01.396经综数学冲刺四套卷（内部卷1）解析课-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:11:29

好同学们，行，那么接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题，我们就准备开始了。那么今天啊，我们就针对于昨天上午啊，我们进行的这场啊模考试卷呢，我们做一个主题的讲评，那么这套试卷呢，你一定要提前做。

啊，但是我觉得呃，考完了之后啊，不要过多于关注于自己的这样的一个错误的，这个题目的个数，我觉得最重要问题啊，模考的意义啊，还是在找到问题。解决问题，查漏补缺，所以说这个今天呢，我们将重点来把这套试卷里面当中一些相关的问题，包括设计的核心考点。以及很多同学在做题过程当中出现的问题，我们做一个啊，

这个每个题目啊，我们都做一些解决，那首先还是第一个事情。把这个问题啊。我再说一下啊，这是我们后期的这个模考的安排，因为这个今天的话，有些同学可能是这个冲刺救命班的课程呢呃，没有怎么听。你要稍微的进行去注意一下这个时间呃，我今天去公司，然后跟他们商量一下吧，以后每次模考你可以这个短信稍微的通知一下。那这样的话，你就知道了，

这个每次模考的这个时间，然后这里面。前面这四次啊，这是我们内部的卷子啊，所以说这个东西不是公开发行的，这个卷子所以这四套啊，我们基本上是每个周的，这个周日，然后跟同学们进行去模考。模考完了之后啊，都是在周一的这个上午，然后把这道模考卷给同学们做一个主题的讲评好了，这是第一个事情。然后第二事情的话，其实就是我们接下来的话，

二一二二二三年的这个真题套卷，这个真题套卷我们基本上这四次模考完。我们的冲刺救命班的第一个阶段的课程全部结束。所以说每个同学你们基本上无论是走过一遍强化的同学，还是没有走过一遍强化的同学，然后进行了冲刺救命班的课程的同学。或者而言，你进行了强化，也进行了冲刺救命班，那这样的话，你至少保证了核心考点，学完了核心题型，学完了那接下来过程当中啊，我们就重点而言，干一个事情，

那就是模考了。所以说紧接着下来，我们其实就是这三套真题卷。这三套真题卷呢，包括这个二一年的二二二三年的真题卷，把这三套模考完了之后，紧接着其实就是我们的这个冲刺满分的这个十套卷。那这个十套卷呢？也是我们在今年在高等教育出版社出版的公开的一个呃发行物，所以说到时候我们继续去磨这个。那这样的话，所有的同学你们都可以进行去，然后参加这个模考好了，这个事情我们简单说到这，那么接下来我们就继续开始吧。

以后的话，这个。别胡扯啊。以后这个模考啊，我们都会跟同学们进行通知一下啊，这样的话，你稍微的话就知道了，这个模考的时间还是要准时准点。从这个八点半到十点啊，到十点钟一个半小时内，然后进行去考试，能理解吧，一定要控制好这个时间。大家有没有发现你自己下去单独的做题，跟你进行去准时准点的进行去模考，

这感觉一点都不一样。因为有些同学零零散散的做一会儿做不到，一会儿过一会儿又做不到，一会儿过一会儿又做不到，这种感觉是不一样的。你要平衡好这个时间，所以说这里面嗯。这个事情你就单独看一下就行，因为这是我昨天在上课的过程当中说的，那么接下来我来重点来说一下这套模拟卷。呃，这套模拟卷里面当中啊，其实难度系数是中等的，不算特别难，因为这是第一套。

然后这里面当中大部分的题目还是一些基础题目，那么这里面有有些这个考试的一些方法呀，你要稍微注意。你比如说我在这个。题目设置的过程当中，它基本上会出现这种情况。就是你发现你看你做着做着做着，你看前几个题都还好，对吧？然后突然来一个恶心一点的，就这个题。那这个题的运算量稍微会大一点，那就是运算的这个技巧性问题了。然后紧接着再继续往下走，其实第十题不难。

你一定注意一个问题，你不要沉溺于自己的这个啊，世界里面你要提高一下自己的这个做题的速度，有人说啊，这个两到三分钟内根本做不完，其实是可以做的。一会我们再来说吧啊，没有关系，然后紧接着我们再过一会儿，再过一会儿，其实这中间的题都还好。那如果后面的这些题稍微会有点难度系数的，可能是这个21题。对吧，就这个题，

然后接下来再往下走，你看这个23题简直就是仿真题。那这里面当中有一个概念叫可交换什么意思？对吧，两个矩阵可交换到了，什么意思？有同学不理解这个意思，那其实就ab=ba，你把这东西算一下。啊，这道题啊，简直就是真题的仿真题，然后接下来我们继续往下面走，然后走到下面，其实你发现后面的题都还好。

然后的话，如果有些同学有问题啊，可能是这个题。啊，这个题目。那这个题啊，就是有些同学没有看出来给的是一个分布函数，但是你要注意每一段都是一个常数，那这就是个离散型分布呗。所以把这个东西的分布率求出来之后，然后这个东西就出来了，所以我觉得这次如果出错的题目，有些同学可能大量的同学出错，应该是都在这几个题。或者而言，

有些同学可能第十题还出错了。所以核心重点就这三啊，这三四个题，那剩下的题啊，我觉得做起来难度系数不是说特别大，那么这里面还是一些问题。就是你考试的能力要培养，因为有些同学在第八题当中浪费了大量的时间。你浪费了大量的时间呢，你在后面的话，这个做题啊，其实有点受挫，而且你有没有发现我们这个题量非常大？你考一次了之后，你就知道35个题题量大不大？

非常大。35个题，你要全神贯注在整个一个半小时内，你的全神贯注注意力非常的集中，进去做题，这个其实压力很大。所以我们考三九六同学没有说那么的轻松，就跟别人说一样说。我们三九六同学学的东西简单，你真正去考试，你看看能取得高分的还是有点水平的。因为这里面35个题在整个做题的过程当中全神贯注，这是这是非常这个难度系数还是很大的，所以。所以说我们要模考，

你要只模一次，你发现你一点感觉都没有。你比如说有些同学整场考试的第一套试卷是最后一场考试，那个试卷那这就完蛋了。因为你就没有感觉，你看你考第一次肯定没有感觉，然后的话你多考几次，多考几次，然后你要适应这种感觉。就整个这个一个半小时内，你要全神贯注，但是一定注意啊，要稳一点，不要急。你千万不要急，

你不要老是这个，有些同学非常的急，对吧？你非常着急。总有感觉，后面有个人在催你，不要有这种感觉，稳一点，稳稳当当的做。如果一个题，你觉得浪费了大量的时间，你可以把这个题先跳过去，所以我们在乎的一定要稳一点。你其实你想想，如果你稳稳当当算啊，

这一次啊，我们算一个考试的第一次嘛，如果你没有建立这种感觉，你慢慢练。你下次你可以去尝试一下，你就稳稳当当，算你不要感觉后面总有个人在催你。对吧，稳稳当当算了之后，如果个别题，你觉得浪费了大量的时间，你可以先跳过去，你再回头再来看你去测试一下你最后做题的这个时间。跟你非常着急，做题的时间呢，

其实差不多。其实真差不多，你最后的时间的话，其实基本上也就是在我们这个一个半小时内，而且准确率是提高的。所以你不要着着急急做完了最后一错错一堆，那这可划不来，所以没有关系啊，我觉得第一次考试嘛，慢慢来啊，那么今年的话，我们这个考试试卷呢？你们比这个去年的同学，我觉得从这个卷子上，去年也就是。

只有一个三套卷，然后最后再加一套卷，去年总共只有四套卷，我们今年这里面当中啊有14套卷子。那14套卷子的话，这里面当中这个我觉得练习啊，你最后练下来，你肯定是能把这个能力练上来的。所以我觉得慢慢来，第一次考试嘛，你不要这觉得说啊，我今天考试我错了，比如说我错了八个，我就没有戏了嘛，不是这样子的。

第一次考试一定要积极的，我昨天还讲了这个叫积极心理学，对吧？这个后面这个阶段呢，你要怎么进行去锻炼这个能力啊？这个也很重要，不要受到别人的影响，另外一个方面，你自我要积极一点。每次模考的时候做的不是特别好，一定要找到自己这里面当中的问题，然后进行去解决这个问题，查漏补缺才是最重要的。好了，这是我这里面当中啊，

我说的这个第一个点行吧，同学们慢慢来，不要急，这个事儿稳稳当当做。好了，这是这个事情，然后另外一个方面这个。呃，这套卷子啊，可能这个昨天的话，我应该是前天呃，下午发的，以后的话，这个卷子啊，我可以提前一天发，

但是也不要过来要那个答案，我们答案呢，我们还是安排这个模考。模考完了之后，我们会上传到这个APP上，所以说就算提前发给你，你也不用这个提前进行去做，你最好来进行去参加模考。你自己可以进行去去你的这个呃课表当中，上面都有这个课程的安排。都有那个安排，我第二天专门给你安排了一个这个模考，你看从那个八点半八点半还有个铃声。对吧，到八点半还有个铃声。

所以你就开始进行去答卷就行，你要有这种感觉，你练上十几次，这也是一个肌肉记忆啊，这不是一个水平吗？这跟你学习的一些知识点一样，它也是一种能力啊，考试能力难道不是一个能力吗？所以说这里面慢慢来，好不？同学们，你多练几次，练上个十几次，你还没有感觉，那我不相信好了，

这个问题啊，我们就讲到这。好了，那么接下来我们就正式开始吧，我们来看看今天我们来讲评一下，昨天上午考的这套卷子，那么接下来我们一个一个题来。然后每个题啊，你自己出错的这个知识点，然后你自己一定要稍微的梳理一下，然后一会儿过程当中啊，我们会把这个问题啊，跟同学们逐个的进行讲解。好，我们先来看看这个第一个题。

那么，第一个题所涉及的核心考点是什么呢啊？这个其实非常简单，其实就是一个非常基础的函数极限计算问题，稍等会儿，我调个字体。换一个颜色。加粗啊。好了，我们看第一个。第一个题啊，其实考的是函数极限计算，但这个函数极限计算你要做的稍微的巧一点。一定要做的巧一些，因为你看你这个人，

这是x这是平方，我们其实都知道，根据河曲DJ原则的话。这两个人他其实是由这个前面说的算，所以前面这个人是二分之一解，后面这个人是一解。所以说这两个东西啊，你一加其实只有前面这个东西有用，那这题结束了。所以这个题啊，我们先不管，我们等会再讲啊，我先跟同学们进行去，大致过一下考点，然后第二个事情呢，

其实考的是一个什么函数极限的基本概念。这个基本概念呢，考的是保护性的内容。的保护性，那保护性这里面你一定注意我们学习的保护性是局部保护性的问题。所以一会我们再来进行讲这个问题，我们再来看第三个题，第三个题啊，不是说特别难，第三个题的考点部分东西是什么？那这里面当中其实就考了极限的存在性，连续性的判定问题。对吧，极限的存在性，还有连续的判定问题。

啊，连续的判定好了，这是我们在这里面，你自己统筹的看一下，你只有走过这一遍，你其实就能发现，其实考研呢，哪些东西是核心重点？哪些东西是高频重点？我记得前天下午呃，前天那个晚上那节课下课之前我跟同学们进去就梳理一下，整个在三九六这个大纲里面哪些部分是最重要的？你看看这套卷子之后啊，你去稍稍微的进行去了解一些，然后这个题啊，

这个题有些人做的不好。那这个人你就算这个题啊，你没有看出来你从题干当中没有看出来干啥，但是你也能从选项当中，你很明显你可以看出来。选项当中，都考察在一处的可导性，然后又看出了一处的增量，那这个东西肯定考导数定义啊，所以说这个东西你就进行去凑导数定义不就行了。好了，这是这个事情，所以你就会发现，因为我们做的都是选择题，选择题有个特殊性，

就是你发现有的时候你看不出来考点选项也能帮助你提示这个事情。好了，这是这个内容，然后继续我们再来看第五题，第五题啊，其实就是符合函数求导。对吧，符合函数的求导问题，这个题啊，比较简单。那么，在这里面当中啊，稍微的玩了一点点小心眼，这都不算小心眼，你把这个三分之一能不能抛出去？

对吧，你不要放在这上面，你就三分之一抛前面去，其实就是三分之一倍的l ones，这个没有什么好了，这是第五个题。然后接下来我们再来看看第六个题，第六个题啊，很明显考了一个什么，考了个隐函数，求导问题。一元隐函数求导问题。每一年呢。我们都会考引函数求导，每年都会考一元引函数，

求导二元引函数求导，这是两个非常重要的问题。一元引函数求导，就是两边同时求就行，注意这里面当中的y中有s，只不过这里面当中啊，我稍微玩了一个心眼。我没有给你y，我没有给s我，而是给了x和t那这一样不一样一样的，你要注意这个x里面有t就行了。好了，所以说稍微注意一下这个事啊，好了，这是这个点，

然后接下来我们就继续，我们再来看，那如果是二元一函数呢？公式法是非常重要，因为我们基本上其实都考的是什么？都是进行去考这个一级，然后再来看第七个题，第七个题啊，你一看到这是增量吧？然后什么都是它s，然后来个高阶无穷小，那这个东西考什么，其实考的是微分的定义。那在微分当中，其实就是三个事情，

一个事情微分第一，一个事情是线性主步，一个事情是微分的几何意义。切线的增量把握住这三个事情，微分肯定没有问题。所以最重要问题还是一个读题能力，我这里面当时提示一下这套试卷里面很多部分的题，你应该是见到这个题你就有反应的。那如果将来我们碰到一些新题，你要敢算，你要敢做，这也是一种非常重要的能力。好了，这是我们讲的这个第七个人。然后再来看第八个人啊，

这个题啊。虽然是极值与最值的求解问题，对吧？求解问题。但是这个题啊，我在这里面呃稍微的玩了一个心眼啊。其实一般情况下，如果考极值点，那这个题太简单了。极值点太简单了。极值点不就是二分之派那个点吗？那这个太简单。但是我们让你进行去把这个极值求出来。能理解吧，哎，

极值求出来，那极值求出来的话，你就要算一下这个定积分。所以说这个定期分呢，我原来给你讲过，有一个速算方法。就是用那个行列式的那个方式进行去计算，就是这个里面你稍微的小心那么一点点就行了，所以说这种运算量不算什么运算量。其实这套试卷呢，你去看看二零二三年那年运算量，有些题的运算量更加爆炸一点好，所以说慢慢来啊。你自己一定要进行去提高，然后再来看第九题，

第九题是个简单题，你看这种题，你不要心里老是有一杆秤。那是你自己的秤，你这个秤啊，不规范。老师心里当中有一件事情，说什么呢？说啊，这么大的运算量，不会是我们的考题吗？我们怎么会考这么大的运算量？我们怎么会考到这样算？算完之后还要算，算完之后还要算。

怎么可能是我们的题，出题人应该不会这样，你不要这样，具体的题目是什么就是什么，他让你算多少你就算多少就行。所以这里面我们来看看这个人，其实就是凹凸区间的球形。那凹凸区间求解啊，那第一个事情其实就是看定域，然后进行求二阶导数，然后进行去找到这个人的二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点。然后划分区间段，但是这个人呢，他只让你去找凸区间，所以说就要找求到二级导数，

让它小于零就行了。所以这个非常简单，然后接下来我们再来看第十题。第十题啊，我昨天在上课的时候啊，讲了这个题。这个题很多同学犯的问题是在什么呢？这个东西叫方程根与零点的求解问题。这个内容其实非常简单。如果有些同学学的这个板块内容啊，强化完了之后还没有什么感觉，你可以去看看昨天那个冲刺救命班的这一节部分内容。那么，像这个问题啊呃，方程根和函数定点，

你要有一种魄力，这就是考研当中啊，送分题目。这个题很多同学做的，不是说特别好的点在何处呢？其实就是那个一阶导数不会因式分解。然后求到了二阶导数了之后，能找到一阶导数好多为零的点，那这时候不太好租。所以这是要注意的事情，这第十题。然后我们再来看11题，11题太普通了，那这个东西呢？涉及什么原函数的概念对吧？

原函数概念。然后接下来还有第二个问题，就是如果这里面当中碰到抽象函数的二级导，抽象函数的一级导。抽象函数的导函数怎么办？抽象函数的导函数立即凑到后面去分步积分法。是不是这个问题，所以说像这样的一个考点内容应该是非常熟悉的，你见到这个东西啊，马上把它搞那这种题的话，就在一两分钟内完全把它都处理清楚。然后再看12题，有些同学12题得分率啊，非常不好。可能是我在这个题当中啊，

出的稍微的狠了一点，我们经常只需要判一个就行了，但是我在这里面当中给你写的这几个又有哪个东西是非常难的呢？也不是特别难，这个东西不就是定积分比较的问题吗？定积分比较。那么所以说这个定积分比较，如果是积分线相同，被积分函数不同，那考的肯定是比较定理呀。对吧，考比较定理，那如果这个积分线不同呢，我们有可能考这个几何意义啊，看这个人的正负性呢？

一会我们再来说好这个问题。c和e当中b选其一，那不一定吧。那万一这俩都错了呢，别别别这样。好，这是这个。而且这俩人长得也不一样啊，你这e的负x方，这是e的负x啊，这也不一样，你别别别乱来啊，你这个你这规律找的不行啊。你没有看穿我好了，这是我们接下来再来看13题那13题啊，

其实就是定积分的计算。而且啊，对称区间。对吧，重点是对称区间，那对称区间的这个定积分计算，然后这个奇函数等于零，偶函数等于二倍，你先看看这个人的奇偶性。然后再来看看14题，14题啊，你发现很多同学不会做的原因是什么？是不是忘掉了知识点，把这个知识点捡回来之后是不是非常简单？能不能在几十秒当中进行破题？

完全可以吧？那这个东西啊，其实就是看了考了这个东西变现函数。的连续性和可导性的问题。这个东西啊，绝对可以秒，很多同学没有做出来，就是知识点忘了，所以我再给你强调一下那些核心知识点，一定要进行去看。而且要非常的熟练。一定要相当的熟练，就是你见到这个东西，你知道怎么做，你见到这个东西的时候知道怎么做，

一定要慢慢来，然后再来看15题。实物题也非常的简单。但是这个题啊，很多同学的一个原因是什么也忘了，这个考点部分内容是怎么做的？当然，如果你只听到冲刺救命班同学，我建议是冲刺救命班听完了之后，你再来模考。然后我们再来看看这个15题强化过程当中讲了吧，你这个东西是一个变上线函数吧，变线函数。你这个东西是个变现函数，然后变现函数出现在定积分里面怎么做？

变现函数出现在定积分里面，怎么做那很明显分步积分法？被积分函数为变现函数。的定义积分计算问题。计算问题。那这种问题啊，其实就是你把这人凑到后面去，然后你想让这个fs到后面去，就分步积分法好这个题啊。这个题你要注意，这是个非常简单的问题，然后我们再来看16题。16题这个核心考点其实考的是什么？考的是这个旋转体体积问题。求解问题。

那旋转体体积的求解问题啊，你在这里面，你其实我考的还不够狠，你看这个题啊，我考的相对温柔了一点。我都没让你算。我都没有让你算，我只让你进去去列个式子。所以说这个题啊，相对而言非常温柔，其实这个题当中就算a是对的，能不能算能算呀？你把这个东西乘开，你不能算吗？你这个东西能不能算呢？

你这个东西会不算？你这个会不算呢？你这个会不算？你哪个不会算？你这abcde无论是哪个是正确的，你肯定会算，所以这个题啊，我只让你进行去套一下公式。你看这是这个题，我害怕有些同学这个考虑到这个第一次考试运算量太大啊，所以说我们在这里面控制了一下。当然，这是我们整套试卷的控制，这个你不会觉得说这个刻意的，这个难度系数下调不是这样，

就是整套试卷得平衡。一定得平衡，所以这是出题人，我们去想的一些事情，所以在这里面，你自己下去进行去看看。好了，我们再来看17题，17题就比较简单了，这是偏导数的什么定义啊？偏导数定义是每年必考内容啊，这是这个人，然后接下来再来看18题，18题考的什么，18题就是考的这个。

其实这个题啊，算一个隐函数。但是你把这个东西啊，你说没有好好看，因为是个显函数，你给它引移过去这个东西啊，其实是一个二元隐函数。隐函数。然后再加上符合函数偏导数计算。啊，这个东西，然后接下来我们再来看看第19题，19题这个东西啊，考了一个什么呢？考了一个二元隐函数。

直接性的偏导数计算。好，这是我们这个题，然后接下来我们再来看看第20题啊，这次啊，我们没有打这个点。那么下次有可能就会打这种点，你像这种题，他就直接算那么还有一种题是什么呢？那么这是第一种能直接算的。那还有一种问题的话，就是如果它的b方减AC=0怎么办？如果b方减AC=0。等于零的话，你这个题得怎么办呢？

你这个题就得回到定义法，定义法是个难点，而去年二零二三年的考研真题就考了这个定义法。所以这个东西啊，就是无条件极值的问题。对吧，机制还是这个ABC判别法，那么这里面不要硬算。硬算就算傻了，你看看这个abcde这几个选项当中是不是有结果，你把这个东西往里面带，不要算。你千万不要算，你一算就傻了，你算它干嘛好了，

我们再看21题，这个21题啊，是很多同学永远的痛，对吧？那么，这个东西的连续性。可导性。可微信不就是这个几个东西的判定吗？就这几个东西的判定，只不过这里面当中稍微的话，里面当中多摆了一点东西。行吧，这个内容我们一会再说，所以这个内容考了连续性，可导性，

可微性的判定，你看每一年的考研。如果是这样的一个题啊，它基本上都会放到那个21题这个位置上，所以这是这个情况。能理解吧，好了，这是高等数学。其实这样你回过头来继续看你，其实这就是我们在这一年学习啊，那高等数学当中比较容易出题的，这些核心问题。那么，接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个线性代数。

那么，线性代数当中的这个第一个问题，它就是代数余子式。这次啊，线性代数出的还是很温柔，对吧？代数余子式。的线性和问题。那么，这是第一个代数余子式线性合这个好做。然后第二个事情，这个题可能很多同学失分了，核心问题就是不知道这个什么叫AB可交换。你只要知道这个东西就行了，所以这个问题啊，

其实考的是矩阵的乘法的运算。对吧，运算，然后再加上一点排列组合的内容。这就可以了，然后接下来我们再来看看24题，这个题呢，还是考了一个什么矩阵的运算问题。好，这个内容，然后再来看看25题，那25题这个题呢？考了一个矩阵制的，求解。质的求解。

然后再来看看这个第26题。这个题非常简单。这个题难度系数基本上没有。那这个题考的线性相关性呢？线性相关性的判定。那这个部分的内容，你把它操作完了之后啊，这个线性相关性的判定，要不用行列式，要不用质，这都非常简单。你看坐到后面，然后紧接着是这个方程组的公共解问题。对吧，公共机问题。

那么学到最后，你就会发现诶其次线性方程组和非线方程组怎么没考？不可能不考的。所以每年必会出像行列式当中的代数，余子式，行列式的直接进距三，行列式的性质，矩阵的运算还。还有这里面当中这套试卷，实在是因为出的这个部分的内容都很满了，所以这一年呢，我们在这个这次过程当中出这个卷子里面当中有一个初等变换，我们没有出题。对吧，除了这个，

后面的一个矩阵的质的问题，那还有一个东西啊，你学到后面线性相关性肯定会考那么最后一个方程组，怎么可能会不出题呢？他一定得出，所以这里面又考了一个什么其次线性方程组的这个解的判定问题啊其次。线性方程组。这是必考题，对吧？每年一定会出题的点，然后再来看看29题这个题。那29题啊，这个题其实就考了一个什么呃，你只要读懂就行了，什么叫恰有一个事件发生，

所以这个东西也算古典概型。这不算古典概型，其实就是概率计算。好了，这是这个，然后再来看看30题30题这个题啊，这种题的话考的非常多，其实就是概率公式的应用。应用问题。然后再来看看31题，这个题温柔。这个题考了一个正态分布。对吧，正态分布问题，然后再来看看32题，

32题这个题啊，考了一个正态分布的均域化。分布。走区域异化。所以你可以看出来这个正态分布是一个非常重点的地方。每年考研呢，非常喜欢考这个正态分布，然后再来看看33题33题这个人呢，考了一个二维。离散型。我们来看看二维离散型随机变量的分布，然后最后一个题啊，我们其实这个题啊，考了一个期望，然后最后一个事儿啊，

这是期望的求解。然后最后一个事情是方差的，求解。好，最后一个啊，期望和方差一定会出题。方差的求解。好了，这个问题。所以说这几个问题啊，我们就说到这。你直接蒙的这个题，那我觉得这个这有点危险呐啊。你这都能蒙这概这次的概率论呐，还有这个线性代数啊，

难度不是说特别大，你别夸张啊。你这打出来，这是没有人跟你共情啊。你得自驱能理解吧，一定要自驱，这种套公式的题，这可不是难题。你给了它的分布，就知道它的一个期望呃，就知道它的一个什么概率密度函数，然后这是它的函数直接套公式就行了。所以接下来我们一起来看看下面一个问题。好了，那么接下来我们继续走，

所以说我再说一遍啊，你这里面当中出错的问题啊，你要好好进行去把这个相对应的问题点呢，好好进行去梳理梳理。能理解吧，所以模考我觉得最大的意义就是找到自己的问题，你好好进行，把这个相对的问题啊，好好进行去找到，找到之后啊，把它解决清楚就行。好了，那么接下来我们继续哦，我们来看看下面一些问题。好，

我们先来看看第一个题。第一个题啊，这个函数极限计算其实最重要的问题啊，考了两个事情，一个事情是考了一个等价无穷小替换公式。那不就是这个x如果是趋向零，然后这是一+x的阿尔法次方减一立即等价无穷，阿尔法x。是吧，考了这个人。稍等一下，考了这个等价无穷小替换公式，那这个东西推广一下，其实就是如果这个框趋向零。然后这是一加上框的阿尔法次方减一，

立即等价无穷。阿尔法框，所以下面这个人呢？你发现这个东西你就可以把它写成一加上多少？负的根号s，然后这个人的二分之一次方减一。那这个时候你来看看当s，如果趋向零帧，那这个部分就趋向零了，立即等价无穷。阿尔法框这是负的根号s。好了，这是第一个事情，然后再来看，又考了一个原则，

何取DJ原则？你想想x和这个根号s。这个人等价多少？如果能等价。注意啊，我只是看一看，我还没开始做题呢，我想看看这个人的接触，二分之一阶和一阶，那这人何取d阶肯定是他呀，哎，这个里面是s和s方。所以我们来看看这个人，你发现这个人是一姐，然后这人是二姐，

合取第一阶是几阶是一阶？那么，这是这个人那么所以说，然后你把它进行去开个方呢，我们都知道这个人可以直接等价这个人。所以前面这个人呢？他其实是二分之一阶，然后后面这个人呢？是一阶，所以说你会发现一阶和二分之一阶何取？第一阶取这个人。对吧，我们就取出这个人，取出这个人之后继续等价，就是这个人，

你下面等价多少负的二分之一根号s，所以这个题啊，正确答案选d。好，这个题啊，我觉得做题速度基本上是几十秒。非常快，应该是控制在一分钟范围内，你看这个题就省时了。啊，非常快，一定要有接的感觉好，我们再来看看第二题。第二题，我们继续看。

那这个题啊，他说这个fs极限是0 gs极限是二，然后这个人是正无穷，那么首先考了第一个问题。那么，如果说x趋向s0，我fs的极限小于什么呢？小于这个gs极限？大家想想，如果你的极限比我小，你能说处处比我小吗？不能我们这个饱和性呢，一定是只能在他家里面才能去掉帽子。一定是什么？当这个x趋向于x0的时候。

也就是这个点的去心领域内，那这个fs啊，是小于这个gs的。能理解吧，所以这个时候你看你这个人的极限比他的极限小，你能说处处比他小吗？不行的，你只能说在这个什么去心灵域内比他小。那这个时候你的极限比他的极限小，你能说这个里面处处比他小吗？也不行，只能在家里面，只能在去心领域内比他小。好了，这个人呢？

叫局部饱和性，然后再来看看这个极限，你现在的话，这个极限是零，然后这个极限是无穷大零乘无穷大是未定式啊，说不清楚。然后再来看这个极限是二，这个极限是无穷大两倍的无穷大，当然是无穷大，那肯定是不存在呀。你要想清楚，如果这个数乘上无穷大，如果这个数是不为零的，那这一乘肯定是无穷大。凌晨无穷大呢，

这东西是个未定式。好，这是这个人，然后再来看最后一个人，你这人是零，你这人是二零×2，肯定是存在你这人不对。好了，这是我们讲的第二题，你看前两个题还是比较简单的。然后我们再来看看这个第三题，第三题啊，我们继续看。那这个题的话，你发现给了这样的一个极限，

对吧？给了这样的一个函数，然后让我们去求零处的极限。那求零处的极限，你发现分段函数在分段点大于零和小于零不一样，所以说这个东西啊，你肯定要分。你就要分这里面当中的这个什么一个事情是右极限，那右极限是对谁求呢？右极限的话，其实是对is趋向零帧，然后这是is几次方嗯三次方。然后这是三倍的零到x，然后这是一减cost，然后dt你对它求。

那这人很明显是零比零型未定式啊，零比零型未定式出现变性函数，先想洛必达法则三倍x方。然后变上线移上线coss，然后这个东西啊，立即是二分之s方，你看看这个结果，你约掉了之后刚好是二分之一。是不是这个情况好了，我们继续，我们再来看看这里面当中当s趋向多少s0负零负的话，你就要对谁求呢？你就要对下面这个人求。零负你对这个人求你对这个人求的话，其实是s方，

然后这是零到s，这是阿尔克tan的tdt。那这个时候你发现我还可以继续使用一下，当s趋向零负你下面进行求导值是二s，你上面求导是arc tangents，你上面等价无穷s，这是二分之一。那所以说左右极限都是二分之一，那这个极限肯定是二分之一啊，不会是一吧，也不会是不存在吧，你把这个人排除。但是这个东西连不连续呢？你要想清楚，我们在这里面当中当x趋向零的时候，

你这个人的极限结果是二分之一。但是我的零处的函数值是几零处的函数值是零呢？你这两个人之间肯定不相等啊，所以说这里面肯定不连续正确答案选几。选d我相信大家应该都能想得出来，你看这个题我考的都是标准型。变现函数的标准性我都没有考非标准性，所以说你要稍微的注意，相当于非标准型的化简方法，你必须要会啊。好了，这是我们讲的这个第三题，我们再来看看下一个事情，我们再来看看第四题。这个题啊，

有些同学做的不是特别好。这就是我刚才讲的，看不出来考点，但是你可以看选项啊，你很明显会发现你这个函数一定要注意它在一处的可导性。你在一处的可导性，我们在这里面当中怎么办？我们肯定是使用一处的导数定义啊，因为也看到了一处的这个增量。所以说我们来写一下，但是这个定义啊，你只能写增量定义。为什么它写的是一+s啊，所以就是一加框，你再减去f1，

然后再比上什么呢？再比上这个框，然后这个框趋向零。你得用这个人用这个人了，之后的话马上来看，当s趋向零的时候，你继续把这带进去，就是a倍的这个fs。那a倍的fs现在有一个问题f1是多少呢？你要求f1你就把这个x令成零。练成零了之后的话，这就是a倍的f0，所以说我把它带进去，这就是a倍的f0，这是s。

你看写成这样，你写成这样了之后，把这个a提出去，这不就是s趋向零s分之fs，再减去f零吗？那这个东西是谁呢？这不就是零处的导函数吗？所以这个结果是AB啊。能听懂吗？那就说明它在这个一处可导，而且导函数是AB答案选d呀。这个题举例子好像费点功夫，因为你要举例子举出一个这个人等于这个例子啊，你还得看一会儿。没有这个东西的，

直接法来的方便。所以有的时候你要如果在这里面，你使用了什么呢？你比如说使用举例子举了半天都没有举出来，你一定要迅速把这个东西啊，你赶紧往下来啊。你要半天没有取出来，有些人可能取出来了，你看这有个同学取了es非常好，那es这个人就可以了。因为这个取es的之后的话，这是e的s+1，它刚好等于e倍的es，你取得非常好，然后这个时候的a是一。

啊，非常棒。你取出来就取出来了，你取不出来啊，你取不出来，你就在这里面当中用这个什么啊，用这个倒数定义。直接法做还是挺快的。然后这个题啊，有些同学是两边同时求导你注意了，如果能两边同时求导，你不就默认了a是错的吗？那这就做错完了。你就默认了a是错的。你就默认bcde是对的。

你这也没有办法，说明这个a是错的呀。因为你两边同时求导你默认这个函数是可导的，所以这样做不对，你要稍微小小心一点，如果没有a这个选项，你是可以的。能听懂吧啊。你这这这基础。我很难置信的，你知道今天的这个基础吗？邻处可导跟邻的，附近可导都不一样。更不要说在一处可到了。零处可导就能一处可导吗？

你这叫什么原则？这叫有有这样的一个原则，太牛逼了。我给你讲讲，如果你把这个东西震出来了，微积分就被你打破了，为什么呢？因为比如说以后给了一个函数，想让你去判断十处可导，哎，我发现十处不好看。那我怎么办？我去判零处零处磕，到了时就磕到了那疯了。照你这样说的话，

这个微积分学就没有了。因为你说零处可导，一处可导，那还有这样子的，那不纯属胡扯吗？那有这样的水平，那我们像刚才做这个分段函数，我做分段函数干嘛呢？判断分段点可不可导，看别的可不可导，不是这样，不要胡来啊。好了，这个问题啊，一定是不对的，

那么接下来我们就继续吧，我们再来看看下一个问题，复合函数求导。那符号函数求导我们继续来看这个东西啊，它一定是让我们去求的，是y对自变量求导。所以说接下来我们一起来看y对这个s求导，那就是先对这个中间变量求导。然后这个中间变量再求导，那这个中间变量再求导的话，也就是下面部分的平方，然后是上面求导乘下面。减去下面求导乘上面。好这个样子。所以现在啊，

我们就把这个人呢给带进去，然后这里面当中告诉了一个条件，告诉了什么呢？f导s这个人呢？等于三分之一倍的lns。那所以说这个里面当中的f撇框，它不就是三分之一倍的ln框吗？我们把它带进去，这是三分之一倍的ln多少？然后这是二s减一。s+1把这东西啊，稍微整理一下s+1^2，然后这个一减呢，这是二，然后这是一，

这是三。那么，现在我们要把这个一带进去，一带进去了之后，这个结果是多少？这是三分之一，然后这是l那这是二的多少二分之一？然后把这个一代进去的话，这是四分之三，那所以说总的这个结果就是四分之一倍的ln二分之一负四分之一倍的ln二。所以，正确答案选几啊选b。呃，这个不用讲，因为是三分之一次方。

开三次方嘛，开三次方的话，这个其实你已经保，你要注意，如果是开偶数次方要加。因为是开三次房。那说明你这个人是正的呀。定义域就是这个人大于零，所以说默认了s大于零。能听懂吧，因为你这样写的话，其实就默认了这个x是大于零的，因为是开三次方嘛，不是开偶数次方。好了没？

这是第五题，我们再来看看下一个题，再来看第六题。那第六题这个人呢？呃，稍微的换了一点。这个题出题的这个想法是什么呢？就是不太想让你在这个做题的时候啊，老是喜欢这个x喜欢这个y。我们稍微的改了一下这个t啊，你现在是自变量。然后这个什么x是个因变量，所以说这个人一个函数由方程学定隐函数，那怎么做呢？方程两边同时对x求导。

你不用换呐，你换回来那多麻烦来直接走，那就两边同时求这个s in线球的话就是多少就是cos。然后这是多少t对谁s求导，然后继续。把这个人带进去，那就是把这个上限移进去，就是ST，然后接下来上限再求导啊，算了，我们这块。写一个这个什么，这是t是吧？不好意思，对t求导，

所以说前面这个人是cosine t，然后这个人呢？移进去f多少呢xt？然后这是x对t进行求导。然后再减去一个多少ft，然后这半边求导是零。把这东西一带就出来了，能理解吧，你对t求导，然后x当中是有t，这是要稍微注意，然后接下来让我们去求解什么在零处。你在零处把零带进去就行了，你在这里面当中还要知道什么，你当这个t。

等于零的时候。那这个时候其实就是零到多少负的零到xfudu这个人等于零。而fu永远都是大于零，你这个人想等于零，你上下限肯定相等，那所以说这个时候就得到了x=0。然后把这两个东西都带进去，带进去了之后，这是一，然后这里面当中一带呢，那这是f0，然后这时我们要进行去求哦s对零啊，这个什么s求导这个人。然后这个零带去了，这是f0，

然后等于零，那f0又是一，所以说这是一减去多少，然后这是x对零进行求导，然后再加上多少？再加上一个一等等于零，所以说这个结果等于几啊等于二。好了，这个题不是说特别难吧啊，这前几个题啊，都还好好，我们再来看看第七个题这个题啊，完全考了微分的定义。那考了什么呢？如果这个函数是可微的。

那这个时候这个函数啊，它在x处的这个增量。那这个其实就是delta白。德尔塔y等于多少？那德尔塔y这个人呢？他就会等于自变量增量的线性关系，这个人就会等于微分。然后再加上自变量增量的高阶无穷小，在这个趋向零的时候成立。没问题吧？好，这是这个人，所以现在我们就要来看看你，发现看你这是个因变量增量，你就要会等于什么微分？

谁出的增量s处？增量s处的导函数再乘上德尔塔s，这是不是dy呀？这就叫线性主图，然后再加上高阶无穷小。那这时候我们来看你这个东西就是s处的德尔塔y，你这是高阶无穷小，这是s处的dy。那x处的dy，这就是x处的导函数，所以说我马上知道x处的导函数是多少x五次方e的x三次方。那所以说这个fs就等于多少，你就等于这个积分。那这个积分这是五次方，这是三次方，

你如何处理啊？那很明显，你就可以把这个五次方你写成一个三次方，你再乘上个平方。把这个凑到后面去，你凑到后面去的话，这有个三次方e的I三次方，然后这个人一凑是多少？那这个东西一凑的话，就是s三次方前面再配三分之一好配成这样。配成这样之后，然后把这东西啊给寄出来，那寄出来之后我们来看看，那这就是多少三分之一，那然后的话你就可以继续来凑了。

这是s三次方d多少把这个凑到后面去e的I三次方，然后一次分布积分法就出来了两项相乘。然后再减去两项调换位置I三次方，这个人跑后一亿的I三次方di三次方，那这个积分是多少？其实就是e的I三次方加上c。好了，这是这个问题，能想清楚吗？可以呀，哎呀，这个已经不是一个特别新鲜的东西了，有人说我两边同时除上一个德尔塔s。然后再让德尔塔s趋向零，这不就有吗？

对我们是我只是想说的话，你见到这个东西，你要眼神一下就飘出来，就这个东西一定要非常熟练，你无论是听到强化。你还是听了这个什么，你还是听了这个冲刺救命班，我上课经常说你可以两边同出，这不是方法二吗？但是到了这个今天，我们不用再这个方法二了吧？直接一步把它刚出来，对吧？好了，这个人呢？

我们就说到这，那么接下来我们继续。这个题你还要什么别的方法呀？不不不，是这样子，你这个这个思维方式，你要转换的，你如果这个方法都想不到，你要狠狠的自驱。你听得懂我的意思吗？如果这个想不到，你要狠狠的自驱，而不是说啊，这个题还有没有别的方法，你这个东西眼神飘一下就出来了。

好，这是这个人那么这样，我们再来看吧，如果有些同学说哎，我这个两边我是这样，你这是is加上德尔塔s，我再减去fs，我给两边同时把德尔塔s除过去。然后这是五次方一的I三次方，你再加上一个高阶无穷小比上它。两边同时取极限，取极限了之后的话，这个人两边同时取德尔塔s趋向零的极限，德尔塔s趋向零的极限呢，这半边其实就是s处的导函数。

然后对德尔塔s求极限，这是个常数，然后这是零。能理解吧好，这是这个人。而且这个人呢，他也不是伽马函数，这嘎不出来。伽马函数的话是一个反常积分。这是一个不定积分。你一定要区分开，不定积分定积分，它是不一样的，伽马函数是这个人。而且这也不叫伽马函数，

我讲过这叫伽马函数的推论，能理解吧，这个结果等于n的阶乘。如果真正的伽马函数它，它是这样写的，零到正无穷s阿尔法次方e的负s，然后ds。对吧，这叫伽马函数，然后这个东西呢，它应该是什么呢？你把这个东西要退役，你才写伽马函数，也就说这里面当中要减个一或者加个一的话再写好。好，

这个下次我们再说这个问题，我下次有专门这样的一个题，你要注意，你其实记住这个人就行了。你记住这个人就可以了。好了，这个问题啊，我们就说到这来继续吧，你把这人做出来，你做出来之后的话，然后用f1-f零。那么，首先我们先来看看f一那一这个人是多少呢？一这人是三分之一的一，然后再减去多少三分之一的一？

好，这是然后再怎么办？你还要加个c。然后这个f零呢零带进去的话是零，然后再减去三分之一，加上个c，所以说这个结果等于多少三分之一？好了，这个题啊，正确答案选几选a啊？跟得上吗？好了，这个问题一定注意，不要乱来啊，千万不要乱做这个题啊，

常规题非常常规。就是你见到这个样子的话，你很明显，你要知道他是考的这个微分第一。然后这里面当导函数出来之后啊，然后积分其实这个题啊，你还能做的更快一点。呃，我稍微往下面再写一下吧，你看这个人。来继续大家想想你还能做更快一点，你现在做的这个人，他不就做到这儿了吗？你导函数等于x五次方e的I三次方。你要求的这个f1-f零，

这是什么呀？这不就是零到一导函数的定积分吗？啊，是不是就是导函数的定积分呐？你这个人积分完了之后是fs把零和一带进去，所以说这个时候其实就是零到1 is五次方e的is三次方这个ds。然后定积分又有什么好处呢？定积分就可以换元了，你这是三次方e的I，三次方di，三次方前面配三分之一。然后这个时候就可以令什么令I三次方等于t啊，令I三次方等于t换元就换现零是零一是1 te的tdt舒服了吧？好，不讲了，

你这样做肯定做的更快一点，好注意一下啊，因为定积分的特质啊，定积分可以换元。啊，这个点。好了，这是第七题，我们再来看看第八题吧。啊，第八题我们来重点讲讲。那么，同学们告诉我，是一个极值的题吗？一个极值的体第一步干嘛？

极值的题第一步找到注点和不可导点，这是第一步。其实第一步应该先看地域。然后第二步呢，我们继续去求一阶导数。找到导数为零的点，还有找到不存在的点，然后第三件事情。找到可疑点了之后，你可以选第一充分条件。你也可以选第二，充分条件。来做这就可以了。那么这个题的定义域啊，它给的是什么零到派我只让你去考虑这个范围，

那么所以说现在我们就只需要进行求导了。那直接导它呗，一导完了之后的话，这是多少变上限移上限负s，然后这是cosines。然后这里面让它等于零。没有不可导点吧，这个导函数没有不存在的点，只有为零的点，你为零的话，这个人肯定不行，那是cosine=0。那cosine=0是多少？s=2分之派。好，

这个结果那这人做完了之后怎么办？你可以选第一充分条件，你可以再求导你啊，这个什么你可以用第二充分条件，你可以再求。你可以用第一充分条件。第一，充分条件怎么用呢？那这个眼神可以稍微的飘向。你来看看这个人，这是导函数，导函数这是零，这是s，我们不画导函数，我们画cosine cosine这个人图像是这样。

然后这是二分之派，那在二分之派的这个左半边，它是正的右半边是负的。那所以这个时候你可以非常容易看你这个人永远是真的。那它的左半边是什么？左半边是正就是正，先增右边是负它就是负先增后减极，什么值极大值？一定是个极大值。所以说这个极小值就不对，这个人也不对，没有极值也不对，所以现在的重点而言就是你是选a。还是选b。就这个计算呢，

也还是很重要，所以现在怎么办呢？我们现在而言，这里面当中啊，你就要进行去计算一下它了好了，前面啊，你用第二充分条件，你就再求导了就行。所以现在的话就是二分之派，那这人是多少是零到x？然后这是e的负t，然后cosine tdt，然后这个积分对吧？我们要做这个积分。这是二分之派。

那这个分怎么做呢？这个分呢，你可以是什么呢？因为这是三指相碰。你可以把这个指数函数放到后面去，连续着分布积分法两次。连续着分步积分法两次，这个东西就出来了。能理解吧，连续分布细分法两次，这个东西又出来了，移过去，然后循环相交。那这是一个方法，但是我想知道，

如果你用这个方法，你在考场当中时间肯定是不太够。你这个运算量就很大，你可以这样做，我说清楚了吧，你这普通的积分运算，把它凑到后面去分布积分法两次，然后这人出来了。那这里面有没有一个小技巧性呢？我记得原来我们是讲过的。这个三指相碰啊。我们可以进行去循环相求，但是这里面当中也有一个非常好的一个结论。就是这里面当中，如果是e的as，

然后这是sin BS ds，这个结果等于多少？这个结果就等于a方，加上b方分之一，然后有一个行列式，行列式是谁呢？我问你先写谁呀？先写谁呀？这是纯属胡扯的，有个同学说f0是零，所以说极大值大于零，谁跟你讲的？这是我讲的吗？我一会儿再跟你唠唠啊，这个问题我一会儿再跟你唠。

先写谁啊？先写指指的什么导函数，然后再来是e的as，然后这半边啊是sin BS。导函数，然后这是sin BS，然后加上c。啊，这种行列式，然后再来看看下一个问题e的as cosine BS，然后这个ds那这个结果等于多少呢？等于a方加上b方。然后这是e的as导函数e的as，然后这是cos BS导函数，然后这是cos BS。

好加上c非常好记。好了，这是这个问题，如果你能想到这个东西就非常快乐。所以说对于这个题而言，我们来算一下，你算一下这个结果，这是多少？e的负t。cosine tdt那这个结果的话，就等于a方负一的平方是一一，然后有个行列式。上面求导是负的e的负t，然后这个人求导是负的这个sint。然后紧接着的话是这个人，

然后紧接着是这个人。那么然后再加上c那么所以说这个结果的话是二分之一，那这个这两对角线一乘是负的e的负t，然后再乘上cost。然后减就是加。一亿的负t再乘上三亿t，然后再加上c。好，这个结果那这个人出来之后啊，你把这个二分之一啊，你就可以带进去，这是e的负t，然后这是sint。你再减去多少？再减去一个cosin t，

然后把这个什么零和二分之派带进去。那这个结果就是这样，然后现在我们来算，你把零带进去，我们先带二分之派吧，你二分之派的话，这是一亿的负的二分之派。那这个时候s in 2分之派是一，那这个人就是一。然后我们再来带零零的话，这是一的零是一。那这个s in 0是零，然后这个cos 0呢？那cos 0是一，那cos 0是一呃，

这个cos 0是一的话，这负负得真，那这是加号？所以说这个结果马上出来了，因此这个人结果是谁？答案选b。能想清楚吧，这是这个题。好了，这个点呢，我们就讲到这。那这样进行去计算呢，这个速度就非常快了，你操作下来也不是说特别难。好了，

这是这个题吧，有些同学可能浪费了点时间，那么接下来我来讲讲，刚才一个同学的情况，他说零处是零。所以说极大值就一定会大于零，这句话对不对？大家告诉我这句话对不对？你还是对极大值和最大值啊，没有深层次的理解。来，我们来看看这个问题。好了，那么接下来我们就继续，我们来看看这个问题。

来走那这个点呢你比如说这两个点都等于零。你说极大值一定大于零吗？比如说我的图像是这样子的。你告诉我这个人是不是极大值？是不是极大值不是最大值？极大值只需要比左边大和右边大就行。它是个个淋浴的概念。只要它是个山峰，它就是个极大值，所以说不要说极大值，就是最大值，你这又胡扯了。对吧，这肯定不对。能理解我的意思吗？

好，这个问题。好，这是这个点呢，我们就说到这。那么，接下来我们就继续看，有个同学是这样做的，我觉得做的比较讨巧。刚才我看到评论区当中有个同学是这样来的。因为他观察出来了a选项的这个特殊性。a选项这个人，这是我这个你提醒我了，我下次肯定不会这样出题了。我下次得把这个人呐，

我可以把这个人加上一，我改成加上三。这是这这次这是这个题出的漏洞啊，实在有点抱歉啊。那有个同学是这样想的，说零到二分之派的时候，你这个人是正的，你这个人是正的，所以说这个积分肯定是大于零的。大于零的话，我就选b了，我就不会看a了。你这样可以。然后有的同学是这样想的，说这个人的导函数。

啊，如果这是导函数的时候啊e的负s coss。那么，在零到二分之派的时候，这个人是正的，你说零到二分之派大于零，你从零开始增上去，它大于零，你这样想那是没问题的。可以吧，你要加上这样的一个条件，你就学的非常好了啊。好了，这是第八题。行吧，

这个选项。下次得改改。有点漏洞。好了，这是第八题，我们继续吧，我们再来看看第九题。再看下一个题。好，继续走。呃，其实这个卷子呃，包括我们的那个将来的冲刺满分十套卷子。就是我首先是出了一版。出了一版，

我还磨了一版，我自认为这个你将来进行去做这几套卷子，因为这个今年这些卷子啊呃，花费的这个时间还是挺多的。你到时候拿到这个，我们可能没有这个解析，因为是内部进行讲的，你到时候进行去拿到这个呃高教社出版的这个冲刺满分实套卷。里面当中啊，你去看看那个解析写的还是挺详细的，我觉得这个今年很多题，我出了一版，出了一版了之后我还去磨。模每个选项我就来看看你，如果跳这个坑，

你会选哪个选项？你如果跳这个坑，你会想哪个选项？就是你很多选项，只要你做错，你肯定能把这个选项选错。就磨了很多啊，这个这个这个选项啊，行，我下次得改一改。好，这个a选项。那么，接下继续吧，我们再来看看第九题来继续走。

就是杜绝一个问题，你都做错了，发现答案选项当中没有答案，那我不是失误吗？你想是不是？结果你发现哎我做错了，哎，一看abcde当中没有答案哦，我知道我做错了，重做。那不行，你如果做错了，我肯定让你把答案选出来。对吧，你做错了之后诶哦，

选b你看做错了。好了，我们继续吧，我们来看看这个题。那这个人呢？他说凸区间，你先看定域，那这个人的定域啊，很明显是s怎么办？不为负三。哎，不等于负三。那么，现在我们要进行去看看，那这个人的话要凸曲线，

你就求导呗，你先进行求一级导，一级导的话就是下面部分的平方。然后是上面求导乘下面。然后减去下面求导乘上面好这个结果，所以说这个结果一算呢，它其实就是x+3的这个人的平方。然后这个时候是is倍的es，然后再加上两倍的es，所以就是is怎么办？ies倍的s加减加二。好了，这是这个人，那么接下来我们继续，我们再来看这一阶导，

再来求两阶导，两阶导的话继续往下来，那其实就是is+3的这个人，几次方四次方。然后继续看上面这个人。那上面这人进行求导的时候，你就硬着做就行了，那这人就是钱导。呃，把这个。拆开吧。都行，那这个拆开的话就是前倒后不倒，前面不倒，后来倒。

然后再加上两倍的es，所以说这是x加几啊x+3倍的es。对吧s+3倍的es。然后上面进行求导，乘上下面这是三次方。然后再减去下面求导，下面求导是二倍的x+3。下面求导再乘上上面好了，这是这个人。所以我觉得这个题啊呃，不是说特别难，它最重要问题就是考量你运算的这个耐心。你要是算到这样的一个除法求导，你算不下去了，你这个题肯定不好做。

你这只要你敢算这个题就非常简单，好了，我们继续看那，然后你要找什么区间，你找突区间，你找突区间的话，让这个人小一点就行。对吧，你就让这个部分呢，小于零就行，那么所以说我们来算一下吧。那这里面小于零的话，你可以提一下，把这个es提出来，把这个s+3提出来。

那提出来之后的话，我们就继续看。你这样的话，一算的话，这人其实就是s+3的这个人的平方。然后这个后面部分呢，提了一个x+3提了这个人，然后再减去二倍的x+2。好这个人，然后这个部分要小于零，所以说这个时候是ess加减加上三，然后这个时候是s方。加上多少6s6s，其实只用加4s，然后这是三三得九，

你三三得九的话，其实减几啊啊加上五。好了，这个结果它是小于零。你再来看这个人，这b方减4 AC这个人啊，这是b方的话是16，你减去4 AC，这是小于零。对吧，那这个部分呢？它的德尔塔是16-4ac，那这个人很明显小于零，而且开口朝上，那开口朝上。

然后你这个人小于零，你永远都是大于零，所以这个部分呢，永远是真，你这个人永远是真，你只要这个小于零就行。所以说它的这个范围啊，应该是负无穷到负三啊，正确答案选几啊选一。好了，这是这个问题吧，我们就讲到这呃，当然你带纸的时候啊，你可能要带好几个纸。你比如说你带了一个什么，

你这个东西你得进去去看了，你要是比如说我带一个负二，我会带着几，比如说带如果带半天没有带出来，你还是直接看就行。好，这个题啊，我们就讲到这。过去了，可以吗？来继续吧啊，这个题不难呐，你怎么做都行，来继续我们再来看看下面这个题方程根和函数零点的问题。那这种题啊，

我再把这个事情啊，我们再做总结，因为在昨天的时候我们讲这个。把这个东西啊，我们再梳理一下。好，我们来看看方程根和函数零点的问题。来看看这种问题啊。这种题啊，是绝对的简单题。因为它的做题思路啊，如果是一个方程根或者是一个函数的零点问题，它的核心重点还是研究这个函数图形的性态问题吧。那心态就是你什么时候增，什么时候减是怎么样子，

所以核心重点是研究这个函数的什么性单调性。这是你的重点，我要研究清楚了这个函数的单调性，所以做题步骤怎么来第一步先看函数定义域。然后接下来求导。你求导完了之后的话，你看。一求导，我发现一阶导数正负分明，什么意思呢？就说等于零的点和不可导点都能找到。而且我还知道在哪块是正哪块是负我就划分区间段，然后再来看看端点。所以这种题非常简单，就看定域，

然后进行去求导，找到驻点和不可导点划分区间段，然后再来判断这个端点处的情况就行。我昨天上课还讲过，那么当然这是一我们在三九六同学的考题当中的大类问题。当然，如果还会出现这种情况，那万一一级导数求完了之后。你正负性看不出来怎么办？如果看不出来，你就继续求二级导图。二阶导数看不出来，就继续求出三阶导，直到哪一阶正负性看出来为止。看出来之后啊，

再去找上一级v0的点，就这样。但是这种类型问题啊，在我们三九六同学的这个真题当中考的稍微少一点，我们的重点是什么？我们的重点是这个部分。所以你看我在这个部分呢，继续去讲这个。讲这个数一数二数三同学的课程和讲我们的课程呢，不太一样。你来看看这两个区别，这是我去讲数一数二数三同学的这个真题班部分内容，我们还是研究这个图形的形态。但是你发现破题步骤呢，你要看定域，

然后看单调区间，如果一阶导数的正负分明的时候，你就要求出一阶导数为零的点和不存在的点，划分区间段，然后出来。但是一般情况下，数学一和数学二，数学三同学一定一阶导数看不出来，很少能看出来有个别能看出来，但是基本上都看不出来。那看不出来，你得进行去怎么办？你得去求二级导，三级导导到正负性出来为止再回推，所以你看看他们这些题啊。

基本上而言，运算量都比较大一点，所以一般情况下，这个一下是很难出来的，你都有可能要倒两下倒三下。这就是我们的命题的趋势和区别好这个问题啊，继续回来。能想清楚吧，好那么接下来我们来看看这个题，你来做吧。研究这个方程的根不就是研究这个函数等于零的点吗？就是研究这个函数的零点。所以说这个时候我来把这个函数令出来，令这个fs等于多少呢？是三倍的s四次方。

然后再减去四倍的s三次方减去六倍的s方，加上12倍的s- 20，然后这个s属于r。好，这个人那做到这一步了之后，我们就继续，我们再来看你，求一下导你一求导的话，这是12倍的I三次方。减去12倍的s方，减去12倍的s你，加上12有这么多的12，你是不是就可以提出来了？三次方减平方，然后减去s，

再加上一，你看前面这个人提个平方就是s- 1，这也是s- 1。那一下就出来了，所以说这里面当中，你看你提一个平方，这是s- 1，然后这个部分又是s- 1，很容易看这个部分就是多少？那其实就是x方怎么办？你减个一，然后再来是x- 1，所以最后结果就是x- 1^2 x+1。那这个求导完了之后去找到什么呢？找到这个注点没有不可导点，

所以就是一还有这个负一。那找到这些点了之后，我们来看我们就可以划分区间段了，然后你稍微写你负无穷到多少负一，然后这是负一。负一到解到一，然后这是一一到正无穷，你稍微的画一下意思一下就行，然后再看。那这个人呢？他永远都是正的，然后这个永远都是正的，你就看这个人，你这个人上去了之后，这个焦点是负一呀。

所以说负一之前是负的，负一之后都是正的。然后这个部分等于零，因此这个人是减你这是增，然后这是增，然后这是什么？这是不取，这是极什么值极小值？所以现在我们其实大致的这个函数图像就出来了，你把这个大致的这个图像你稍微进去，你描一下，你来看看这个情况。y这是s这个图像。那么，现在我从负无穷要减到负一，

我就得看看负无穷的极限是多少。那么，同学们告诉我，这个负无穷极限是多少？你要看端点啊。极限是几？那这个极限的话，你发现这是四次方，这是三次方，二次方，一次方常数，那老大是谁？老大是你啊，你说了算。你把负无穷带进去了之后，

这是正无穷，所以说你是正无穷。然后你还要看看这个负一处置，那负一处置的话，第一个人是几，这是三，第二个是加上四，然后第三个是减去六，第四个人是减去12，然后再减去20，这是多少？这是负的多少？31那所以说这个时候你就发现这个负一处等于这个人你减下来。然后我们再来看看下一个事情，你还要增上去，

增上去再看端点，那就是正无穷，你正无穷，还是要看这个人看老八。那这个老大是往哪跑呢？往正无穷跑，所以说他还是正无穷，因此这个人呢？又一次往正无穷跑，所以有几个人呢？有两个零点。正确答案选。几选c啊？好了，这个题啊，

不是特别难，如果这个部分学不好，你可以进去去重点看看冲刺救命班，就是昨天那个部分的课程的这一节。你把这一节啊，你重点进行去突破一下就行啊，非常简单，你下次遇到这种题啊，你一定不能丢分。好了，这个点呢，我们就讲到这来继续吧，我们再来看看11题。来看看原函数的概念。那11题这个人呢？

他重点第一句话，他说这个人的原函数是他，这是爹吧？所以说这个fs其实就等于多少，就等于这个人的导函数先不要算出来。先不用算出来，一会儿需要算再算，不需要算咱就不算，所以现在而言，让我们去算是什么0I零到这个是is乘上这个人的定积分。你发现一个事儿，这是零到一，这是I4，你碰到抽象函数，导函数，

立即凑到后面去凑微分的过程是积分过程，凑到后面去分布积分，这非常常规的思路。那就是两项相乘。把零和一带去，再减去两项调换位置，然后变成这样，所以说现在这个结果呢，把一带去的话，其实就是f撇一。然后零带去是零，然后这个积分的话是fs把零和一带去那，所以说这个结果的话其实是f撇一，然后再减去多少f1-f零。好，

这个结果那，然后我们需不需要算呢？那需要算那需要算就算呗。那这人是多少呢？那这人刚好是先对中间变量求导，中间变量再求导。是不是这个结果好，这个fs，然后我们再来算一下这个f撇s？那f撇s的话，这个人就是呃前面进行求对吧？这是这个人，然后后面不导致四倍s方。然后后面求导是二二倍的一的x次方，然后往里面带把一带进去多少一带进去的话，

这是四倍的。四一，然后再加上二一。然后再减去f1是多少f1是二一f零是零，你所以说这样一减呢，你最后结果就是四一答案选c。啊，这个题还行吧，普通的运算你要敢算，你就算就行了，你别慌。所以下一次考试啊，我希望同学们每个同学在做题的时候稍微的平心静气一点，稳一点，比你那么着急的进行做题啊，

我觉得效果好很多。好，这个题再讲一个吧，我们讲完这个题休息吧。可以吧，再讲一道，看看这个题。那这个题啊，它说下列式子当中不正确的是。哪个是不正确的？比较好做的，应该是a选项和b选项。a选项和b选项是积分线是相同的。被积分函数是不同的。所以说这个题考比较定理，

因此这里面当中AB选项是比较简单，你只需要比较什么？比较这个x在零到一的范围内。谁的被积分函数大？那零到一的范围内的话x很明显比平方小，你加上负的这个人呢，你肯定就要怎么办？你这个平方就大了呀。原本是平方小，你加个负号，它就大，然后这个时候你加个e呢e的负s，然后就小于e的负x方。那这个时候谁大呢？那还明显是后面大，

那后面大的话，那这人是对的。这个题比较贱的一个问题就是不正确的，是我们再来看看这个基本的不等式，当x大于零的时候。这个人是怎么办？小于s的吧，而es- 1是大于s吧，这是常见不等式，还记得吗？我们那些常见不等式，这是一定要记住的。这无论是强化班还是这个基础班，我们都做过这个重点的总结。而且是图像，

怎么去记忆？还记得吗？没有问题啊，你比他大，这个人对。然后再来看看这个c选项c选项，这两个人呢，一个是派到二派，一个是领导派，但是你发现e选项这个d选项好办。d选项呢，因为你发现你看你这个人是个对称区间吧。你这是个对称区间，然后塞一个负s进去了之后，这个人不动，

这个人多一个负号，这个整体是个奇函数。你塞一个负s进去，这个人多了一个负啊负号，这是个奇函数，那奇函数这一项等于几等于零？而我们再来看看这个d当中的这个部分，你看这个部分是正的耶。而这个范围是多少呢？是二分之一到一一，在这二分之一到一，这是负的。那你这里面负的话，这个部分是小于零的。那小于零，

这是等于零，你肯定比它小，没有问题。对着吧，好这个点出来了，那么接下来我们再来看看这个c和e。主要是这个c和一。c和e怎么做呢啊？这个点的话，其实我们在上课的时候讲的还比较多。那考到这个里面当中的这个信息点是这样的一个问题。就是这个e的负s。就这两人。它这个积分线是不一样的，这个函数的图像会画吗？

这个图像。这个图像会画吧，这个前面这个东西是振幅。所以说这里面我把这个大致的这个图像就画出来了。你来看看这个图像。那振幅呢？巅峰值就是e的负s。低谷达到负的一的负s。那所以我们来看它，其实就是零到派到这儿。派到二派到这，这是派，这是二派，所以这个时候你就会发现派到二派的这个部分呢，它是负的。

然后林道派这个人是这个太简单了。这个题都没有进行去操作，这个题只用看正负性。因为你发现派到二派，这是小于零，你这个人是大于零，你说这个人肯定是对的。那么，接下来我们再来看看最后一个人，你最后一个人也一样，那这个部分只不过是负的这个什么一的负x方？然后是三印方，三印方就是把那个三印图像往上翻一下呗。它没有负的部分。所以现在我们来就来看看这个图像的情况。

这个人这个人图像怎么画？这是个偶函数吧，偶函数的话，你画一半。越大越小，你就是画一的负s倍，然后再对称过去就行。然后这个部分呢？它这个是三一方，永远是正的，永远是正的话，你看你这半边是这样，它倒排。然后这个是派到二排，你肯定这个范围变小了呀。

你既然这个东西变小了之后，你很明显前面这个东西更大一点，后面要小一点，应该是这个方向，这不对。所以，正确答案选几啊选e。嗯，可能很多同学。跟我们学习时间比较长呢。啊，都很能理解我们在这个题目当中的设置。像这种需要一个一个判的，我很明显基本上很多情况下喜欢把它放到d选项和e选项。所以有些同学猜测了这样的一个心理，

你不要这样，你不要这样，你可不要这样，如果在最后一场考试的时候，你还是一个一个的做。你不要说哎，我这次从一开始做，我一下就出来了，你别这样。好了，这个问题啊，我们就讲到这。可以了吗？不要这样，没有这种规律，

别这样，能听懂吧？你可别记住这章一个问题，你最后命题的时候，你还是一个一个的判。别乱来好了，那么这个题啊，我们就说到这行吧，休息会吧，一会我们再继续。好，休息会吧。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册