，设为l2。同学们注意了，那么这个直线啊，就是说这个直线经过p点的直线，我现在用红色的笔来描，你大家看我用这个。啊，它围绕点p在旋转的时候啊，它从它从l1它从l1这样旋转过来旋转过来。

好，它是往右上方倾斜的，对吧？它是往右上方倾斜的，这个斜率变得啊，越来越啊，越来越小了，越来越平缓了，是不是越来越小了？最后再变成零了，然后再往这边的时候，它是不是往右下方倾斜，它的斜率变得越来越小，越来越小，对吧？

变得越随着它越来越堵塞的时候，它变得越来越小，直接到这样。到这样的时候，是不是变得呃变得无负无穷大了？对不对？那我也可以从这个角度，那我再从l2。对吧，从l2这边往往历史的方向旋转，它是变得越来越陡峭，越来越陡峭，并且是往右上方倾斜的，它越来越大了，是不是？

好好，一旦到了这个垂直这个地方，它就变得正无穷大了。明白吧，是不是啊？也就是说我l从l1这个角度顺时针方向旋转，旋转旋转到这边的时候，它是变得越来越小的。是不是啊，变得越来越小，所以呢，我现在呢，打算呢，打算怎么呢？我打算把这个呃，

打算把这个l1和l2的斜率啊，咱们把它求出来。好，那么我们就可以。求出这个。啊ppa的斜率PA和PB的斜率啊好PA的斜率。啊PA的斜率为k。k二它是等于纵坐标之差，除以横坐标之差，对吧？应该是等于三减去一比上二减一，它是等于二的。对吧，我们再来看PB的斜率。PB的斜率呢为k一啊，

它是等于纵坐标之差啊，比上横坐标之差，所以这边应该是等于啊一减去负二。二比上一减去负三，它是等于四分之三的。而我们刚才给大家已经分析过了，就是说。我们把这个问题啊，把它分成啊，我们把它分成。我们把这个地方分成两个区域，一个区域呢是？好。第一个区域呢，是这个区这个区域。

就是过点p的直线l啊，它在这个区域活动。第二个区域呢是？是这一块。第二个区域呢，是这一块区域。这个黄色的这块区域对吧？它的这个区域活动，那么它在黄色的区域活动的时候。好，这是。这是d号，这是。啊，这是第一块区域啊，

这个是第二块区域。啊，就是说p啊，这个直线l。这个直线l。啊直线l在区域。圈一的时候，区域一的时候。嗯，大家发现啊，把PB沿着顺时针的方向旋转的过程中，它的斜率是变得越来越小的，对不对？所以我们可以得出来这个k啊。是小于就是直线l的斜率，

可以是小于等于四分之三。对吧，也就是说PB的斜率在这个黄色的区域PB的斜率是最大的。那么，在直线？啊，这个直线l。啊，直线l呢？在区域圈二的时候。在圈二的时候呢，我们从l2历史的方向旋转，它是越来越陡峭，并且是往右上方倾斜的，它的斜率变得越来越大。

所以这k呢，是大于等于二的，对不对？这样的话，我们是不是这两个区域都满足要求啊？对不对？我们这两个区域都满足要求，所以呢，这个k的取值范围啊是？小于等于四分之三或者是k要，大于等于二的，即我们也可以这样来写啊，就是k它的取值区间啊。k属于负无穷到四分之三，这边是方括号并上啊，

并上这边呢是二。到正无穷，对吧？这是两种不同的这个写法啊，它都是一样的意思，所以条件一跟条件二联合起来，它是可以推出结论来的。对吧啊，它是能够推出结论来的，它单独不能推结论联合起来，可以推结论那么正确，答案应该选择c选项啊。选择c选项这道题目。有点陷阱，或者说有点难度在于什么呢？

在于啊，这个。直线呐，一条直线，它在垂直于x轴的时候。左右两侧，它的符号是不一样的，对吧？我PA啊，这这个直线要从PA历史的方向旋转到这条垂直线的时候。它的斜率是变得越来越大，越来越大，最后接近无穷大啊，就最后是无穷大了。对吧，

那么你这个直线呢？从PB开始，逆时针的方向旋转的时候，它它的斜率是变得越来越小的，对吧？它是从正。啊，逐渐变小啊，等于零对吧？水平线的时候就变成零了啊，这个直线啊直线，比如说这个时候水平线的时候，这个直线经过点p是水平的时候，它的斜率是等于零的。你再往这边旋转的时候，

它的斜率就变得越来越小了，对吧？最后是啊，接近垂直的时候越趋向于垂直，它的就变成了。是负无穷大的。所以说这个斜率问题啊，一定要结合图形来去判断，尤其是它穿越这个啊，它越过这个垂直线的时候会导致。啊，从负无穷，大变成正无穷大的这么一种极端变化。好，第126题呢，

我就跟大家讲到这里，下面请同学们看到讲义的第15页考法三距离公式。咱们距离公式呢，是有三个，一个是我前面跟大家已经复习过的，在啊，这个预热啊，在热身体的时候可能也讲过两点间的距离公式，对吧？第二个是点到直线的距离公式，如果知道点p的坐标是x0y0，我简单的写一下啊，点p的坐标是x0y0。还有一条直线对吧？有一条直线的方程l给我们是ax+by+c是等于零的。

那么，我们过这个点p做直线l的垂线。我们做它的垂线。这个垂足是h那么这个ph这个长度，咱们是可以啊，等于ph的长度，它是可以由距离公式可以得到，它是等于。根号下a的平方+b^2对吧？然后这边呢是ax 0。啊，加上by 0+c的绝对值。加上c的绝对值。对吧啊。好，

这个也就是呃点p到直线l的点p到直线l的距离啊。好ph是等于根号下a的平方，加上b的平方分之ax 0+by零+c的绝对值。呃。这样的话，这这个问题咱是不是就解决了，对吧？就把这个公式大家要熟悉起来啊，这个公式要熟悉起来，其中啊，分母中大写字母a和大写字母b就是我们x前面直线的方程中x前面的这个。系数a和系数b。对吧，那么这个分子中呢？这怎么去记呢？

这个分子中的这个表达式啊，我们就可以认为是把这个直线方程左边中的x和y。用点p的横纵坐标带进来，加个绝对值号就可以了。加个绝对值，它就可以了，就变成了ax 0+by零+c的绝对值。好，那么两条平行线之间的距啊，这个距离就是啊，这个ax+by+ce=0。和ax+by+c二=0，大家注意了，这是两条平行线c1不等于c2的时候，这两条直线是平行的。

那么，这两条平行线之间的距离啊，两条平行线之间的距离啊，它是？是不是啊啊？做一条垂线。这是不是就是d了，对吧？两条平行线之间的距离，它的距离公式，我在这边写过了，它的距离公式d是等于根号下。a的平方+b^2分之c1-c二的绝对值，这求的是两条平行线之间的。距离啊，

我举个例子来说啊，比如说我们举例子来说，直线l1的方程是啊，3 x+4 y。啊，加上五=0直线l2的方程是3x，加上4 y+10=0。对吧，那么两条平行线之间的距离d就是l1和l2，它是平行的，对吧？所以这个d啊等于根号下，所以x的平方x前面的系数a的平方加上。y前面系数b的平方，也就是三的平方，

加上四的平方开根号，这是分母对吧？分子呢？是啊，十减去五的绝对值啊，你用五减十的绝对值也可以，所以它是等于五分之五是等于一的，也就说l一和l二。两条直线之间的距离，两条平行线之间的距离d是等于一的。那么，距离公式呢？主要是重点是把握第一个点到两点之间的距离，距离公式第二个点到直线的距离公式第三个呢？这个线两条平行线之间的距离公式呢？

很少用。但是如果有啊，如果出现了，我们是不是直接用上来可以秒杀解题啊？下面我们通过例题来给大家分析释放它的应用好，大家看到第127题。好，我们看到第127题。已知边长为a的等边三角形ABC啊，里面一点p。啊，只要PA的平方+PB^2+PC^2的最小值为16好，大家注意了，这个p点在三角形ABC的内部到底是哪一点呢？是不知道的对吧？

好，下面呢？我们可以这样来，我们建立直角坐标系。我们通过直角坐标系来去求距离。好，这地方是a点，这是b点，这个是c点，因为它的边长为a，所以呢，我们根据这个仅有的已知条件，这个公共已知条件，我们先做一个初步的分析。我们建立这个直角坐标系。

啊以BC啊所在的边为x，然后呢BC的垂直平分线为y轴，然后正方向我们这么规定了。那么，这样的话，大家注意了，有些长度，我们是不是就可以写进来了？有些长度，你看这里面这个是30度。这个地方是60度，这个长度是a，所以我们马上可以得到30度所对的直角边等于斜边的一半，所以这个b点的坐标是。啊，

所以ob的长度是二分之a，那么由于b点在x轴的负半轴，所以b点的坐标是负的二分之a。零那么这个c点呢坐标呢？就是对称性的过来，所以这边是二分之a零。那么，同学们注意了，这个ob等于二分之a那oa呢？是啊，三十度所对的直角边啊，就三十度六十度九十度的直角边，它的三条边长之比是一比根号三比二。所以oa的长度是ob的根号三倍，对吧？

所以这个长度是等于根号啊，二分之根号3a，所以a点的坐标呢是零。二分之根号3a。对吧，那么这样的话，我就把ABC的坐标就把它表示出来了，现在呢，我在设置里面这个点p的坐标点p在哪里呢？啊，我们是点p的坐标是xy。点p的坐标是xy那么这个时候。PA.我待会是不是可以用？我PA，

我是不是可以用啊？用两点间的距离公式去求啊PB和PC我都可以用两点间的距离公式去求它。所以说这道题目呢啊，我们可以把这个代数问题啊，这个解析几何的问题，我们转化成为一个。啊，转化成为一个计算问题了，对吧？好第一步。如图。如图，咱们建立直角坐标系。那么这个设。p点坐标为xy。

好则。啊则。PA它是要等于PA的长度，它是等于根号下x- 0^2。加上y- 2分之根号3a的平方。啊，就是PA。那么PB我们是不是也是有两点间的距离公式，它应该是等于根号下x减去负的二分之a就变成了x加上。二分之a的平方，再加上y减去零的平方好，我们再看PC。PC呢，应该是等于x减去二分之a的平方，再加上y减去零的平方。

对吧，这三条长度咱们就求出来了，求出来之后那题目要我们去求的是。那他要我们去求的是PA的平方，加上PB的平方，加上PC的平方。所以我就把它带进来，带进来之后呢，它是等于什么的呢？好，大家注意了，这个可能会比较长一点啊。它是要等于。嗯，我干脆啊。

挪到这边来写。我把这个图形放在这边。啊，这是x轴，这是y轴。好那么那么下面呢？我们就可以得到。这个PA的平方+PB^2，加上PC的平方。它等于一平方，这根号就没了，对吧？它是等于xx- 0^2，就是x的平方了，加上括号y- 2分之根号3a的平方。

好，再往后写啊，这是PA的平方PB的平方呢，是x加上二分之a的平方，再加上y减零的平方就是y的平方。再加PC的平方是x减去二分之a的平方，加上y减零的平方就是y的平方了。好同学们，我现在呢？准备把它展开，展开之后就变成了x的平方好加上啊，加上同学们注意了，这边是x的平方，对吧？这边有展开之后有x的平方，

这边展开之后有x的平方，所以展开之后合并同类项是不是有3x的平方？那么，这个表达式里面展开是有个加上a×x这个展开之后呢？有个减去a×x+1个ax- 1个ax是不是是不是就抵消了？对吧，剩下的这边展开呢，有个四分之a方，这边展出来有个四分之a方，两个四分之a方加起来是等于二分之a方。对吧，二分之一方我就直接写成四分之二a，四分之二a的平方。啊先不化简，因为待会可能还要通分呢。

好，接下来呢，我们再来写用蓝色的笔来写这个，那这边。有个展开之后有个外放。这边有个外放。对吧，这边有个外放。好同学们注意了，是不是展开之后有三个y方啊？所以这边应该是加上3y的平方。对吧，然后这边啊，这第一个框框展开之后还有一个减去根号三×a再乘以y。再加上四分之三a的平方。

对吧，我们这样的话就可以，我们整理一下啊，来同学们。咱们这边把它再整理一下，它应该是等于3x的平方。啊，然后再加上3y的平方，再减去根号3a×y。再加上四分之五乘以a的平方。对吧，好这个时候呢，我们准备把把这个画波浪线的地方，我们来实现配方。好，

继续来写，这边是等于三x的平方，加上三倍的括号，这个y的平方减去三分之根号，三a乘以y。那我得加上多少呢？才能够配这个完全平方呢？我得加上一次项系数一半的平方，对吧？一次项系数是负的三分之根号3a。它的一半是负的六分之根号，3a的平方。是不是得是三十六分之三是三十六分之三是等于十二分之一a的平方？对吧，所以我这地方我得加上十二分之一乘以a的平方，

你加了这么多，我是不是还得减去这么多啊，所以得减去十二分之一a的平方。对吧，然后再加上四分之五a的平方。那么现在下面呢？我准备呢，把这个红色框起来的地方是不是直接配成一个完全平方啊？对吧？咱们直接配成一个完全平方。啊，我用红色的笔来写吧，它应该是等于3x的平方，加上三倍的括号y- 6分之根号，3a括号的平方。

对吧，然后剩下的这个。前面还有一个系数乘以三对吧？两个一乘三乘以负的十二分之一a等于负的四分之一a方对吧？负的四分之a方加上四分之五a方，那是不是就等于四分之四就是a就是a的平方了？对吧，得到了这么一个表达式，那同学们注意了，这是三个完全平方数啊，对不对？这是三个完全平方数。所以啊，由于xyx和y是发生变化的，它是给变动的啊，

所以呢，同学们注意了，它肯定是要大于等于零。加上零+a^2，这a是给定的值对不对？所以这边是等于a的平方，也就是说啊。啊，也就是说同学们，我们我们经过分析。好，我们经过分析啊。我们发现啊，原结论。啊，

所以我们可以得到什么呢？就是PA的平方+PB^2+PC^2，它的最小值是a的平方。它说最小值是16，所以呢，原结论。等价于。等价于a的平方。是等于16的。是不是等价于a的平方是16？啊，那么这是我们的第一步的工作，就做完了，下面我们看到第二步条件一呢，他说a是等于四的a=4，

当然能够推出a的平方=16，所以。它是能够推出结论来的条件，一能够推结论，对吧？好，我们看到第三步，也就是第二个条件，它说a=2，那么推出来a的平方是等于四。它是不等于16的，对不对？所以它推不出结论来，也就是说条件一啊，它能推结论条件二。

不能归结论，那么这个正确答案是应该选择a选项，你看这道题目的表面上考的是啊。表面上考的是个平面几何体，但是我们构建了直角坐标系之后，变成了考两点间的距离公式以及啊，以及我们。是不是用到了配方法去求最值啊？对吧？还考到了完全平方的非负性，那么什么时候PA的平方+PB^2+PC^2取最小值？a的平方呢，是不是就当x=0 y=6分之根号三的时候啊？当x=0啊y=6分之根号三的时候，这个p点就是三角形ABC的正中心。

啊，也就是p点的中心啊，这个p点是ABC的中心，这个中正中心呢等边三角形的正中心，既是它的内心，也是它的外心，还是它的？重心是吧，它有啊，内心外心重心。啊和二和三为一了。就它就就当当点p在正中心的时候PA的平方+PB^2+PC^2是最小的。是不是很神奇啊？好，那么第127题啊，

正确答案选择a选项。下面呢，我给一点时间，大家快速的把我们的第127，126和125这三道题目还是消化一下。好同学们，刚才呢给了呃一小段时间呢，大家来复习和消化咱们这个呃。学习的啊，就是这个学习的啊，解析几何啊？这个这个解析几何呢？大家很明显的感觉到它是靠计算出来的，对吧？我们平面几何呢？

它是靠公理得到的，那么解析几何呢？它的核心是三大基本公式啊，我们简单的小结一下。一个公式呢，是终点公式对吧？终点公式大家记得啊，第二个公式呢，是斜面公式，第三个公式呢，是距离公式，这个距离公式呢，又分为三小种，第一个呢，是两点间的距离公式，

第二个呢，是点到直线的距离公式，第三个呢，是两条平行线之间的距离。公式那么呃，有的题目呢？它给了直角坐标系对吧啊？我们就在直角坐标系里面分析有的题目呢？它连直角坐标系都没有给我们，比如说像第127题，我们叫。自己构建出一个直角坐标系呢啊，自己构建出直角坐标系的时候呢，我们可以取它的对称啊，根据这个对称去对称性来去。

啊来去构建直角坐标系，比如说127题是吧？嗯。这个同学们。如果说对几何呢？有畏惧感的同学，大家注意了，平面几何和解析几何，它的差异会比较大。平面几何呢？呃，核心和重点都是在啊，核心和重点是在面积上，那么解析几何呢？它它的核心是在位置关系上。

啊，位置关系的判断上内容呢？其实并不是很多，那么我们这个今天啊，这个第三次课的内容啊。就给大家讲到这里，希望大家呢？下来之后啊，听完课之后及时的复习啊，应试技巧强化阶段的课程，它的实战性非常强，大家还可以。跟我们的基础班的网课进行比对学习，所谓比对学习就是基础班的课程啊，对应的将解析结构的部分，

听完之后马上再看一看，再听这个历史技巧，小伙伴的课程。然后应试技巧强化班的课程听完之后，你反过来再回过来，把基础阶段的课程的笔记啊，再复习，然后或者说再重新再听基础班的这个课程也会有不一样的收获。对吧，因为我们这个考试考的是熟练度，就是要非常的熟悉熟练，对吧？达到熟能生巧，熟能生巧，能够达到这个条件反射的程度。

希望大家呢，严格落实啊，田老师对大家的这个要求好不好？大家啊，咱们一起加油啊，争取呢，今年考个高分啊，考上自己。梦想中的这个院校。

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