18.冲刺串讲18-2

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 17:08:37

我们再来看看这个，后面几个题啊呃，这题做完了没有？选几啊啊这个题。嗯，可不可以发去年的不不不用的，这个不用担心，这几天因为我补了很多东西啊。你最好用这个最新版的。而且之前不也有这个吗？你就按照这个冲刺讲义，然后进行去复习也行。好了，我们来看看这个吧，来继续。

来解那么在这里面，他给了一个事情，给了一个行列式，然后让我们去求解这个第四行。歌元素代数与子式之和，我们求的是什么呢？求的是这个第四行。啊，他不应该告诉你对吧？然后求解这个人，你求解这个人怎么做呢？我们来看第四行第一个。第四行第二个。第四行第三个。第四行第四个。

你坐下就把这个第四行换成系数。那前面这个东西不变的。你看前面这个人。好，我们来看看。你就尽心去求一下这个行列式。把这个第四行怎么办？把这个第四行你换一下就行，换成它的系数一。然后一换的话是一一一。好好求解，那这人怎么求啊？其实我们这种题啊呃，比较简单。你看这个题，

你一眼瞅过去，在这一行当中，只有这个人不为零，你就展就行。那或者是我看到第一个人。这一点当中，如果把四这个人变成零，我又可以占。所以这里面当中怎么办？你就直接展那，所以你要注意，如果是这个四×4的，只要这里面当中出现三个领悟就可以展。那展的时候非常简单，来展一下。

按行展那一展的话就是负六。你再乘上，这是第几行？这是第三行。第二个代数余子式，然后剩下部分的话，其实就一。啊，这约掉一。四零二负一二，然后这是一一一这个结果。然后就做成这样，你做成这样了之后我们再看。这有一个零，如果在这一列或者这一行再出现一个零，

我又可以占了。那所以说这个部分怎么办？我继续这是一四零。我把这个第二行，我把第三行的这个负二倍加上去，就上面减去下面的二倍一减二倍。一减二倍，一减二倍，所以说这个结果就变成多少，这是一一哎，出现两个零了，你出现两个零，你怎么展都行。你可以在这里面当中，按照这个展。

没有任何问题，那我们来展一展的话，这是六，然后这个一乘上三呃，这个是负一的三+3，那就是正的。那直接是上面这个结果，上面这个结果是多少负三，所以等于负的18这个。那正确答案选几啊选a啊，这个结果。好了，这个题啊啊，不是说特别难，那去年的考研真题当中啊，

也考了一道这样的题，那所以像这种题啊，一定要会做。行列式的这个基础运算呢，还是比较关键的。那么这个题我们讲完了之后，我们再看一道吧。这个。好，我们再来看一个题。你们瞅一下这个题怎么做？来看一下这个题。呃，这个题讲义上没有。那稍微瞅一下。

它给的一个什么n×n的一个方针。然后说所有代数余子式的加和。就是你要知道这个东西是什么意思？这个意思的话就说，如果你这个I=1的时候。一的时候，这要从一加到n，其实就是a一一a一二a一三，然后一直加到a1n。你还要讲，如果I=2的时候a二一a二二a二三，然后一直加到多少？a2n好，这个结果。然后我们这个人怎么办？

要一直加你加到多少呢？如果这个I=n的时候是an 1。an 2，an 3，然后一直加到多少ann？那这个结果等于多少呢？那么，首先我们先来看看这个第二行。那第二行只需要怎么办？把这一行的元素统一换成几啊？把这一行的元素都换成一，如果换成一的两行成比例行列式等于零。第三行就换这个第三行。把第三行全部换成一又成比例又等于几啊，又等于零。

你若是最后一个呢，把这一行元素全换成一，你换成一了之后，这成比例它又等于零。那所以后面这些人呢，他都是等于零，那只有一个人是有效，就是把第一行换成几，第一行换成一。如果把第一行换成一，它就变成了一个上三角形行列式。对吧，上三角形行列式。那这个结果就等于对角线的元素，这个人的成绩就是一。

那所以说这些人加和等于几啊，就等于一。你看这个题，所以它的灵活性呢，它不是说特别难，它灵活性是有的，就是你在这里面当中，你要看得懂这个题目在问什么？如果你看懂这个题，问什么很快就出来了。所以这个题是很符合我们三九六同学的出题标准的，巧妙度比较高。好，这个题啊，我们就讲到这儿。

然后接下来我们再来看看一些非常特殊的行列式。啊，特殊性的行列式，那么在这些行列式当中啊，你都需要把它给我记住。好，我们先看第一个主对角线的。好，我们先看第一个。主对角线。啊，这条腿就行。那这条对角线下面都是零。这叫上三角形行列式。然后这是主对角线的，

它的上面都是零，这叫下三角形行列式。那这种情况就等于对角线元素的沉积。然后你发现如果两边都是零呢，这叫对角行列式。对角行列式。哦，这个人啊，你可以不知道他的名字，但是你又会算。你能听懂吗？我们又不考这种名词解释。你要是就知道这个名字，你又不知道酸。就跟有些人才开始学习一样，

脑子里面就知道，哎，我知道这个拉格朗日，我知道这个柯西，我知道这个泰勒，我知道这个什么什么定理，我知道那个定理那个定理是什么？那个定理到底在解决什么问题，你就知道那个名字有什么用，你宁肯不知道这个名字，你会算这也是能力。好了，这个点呢，我们就讲到这，然后接下来我们再来看看负对角线。

好，再看这个问题。那这个负对角线呢？来看看这个人。它是这种好这个情况。那这个情况负对角线的话，你发现这是负对角线的上三角。然后这是负对角线的下三角。那这个结果等于多少呢？它等于负一的二分之n乘n减一，不要把这个系数背错了。然后是负对角线元素沉积。然后下面这个东西呢，它叫负对角线的对角行列式啊，对角，

然后这个结果也是负一的二分之n乘n减一。对角线元素的沉积。好，这个问题我们就说到这可以吗？啊，这两个东西非常简单，然后接下来我们再来看看下一个问题，你像这种行和相等型的行列式。这种东西我们考的非常多。靠的非常多。就这种行和相等型，但是这个东西啊，我不建议大家背。啊，不建议你背那这个人特点是什么呢？

这个特点其实就是除了对角线以外。都一样，那这种东西怎么做呢？既然你发现，你看你每一行都相等，加起来相等，我就让你这一行加起来。我怎么让这一行加起来呢？你就把这一列加过去，这一列加过去，这一列加过去，这一列加过去。能想清楚吗？你就把这一列的1倍加过去，一倍加过去，

它就加起来了。那么，同学们告诉我，加过去这个元素变成多少？这个元素变成了a+n- 1个b。那么这个东西就有一个公因子，就可以提出去了，然后这是n- 1个b。那这个时候这个行列式，它就变成多少？它的第一个部分就变成了一。我们来看看，所以现在的话，这个行列式它就变成了一。这个元素。

变成了一。那这个行列式接下来怎么做？我就以第一行为基准。第一，行为基准。把第一行的负一倍加下去。负一被加下去，你给我看这一项变成几零？这一块都变成零，然后这块变成了a-b。然后负一倍再加下去，你发现看这是零，然后这块儿都是零，然后变成了a-b。然后再把负一倍加下去，

你再来看这变成零这是零，然后只有最后一个元素是a-b，那你告诉我是不是就变成了一个上三角形行列式？有多少个a-b？那刚好有a-b的n- 1次方。这个所以有些同学做这种题做的非常快。总结啊，当然做的很快。因为脑子一转的话，我就知道哦，把这些人都加到前面去。都加到前面去的话，它是多少提出来都变成一都减，上面都减上面你比如说我举个简单例子。你看，

比如像这种。xxx你经常做吧？我们考研很喜欢考这种。那这种情况怎么办呢？你把它都加到第一列，我就知道诶，这块提了一个s- 2，这个不要背啊，然后这都是一一。好，这个情况，然后这个时候你加到第一列，再按第一行做。第一行做的话，以第一行为基准。

减去上面是零，这是x+1，这是零。减去上面是零，这是零，这是x+1，所以说这个最后的这个结果是x- 2倍的x+1，这个人的平方。你看是不是出来了，所以掌握住这种东西的做题套，我们很喜欢考这个人呐。太喜欢烤了。你经常会出现这种题，经常会出现这个行列式。所以一定要把它掌握清楚好了，

听明白的给我回复一吧。不仅仅要会，而且要做的非常快，要做的快，而且做的准，而且要算的对，这是一种能力。然后接下来我们再来看看下一个问题。再看第四个点。你看这个。喜欢考吧，这东西啊，在这个数一数二数三那个卷子当中好多年都没出现过这种题目。但这个人呢？我们贼喜欢考。

我们真的好喜欢出这种题。范德蒙好，没事。那范德蒙行列式啊，我觉得两个事情。两个问题，第一个点，你要注意了。这个公式不要背。啊，不要背，所以首先我觉得这个掌握范德莫行历史啊，两个信息点，一个信息点的话要会辨认。范德蒙航律师。

对吧，你又会辨认。你不认识他，那可不行，你首先要认识他。你听懂我的意思吗？你又会认识他，人家这个人是从什么？你看这是一。一次方。n- 1次方，人家是从什么东西呢？从零次方开始。要注意。不是从一次方开始，

人家是从零次方开始。从零次方，然后到多少到n- 1次方，第二事情要会计算。不需要进行去背，上面这个人你会计算就行。那么在这里面，我们来看看这个问题，比如说我们随便出一个。啊出一个，比如在这里面当中，我们来看看一个事情啊，出一个什么？比如说这是。一二。

平方三次方一三三的平方三的三次方一。四四的平方，四的三次方，1 xx平方I三次方。好，这个人那么同学们注意，它有可能是这样出。你要把它横着写呢，有没有区别？比如这个人是一二二的平方，二的三次方，一三三的平方，三的。一样的，因为转职之后行列是相等的，

这无所谓，所以范德蒙行列式不一定说啊，我一定要竖着写，横着写一样。横着写，竖着写，它是没有什么差别的。这是无所谓的，你最重要的点睛之笔是要知道它是从零次方开始。好了，我们看看这个人怎么算怎么算呢？来第一列关于二，第二列关于三，第三列关于四，第四列关于x。

那所以说怎么办？一个一个的来，先选二来背三减，然后背四减。然后再怎么办？被x减。没用了，然后接下来再怎么办？选一个三。三怎么办？被四减被s减。好没用了，最后一个事情，这个四被减就行。反正每一个人都要被检，

但不交叉，对吧？挨个检，但是你得选一个顺序。你也可以选这样的一个顺序好了，我x倍减我四减s我三减s我二减s。啊，这是没有关系的。你找一个顺序，你可以找这个从左到右，从右到左选择一个顺序就不要不要不要不要进行交叉就行。你会计算这个人。啊，这个计算非常重要。好了，

这是这个事情，我记得我们在基础班的时候啊，讲过一道题。这个题目。好，我们来看看基础班当中啊，有一个题。啊，这个。这个题那当时这个题啊，还是一道比较经典的一个题。你看这个题。然后我们干嘛呢？然后我们进行去计算它。对吧，

计算这个人。那计算这个人的话，你就会发现。我怎么算它呢？对吧，你就要计算这个人。你这个东西的话，你其实你看起来非常的标准，就是二二的平方，二的三次方，三三的平方，三的三次方。四四的平方，四的三次方。这都已经有范德蒙的样子了。

但是就缺一个零次方。也就说你这个人要变成什么二的三的四的一的。你怎么做呢？哎，我一看我把第一列加下去。我加下去了之后都变成十。都变成十的话，就可以把这个十提出去。提出去了之后就是一一一。一一二二的平方二的三次方，一三三的平方三的三次方一。四四的平方，四的三次方，这是一。那这个时候，

范德蒙就出来了，但是他没有满足范德蒙的这个顺序。你翻到蒙的顺序的话，一定是这是一次这二次这三次这是零。你得换那到底调换多少次呢？其实这个题啊呃，你可以进行去想想这个事。不就是把一二三零调到零一二三吗？这不就是逆序数问题吗？所以说接下来我们来看看这个逆序数。那这个逆序数的话，其实就是零个零个零个，然后前面几个比它大三个要调换几次，要调换三次。调换三次的话，

就要出现三个负一。负一的三次方，然后就会出现一一一二二的平方二的三次方。一三三的平方三的三次方，一四四的平方四的三次方。好，这个人对吧？就做成这样，所以说这个前面的话是负十，我们选一个吧。然后是一二三四一倍减。一然后被三减二被四减三，然后二被减，这是一四，这个被减，

它是二。然后这个被减是一。所以说这个最后的结果是多少？负的120。好，这个结果能想清楚吧？好了，这个fine的孟航律师。对吧，这是一个基本问题。但这个题的话，其实你发现没有，我们上次考的那个模拟卷那个题啊？考的难，我们上次模拟卷里面当中考的这个题里面当中有一个题啊，

比这个题目说实话要难度系数啊，要更大一点。我们来看看，就这个题。大一点呢，也不难。啊，这个虽然说大一点，也就大了一点点啊，这个题。你看这个题。你其实很多东西应该会做这个题，但是这个题啊，你就是把知识点给忘了。稍微进行去琢磨琢磨，

你也做过这个题，然后你看这是二的平方二三，这什么二三四的？然后就差一个别人了。然后我发现这是二。这是四，这是八，这是16。二四八十六三五九十七，这不刚好相差一个。一吗？把这里的负一被加过去。那加过去了之后的话，这个人就变成多少二二的平方二的三次方二的四次方。然后是三三的平方，

三的三次方，三的四次方。四四的平方，四的三次方，四的四次方，然后这是一一一。好了，这个情况。那这个人的话，其实就变成了一一的平方，一的三次方，一的四次方。然后这是范德蒙吗？只不过这是把范德蒙竖着的写成行的了吗？不是的。

范德蒙一定要从零次方开始。所以说你发现我就要在这一行提纲。我提杆。然后再把横的写成竖的，这没关系啊，转置一下，有二的零次方，二的一次方，二的二次方，二的三次方。你看你得提个，你不提的话，这个人就做错了。你再提一个，你提个三，

你再把它转过来，三的零次方三的一次方三的二次方三的三次方。你这再提一个四的零次方，四的一次方，四的二次方，四的三次方。这是提个四提个一一的零次方一的一次方一的二次方一的三次方。好，这个结果那所以现在就变成饭德王了。然后这个前面是多少？四六二十四。这是二的，这是三的，这是四的，这是一的，

来三减二。四减二，一减二。然后是四减三。一减三。然后是一减四。一算就行。好，这个题啊，我们就讲到这。所以一定注意范德蒙考虑是保证几个事情呢，它必须是一个人的零次方开始。不要把它搞反了，必须是从一个人零次方开始，从零次方开始啊，

他才可以。好，这个问题啊，我们就讲到这，然后接下来我们再来看看下一个拉普拉斯，好像是啊拉普拉斯。拉普拉斯行列式其实是一个分块的问题。你看是个什么问题呢？它是这样的一个点。就是你这个行列式。然后这一块是个方阵。必须是方的。然后这一块必须是光灯。然后至于你这块方不方，这无所谓。

然后这块必须是零。好，注意红色部分必须是方的，然后这块必须有一个零。那我们再来看，那这是方的，这是方的。然后你这个方不方无所谓，这块必须全为零。然后的话，这是方的，这是方的，两边这个部分全为零。哎，这个情况。

那这个人的话，他就会等于a的行列式乘b的行列式。取行列式必须是方的，不是方的不能取行列式，所以说这个东西就做成这样。能想清楚吧，你看这是这样的一个下三角，这是这样的一个上三角，这是这样的一个对角。好，这样的一个问题，注意啊。我再说一遍，这个方不方无所谓，但是你必须保证a和b方。

我写到这儿。a与b必须是方针。然后拐角处。就是角落处必须全被点。哎，角落处就是角落处，必须全为零。这是这个问题。你就包括举个例子吧，比如说我们来看看一个人。比如我们来做。一一二三。四六零一一。然后这是。五一零零。

然后这块是零零零。然后这是六七八一一。那么，接下来我们看看这个行列式，大家告诉我。这个行列式。能不能这样分？能否使用拉普拉斯。能不能可以的？你看有一个拐角处全为零。对吧，拐角处全为零，然后两边都是方的。这个没有任何问题，所以说我们就做成了一二三一四六，

然后这是零一一。再乘上一个多少五零零一这个行列式。然后这个行列式已经出现了几个点了。您出现一个零减去上面减去上面减去上面，然后就出现了几个零，然后就出现两个零了。就可以展了，然后这是五零零一。那所以说这个时候展用一进行展，其实就是这条线减这条线，那这人是多少？这是负一所以说，然后再乘上五。就等于负好了，这个问题你就是保证这两个部分都是方的，

只要有一个拐角处必须为零就行。但是我说一个问题，有的时候有些同学你不要太荒谬，对吧？一二三四五六七八。一一二三一一四六有人做，那太简单了，来分。那就等于这个行列式乘这个行列式减这个行列式乘这个行列，你别胡扯，没这个公式。没有这个东西，你千万别胡扯。有这个公式，我们今天就结束了。

有这个公式，我们今天就结束了。那今天就结束了，今天学的特别轻松。有这个公式，我将来做行列式太简单了，我全都这样做。你可别乱来。没有这样，然后接下来我们再来看。好了，我们再来看最后一个负对角线。负对角线的话，你发现你看必须保证这两块都是方的。保证这两块都是方的。

必须是方的。方的才能取行列式，然后有一个拐角为零。AB必须都是方的。拐角处一定为零。你是方的的话，你就有阶数，你是m阶。你是个n姐。你是方阵就有阶数，然后它等于负一的m×na的行列式，乘以b的行列式。好了，这个结果我们就讲到这。所以说你就会发现这个问题，

你看看这个操作心。好，我把这个点呢，我们就讲到这。希望拐角处必须有一个人是零。然后这两个位置的东西必须是方的。主对角线就是直接乘负对角线，有一个负一倍的m×n。把这个东西该记的东西一定要记住了。好，这个问题啊，我们就说到这，所以这其实就是我们行列式的问题，那么接下来我们先来看个题吧，我们看看幺幺三这个题。

你看这个题怎么做？来看一下这个题。那这个题啊，你稍微进行观察一下。你发现没？这里面当中的零公正不？工不工整。工整吧，你看这个零。如果能送这些林去到一个拐角处。那这个题就可以拉普拉斯了呀。所以怎么办呢？第一件事情让这俩人在一起。让这人在一起的话，调换一下，

那就变成了c零零da零零b。然后是零。CD 0，然后这是0 AB 0。好了，他们在一起了，你看这些零调换两行要加符号。然后这个人跑到这儿来了之后的话，你发现诶不行，我要送到拐角处，没关系，再来一下。这样叫幻想。这样调换一下的话，之后负负得正。

得战了之后的话是CA零零。然后这是db顶点。然后这是零零多少零零db？对吧，然后这是零零c。这个情况好做成这样哎，你这样一做，你的拐角处不就有为零了吗？你看你这块儿全为零。你看你这块儿全为零，所以说这个时候我们就可以分了。就可以拉普拉斯了。对吧，拉普拉斯拉普拉斯的话就等于这个上面的行列式cb-ad，然后下面这个行列式ad-cb。

所以说这个结果它就是c呃，我看看答案吧。答案是ad-cb比较多，所以你就写成ad-cb，然后提一个负号，这样的平方。所以，正确答案选几啊选b。好了，这个题啊，我们就说到这。听懂吗？把这个事情想清楚，你要知道怎么做的。所以这个行列式啊，

就是我们经典的这个拉普拉斯行列式。你稍微把这个调整一下。对吧，你把这两个调整一下，你调整了一下之后的话，把这个全部的零送到拐角处去，你就可以拉了。好了，这个问题啊，我们就说到这。行吧，那么这个板块的东西啊，我们就讲到这。然后这里面当中。是换了两次啊。

添一个不是添两个吗？啊，一次一个符号嘛。两次两个富豪嘛，负负得正嘛。好了，这个事情我们就讲到这。然后这个反馈内容，我们就说到这儿，今天的东西啊，我们就不讲了。然后这里面我说几个事情哎，把几个点你下去好好进行看看。好，我们先来看看这个第一个问题。

呃，需需要下去啊，你要进行去分析几个问题。就是这里面当中啊，下节课你必须要做好这个几个准备，一个事情是矩阵的运算。对吧，矩阵的运算。你必须要知道那么首先第一个运算呢，就是我们的加减法。对吧，比如说呃，算了，我来写吧。那么，

首先第一个事情。呃，我迅速一点，因为有些同学可能下去还有一节课，然后是加减法。然后还有速成。还有乘法。还有这个转置。还有这个伴随，还有这个n次幂，还有这个逆矩阵，那么下去想想几个事情。第一个事情怎么算的？对吧，怎么算的第二事情，

它的性质有哪些？呃，这块东西的话，最终问题就是计算的东西啊，全部都是计算东西，你把这个东西啊，你一定好好看一看。今天没有别的课吗？啊，行吧，你下去复习吧啊。老有同学说我拖堂。行吧，下节课再说吧啊。这是这个问题，

你所以下去啊，把这几个点呢，你自己好好看看。那不前几天都有吗？有同学还反映说这个。说说说，我们拖堂。啊，我不是想把这个东西给你讲完吗？啊，你还有别的课程呢，而且这个数学的东西你一定要在脑子里面，还要进行去温存一段时间啊。好了，这是这个吧？

矩阵的这个运算。下节课再说吧，下去把这个加减法这几个东西当中的这个运算呢，把它好好进行去看看。对吧，这是这个问题，然后接下来我们就来看看这个第二事情，你还要进行去重点要看几个问题，那就是初等变换的这个问题。和初等矩阵。啊初等矩阵，初等变换。所以把这个东西啊，你自己再看一看。那么然后第三个问题其实就是矩阵的值。

我们下节课的核心重点，我们就看这三个问题，一个事情是这个怎么去算啊？这一波问题啊，我们肯定会出一个题。然后这块儿有个题矩阵的制啊，是一个重点，而且稍微会难度系数大一点点，我觉得到了今天啊，也不是一个特别难度系数大的一个部分。那行吧，那么今天课程呢？我们就讲到这。嗯，下节课吧，

这这这两天已经这个曲库已经已经穷尽了啊，好下节课吧。可不可以下节课？呃，下节课是什么时候？下节课是周一是吧啊，下节课。可以吗？好。那么今天课程呢？我们就说到这，所以下去把它好好做做，那么今天的话，我们概率论已经结束了啊，概率论。

概率论已经结束了之后啊，现在这个线性代数，那么下次课程讲完我们这个线性代数当中的一半的东西就没了。你可想而知的话，其实你回到最后其实没有多少内容。把这个问题好好处理处理，然后要保证一个事情，我们讲义上的题啊，你必须都会独立自主做，我还是那个事情。我不怕你上课的过程当中，你学不会，我就害怕你会忘，对吧？啊，

不要再忘了，你再忘的话，这个。每次考完之后的话，你发现我一讲哦，原来是那个我知道你这都没有用，不要再忘了啊。行吧，那么今天课程我们就讲到这，自己下去把这个相关性的问题好好处理处理吧，我们已经进入到这个线性代数也是最后一个板块内容了。那么再过这个呃，应该是后面还有两次课程吧，然后后面两次课程结束了之后，我还有一个小时的那个什么，

就是那个边边角角的知识点，我给你串一下。然后接下来你们就可以进行去全方位的复盘，包括做模拟卷了。能理解吧，所以说下周啊，我们就会把所有的这个问题就结束了。东西就这么多。内容点就这么多，然后接下来你就可以通过这个做模拟卷，然后进行修修补补，比如我做了这次模拟卷，我发现诶我错了五个题。我就找到这五个题所涉及的知识点，是不是我忘了呀？

是不是公式遗忘了？是我这个运算在这一步当中做的不是特别好。这个运算的技巧性没有把握住，还是这个题型方法给忘了，我们就把这个东西啊，你再捡回来就行。能理解吧，就是你错了几几个把它捡回来，错几个捡回来，然后通过这个十套卷子，我相信应该是能把你自己的漏洞啊，能补的非常非常的完整。好了，那么今天课程我们就讲到这可以吧？好，

下节课继续吧。我不唱这个歌呢。你别闹啊。好，那么今天课程呢？我们就说到这儿好，下一个见。

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