01.知识导数在经济学中的应用（数三）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-4 08:43:43

这个数学三在这还有一个特殊要求，就是导数在经济学当中的应用。那大家注意这个考数三的同学，这个过去在我们数三卷里边，这个经济数学内容考大题。嗯，现在呢？实际上在我们这地方呢，考的就是小题了啊，一到五分的题。所以这个权重就大大降低了。那下面呢，我们也把这个基本内容给大家梳理一下，那第一就是经济学当中常见的函数。第一，

就叫需求函数。这个x就是需求量p是价格，就是需求量作为价格的函数，这个叫需求函数。那么，如果它有反函数的话，这个反函数就价格是需求量的函数，这个我们把它叫价格函数。第二，叫供给函数。x是供给量，这个p是谁啊？价格就是供给量和价格之间这个函数。叫做供给函数。第三，

叫成本函数。那这个呢？呃x是生产量c是成本，所以成本是这个生产量的。一个函数啊，那成本实际上分两个部分，一个部分呢，叫不变成本c1，一个是可变成本。那么另外呢，还有一个概念叫平均成本啊，那平均成本就等于谁？就等于成本，然后除以谁啊生产量这个就应该叫平均成本。第四个呢，

就叫做收益函数。那么，所谓收益叫做通俗的就是毛收入，那就是用价格乘上谁销售量。讲的通俗点，这就是毛收入。还有一个呢，叫利润函数。当然，这个利润函数呢，就是净收入，那就是收益，毛收入减去谁啊成本？这就叫利润。这就是我们经济学当中常用的五个函数。

再下来呢，就是叫边际或者边际分析。实际上讲的通俗点边际就是什么？就是变化率，也就是我们微积分里边的导数。那么在这呢，假设y=fx可导。这个时候称它的导函数f1撇，就是编辑函数。称这一点的导数为f，在这一点处的边际值讲的通俗，一点边际就是变化率。就是我们数学里边的导数。那么，把它再具体化边际成本，

边际成本就是成本。对。谁啊？这个销售量的这个变化率或者生产量的变化率。所以你看边际成本。那就是谁成本？对这个产量。它的变化率。还有一个呢，那就是边际收益。那就是收益对生产量的变化率。还有就是边际利润，那就是利润。对销售量的变化率。所以这个边际都是指的这个量对生产量或者销售量的变化率。

那这是一个变化率，但是大家注意，有时候你这个变化率反映的这个情况，那不是那么很准确。比如说你这个变化率都是零点零一，但是呢，跟你这个总体的量的大小就是这个有关系。如果你总体量只有100，总体量另外呢？总体量是一亿，同样变化率是零点零一，那这个呢？对这个自变量有一个变化的时候，这个引起的函数的变改变量，那这个是完全不同的。

所以我们在这又引入一个谁啊？相对变化率，那实际上就是经济学里面的弹性。或者弹性分析。所以这个弹性实际上是个那这个边际是个变化率，弹性是个相对的变化率。有点类似于我们那个误差里边的绝对误差和相对误差有点类似。你看y=fx可导。那么这个时候呢，你看它呢，是f1撇，这是变化率，除以y×x。把这个定义为谁呀？边际。

那这是一个一般的定义。在我们经济学里边，常用的有两个，一个是需求的价格弹性。那需求的价格弹性，按照这个阶段的话，那就是需求函数。对p求导除以需求函数再乘上这地方的价格。但是在这注意。它这个需求函数需求量phi是价格p的函数，那我们知道价格升高，需求量往往是减小的。所以这个泛一撇p是小于零的。所以这样的话，那这个需求对价格弹性，

它应该是个负数。但是注意，我们卷子里边有时候给的是正数。所以那就是公式就不是这个了。如果需求对价格弹性是负数，那就这个公式，如果是正数呢？那就前面要加符号，所以到底用上面还是下面，你就看题目里边。这个需求对价格弹性，它给你的是正的还是负的？你得决定用上面还是下面？这是需求对价格的弹性。还有一个呢，

就是供给对价格的弹性一样的。那就等于谁供给函数对价格的导数，除以这个供给函数再乘以。这个价格大家注意，这个供给函数的导数，这个应该是大于零。那就是价格升高以后，那么当然供给量肯定是要增加，希望收益更多呀，所以这个是大于零的。那所以弹性，我们在经济学里边，主要是这两个。那就以这个。弹性。

都是他们对价格的这样一个相对变化率，而边际都是谈他们对销售量。或者生产量的变化率，这个地方不要搞错。所以你看经济学的内容，简单总结一下的话，五个函数，三个边际，两个弹性。考来考去就是考这些。在这呢，我们也看一些例子啊，比如说。二零一四年。这个我们数学三的一道考题是考的某商品的需求函数是它，

这就是需求是这个价格的函数。则该商品的边际收益。那就是边际收益是指的收益对谁啊？这个生产量的变化率。所以你必须要把这个地方的收益要用，谁表示出来要用q表示出来？那在这呢，我们知道收益等于什么收益就等于价格，然后乘上谁啊？乘上这个地方的这个需求量或者销售量。那这样的话，我们就知道这个就得你看我们要求这个边际是要对q求导。所以这样的话，把p是不是要用q表示出来？那我从这个地方呢，

就可以把p用q表示出来，这样子就把这个地方的收益。就用这个需求量表示出来，边际就是收益，对这个q的导数。所以我们拿来以后呢，就这个r=q求导。那么这样子我们就得到这个地方的收益，边际收益。但是当年考卷考这个题有很多同学就做错了，犯了一种经典的错误。那它呢？怎么做的？它在这样呢？以后收益写出来以后，

它就把这个q用这个代进去。最后就成了价格的函数，然后两边对p求导，那所以在考卷上改卷子时候。那很多同学就什么哦，这个最后写的是他的结果啊，那这就是经典的错误。所以这个地方一定要注意啊，我们谈bag的时候都是谈对这个q销售量。或者是生产量变化率不是看对价格。那个弹性的时候，我们谈的是对价格的相对变化率，这样的话不要搞混。好，这是第一个例子。

下面呢，我们再来看二零一七年。这个数学上的考题，他说生产某产品的平均成本。是它其中这个产量是q则边际成本。边际成本，那就是成本，对这个生产量的导数。所以我先得写出成本。那么大家知道知道平均成本怎么求求成本呢？大家知道平均成本不是就是成本除以谁啊？除以这个地方的生产量，那生产量我们用的是q。那所以这个成本等于谁成本就等于平均成本乘上生产量啊，所以首先把成本表示出来。

它就等于平均成本乘上生产量。然后呢？这个往里边一带就是它边际成本就是成本，对生产量的导数啊。所以这个时候就把它拿来对q1求导。这分就拿到了。大家看这题就考的很基本啊，就基本概念，基本方法会分数就能拿到。然后呢？我们再来看。比如说二零零九年。我们卷子的一道考题，他说某产品的需求函数。啊，

需求函数那是它其中p是其中其对应价格p的弹性。是零点二。则当则当，需求量为一万件的时候价格。增加一元。会使产品的收益增加多少元？哦，那这个时候呢，先一步一步来嗯，就是实际上呢，实际上就是问的是谁啊？问的这个你看。价格增加一元产品的收益，实际上是收益对价格的变化率。那么在这呢，

我们先注意这个地方，看他告诉我们说需求对价格的弹性是零点二。那我们先来写谁啊？需求对价格的弹性。但是注意，我们用弹性公式的时候，需求对价格的弹性，那公式有一个正负号。如果这个地方告诉我们是正的，用功是要加谁啊？加符号。所以首先这个得写对啊，就需求对价格的弹性是零点二。那这个弹性公式就是需求量对价格的导数。除以价格哎，

除以需求量乘以价格，但是前面要加符号。当年有很多同学就少了这个符号，这就错了。然后完了以后呢，他问的是什么，人家问的是这个，当这个需求量是一万的时候，价格增加一元。收益增加多少？那这个时候呢，我们来看一下收益等于谁？收益就等于需求量乘上这个价格。那实际上这个地方呢，问的就是这个收益对价格的一个变化率。

所以我们把这个拿来以后啊，我们把它可以求导，但是我们也可以求微分啊，就是dr。就等于谁？就等于这按照乘积的微分？就等于pdq+q dp？然后呢，把这个条件要用进去。所以我们在这呢，整个式子提一个dp。t个底p以后，大家注意这个。就是这个东西要加个负号，所以就等于q乘上一减epsilon p，

然后dp。当然，你这个收益对价格的变化率把pdp除过来，不是就这个变化率吗？那么现在呢？他问你什么说当这个q=10000，就这个等于一万的时候价格增加一元。那就是说价格有增量一的时候。收益又增量多少？所以我们写这个式子也可以这样来理解。那么，这样子的话，我们就把这个q用谁啊？一万代进去。底p不是就是一吗？

这就算出来相应的收益的增加多少元？所以这样子呢，这个把具体值往里边一带，我们就得到dr就等于谁这个8000。这就说明，当需求量是一万件的时候。这个时候价格每增加一元。这个时候呢，收益会增加8000元。那这个问题就解决了，但是当年呢，这个地方填的比较多的，很多同学填的是12000那。那就是经典错误，为什么会填这个12000呢？

就是这儿缺了负号。所以这个这个地方呢啊，这个需求的价格弹性，那公式用的时候一定要注意，叫它大于零，前面要加符号，它如果小于零。这个公式前面不用加负二，这点要特别特别注意。好，下面呢？我们再来看。比如说像这样的问题嗯，他说假设某商品的收益函数为。这个2p。

然后呢，收益的弹性为一+p的立方。其中p为价格。然后呢r1=1要求RP。那我们说你看某商品的收益函数是它。要求收益函数，但是它核心的条件是谁？收益对价格的弹性是它。所以关键是要写出这个。那我们知道收益对价格的弹性，就等于谁收益对价格的导数。乘上价格，除以收益，这就是收益。对价格的弹性，

它等于谁一+p的立方。这个时候不是问RP吗？那这是一个什么？这就是微分方程啊。那我们解这个微分方程，把r解出来就行了。但是我们要解这个方程，我们得判断什么类型，按什么方法解？这个一看就是变量可分离，你说对不对呀？你把底p可以搬过来，把这个p也可以除过来。那这样子变量就分离开了啊，你看把r都留在左边，

把p和dp都搬到右边。你看这变量就分离开了。边上分离开以后，两边一积分。最后就可以把二用p表示出来。然后完了以后注意，这不是还有一个r1=1吗？所以这呢，把p=1代进去，它要等于一。p=1代进，去等于一根据这个呢，我们就可以把常数c给它定出来。那么，常数c定出来以后，

那这个常数往里边一带，那这个时候。这个RP也就是收益函数就求出来了。你看我们这个地方看的这些题目都是过去，我们数学三考过的一些题目。但是呢，你看这呢，要求非常具体，都是考一些基本概念和最基本的方法。所以对我们数学三的同学来讲，经济数学的内容主要就是五+3再加二。五个经济数学的函数，三个边际，两个弹性。那这就是考试的基本要求。

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