03.矩阵的定义与计算-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:54:12

好了，我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没问题啊，我们就准备开始了。好，大家这个声音没问题吧？好了，那么接下来过程当中，我们就继续开始我们的线性代数的基础班部分内容呃，上次过程当中啊，其实我们已经把这个第一章过程当中的核心知识点全部讲完了。

那么今天我们就正式的进入到新的一章，但是我们在正式讲这个新的一章之前呢？我们还是来把这个第一章部分的内容啊，我们先做一个回顾。呃，包括上节课过程当中啊，有几道作业题啊，我来跟同学们继续去讲一下，讲完了之后啊，然后接下来过程当中我们正式的进入第二章矩阵部分内容。好吧，同学们好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看第一章的问题，那么其实你发现一个事情在第一章的过程当中啊，

我们的核心重点讲了几个问题呢？那么，在这种当中啊，其实核心重点就讲了四个问题，第一个事情叫做行列式的定义。然后接下来我们又讲了行列式的性质，然后第三个事情我们又讲了行列式的展开性的定义。展开定理，那么最后一个事情，我们又讲了特殊行列式的计算。所以说在第一章过程当中啊，核心重点就这四个事情，那么在这四个事情当中啊，我们今年的过程当中考研的时候会出几个题呢？一般情况下，

在第一章的时候啊，一般就是一个或者两个题，所以接下来过程当中，我们一起来看看吧，先来看看第一个类型问题。啊，怎么了？好了，我们来看看这里面当中的第一个点啊，第一个事情那么行列式的这个定义，那么行列式的定义啊，你发现一个事情什么叫行列式呢？行列式啊，是一个数对吧？我在乎的是这个东西的一个结果，

那么这个东西是什么呢？它叫做来自不同行。哎，不同行。不同的。元素。乘积等。代数和所以说你发现一个事情，什么东西叫做这个人定义呢？他定义就是这样，来自于不同行。不同的元素，乘积的代数和你们不要着急，这个事我知道哪块没讲啊，你你好好听课就行。

好了，这是这里面当中的一个基本问题，然后第二事情我们再来看看行列式的性质，五大性质，第一事情叫做转制。对吧，转置的性质，然后第二事情你发现一个事情叫互换的性质，然后第三个事情我们又叫做被乘的性质。啊倍乘的性质，然后最后一个事情，我们再来看看，还有一个倍加，还有一个是拆分。或者叫加和的性质，

所以在这种当中啊，你要注意一个事情，行列式啊，总共拥有五大性质，第一性质转制之后啊，行列式不变。调换两行行列式要加符号，调换两列行列式也要加符号，如果进行去数乘一定是什么情况？单行单列乘。我只能给这一行乘，或者是给这一列乘，只能是单行单列乘，某一行乘上k倍加到另外一行，你发现一个事情，

那这个结果它是不变的。那当然，某一列乘上k倍加到另外一列呢？你发现一个事情还是不变的，那拆分这个事情啊，今天过程当中我们会讲矩阵的拆分。矩阵的加和，所以说一会儿过程当中啊，你要进行去对比一下好了，这是一个重点内容，然后接下来过程当中，我们再来看看，展开定理。那展开定理啊，由暗行展开。

也有案例展开。那按行展开按列展开，这是两种问题，虽然是两种问题啊，计算的结果是一样的，你选择这一行展开。选择这一列展开，你的原则是什么呢？哎，零比较多。所以说在这种当中啊，你发现无论是行还是列，原则是一个什么问题呢？就是零比较多。如果你发现个事情，

这里面当中啊零夺，我就按谁斩，比如说第一列的时候零夺，我就按照列第一列斩。然后第二行零多，我按照第二行展，反正你发现一个事情，哪一个部分的零比较多，我就按照谁展开。好，这是一个基本问题，然后再来看看特殊行列式，那这讲了好几个第一个事情，你发现范德蒙行列式。哎，

范德蒙。那么这个东西啊，其实我们在考研过程当中可能会考，对吧？也不难，就是一个基本问题，首先第一件事情你要知道什么叫做范德蒙行列式。你注意一定是从零次方开始，这是要切记的，从一个人的零次方开始。然后到达什么东西呢？到达这个人的n- 1次方一定是从零次方开始好了，这是一个内容，然后接下来过程当中它怎么算的呢啊？你发现就是第一列关于谁，

第二列关于谁，第三列第四列关于谁。然后依次相啊，这个相减，然后再做乘法就行啊，我相信没问题啊，好了，第二个事情我们再来看看行和相等性。行和相等性。那么，像行和相等型的这种行列式怎么做呢？如果是每一行相等，我就想让这一行相加起来，我们就把它加到第一列。加到第一列，

然后再提出公因子，提出公因子了之后，再按照第一行来做，然后进行去高斯消元就行了。啊，非常简单，那如果在这种当中，你发现如果是列和相等型呢？那这一列相等，我就想把它加到第一行，再提出公因子，反正你就知道一个事情，如果是这一行相，等我加到第一列提公因子。如果是这一列相，

等我加到第一行，提出公因式，反正这个操作就是这个内容很简单吧。所以上次过程当中啊，可能很多人觉得说哎呀，这个东西好麻烦，但是你回头看呢，其实内容点难度系数不大，就是你掌握住了这种类型问题的做题方法。你就进行去用这种做题方法处理这种题就行好了，我们再来看看下一种叫什么叫做爪形行列式。哎，爪形那么这个东西呢，就是去一条腿就行，对吧？

你这个这个爪子去掉一条腿。怎么运去呢？用中间这条斜线一一进行去攻击，然后进行去一条两条腿，然后这个时候啊，你发现就变成了上三角或者下三角了。好，这是一个问题，然后再来看看这个事情，还有一个叫做点斜行列式。那这个东西呢？应该是跟点走对吧？点在哪你就按照哪展开就行，这叫点斜行列式，然后最后一个事情最难的一个问题叫做三线行列式。

那么，这个三线行列式啊，有几种情况呢？尤其是平行的三线，对吧？在考试过程当中啊，你发现尤其是这种平行的三线。平行的三线行列式，那还有一种三线行列式呢，它可能是这种。对吧，这种三线行列式，这也叫三线行列式，其实爪形行列式呢，也叫做一个三线行列式，

但是爪形行列式的话，你就发现非常特殊。所以我们读成一拍，把它单独抽出来作为一个题型，所以像这种爪形行列啊，这个什么三线行列式怎么做呢？这里面当中有一种非常重要的方法，叫做递归法。哎，递归法有没有下去过程当中把上节课最后一个题再做一下？应该做了吧，那这里面当中啊，我来建议同学们一个问题啊。你要是看的慢呢，你就多写几个。

对吧，你要是看的慢，你就多写几个，你比如说上节课过程当中的这个题，你再看的时候不难了吧？那所以说大家注意啊，这个第一遍的学的时候啊，难度系数大，你稍微学到这个东西，你觉得哎呀，稍微有点困难，那这个很正常。你只需要再来把它继续去复盘一遍，整理一遍，我相信这个内容啊，

你就把它拿下来了好了，这是这个问题，你看上次过程当中还有同学说，那我就不用这种方法了，我用什么东西呢？逐行相消不就行了吗？消下消下，但是你会发现一个事情很明显，递归法要更简单一点。所以不要这样对吧，你学第一遍的时候，你先把它切进去，你下去再整理一下，那这个东西就非常简单了，好，

这是这个问题，那么接下来过程当中啊，我来跟同学们去讲一个问题。好困呐。嗯，那赶紧睡觉对吧啊？这个下午我们这边马上要下雨了啊，这个天气非常适合睡觉。好吧，好好休息啊，好了，这是这个事情，那么接下来过程当中，我们来看看一个重点内容，我来跟同学们讲一个问题叫做。

线性递推式。啊线性递推式。的万能处理方法。好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个事情啊，线性递推式的万能处理方法呃，对我们三九六同学啊，你只需要会一种就行了。叫做移向的线性递推式。所以接下来过程当中，我们一起来看看这个事情吧，来操作一下这个问题，什么叫做线性递推式呢？线性递推式就是这样啊，

注意啊，一向的线性递推式。比如说dn这个人等于a倍的dn- 1，加上b。而且他会告诉你什么，他会告诉你一个手相。对吧，他会告诉你一个首相，然后进行去处理这个人，那这种东西怎么做呢？非常简单，创造等比。大家注意啊，它的方法就非常简单，叫做利用什么，

利用这里面当中创造等比数列嗯。创造等比。处理利用待定系数法创造等比数列。那么，接下来过程当中，我们先来看看第一个问题，怎么进行创造呢？呃，讲之前呢？我还是来把等比数列先复习一下吧。有点不放心啊，这个有些同学可能复习过程当中啊，你发现后面东西会了，然后这个等比数列不会了，什么叫等比数列呢？

就是你会发现一个事情。这个后项跟前项之比啊，哎，这个东西是个常数。所以说你会发现一个事情这东西啊，就叫工笔。对吧，这能叫公比，所以在这种当中等比数列，比如说第一项是a，第二项就是aq，第三项就是aq方aq，三次方aq，四次方一直写下去。是不是这个事情好了，

那么接下来过程当中，我们一起来看看，像等比数列啊，你发现一个事情，它的通项公式是什么？它通项公式是这样，这是第几项？这是第n项，这是第几项？第一项，然后乘上公比的n- 1次方。没问题吧？那如果在这种当中，你发现这是第二项呢？第二项就乘上公比的n减几，

你看这是n这是2 n- 2次方。如果这是a3呢，那这人就是n减几次方三次方能理解吧，如果这个东西是am呢，那就是q的n-m次方。这会吧，这太基础了好，这就叫等比数列后面项和前面项之比啊，是一个常数，那叫等比数列。那等比数列的通项公式啊，怎么去写？你要会好了，那么接下来过程当中，我们一起来看看，

像这种线性递推式啊，如何进行去创造等比数列呢？非常简单，大家好好听，我们来分析一下。它这种做题方法是待定系数法怎么做呢？他这样做，你这个dn呢？和这个dn- 1。你是不是想进行去创造出来什么情况？就是den怎么样？对吧，然后的话，你发现一个事情dn- 1也怎么样？是不是这个情况，

你就想创造出来这种情况，然后两者之比是个常数，所以我怎么做呢？我们是这样做，就是这个dn呢，我也不知道移过来多少个数。我也不知道移过来多少个数，反正你把这个b当中啊，某些部分的数移过去，移过去了之后呢，你发现个事情，这个dn- 1啊。这一项也跟这个人一样，而你发现一个事情，这个前面这个系数啊，

它是没有动的，所以说仍然是AB。它就这个方法，所以你发现看我也不知道移过去多少个数。对吧，我也不知道移过去多少个数，移过去多少个数了之后的话，你发现一个事情，这后面这个人呐，跟前面这个人是统一的。然后这个a是没有动的，所以说你发现其中是什么情况？其中，这里面当中的ax这个人减去前面的x=b，所以说我顺手就可以把这个x解出来。

能理解吗啊，这是高考的压轴题嘛？很多省份当中啊，高考压轴题就喜欢这样考啊，现在的话，你发现这种题啊，也考不到压轴题了，这是一项递推式，还有那种两项递推式，我们就不用学了。对吧，学到这差不多了，这已经算拓展了，对吧？已经算拓展了。

你像这个高中的过程当中，你还做过这种dn- 1，加上必备的dn- 2，你像这种题啊，这种题也可以做，比如说这里面当中啊，我们来看一个题吧，来操作一下。呃，比如说我们出一个题，你来把它给我做一下。比如说有一个题的话，你发现它告诉你dn它等于多少呢？你想随便写吧，你想写多少？

比如说四倍的dn- 1+9行不行？可以吧好，我们写成这样写成这样了，之后的话你发现，而且这里面当中告诉你de=1好，让我们继续去求解这个dn怎么求啊？来一起看，这是一项递推式吧线性递推式，我们的做题方法在草稿纸当中，我也不知道移过来多少个人。你发现dn- 1这个人跟他顺推。而且你发现这个系数是没有动的。所以说在这种当中，待定系数法下，那这个4s减去前面的s不就等于九吗？

马上解出来s等于几三？哎呀，这个题出的真好。刚刚好，而且还是整数，我随便出的啊，这个说明今天的过程当中出题的运气还挺好，那这人呢，就立即等于多少？四倍的dn- 1再加上三好，这是这个事情，所以你就会发现个事儿，你看dn+3比上这个多少dn- 1+3，这两者作比刚好是四。那就说明什么事情，

马上就可以说明，那这里面当中的dn+3为什么东西啊？为以什么东西呢？以三为公比。的等比数列。是不是这个事情啊？它就是个等比数列，所以说这件事情啊，你发现立即就出来了，我这一项比上这一项等于四，我不就是个等比数列吗？那既然是等比数列，我们一起来想你就会发现这个dn+3，这是第几项？这是第n项吧？

第n项就等于首项，首项是第一+3，那这人是不是第一项啊？然后再乘上多少？四的n减几次方n- 1次方，所以说这个东西啊，立即出来了，能理解吧？好了，这是这个事情，所以说这个dn呢，马上出来。这个d1等于几？这个d1刚好等于一哎呀，这是四这题出的真好啊，

这又是四那既然是四的话，你发现个事儿，这人就变成了四的N次方再减个三。能理解吧好，这是这个事儿，能听懂我的意思吗？哎，这个事儿。好了，这是这个问题，所以你会发现一个事儿，你看这个人就刚好是什么东西呢？以几为公比呢？以四为公比的一个等比数列。好了，

这个题啊，立即出来了。你会做了吗？哎，基本点啊，像这种依次线性递推式啊，怎么去做万能方法？你可能看一些书籍的过程当中啊，它有可能没有这一项。对吧，就没有这一项，没有这一项的话，你发现从这一项直接到这一项有些都蒙了，说这个东西怎么做的哦，这个东西一过一个三刚刚好。

那为什么刚刚好呢？对吧，所以说这一点点呢，你要把它想清楚，它里面当中啊，一个背后的逻辑啊，就是这个东西。所以我相信你把这个东西会了，你又可以做好多高中题了啊，这是这个事情好吧，那么这个点我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们一起来看看吧。上次过程当中啊，还有个题，

我把这个题啊，我们来讲讲。看一下这个题。好来做一下这个题。看这个题怎么做？那么，首先，我们先来观察一下，这是一个什么样的行列式？那这个行列式的话，你发现看这是一条线，这是一条线，这是一条线。那很明显一个事情，你发现这个内容是什么？

是一个三线行列式。那三线行列式可以怎么做呢？去掉一条腿。但是你发现你看这个题去掉一条腿啊，非常的麻烦，那非常麻烦，我可以怎么做呢？我可以使用递归法来做。对吧，递归法，我把这个人叫什么呢？这人叫做n阶行列式dn，所以说在这种当中啊，这人是dn。那dn可以怎么办呢？

我可以利用行列式的展开定理，把这东西展开一下，那展开的话，你发现你可以按照第一列展开，也可以按照第一行展开。你是选择第一列展开，还是选择第一行展开啊？你选择什么展开呢？我当然选择远一点的。不要选择太近的，你想想一个事情，太近的话，你发现这个人的一个什么代数余子式不太好看。远一点的话，你发现代数余子式反而好看，

所以说注意啊，选择远一点的。哎，选择远一点的会比较好，所以我们选择第一行远一点有什么好处呢？远一点的话，你看你把这一列去掉，这一列去掉它的代数与子式是好看的。所以接下来过程当中，我们就可以操作了，那就是二倍的第一行第一个。然后中间这些部分啊，都是零，然后再加上最后一个人二倍的第几行第一行第n个代数余子式。所以接下来过程当中，

我们一起来看看吧，那这里面当中如果是第一个人呢？去掉这一行，去掉这一列。去掉这一行，去掉这一列，你发现没？这条线还是二。这条线还是负一，这条线还是二。那么，同学们思考一下这个内容跟原来这个东西长得一样不一样。一样的对吧？它的主对角线都是二，然后这条对角线都是负一，

这条线都是二，长得一样，只不过是少掉第一行，少掉第一列。少掉第一行，少掉第一列，我把这人叫什么？叫做dn- 1。那么，接下来过程当中，我们再来看看这个人，这是负一的n+1次方。那么，接下来过程当中，我们再来看，

然后接下来就是少掉这一行，少掉这一列。少掉这一行，少掉这一列的话，你发现一个事情，这个内容是什么呢？这内容不就是个上三角形行列式吗？先是上三角形行列式就是负对角线啊，这条对角线。负一它的n- 1次方。所以说这个结果立即出来了二倍的dn- 1，然后这个结果呢？你发现你看这样东西一乘刚好是负一的2N次方，所以说这个结果立即出来了。跟上我的意思吗？

基本点啊，把这个事情啊，你要想清楚好了，这个时候啊，你发现一个事儿，我立即就得到了递退式。那这个递推式是谁呢？这个递推式就是等于二倍的dn- 1，再加上二，那么同学们告诉我一项递推式是不是需要一个首要条件啊？需要一个首项条件，那这个首项条件在哪呢？去掉一行一列叫做dn- 1，两行两列dn- 2，那你把前n- 1行都去掉，

就留下这个人。这不就是利益吗？所以你会发现一个事情，那这个题啊，立即就变成什么题了，就变成我们刚才做的这种题了吧，那这种题的话，你发现非常简单。怎么做啊？一向递推式，然后进行去创等比就行了，来我们来做一下，在草稿纸当中写，然后这个dn呐，我也不知道移过来多少个人。

然后就变成了二倍的dn- 1，然后再加上x，所以说这个时候你发现你看这个2 s-s一定等于后面这个系数二，所以s等于几等于二。那因此我们就可以写了den这个人立即是加上二，它就等于二倍的什么东西呢？den- 1+2。那这个时候我就知道了哦，原来这两者之比啊，它是二，因此你会发现这个东西呢，是以二为公比的等比数列。二为公比的等比数列，你会发现个事情，这是第几项？

第n项那第n项的话，然后再写个第一+2，这是第几项？这是第一项。那第一项再乘上多少？再乘上QQ是几呢？q是二二的n- 1次方，所以说这个人呢，你就把他写成这样了。能理解吧，所以说在这种当中dn就等于多少呢？那这是二+2，这是四四的话，一乘是二的n+1次方减个二出来。好，

这个方法是不是很好做？所以你发现这个递推式的这种方法有的题啊，真的是非常简单啊，很好做，你像这种题啊，对我们三九六同学算。拔高一点的题啊，这个题好了，这个四三八这个题啊，我们就讲到这过去了，可以吗？应该没有问题了啊，基本点来那么接下来过程当中，我们再把这个上面那个题啊，我们再来讲讲啊，

这个题。好，再来看看这个题。呃，说实话啊，这个题啊，可以考给我们。就这个题。这个题很简单。这个题可以考给我们。就是你发现这个题，如果你没做出来，你这个观察你可能没观察好，你要观察好这个题非常简单。那么，

首先我们先来看看这个事情，你看第一行当中啊，只有这条斜线。斜线当中是一二三一直到n对吧？这条斜线是一二三到n，然后剩下的全部都是二。那全部都是二的话，你发现一个事情，哪一行最简单？当然是这一行。这一行是最简单的，对吧？因为你所有剩下的人都是二，那么如果怎么办呢？你发现一个事情，

你看这个dm。假设我以第二行为基准。对吧，我以第二行为基准，第二行为基准的话，你发现这个负一倍加下去。除了这条斜线之外，大家注意啊，除了这条斜线之外，剩下的人都一定会变成零。所以说你发现你看这条斜线，现在变成几现在这个斜线变成一。能理解吧，然后你再加下去了之后的话，你看因为之外的这些人都是二都是二，

所以说负一倍加下去都变成零，只有对角线，然后这条对角线呢就是一。然后这是二一直到多少呢？一直到n- 2。能理解吧，剩下的部分都是零的，全部都是零，所以说这个结果就做成这样了，这一二二然后的话，你发现都是二。那么，现在什么情况呢？你现在你发现看这一行都是二，我可以提一个公因子出去，

提一个公因子出去的话就变成了一一一，这是一。那么，同学们再瞅你发现啊，这个人已经快到这个什么上三角形行列式了，已经非常快了，但是你发现最尴尬的一个问题就是。这一项现在还不为零。那这项不为零怎么办？把上面的负一倍加下去，它就变成零负一倍加下去，那这人就变成负一负一倍加下去，负一负一倍加下去，负一。所以说这个人呢，

立即就变成这样了，那变成这样了之后的话，同学们，你发现一个事儿，他不就变成了一个上三角形行列式了吗？那么，这个上三角形行列式做成这样，你做成这样了之后的话，你发现一个事儿不就是二，然后这是负一，然后再乘上一乘上二乘上三，一直乘到多少n- 2？所以这个结果就变成这样，就是负二倍的n- 2的什么阶乘。好，

这个结果出来了吧？啊，基本题啊，这个题的话，你发现就需要观察，你稍微的话会观察这个题非常简单。因为这个题我知道，除了这条什么东西呢？斜线之外，只有这条斜线之外。剩下的部分全部都是二，那全部都是二的话，你发现个事儿，我就用这个东西进行去列，把这东西一列就出来了。

对吧哎，你发现一个事，我通过这个东西，你看我负一倍加下去，把这些二都变成零负一倍加下去，把这些人都变成零。立即出来了好了，这是这个事情，听懂吗？啊，基本点。好了，这个东西不是说特别纠结的点啊，你能操作出来就行，不是说特别难啊。

行吧，那么这个问题啊，没有说哪个更快？你说这个题哪个哪个更快呢？哪有什么哪个更快？那所以说这个操作性的话，很快的话，眼睛飘一飘就出来了啊，好了，这是这个点吧，我们就讲到这啊，基本问题了。这是我们讲的这个四八二这个题，那么接下来过程当中，我们就继续，

我们再来看看下面的问题好了，你们不用继续去讨论这个问题了。当然，也可以以第二行为基准，不提供因子也行，也可以做，你只要把这个拐角处变成零就行了，像这个东西啊，已经非常非常的简单，这个题已经没有什么难度了。最有难度系数的点就在这儿，已经把这东西讲完了，剩下的东西啊，你爱怎么做怎么做，你想怎么做怎么做怎么做都行。

所以说这种点不是啊，这个你能这个就说我觉得不不值得我们拿过来进行去讨论一下的啊。好了，那么接下来过程当中，我们再来看看这个最后一种题型，那么上次过程当中啊，刚好讲到这个问题，那么下面过程当中啊，还有一个题型。啊，就是梯形六。那么，这个题型六啊，那么接下来过程当中，我们继续，

我们再来看看最后一种那么像这种啊，我们考试可能还喜欢考。什么情况呢？照规定。那这种找规律的这种类型问题啊，它就非常重要的一个问题，就是你需要进行去观察。大家注意啊，你得去观察。你得进去去看看，你看看这个东西到底是个什么样情况，你得进行去观察。所以像这种问题啊，我们在考研过程当中还挺重要。那么，

接下来过程当中，我们来看看这个题吧。那这题什么情况？他说这个人为fs。那这个fs=0的根的个数是多少？大家想想一个事情，我是不是要求出这个fs？你求这个fs的话，你发现这里面当中的x越少，肯定越好。越少越好。你能怎么少就怎么少，越少越好。所以接下来过程当中，我们一起来看看那这个问题怎么去处理呢？

我稍微观察一下。我发现这是x2s3s4s，这是s2s3s4s，这s2s4s5s。哎，你发现一个事情，这每一列非常的像啊。所以我怎么办呢？我就把这一列的负一倍加过去。对吧，你把这一列的负一倍加过去，这是s- 2，这是2 s- 2，这是3 s- 3，然后这是4s。

把这人的负一倍加过去的话，你发现一减一减，然后这一减呢？这是一。然后这一减呢，值是负三。对吧，所以你发现看负一倍加过来就相当于这一列减去这个人一倍，然后接下来过程当中我们继续，我们再来看。负一倍继续，你再加过来，然后一减，这是零一减，这是零一减，

这是s减二一减的话，这是s- 7。好，我们再来，那这个时候的话，你发现看这个人再减这一列呢，这一减的话，你发现刚好是多少？这是负一一减，这是负一一减，这是多少一减，这是负二。一减这是负三。那么，这个东西立即做成这样了，

所以你看非常非常的简单。那么，既然做成这样的话，之后我们继续来看诶，这一类目当中，刚才我们说了x越少越好，零越多越好嘛。零越多这个行列式就越简单。对吧，你x越少的话，你发现求解这个函数就越简单。那么，接下来怎么办？我们再来瞅一下，我发现了一个事情，

你看这是一一，这是负一负一，这怎么这么好呢？那么接下来过程当中，我们就把这个什么？把这人的1倍加过去，把这人的1倍加过去了之后的话，你发现一个事儿，这是x- 2，然后这是2 x- 2，这是3 x- 3。然后这是4s，这是一一一负三，然后这是零零多少s- 2，然后这是s- 7。

那这时候你发现看我立即把这人变成零，这人变成负一，这变成负六。好，我就做成这样，那么大家都知道一个事情，如果一行当中啊，只有一个不为零行列式的展开，非常简单。那现在再来看你，发现这一行的过程当中已经有两个零，你再干掉一个零负一，刚好干掉一，然后再来一个零，那就太完美了。

所以说接下来过程怎么办？我们把这个第二行的负一倍加上去，就用第一行减去第二行一减的话，你发现这是负s。一减这是零，这是零，这是零，然后这是2 s- 2，然后这是一，这是零，这是零，然后这是3 s- 3，这是一，这是s- 2，这是负一。

然后这是4s，这是负3 s- 7，然后这是负六，好做成这样了，那么做成这样了之后的话，你发现看。只有第一个元素不为零，第一行是不是可以展开了？第一行展开的话，你发现我就用负s进行展开。只需要负s展一展的话，你发现就这个人乘上他的什么东西啊，乘以他的代数余子式。然后是凌晨代数余子式，凌晨代数余子式，

凌晨代数余子式，这些人都没了，所以说只留下了剩下的这个行列式。对吧诶，因为这个人的代数余子式刚好是负一的，一+1只剩下一个余子式呃，就做这个人就行。然后接下来你发现一个事儿，你看这一行又是怎么办？又是只有一个一，剩下都是零，我继续按照这人展开。所以接下来过程当中，我们再展一下，一展的话，

你发现就可以处理了，因此你发现就是负s，然后剩下这个行列式，剩下这个行列式多少呢？是负六倍的s- 2。然后再加上多少x- 7？所以接下来过程当中，这题就立即出来了，好，我们来操作一下，那这人刚好是多少负s，然后这是。12然后的话，这人刚好是五，所以说在这种当中提出一个五，

然后来一个负号x倍的多少x- 1。那么因此你发现一个事情，这个函数就出来了，那这个函数出来之后让它等于零=0了之后啊，你发现一个事情等于零=1。因此这个人呢？有几个人呢？有两杆正确答案，选b好基本点就出来了。那这就是这个题的一个操作性状态，就是你一定要会进行去观察。对吧，一定要进行去观察，你好好进行，把这个东西进行观察，

你观察出来之后啊，然后怎么办呢？一定要注意啊，零越多越好。对于这个题而言x这个人呢？越少越好。好基本点。但大家注意啊，这样做啊，稍微的会麻烦一点点，如果这样做的话，你发现两分钟内啊，三分钟内啊，可能做起来稍微的麻烦一些。所以接下来过程当中，

我们得补充一个知识点，那这个知识点呢？呃，你可能把讲义往后面翻一点点，它就出来了。应该是在讲义的话，你把这个讲义往后面翻一些。翻到这里面，当中有一节叫做分块矩阵，那分块矩阵呢？后面当中有一节叫做分块矩阵的行列式。你把这个东西啊，你翻到这一页，那么接下来过程当中，我们再来补充一个内容，

叫做拉普拉斯行列式，那么其实同学们注意啊，在中间当中啊，一步就出来了。好，那么接下来过程当中，我们来看一个考点，大家注意啊，这个内容啊，我们先提前学。诶，提前学拉普拉斯行列式。哎拉普拉斯行列式，我们先提前学啊，分块矩阵。

那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个问题吧。拉普拉斯那拉普拉斯行列式的话，你发现一个事儿，这个东西是个什么样的行列式呢？我们一起来看看这个人，他这样说的。就说啊，如果在这种当中，你发现有一个行列式，这个行列式啊，我们可以怎么办呢？把这个人进行去切分。切，

分成什么呢？切，分成这是一个方形的框。然后这一块也是一个方凳。然后这一块的全部都等于零。这块无所谓。哎，想怎么样怎么样，大家注意啊，我再说一遍。一定是什么a这一块是方的？be这一块呢，也是方的，然后这个这一块呢，全部都是零，

然后这一块我们比如说举个例子啊，你看我出一个人。也有一个行列式，然后这里面当中呢，这是五四一二，然后你看这都是零。对吧，然后这是一二一三，然后呢？这是四五六七。那这时候的话，你发现一个事，它什么情况呢？就说如果我把这个人进行去切分，对吧？

你看我进行去切分，我切分一下，我切分了之后的话，你看。这一块的话，全部都是零。对吧，这块全部都是零，然后这一块是a，这一块是b，这一块是c，对吧？无所谓，反正是这种情况。或者而言的话，

你发现考试当中也有可能是这种，就说你这块是方的，这块是方的，然后呢，这又一块是零。这块无所谓哎，这种情况也行，类似于上三角和下三角，那么当然在这里面当中也有可能什么情况呢？这一块是a，这一块是b。那么，也有可能什么你这两边都是零。都行，像这种情况，

它就等于多少，它就等于第一块的行列式乘以第二块的行列式，哎，就这个情况。这就叫拉普拉斯行列式，所以说你发现个事，你看这就是我们说的那个a的部分，这是b的部分，这全部都是零的部分，这是c的部分。所以说这个时候啊，它的结果就等于五四一二这个部分，然后再乘上多少一二一三这个部分。所以说这个时候啊，马上这个东西出来了，

因此你发现这个结果是多少？这个结果的话，你发现二五一十，然后这个结果是六，然后。然后这是一结果出来了，等于零。能理解吧，哎，基本点啊，那不一定啊，不一定是偶数解，我都没有说偶数解嘛，你想想不用加条件啊。不要讲好了，

这是这个问题，当然在这里面当中啊，你发现一个事，你比如说我再出一个。比如说这是六，然后这一块都是零，然后的话，你发现一个事情，这是三四，然后这是五，这是六，这是一，这是二啊，你看看这个人。那这个人也是这样，

大家来看啊，我也可以按照这来分。哎，这来分，但是同学们一定要注意一个事情，一定要注意一个问题，你这个东西必须是方的。这俩玩意儿必须是方的，为什么呢？因为这俩人要取行列式，必须是方的，我只有这一个要求，我的要求就非常简单，我只要保证。a和b是方的就行了，

然后这有一块全部都是零，这就可以了，你看这个人也可以那么告诉我个事。上面这个人方不方方的，这个人方不方方的，这有一块全被零那就行了，所以说这个结果就等于多少六的这个行列式。然后这是多少五六一二这个人，所以说六的行列式就是六，因此你发现这是十，然后这乘上四，它就等于零。四六，24。能理解吧，

哎，注意一个问题啊，我再强调一遍，我只需要保证a这一块和b这一块，它是方的就行了，这个东西非常重要。只要能保证a这块和b这块它是方的就行了。能理解吧，我再强调一遍，我只要保证a这一块和b这一块是方的就行了，然后这有一个部分全部都是零就行了。一定要注意啊，我再强调一遍，我只要保证a和b是方的，只要保证这一块全部为零就行。

能理解吧，因为这个对角线是要取行列式的，好了，那么接下来过程当中，我们再来看，其实你发现还有一个负对角线，但是我们先把这个题讲了吧。那这个题的话，你看首先第一件事情，我们是不是做到这儿？对吧，做到这一步。当你做到这一步的时候的话，你发现我把这一列加过去，这个拐角就全部为零了。

那这个拐角全部为零的话，你发现一个事，那这个题就很好做了，我就可以把它分了。对吧，我就可以把它分了，因为你这块全部为零，你这块是a，你这块是b，你这块是c，所以说这个时候的话，你发现我们就可以用方法二了一步就出来了。那么上面这个人行列式多少？它是x- 2啊，我算我写一下吧x减二一一二x减几减二这个人。

然后再乘上多少x- 2负1 x- 7负六好这个人，所以说这个结果呢，立即出来了。那就是这条线减这条线那一减刚好是负x，然后这里面当中呢，刚才已经做过了，它就等于多少负x？负5 s+5，所以说提出去就是5s倍的s- 1。好，这个内容立即出来了。但是注意啊，不要发挥。我最害怕很多同学发挥了我们讲一些东西，你要严格的扣着定理走，

你不要发挥有些同学就来了。说那将来过程当中，我们算四级行列式，我太牛逼了，对吧？那我太牛了，那么将来过程当中，比如说我举个例子啊，我们找一个四级行列式。那我将来过程当中，我可太厉害了，我可以怎么做呢？我只要做一个这种行列式的话，你发现我都能这么办了，我怎么做呢？

我在这里面当中，他说我这里面当中，我一分我一分，然后这个部分是a，这个部分是b，这个部分是c，这是d，然后就等于a的行列式乘b的行列式减去c的行列式乘上d的行列式。你不胡来吗？大家注意啊，没有这种要有这种，我学什么行列式性质啊，我学什么行列式的展开定理啊，那你想想一个事情，任何一个繁杂的行列式，

因为有这种方法，你把行列式这章给干掉了。你可太牛了。你注意啊，没有这种。那你想想，如果有这种方法，这多简单，那我讲什么行列式展开定理呀，我要学什么代数余子式余子式，我要学什么行列式性质，我一步到位就出来了。任何一个行列式，你再麻烦任你怎么麻烦？我先把你切割成大的，

大的我再切成小的。大的我再切成，小的我再切成小的，你发现这个行列式成这个人，然后这个人乘这个人嘛，那这个大的话，你发现你再切。所以在这种当中啊，一定要注意啊，没有这个内容，不要乱来，我再强调一遍，它只有这个东西的叫做拉普拉斯行列式。你要注意啊，没有那个人，

如果有那个人，我们这两节课过程当中，我们就不用去学了啊，一定要注意，那么这个拉普拉斯行列式啊，还有一个负对角线的。那么，负对角线的话，你发现个事。啊负对角线的话，你发现这是a这是b。然后的话，你发现有一块是零，这块无所谓，也有负对角线的。

对吧，它也有可能是什么呢？你比如说这是a这是b，然后怎么办呢诶？下面这块是零。那么，在这种当中，也有可能是什么情况呢？也有可能是这块是a，这块是b，两边都是零。好，这种情况那么这种情况一定要注意一个问题啊，我们必须要保证什么情况这条对角线上的人必须是方的。哎，

务必是方的，然后这个人方的话，他的阶数是什么阶m阶这个方的话，他的阶数是什么n阶？所以说最后这个结果等于多少呢？这个结果就等于负一的m×na的行列式。b的行列式，这个算提前学了。哎，我们提前先学后面的过程当中分块矩阵那块的知识点的内容。你发现看这个东西非常好，对吧？我们怎么样进行去分就行了，我只要保证对角线的部分是方的就行了。我再强调一遍，

这多简单的问题，是不是你去你去问一下你，比如说把这个内容啊，你讲给一个小学生，他估计也理解了。就是你只要保证这块和这块是方的，然后这个夹角部分全部都是零就行了，不就结束了吗？哎，就这点要求。好了，这是这个问题，我再说一遍。这个人不是方的吗？哎呀，

你看这个大家这个听课效率啊。好，再说一遍，你这个人是方的，你不就有接触吗？你比如说你是二×2的，你的阶数就是二嘛，然后这是方的话，你发现三×3嘛，那这个东西的话，你发现它的阶数就是三嘛。啊，上课听课的时候注意力集中一点啊。我刚不是讲的吗？我刚说完，

你还得问一下，哎呀。好了，这是这个事情，我们就讲到这吧呃，这个基本问题。行吧哎，这个点。我再强调一遍，你不要去创造人家这个公式推出来的结果，就是m×n。你不知道来一个为什么不是m+n啊？好了，这个点呢，我们就讲到这，

哎呀，这个公式讲起来怎么就那么的困难呢？行吧，好这个问题啊，我们就说到这了。这个基本问题，那么这个事情我们就说到这好了，第一章我们就正式的结束了，那么今天开始啊，我们将正式的进入到第二章叫做矩阵。啊矩阵那么这一章是我们在考研过程当中也比较重要的，尤其是我们三九六同学。那么，如果是数一数二数三同学，可能在这章过程当中考的不是说特别多，

因为更多的而言的话，它是一个基础工工作。但是我们在考研的过程当中啊，我们三九六同学这一章可尤其的重要。尤其一块过程当中，我们讲解的矩阵的运算，比如说我们考研过程当中就可以出一个简单的矩阵运算，让你去算一下。都可能会出，所以在这里面当中啊，一定要抠的细一点好了，那么接下来过程当中，我们来看看第二章的核心知识点。那么，首先第一个问题。

就是区域阵的定义。与特殊矩阵。这个类型问题啊，你发现个事，这个内容不会考对吧诶，你发现个事情，这个内容不会考。因为这个东西是基础，有同学说那我不学了，你不学，你后面都学不懂了。所以说大家注意啊，这个东西算一个基础。那么，这个东西对等什么东西呢？

对等你小学一年级。哎，注意啊，小学一年级，小学一年级的时候啊，你们在学校里面当中学习一个什么，比如说学习一二三四五六。对吧，今天的话，你发现一个事情，或者你幼儿园的时候对吧，今天老师你跟你们一起去讲讲了什么东西呢，讲了我们认识了一二三四五六七八九十好了，这是第一天。第二天的过程当中哇，

我们学了超过十了，对吧？我们去学11，12，13，14，15，16，17，18。对吧，你发现一个事情，我们学习到这儿，学习到这儿了之后的话，你发现一个事情，

然后紧接着干嘛呢？我们学习矩阵的运算。那这个东西啊，相当于我们的小学的二年级对吧？二年级三年级或者四年级。那这个时候我们去学什么呢？我们学习了，比如说你看一年级的时候是学过一二三四五六七八了吧？等你的话，你发现二年级的时候，你们老师说那一+1等于多少啊？一+2等于多少？然后学到三年级的时候，那一×2等于多少？二×3等于多少？

你能理解我的意思吗？哎，就学这些内容。所以你发现一开始的过程当中，我们去学习一些基本的这样的一个知识内容，它的对象是谁？然后紧接着我们去学什么呢？我们学习它的加法。乘法等等运算性质哎，这个类型问题能理解吧好，这是这个事。等你把这些内容学完之后啊，哎，这个东西啊，比较多一点啊，

东西比较多一点。等你把这个内容学完了之后，我们要进行去学习，一个东西叫做分块矩阵啊，这个东西啊，我们的考试啊，不会说特别难。但是最近两年过程当中，可能数一数二数三同学这块内容特别喜欢出啊分块矩阵，然后是什么呢？叫做初等变换。初等变换最后一个事情矩阵的值。矩阵的值。如果你想进行去看你们线性代数，我们到底在学习什么呢？

应该是从这一节课开始。从这节课开始啊，你发现一个事情，我们线性代数啊，你真的能理解这个线性代数非常的巧妙。能进行去把这些东西啊，进行去创立的这些人呢，真的特别的厉害。相当的牛逼，所以说我们这个初等变换呢，还有这个矩阵的制是非常非常重要的两个板块内容。难度系数啊，也会稍微的会大一点点，但是没有关系啊，这不是我由我来讲的嘛啊，

好不用管好了，那么接下来过程当中，我们就先先来看看第一个问题。先讲讲矩阵的第一和它的性质。那么，首先我们先来看看第一个问题，什么东西叫矩阵呢？矩阵是什么呢？那矩阵的话，你发现个事儿，它是个什么内容？原来过程当中，我不知道你还记得吗？原来我们在学习这个第一节课过程当中。对吧，

原来我们学习这个第一节课过程当中，我们学了一个事情，比如说我给了你一个什么东西呢这个。二元一次方程组。对吧，等于15，然后2 x+4 y=94这个人。啊，这是个二元一次方程组。那二元一次方程组在进行去变换的过程当中，好像就是这个人的系数在变呢，那我就怎么办呢？我就把这个系数拿出来。我就把这个系数拿出来。把这个系数拿出来之后啊，

你发现一个事情，这是不是一组数啊？大家想想一个事情，是不是一个数啊？而且是个表吧。是不是啊？既是一个数，又是个表。由数进行组成的表叫数表，那这个数表后来过程当中我们就起了个名，它叫什么呢？它就叫矩阵。你要注意什么叫矩阵呢？矩阵就是一个表当中啊，放了一些数。

对吧，储存的一些数据。我就在这个表格当中啊，你发现储存了一些数据，这是一个二×3的表，两行三列的表，在这个表里面当中储存了一些数据。那么，在具体的问题当中，我们赋予每个表当中啊，它一定的意义，比如说在刚才这个方程组当中，我们就赋予了什么意义？这个位置要乘上x，这个人要乘上y要等于35。

这个人要乘上s，这人要乘上y，要等于94。所以这是这样的一个问题，当然的话，同学们注意，比如说将来过程当中啊，我们也可以做别的事情，你比如再来看。对吧，我们再来看，比如说你发现看这就是一个Excel表。Excel表。这个Excel表的话，你发现你看第一列是什么呢？

第一列是人，但是人的话，你比如说举个例子啊，你看呃我举几个例子，比如说第一个同学叫不摆不卷。第二个同学叫三月甜栗子，对吧？你发现一个事情，第三个同学的话叫木槿啊，这个昔年比如举个例子就是这三个同学。能理解吧哎，就这三个同学，这三个同学，但是你发现你是文字啊，你不是数字啊，

对吧？你不是数字，我们改一下，我们改成序号。比如说你的学号，你的学号就是一二三。然后第二列的话，你发现一个事情，比如说这是你的政治成绩75分，对吧？比如说这是76分77分。然后这是你的英语成绩，比如说这是74分75分，然后这是73分，好比如说这个人，

然后接下来过程当中这是你的数学成绩。啊，你发现一个事，数学成绩，比如说140，141，100这个什么43啊，你们都不是数学成绩了，这是你们的经济类联考的三九六的总成绩。好吧，总成绩，然后这是你专业课139，138，137好吧，这是这个人。

那么，同学们想想一个问题，大家注意哎，请告诉我，这是不是一个表格？对吧，这是一个表格，这个表格里面当中的话，你发现一个事情储存的一系列的数据。对吧，储存了一系列的数据，那么将来过程当中，你发现你看我把这些表格当中的这个边界线给你进行擦掉。我擦掉那么同学们告诉我，这是不是一个数表？

这就是个数表，那么将来过程当中的话，你发现一个事，我看到这个人我就知道哦，这是你的学号，对吧？这一列是学号。这一列的时候的话，我知道这是英啊政治成绩，然后这一列呢是你的数学成绩啊，这个什么啊英语成绩，然后这是你的这个什么三九六的这个经济类联考的成绩，然后这是你专业课成绩。诶，我看到每个部分我就知道它有个对应的这样的一个问题。

能理解吧，这叫数表，那这个数表摆在这儿呢，这也就叫做一个矩阵。这也叫矩阵。能理解吧诶，这也叫矩阵，所以说你发现什么叫矩阵呢？矩阵就是一个表里面每个位置都是一个数。啊，所以说什么叫矩阵呢？矩阵就是个数表。矩阵就是个数表好，这是第一个问题，然后接下来过程当中，

我们再来看看下一个问题，大家来听。哎，再来听你想想一个事情，如果这个表。和我们另外一个表，比如说幺幺幺二四，我们想进行去运算，比如说我们要做加法，我们做加法的时候的话，你发现一个事情，你这样写。你这样写，是不是有点会混淆的感觉？你将来做多了时候的话，

你发现这是啥玩意？这看不出来了，看不出来谁是谁了，所以说同学们注意一个事情，我们就怎么办？我们就用个括号把这人括起来。大家注意一个事情，请告诉我一个事情，这个括号具有运算价值吗？有没有运算价值没有这个括号，只想说一个事情哦，你们是一个整体。它不具有运算价值，它不像我们第一章过程当中学习的行列式。行列式里面当中啊，

你发现一个事情，比如说二四一五。这个行列式是具有运算价值的。为什么一旦给你加上双竖线，我就知道是怎么算呢？就是二×5-1×4。对吧，它具有运算价值。那么，现在这个括号是不具有运算价值的，他只想说，你们是一个整体。你们就是个整体。对吧，你们是个整体，

你们是个整体。跟得上我的意思吗？这是这个问题。那么，在通常而言的话，你发现有两种括号可以写，一种括号是这样，括号圆括号。但是我更加喜欢写成方括号都行啊，你选一种就行，我喜欢用方括号，你要喜欢用圆括号就用圆括号，你喜欢用方括号就方括号，无所谓。这个内容都是可以的，

所以我们首先看看第一个问题，我们先学第一个点，什么叫做矩阵呢？矩阵一定要注意，矩阵就是一个。数表什么叫数表呢？由数构成的表就叫数表。哎，就叫数表。那么，矩阵我们通常用什么表示呢？我们通常用大写字母表示a矩阵b矩阵c矩阵d矩阵。对吧，我们通常喜欢用大写字母表示那么一般情况下是什么情况呢？我来说一下这个问题。

呃，我来说一下，这个点大家好好听一下，一般情况下你发现个事情在这个你通常见过的这个书籍当中啊。他是什么情况呢？他会这样写。你比如说举个例子，这个大a啊，这个大a的话，它会怎么办？它会加粗。你看这个事情，它会怎么办？它会进行去加粗。加粗了之后的话，

你发现代表了这个人是矩阵，但是注意一个事情，你们不需要加粗啊，你们写就行了，你写的a他就知道这是a矩阵。你写的这个b，它就知道是b矩阵，你不用进行加速，能理解吧，你不要在那里面当中写a啊。涂两下AA，这没有用啊，他只会觉得说你是不是写错了，你在这涂鸦呢啊，好了，

这是这个事情。一定要注意啊，我们就在这里面当中，你写的a就是a矩阵好了，那么接下来过程当中，我们再来看看第二事情，这个矩阵呢，未必是方的。哎，未必是方的。能理解吧，矩阵就是一个储藏数据的表格。它未必是仿的。那么有的时候你发现一个事情，比如说这个班上只有三个人，

然后这后面对应的四列。那怎么办呢？难道不能储存了？它不是这样子的。它不一定是方的，不一定是什么情况，不一定是n行n列，它可以是什么情况，它可以是m行n列。所以说你发现一个事情m行n列什么意思呢？这个人代表了行数，这人代表了列数。那么，这个东西未必是方的，所以接下来过程当中，

我们一起来看看这个事，来写一下这个数据吧，比如说m行n列来。第一行第一个第一行第二个一直是第一行第n个。然后是第二行第一个，第二行第二个一直是第二行第n个，你好好听啊，这块内容贼简单，你简单听一听就行了。然后接下来过程当中，继续dm行第一个dm行第二个移植到多少dm行的第n个。好，这就是个矩阵。能理解吧，好这样写，

但是也有种写法，怎么写呢？它把这里面当中的元素写出来。你这个元素的话，你发现这是第一行，第一个第一行，第二个第一行，第n个元素写出来，然后怎么办呢？在外面写了个m×n。它的意思非常简单，就说这个I啊是从一到m这个j啊是从一到n。能理解吧，这两种写法都能代表矩阵啊，这是矩阵的写法的问题，

能理解我的意思吗？好，这是一个重点内容。跟得上吧，基本点啊，所以说大家注意一个事情，遇到一个矩阵呢，它未必是方的。矩阵呢？那个括号不具有运算性质，矩阵是个数表，所以说我们接下来过程当中，我们来进行去对比一下行列式和矩阵啊。所以在这面当中，我们进行去对比一下。

行列式与矩阵。那么，首先我们先来看看第一个问题。你想想，这是矩阵。然后第二事情，这是行列式。那么，在这种当中，我们先来看看第一个问题，你要注意啊，只要是一个数构成的一个表，它就叫做矩阵，它都叫矩阵。好，

我们先来看看矩阵，那么矩阵这个东西啊，未必是方的。对吧，但是行列式呢，必须是方等。你不是方的的话，你就发现没法进行求行列式。所以说接下来过程当中，我们再来看第二事情，它是个什么？它是个数表。对吧，它的结果是一个数。所以说这两人的话，

如果你想进行去对照一下。对照下什么情况呢？这个数表它更加的在乎的是什么？更更加在乎的是它的过程。你这两个表一样不一样，一定要代表的话是每一个位置都一样，但是行列式一样不一样，那么代表的是什么？它的结果一样不一样，好了，这件事情如果你没有看清楚，不要着急。马上我们就来讲好了，那么接下来过程当中，我们先看一个问题，

然后我们再来继续去讲这个问题好了，我们先来看看第一个事儿，我们先讲讲什么叫做同型矩阵。同型矩阵的意思。同形矩阵什么意思呢？同形矩阵的意思啊，它这个内容它是个方的啊，不是方的就是一样大。大小一样。这个大小一样的话，它说的是什么意思呢？就说它的外观是一样的。外观是一样的。什么叫同型矩阵呢？比如说举个例子，

我们先写个a矩阵。你比如说这个人的话，是三行四列。然后接下来过程当中，我们再来看看第二个人。这个人也是三行四列。那这两人呢？他就是一个同形矩阵，对吧？因为我们俩的行数是一样，我们的列数是一样，我们就叫同形矩阵。你要是三行四列，我是三行三列，我们就不是同型矩阵。

能理解吧，好了，那么接下来过程当中，我们就要来看一个问题，我们来注意一个点，那么请同学们告诉我，如果你发现一个事情，两个矩阵相相等。它得怎么要求？矩阵呐，矩阵是什么？矩阵是个数表，那矩阵是个数表的话，你发现一个事，比如说举个例子。

你在这里面当中，我们写个三四五。一二三。跟这个b矩阵，你发现它是三四，然后这是一二，那这两个矩阵相等吗？这两个矩阵肯定不相等。为什么我俩的大小都不一样，一定要注意啊，矩阵的相等指的是一模一样。一模一样，那这两个东西啊，你发现肯定不相等。形都不一样，

那么接下来过程当中，我们再来看。再看一个事情，如果这个a是这样，然后我这个b是什么情况呢？我b是三四一二，然后这是五这是零。一样不一样，也不会一样的。为什么呢？虽然的话，你发现一个事情，你看你这五个数都一样，只有这个数不一样，一个数不一样，

它都不一样。所以大家注意啊，这个刚才一个同学说的非常好，就是复制粘贴。就是如果这两个矩阵一样，它必须要保证一模一样，这个一模一样指的是什么呢？这个一模一样指的两个问题。第一个事情你必须是同情的。第二事情你必须要保证，什么情况你必须要保证，你里面的元素，每一个元素都跟这个元素一样。两个元素的话，你要必须要保证这两个矩阵是一模一样的，

为什么矩阵是一个表数表？对吧，你说我这个表跟那个表是一样不一样，你要保证这个表里面当中的每个位置的东西都一样，它这两个表才是一样。能理解吧好，这是第一个点，所以接下来过程当中啊，我们来看看几个问题，好好听哦，跟上那么如果在这种当中，我们来看看一个方的。如果在这种当中，我们写个五二对吧？或者写五四，

然后这是三，然后这是零。跟我们这里面当中有个b矩阵。b矩阵是多少呢？这是二十零六。好，我们来看看这两人，那么请同学们告诉我，这两个区针一样不一样。矩阵要不要？这两个矩阵当然不一样。但是你发现一个事情，这俩矩阵的行列式呢？行列式，这里面当中就是一个表啊，

就是一个方形的表啊，那这段行列式的话，你发现你发现一个事情，这是零四这个表。然后这个行列式里面当中就是个表二零六十。那这类中面当中，你算一下这个结果是多少？这个结果是20，这个结果呢？也是20哦，这俩是一样，但这俩不一样。那这时候我就知道了，所以你会发现矩阵相不相等，看的是过程行列式相不相等，

看的是结果。那所以说这种东西啊，就是你更加注重过程呢，还是更加注重结果，你要是过程呢，它矩阵的话，一定要保证每个位置都一样。这是矩阵相等，然后这个行列式相等呢，看的是它的一个结果，相不相等，我只在乎你算出来的结果一样，不一样，我管你里面东西一样，不一样的，

你看你这个五跟二不一样，你三跟零不一样，零跟六不一样，四跟十不一样。每个位置都不一样，但是你的结果一样。所以在这种当中，你就会想清楚一个问题，你再回过头来看。那么，这里面当中一个矩阵呢？它是个数表，它在乎的是每个位置的东西一样不一样。而行列式这个东西呢，是个结果是个数，

我只看这个结果一样不一样。大家想想一个事情，你会发现这两者之间有没有什么关系啊？当然有关系。矩阵呢，它那个括号是不具有运算价值的，但是双竖线是具有运算价值的。所以说行列式啊，其实就是对方形矩阵的一种运算。对吧，对方形矩阵的一种运算。那这种运算到底是要干嘛呢？我们将来过程当中啊，可能学到这个方程组啊，你就明白了，

我为什么要这样定义这种运算？所以大家注意一个事情，这个行列式啊，其实就是对方形矩阵的一种运算法则。这种运算法则就相当于我们原来这个小时候进行去学的加法了，减法了，乘法这种也是一种运算法则。今天学的这种行列式啊，它其实是对于一种数表进行的一种运算法则能理解我的意思吗？好，这个事儿你了解到这儿就行。基本问题，那么接下来过程当中，我们就要看一个问题了，来总结一下吧。

大家听一下。如果说什么情况，如果这里面当中a和b。均为什么东西呢？均为n阶矩阵。均为n阶矩阵，指的什么意思呢？就指的是这两个矩阵都是方的，只要说接了，就指的是方的，那么这个方的话，你发现一个事情。如果这个a它矩阵等于b，能不能推出这个人的行列式等于它的行列式啊？能不能可不可以？

如果矩阵相等，能不能推出行列式相等？哎，当然可以。为什么矩阵一样，说明是每个位置都一样，你取得行列式肯定一样。但是大家注意，如果是行列式一样能推出矩阵一样吗？这件事情不行。很显然嘛，我们刚才过程当中去举过这种例子。对吧，刚才就有例子，你刚才过程当中，

你会发现这两个行列式一样，但是这两个矩阵不一样，所以说大家注意啊，这是它们之间的一个本质上的一个区别。啊，基本点。好，这是这个问题，能听懂吧？基本问题啊，来那么接下来过程当中，我们就来看看下面一个问题了，来我们再来学习一些特殊的矩阵。所接下来的内容，你不用去记，

你在讲义上画一下就行，听一听就行了，好了，那么接下来过程当中，我们先来看看第一种情况，领取证。什么叫零矩阵呢？零矩阵就是所有元素都是零你，比如说举个例子啊，我们写个零矩阵。比如说这是零零零，这是几行两行三列的一个零矩阵。有的说那老师我怎么进行去区分这个零和这个零，这你不用管。你比如说考试过程当中，

它这个题答案等于多少呢？等于零这个结果如果是矩阵，你写的零肯定是指的矩阵，你这个结果是个数，你这个零指的就是个数。能听懂我的意思吗？所以说这件事情啊，你不用着急，这个问题我说那我需不需要把这个零进行加速？不需要。不用啊，好这个人，但是同学们，你想想一个问题，虽然都是零矩阵，

比如说我这样写。这俩相等相等吗？当然不相等，两个零矩阵要想相等，必须要保证什么同形，每个位置都要相等。那这两个东西就不相等，所以说不同型的邻居阵呢，是不一样的，跟得上吧？好，这是这个问题，然后接下来过程当中，我们要学习一个问题。方形矩阵，

方阵那方阵是什么呢？方阵就是n行n列，这个n叫什么呢？n叫它的阶数。哎，就叫做它的接触，所以这个非常简单，你必须是方的，另外事情你要注意，只有是方的，它才会有主对角线。它才会有对角线。这条对角线叫什么？叫主对角线。哎叫主对角线好再说一遍，

如果这个人是方的，这条对角线叫主对角线，这跟第一章是一样吧？有同学说那老师那不方，不是也有对角线吗？如果这二四五六七八，这不也有对角线吗？你看我对角线，你这要对啥线呐？你注意一下这个事情啊，这东西不叫对角线。你想去你就去，你不要敲出来，对吧？你敲出来你告诉我干嘛呢？

你想上你上卫生间你就去，对吧？你打出来我也没办法帮你啊，对吧啊？好了，这是这个事情。所以说在这里面当中啊，你发现个事儿哎，这条线能听懂我的意思吧，哎，这条线跟得上我的意思吧，它没有。它只有什么情况，只有方的的话，你发现这条线才会有，

对吧？这每个位置的东西才会有。你要不是个方凳，你这是不会有对角线的哎，这个点一定要听懂我的意思，然后接下来过程当中我们再来看看下面的事情，继续啊。再来看下面一个问题，上三角和下三角好好听课对吧？哎呀。你们这些人，然后再来看，如果这里面当中的话，你发现看这叫上三角形矩阵，然后这人呢，

叫做下三角形矩阵。哎，上三角形矩阵，然后这里呢，叫做下三角形矩阵。好了，这是这个问题，能听懂我的意思吗？注意啊，只有它是方的，它才会有对角线。对吧，只有它是方的，它才会有对角线，所以在这种当中啊，

还有一个矩阵，那这个矩阵呢，我们再来看一个矩阵。这个矩阵叫对角矩阵。先来看看第六个对角矩阵。什么叫对焦矩阵呢？前提必须是方的。哎，必须是方凳，只有这条对角线上有人。剩下的两边都是零，这个矩阵叫什么矩阵？这个矩阵叫对角矩阵，你告诉我个事情，跟第一章一样不一样。

如果是方的的话，你发现上面都是零叫下三角行列式，下面是零叫做上三角行列式，如果你发现只有对角线上有人，两边都是零呢？叫做对角行列式，现在叫对角矩阵是不是一样的？那么接下来过程当中，我要讲一个东西。啊，这个内容非常重要，大家想想一个事情。如果原来过程当中啊，我们原来学的这个什么，我们学习的初等数学。

诶，初等数学。在初等数学当中啊，有一个人，那个人叫什么叫一？初等数学当中是不是有个一呀一有什么效应呢？一×2对吧？比如说一进行乘a是a。a乘上一是a1的N次方是一是不是有个一啊？所以说这是我们原来过程当中小学过程当中学的那个数嘛，你学一二三四五六七八九十里面当中有一个人非常特殊，就是一。乙怎么了？乙乘任何数都是本身。对吧，

一乘任何数都是本身，任何数乘上一也是本身一的，任何次方数都是一，那么到了这个矩阵里面当中有没有一个同等效应的一个矩阵呢？有没有呢？有就是一。也有个矩阵，这个矩阵叫单位矩阵，这个单位矩阵这个东西啊，就跟这个初等数学当中的一的效应是一样的。哎，这个矩阵叫什么？这个矩阵叫单位矩阵，单位矩阵怎么写的呢？我来说一下这个事情，

有些同学比较。这个学东西啊，有人脑子里面，比如说三×3的单位矩阵，单位矩阵是这样，这可不是单位矩阵，这不是啊。单位矩阵是个对角矩阵。单位矩阵是个对角矩阵，只有对角线的元素是一剩下的部分都是零。这才是单位矩阵，要注意下这个问题，那么接下来过程当中，我们一起来看看这个事。这个东西啊，

就相当于初等数学当中的一。所以你会发现个事，你看这个人。哎，就是这个问题。那么，接下来过程当中，我来给你看看几个问题，它的性质是什么呢？它就相当于一的效应。如果有一个矩阵，我乘上这个矩阵呢？单位矩阵呢？跟本身是一样。那这个单位矩阵乘上别的矩阵呢？

哎，也跟这个人一样，这个单位矩阵进行n次幂呢，也跟自己一样。能理解吧哎，你发现这就是它。那么，这个人的话，那么接下来过程当中，我们一会再来讲吧，对吧？一会我们讲到后面的过程当中，我们再来讲，再讲这个单位矩阵的作用。单位矩阵呢，

它就是一个什么，它就是一个工具人。为什么叫工具人呢？一会过程当中，我们再来说。我们来讲讲这个工具人，这工具人有什么特点呢？一会我们再来讲啊，一会我们再说，所以你要知道，如果这个单位矩阵碰到一个矩阵。哎，跟原来是一样，然后这个单位矩阵碰到它呢，跟原来是一样，

单位矩阵n次幂呢，还是单位矩阵这个单位矩阵就像我们小学过程当中学习的那个一一样。哎，是一样的，所以接下来过程当中，我们一起来看看下一个问题，我们来讲讲矩阵的运算好吧，来继续来看。好了，那么接下来过程当中，我们继续再来看看下面一个问题，矩阵的运算，刚才过程当中啊，我已经讲过了，矩阵的相等了。

两个矩阵要想相等，它必须怎么办？它必须要同形。对吧，切相等。且对应的元素都要相等。好了，这是这个人，那么接下来过程当中，我们再来看看第二个问题啊，这个第一个事情我们就讲到这来，那么接下来过程当中，我们再来看看第二事情。矩阵的加法。好，

再来看看矩阵的加法。讲讲矩阵的讲法。那么，这个矩阵的加法呀，它是怎么加的呢？它考虑的是这样的一个问题，一个矩阵加上一个矩阵，减法也一样。那么，这两个矩阵怎么进行去相加减呢？那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个问题，你比如说举个例子，这个a矩阵是谁呢？

我们写一下，比如说这是a1，这是a2，这是a3，这是a4，这是a5，这是a6。它们俩相加加相加，一定是所有的对应元素相加。所有的对应元素相加b1b2，比如说这是b2。然后这是b3，这是b4，这是b5，这是b6。

那么，如果这两个东西相加减呢？相加减就是对应元素相加减。为什么呢？因为这是两个数表啊，你这个表和这个表合起来，每一个对应的位置都要进行相加减啊，这个事情其实非常简单。这a2加减上多少b2a3加减上b3，然后这是a4加减b4。a5加减b5，然后这是a6加减b6。能理解吧诶，这是这个人，所以说你会发现一个事啊，

这两个矩阵之间的相加减，它必须要保证什么东西啊，它必须要保证是同形的。对吧，你前提得同情，另外事情呢，每一个人对应位置相加减，所以说这个东西啊，应该是比我们原来行列式要简单。这比行列式要简单。所以你发现矩阵两个东西相加减，必须是什么东西呢？必须是这两个东西必须是同形，每个对应位置都要相加减。能理解吧，

所以接下来过程当中，我们来看一个事情，大家好好听啊。来走一个人。如果这里面当中啊，我们出一个这个人。这是a，这是a1，a2，a3，a4。我再来出一个b。b这个人是b1B2B3b4。没问题吧？那么请同学们告诉我事情，

请问a+b等于多少？a+b的话就是a 1+b 1a二+b二，然后这种当中的话，你发现a 3+b三。a 4+b四。是不是这人呢？所以说在这种当中啊，两个东西啊，都要进行去相加好，这是这个问题，那么接下来过程当中，大家来给我看一个问题啊。诶，这个人是不是方的呀？是不是方的？

学完定积分。嗯，都行，如果你觉得你时间能调整过来，你听这个线性代数也不影响啊，好了，我们继续看这个人是方的吧？既然是方的，就能取行列式啊，我进行去取行列式的话，你发现个事，这是a1b1，这是a 2+b二。然后这是a 3+b三，这是a 4+b四。

那么，接下来过程当中，我们就来进行去看看这个问题。你发现这个人取可以取行列式吧？那么，同学们还记得吗？行列式的拆开还记得吗？行列式的加减是某些列都不变某一列，然后进行相加减，是不是这个问题？所以说接下来过程当中，我们就可以拆了。假设这里面当中啊，我保证这一列不变。对吧，

我保证这一列不变。保证这一列不变的话，你发现个事儿，我们就是按照什么，我们就是按照单列进行拆单列的话，你发现就变成了a2a4，然后这是B2B4。跟得上吧，然后接下来过程当中，你发现这个人还可以拆，那还可以拆了怎么办呢？你继续拆，你按照这一列补边。啊，这一列不变那么，

然后怎么办？再按照另外一列a1a3这个人，再加上多少b1b3这个人？跟得上吧，然后接下来过程当中，我们再看再按照这一列补边，然后把剩下的东西给我拆开。好拆成这个，那这是多少a1a3，然后再加上b1b3？没问题吧，我一拆就能拆出四项。所以在这种当中，我又来进行去看了一下，你发现没发现其中这里面当中的这一项。

就这个人，他不就是谁呢？就是这个算了，我就用红色写了，那这个人不就是a的行列式，这人不是b的行列式吗？所以在这种当中，我们就得到了一个非常重要的内容，哎，你发现a+b的行列式一般跟a的行列式。假币的行列式不一样啊。哎，这个东西啊，一定要注到笔记上。两个人相加的行列式可不会等于第一个行列式，

加上第二行列式。这是要注意的基本点，那为什么呢？因为中间是不是还有这两项，那如果是三×3的呢？会更多四×4的呢？会更加的多。一一个二阶行列式啊，你发现非常简单的这个东西而言，它都不相等，如果你再麻烦一点呢，它更不相等了。好了，这是一个基本问题，跟得上吗？

唉，我们就讲到这，这是矩阵的什么加法，对吧？两个矩阵的加法，所以接下来过程当中，我们再来讲讲这个人为什么是工具人呢？你听好了，为什么是工具人？比如说有一天过程当中，我们这个a矩阵。我要加上三。能加上伞吗？你这是个矩阵呢。你这个矩阵怎么能加三呢？

所以你发现一个事情来，这人就来了。你看需要它就来了，对吧？充当一的效果它就来了。那么有一天过程当中，你发现一个事情，我a怎么办呢？我a乘上个一。a乘上个一的话，你发现个事情，那这个结果呢？那这个结果的话，你发现个事儿，有了这个人呢？

哎，你看这个人就不要了。能理解吧，这人就不要了，所以说大家注意一个事情，一定要听清楚啊，就说如果这个矩阵加上个数。那加上这个数的话，只能是矩阵加矩阵，需要的时候诶，它就来了。不要他的时候哎，你就走了，所以说一般情况下，如果a乘上这个人呢，

那这人就不要了，就写个a就行啊，所以说他就是个工具人。能理解吧啊，就说有矩阵的时候哎，你发现我不要你了，但是没有的时候哎，你需要来补对吧，所以说你是又是一个工具人。啊，随时待命啊，这个人。好了，这是这个事，我们就讲到这，

听懂我的意思吗？哎，下去过程当中好好进行看看好，那么这个第一个板块内容我们先说到这。我们稍微进行去休息五分钟吧，休息五分钟，然后一会儿过程当中我们再来看看后面的问题啊。好，大家这个调整一下，这个声音好吧？

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