19.定积分的性质（2）与计算（1）-1

罗泽兵 · 发表于 6 天前

好，我回来了啊，回来回来。声音有点小吗？叫我看看啊。现在怎么样了？现在可以了吗？这个昨天过程，这个声音就说小，然后的话，这个我让技术进行去看了一下，然后我刚更新的一个这个软件啊。可以了是吧？好了，那么接下来我们就继续开始吧呃，

下去过程当中啊，把这个上次过程当中作业啊，好好进行完成一下。上次过程作业还比较重要一点，尤其对我们考研过程当中啊，是相当重要的一个核心重点内容好了，那么接下来我们就继续吧。哎，好了没？现在可以了吗？好了是吧？好了，那么接下来我们就首先第一个事情，我们先来回顾一下上次过程当中内容呃，上次过程当中啊，

核心重点讲了两个事情。第一事情我们讲了这个定积分定义，那定积分定义啊，当中啊，其实又有两个内容，首先第一个事情利用定积分定义可以去求数列极限。那么，在这里面当中啊，这个内容就非常的重要，我们来把这个知识点呢，稍微重点回顾一下，还记得怎么推的吗？核心重点考察这个人。核心重点考的都是零到一这个区间，所以在这里面当中啊，

你发现一个事情，我来画一个二维d卡坐标系，然后这是so y面上的一条线。然而，这是零到一的区间上。那么，首先分成四步，第一步先把它分割，分割近似求和取极限，对吧？首先，第一件事情把你进行去分成了n份。分分分哎，反正你分成了n份，分成了n份了之后，

然后在其中取出一份，假设这是第几份？假设这是dk分。哎，底k分那因为底端长度非常的短，我就近似可以把上面这个东西啊，看成平的，所以说就得到了这样的一个情况。是吧，就得到这个人，那得到这个人的话，你发现哪些点的函数值可以做高啊？那首先第一个事情是不是这个点？这一点是n分之k，那这一点也可以啊？

是n分之k减一。当然，这个终点也行，就是左右端点加和再除以二哎，就这几个人那么首先接下来过程当中啊，我们来复习一下那第一事情。如果在这里面当中，你用的什么端点，用的右端点就是用这个点，然后再乘上n分之k的函数值，那这个是这个人的面积啊？好了，这是这个条，那总共有多少个条呢？总共有啊n个条，

我就让这个k从这个一加到n。那这些人就代表了所有条面积，那所有条面积还不行啊，我们必须要保证什么事情，必须要保证n分的无限的大，那这个东西啊，才对应的什么情况，零到一的这个人的面积。是不是这个事情啊？非常简单，当然在这里面当中，你发现一个事情也可以是谁呢？也可以是n分之k减一的函数。对吧，这是n分之一，

然后这里面当中是n趋向无穷大，那这个时候你发现也对应的零到一fs ds。当然，在这里面当中啊，也可以是终点，那终点是谁呢？终点就是二n分之二k减一。是吧，在这里面当中啊，区别点就在这儿，就在这儿啊，有一个人的话就是左右端点加和再除以二好，这是这个事情。那么，做题方法呢？

核心重点有三步，第一步一和，先把这个数列极限写成求和形式，第二步提出一个n分之一，第三个事情再照相。所以说有一个数列极限，有个n分之一，有个求和后面部分呢，是n分之k的函数或者是n分之k减一的函数或者是二n分之二k减一的函数。啊，这些人都行，所以下去过程当中啊，这个内容非常关键哎，考研过程当中啊，是非常重要的，

那么接下来过程当中，我们再来看看第二事情定积分的。几何一那么？首先第一个事情定积分代表什么？定积分可不是面积啊，不要认为定积分是面积。定积分是什么？定积分是绝对面积哎，它是个绝对面积，如果位于x轴的上方，那这个东西与x=ax等b所围成的面积呢？就是定积分。但是如果在下方呢，定积分是面积的，相反数。

所以说定积分可以挣可以付，但是面积永远都是正的啊，所以说这件事情你必须要想清楚，在这里面当中啊，有两个核心重点公式。考研过程当中啊，绝对的重点一个人是零到a，然后是根号下多少a方减去s方的积分。还有一个人是谁呢？是零到a根号下多少as-s^2的积分啊？这两个人呢？一定要会那首先我们先看第一个事情。怎么进行去做这个题呢？把这人看成y，把这人看成y了之后的话就是y，

等于a方减去x方的开方。那这个人是谁呢？这个人其实是一个圆，对吧？圆心在什么圆点处？半径为多少？半径为a的这个圆？所以说这个时候你发现一个事情就画出这个圆零到a的积分，就是这个四分之一圆的面积好，这第一个事情，然后再看第二人，把这人看成y。所以说就得到了y等于根号下as-i次方，如果你去看一下就是I次方，加上y方等于as。

那这个时候你发现它也是个圆，而这个圆是什么？这个圆是个偏心圆，好了，那么接下来我们来画一下，这是y。0x。那这个偏心圆的截距是多少？一个人经过零零点，一个人经过多少a零点，所以说在这里面当中啊，立即就可以做了。那么，这条线就是y等于开方这个点，因为y取的是正的，

然后接下来过程当中零接到a就是这个半圆的面积。好了，这两个公式啊，在我们考研过程当中是非常重要的OK，这样讲吧，你像这个考题啊，就可以出一道两分题。这一考题啊，又可以出个两分题，那么今天过程当中啊，有可能在考研过程当中能出三个两分题。所以说这两节课相当的重要，有的时候在考研过程当中出五个题都有可能哎，你要注意一下这个事情好了，这个问题啊，

我们就讲到这儿。那么，接下来过程当中，我们再来看看上节课又讲的一个内容，叫做定积分的什么性质？那么，在定积分性质当中啊，首先第一件事情，你要区分开一个事儿。定积分和不定积分一样不一样。这两个东西一样，还是不一样？当然不一样。对于一个定积分而言，对应的是绝对面积，

但是不定积分呢？不定期分是在找原函数，再找一个。谁对s求导是我小fs，所以说这个人的结果是个数，这个人的结果是个函数，两者之间是不一样的。那么，首先我们先看第一个点定积分的结果是个数吧，非常的关键，哎，上市过程当中我们考过这个点，然后第二个事情呢，定积分的结果与积分变量的字母的选取有没有关系？没有关系，

一个定几分的话，你发现是一个数，比如说我就等于四，你在这里面当中积分变量选择x。选做t选做什么u选做v都是可以的，无所谓的好了，那么接下来我们再来看看第三条内容，那么上节课还讲过，如果对一级分是什么？就是上限减去下限。好了，再来看第四条内容，如果上下限相等，等于几上下限相等等于零。然后再看第五条，

如果进行曲调换上下限呢？调换上下限要加符号，如果从b机到a跟a机到b，这两者之间呢？刚好错一个什么东西啊？错一个相反数的情况好，这是我们讲的这个五条内容，然后紧接着我们再来看看第六条内容又讲了什么事情，如果在这里面当中，你发现这是a到b。k倍的fs呢？有系数提出去，然后再来看看第七个点，那第七个点的话，这是a到b，

然后这是fs，然后再加减上gs。然后ds如果是加减法呢？加减法要拆开好了，这是我们讲的这个第七条内容，然后紧接着过程当中啊，我们上节课又讲了第八条内容。好，再来看看第八条。不是面积，是绝对面积。你要注意一个事情，你上次过程当中啊，你要注意一个问题，你比如说这个点。

我是从a点击到b点的时候的话，取的时候你发现这个德尔塔就是从这个点取到这个点，那很明显一个事情是这个点坐标减这个点坐标。那这个时候你发现这个德尔塔是正的吧？但是如果从b点击到a点呢？就是这个点坐标减这个点坐标这个德尔塔就是负的了。那所以说你要注意这样这个问题，当然这个点呢呃，你想深究我来讲讲吧，好，我把这个事情稍微的说一下，不然有些同学这个里面当中啊。理解的内容理解不透彻，当然在这里面当中的东西啊，你会用就行好了，

那么接下来我们来看看这个事情，比如说你看。我在这里面当中画一个这个人。我从a进行击到b，我a击到b的时候，我把这个人哎，一直前一直前。你要注意啊，从a接到b哎，也就是从a走到b，从a走到b，那么接下来过程当中，我们算这个条。哎，算这个条那这个条的话，

你发现一个事情，我是不是取了一个点的函数值做高啊？对吧，现在你告诉我个事情，这个点的函数值是不是高？是的呀，因为它是正的。如果从a积到b，那就是从这个点减这个点，这是德尔塔si，那这是正的吧？没有问题啊，那这个时候就对应的面积没有问题，求和是面积再取极限也是面积，但是同学们注意一个事情，

现在而言，你是从谁记到谁？你从b骑到a，从b走到a，你从b走到a的话，你发现我取一个点这个点的函数值是不高？是高，但是你发现从b走到a的时候应该是这个点再减这个点，那这个时候你发现这个德尔塔xi呢，它就是负的了。你两者相乘，它其实就不是一个什么面积结果，然后接下来过程当中求和再取极限也是负的，应该是这个人的相反数。能听懂我的意思吗？

所以大家注意一个事情，从a机到b跟从b机到a这个东西的算法不一样。啊，当然同学们，你稍微理解一下就行，我觉得这个内容你在考研过程当中，你稍微理解一下，脑子一转就出来了，好这个事情我们就讲到这。好，那么接下来我们继续，我们再来看看下面一个问题，还有一个内容叫什么叫积分的可加性，那么在这种当中我们来看看这个事情，你发现这是y这是零，

然后这是谁这是x？好，那么接下来我们再来看，这是x那么在这里面当中，我们给一条线，如果这个点是a点，这个点是b点。我从a7到b这个东西啊，是绝对面积，我可以怎么算？我可以这样算的，我在中间找一个c点，我先怎么办？我先从a机到c，然后接下来过程当中再怎么办？

从c7到b，同学们告诉我这个东西叫积分的什么性，叫积分的可加性，哎，这个内容叫积分的可加性，你看上节课过程当中啊，我们讲这个性质啊，讲的非常多。对吧，前面几条核心重点有几条，这条和这条这两条比较重要，然后中间的话，你发现对一积分上限减下限。上下限相等，等于零调换。

上下限加符号有系数，提出去加减法，拆开具有可加性。这些内容都非常的简单。大家注意了，你们今天状态怎么样？拿出你今天最好的状态，听接下来内容，因为接下来过程当中啊，每一个性质都是黄金重点好了，那么接下来我们先来看看。第一条内容定期分到奇偶性。呃，跟着我的节奏走啊，有人说啊，

那个下面过程当中不是比较定理吗？你先别管，我们先讲奇偶性啊，奇偶性。非常的重要，但是这个东西啊，有一个前提条件必须是一个什么必须是一个对称区间。哎，对称区间什么叫对称区间呢？对称区间的意思就是说你发现一个事情，你这个积分线关于谁？关于原点对称。哎，它必须是这样对称，区间就是你从负a到a。

负一到一，负二到二，负三到三，它必须是对称的。那么，接下来过程当中，我们来看看这个事情。接下来过程当中啊，我来画两个二维的迪卡坐标，系你稍微研究一下，你看这是y这是零这是x。那么，在这里面当中啊，我来画两幅图，你稍微进行去琢磨一下这个事情，

好，我们来看看这个点，那么在这里面当中，你发现你看这是负a。然后这是a。好，我们先来看看这个问题，你看这是对称区间，那这个对称区间下的话，如果在这里面当中，你发现一个事儿，如果这个被积分函数，为什么函数？为期函数。大家都知道奇函数。

是不是关于原点对称呢？既然关于原点对称的话，你发现假设我就这样画对吧？它关于原点对称。如果你关于原点对称的话，你发现一个事情就这样。那么，同学们想想一个事儿，这一段的积分是面积，这一段的积分呢是面积的，相反数，而这两块的面积是一样的。比如说这个面积是三。那我就是三，如果这个面积是三，

那我就是负三两者一加呢，两者一加的话，你发现就等于零，所以说如果这个被积方函数为奇函数等于零。那如果在这里面当中，你再看，如果这个被积分函数为偶函数呢？好，再来看那被积分函数为偶函数的话，假设我们在这里面画就画成这样。哎，我来画一个偶函数，比如说你从负a怎么办？然后到a好这里面当中啊，你发现一个事情，

这是负a，然后这是a。那这个时候你发现一个事情，左边是正的，右边是正的，左边是负的，右边是负的，所以在这里面当中啊，你左边正右边正，左边负右边负。因此，在这里面当中啊，它其实是二倍的一半，区间的积分有没有问题啊？那这个时候两边的积分是一样的，

你就算二倍的一半区间的积分，所以这就是我们经常讲的，如果一个对称区间下。被积分函数是奇函数等于零，被积分函数是偶函数等于二倍的，哎，这个事情非常的重要，这种题目啊，有一种标志。标志就是什么对称区间，所以将来过程当中，只要我见到对称区间下的定积分计算，首先想什么？首先想奇偶性。比如说接下来过程当中啊，

我们来看个题，看看四点七这个题我明确讲就这个题啊，有可能考给我们的真题。就这个题，所以接下来过程当中，我们来看看这个事情来一起来操作来解。那么，首先我们先来看第一个事情，你发现没？这个人是什么区间？这个人很明显，一个事情这个人是一个对称区间。对吧，这是对称区间，如果见到对称区间，

首先想什么？首先先想到奇偶性，那么先想奇偶性的话，那么接下来过程当中，这是负一到一。那么所以说在这里面当中啊，我们就把它拆一下这个东西，乘上这个人这个东西，乘上这个人，然后接下来过程当中再怎么办，然后再对s积分。那么就变成这样，那么接下来过程当中，我们来复习一下基本内容。那么，

请同学们告诉我怎么进行去判断奇偶性。怎么判断？非常简单，如果是一个奇函数，我的做题思路是这样，我给你扔一个负s进去，你发现一个事情，你多了一个负号。如果你这个人是个偶函数，这是第一节课讲的，给你送一个负s进去，你发现一个事情雷打不动不动。那这就是偶函数，这就是我的判断方法，然后在这里面当中，

我们再来复习几个内容，如果是奇函数，加上这个什么奇函数，乘以奇函数什么函数？好，先看第一个事情，基层技能。扔一个符号，你多一个符号，你多一个符号，不动偶函数，然后再来看第二事情，如果这个是奇函数，乘偶函数呢，那这里是奇函数。

如果是偶函数乘偶函数呢？俩人一扔的话，你发现都不懂，它就是偶函数。哎，这是个基本内容，所以接下来过程当中，我们来判断一下，你先来看第一个事情，这是个奇函数吧。扔一个负s进去不动，这是偶函数吧？奇函数乘偶函数什么函数？这是个奇函数，然后接下来过程当中，

你发现这是偶函数。那么，同学们想在对称曲线下奇函数的积分结构等于几等于零，偶函数等于几，偶函数等于二倍的。所以说就等于二倍的零到一根号下一减x方的积分结构怎么做啊？接下来怎么做？啊，我这个题做到这儿怎么做？怎么处理啊？有些同学说三角代换，你这样一做这题速度就慢了，大家注意啊，这不就是个圆吗？如果在这里面当中，

你发现一个事情，把它当做成y，那就是x方，加上y方等于一，那这个东西就是什么圆心，在原点处半径为减，半径为一的圆嘛。所以在这里面当中，你发现一个事情，它就是这个样子。对吧，就这个圆而在这里面当中，我们要积多少？我们要积零到一，所以说在这里面当中，

它就是多少？它就是四分之一派r方，因此结果等于多少？你看这个题非常经典的题。你操作性的话，你要注意一个事情，这种类型问题啊，是怎么做的？好了吗？同学们，四点七这个题我们就讲到这。过去了，可以吗？这必须会啊，这题重点题，

这有可能就是我们考研真题。好了，那么接下来我们继续，我们再来看看四点八这个题。来，继续吧。那么，首先我们先看第一个事情，我观察了一下诶，这个题具有特征，什么特征呢？哎，对称区间。对称区间只要在考研过程当中啊，见到对称区间下的定积分计算，

首先想什么？首先想奇偶性，所以在这里面当中，我们首先第一件事情先把这人打开。负的二分之派到二分之派，然后这是x三次方cosine平方，然后再加上sin x方。再乘上coss方，然后这个结果是ds是不是做成这样了？那么做成这样了之后的话，我们来判断奇偶性非常简单。扔一个符号进去，这多一个符号，扔一个符号进去，这个人不动，

所以说这两者一乘呢，它就是个奇函数。对称区间下奇函数等于几奇函数等于零，然后再来看扔一个负s进去，你发现看虽然s in多了一个符号，被平方了一下不动。后面不动，所以说这人就是个偶函数。那么，对称区间下的话，你发现奇函数等于零偶函数就等于二倍啊，因此等于二倍的这个积分的结果。所以说这个题啊，我们就做成这样了。那么做成这样了之后，

接下来这个题怎么做呢？那么接下来看我们来看看这个事情怎么去处理呢？诶，我们稍微讲一点这个。呃，不定积分的计算可不可以对吧？你看s in和cos碰到一起，那这里面当中我使用二倍角公式啊。所以说这人就变成了四分之一，然后是零到二分之派，然后是s in二s的平方ds。没问题吧？哎，这个东西做成这样，那么做成这样了之后的话，

你发现这个事情这是二分之一，然后里面这个东西啊，偶数次方是不是降幂，因此是二分之一减cos四s。ds跟得上吗？好就变成这样了，变成这样了，之后的话，你发现一个事情，这是二分之一零到二分之派，第一人是二分之一，第二是二分之一cosine多少？4 sds是不是这个情况？那么接下来过程当中，我们先来看看第一个分，

我给你讲慢一点啊，我一步都不给你调，因为这个东西像。提前先讲了，因为定积分计算是一会我讲的，我提前先讲一点好了，这个人，然后再减去多少，这是四分之一，然后是零到二分之派。cos 4 sds。那么，先看第一个什么，你发现一个事情，这个四分之一抽出去。

那么这个里面当中就是对一积分，对一积分就是上限减去下限，然后接下来过程当中看这个人在后面补个四，前面乘上四分之一。cos in的积分是s in 4x，听得懂吗？然后接下来过程当中就是不定积分，算完了之后把它带进去。啊，带进去就行，然后这个结果呢？这是八分之派，然后这是十六分之一，告诉个事情，那么这是s in二派等于几零s in零等于几零，

这个结果等于多少？八分之派好这个题啊呃，我们就讲到这。能想清楚吧，我给你讲慢一点啊，其实你发现你可以做的非常快的啊，这个事情我们一会儿会讲，一会儿我会重点来讲定积分的计算。所以说像这个内容算提前先讲了啊，大家先接受它，如果你接受不了，等会回头再看。但大家注意哦，如果你这样做，这个速度就太慢了。

大家注意，但是这个方法很好，很基础的方法。这是一个非常基础的方法，就是你稳扎稳打的算，但是大家注意，如果你是这个水平的，我觉得考研过程当中肯定会被很多同学拉开一个差距。那么，接下来过程当中，我要讲一个黄金重点内容这个东西啊，非常的重要。这在我们三九六同学的考研真题当中，这可是经常出现的，而且是黄金重点，

那么接下来过程当中，我们来看看。哎，黄金重点。叫做华莱士公式。叫华莱士公式或者叫华理士公式也都行，你像这个东西啊，怎么写都行。就这个东西的话，你发现一个事情呃，有些的话，这个书上也写成这样。对吧，华莱士公司，华理士公司都是一个英文单词翻译过来的，

有些的话这个书上写的什么瓦里士公司？也都有对吧？人家叫什么瓦力士公式，或者叫华力士公式，或叫华莱士公式，哎，你发现一个事情，这个公式都一样，都是这个人。那么，接下来过程当中啊，我们来看看这个公式。你说你怎么能好意思在这个评论区当中打出这些字儿啊？多粗鄙对吧？啊，

你怎么能打得出来的呢？是吧啊？好了，那么接下来我们就继续，我们来看看这个事情啊，这个华理式公式，那这个公式是什么呢？它是这样子的，它说零到二分之派上。s in的N次方还有这个零到二分之派上cos的N次方，它这两个东西啊是一样的。注意一个事情啊，我再说一遍，零到二分之派上sine的N次方和cosine的N次方，它的积分结果是一样的。

这个东西为什么是一样？我一会可以给你证明啊，那么接下来过程当中我们来看看这个事情，那这个结果等于多少呢？这个结果依赖于这个n。你们不用证明啊，你们不会考这种证明题的，那么在证明当中啊，它会依赖于这个n。那这个n是多少呢？那么在这种当中会分两个事情，如果这个n为偶数。大家知道不是偶函数，是偶数，那偶数的时候它怎么算呢？

它是这样算，它是n分之n减一。n减二分之n减三，咔咔咔一直乘到二分之一，补上二分之派好，这是我们在这里面当中啊介绍的这个第一个问题，能听懂我的意思吗好？好，这是第一个人。那么，接下来过程当中，我们再来看第二事情，还有一件事，那如果是奇数呢？请注意，

它叫做大于一的奇数。最小的大于一的奇数是是三，所以接下来过程当中它怎么办？它是n分之n减一，然后是n减二分之n减三。然后接下来过程当中咔咔咔一直沉到三分之二。好，就这公式，这太重要了，相当的重要，那么接下来过程当中，比如说我举个例子啊，我们来写几个，你来试一下。那么，

在这种当中，比如说是零到二分之派。sins的八次方，那么同学们告诉我怎么算？那么，这个人的话，你发现这个n为什么数n为偶数对吧？偶数的话就是从八开始来来八八分之七，有同学这样写。八分之七七分之六六分之五五分之四四分之三三分之二二分之一然后二分之派以为自己写的挺好，你这写的这个对角线都约掉了，这有什么好写的。一个人的公式，他不是这样子的，你别乱来啊，

人家是什么是八分之七六分之五四分之三？二分之一，二分之派。诶，这个内容如果我这样去写的话，你发现你再来看看他怎么写的呢？他就这样写，从八开始。八七六五四三二一二分之派哎，同学们，你发现它特别像什么？向火箭发射的最后的倒计时。十九八七六五四三二一，像这个东西，所以说你发现个事情，

这公式也叫什么？也叫点火公式。呃，这个内容呢？你发现个事情在这个数学系里面当中啊呃，经常的话都讲啊。叫做点火公式。点火公式啊，它就这个意思啊，其实就是这个内容，所以在这里面当中啊，你发现非常的简单，就说什么情况呢，如果是偶数。点到二分之一，

补上二分之派，如果是奇数，点到三分之二。哎，点到三分之二就行，所以接下来过程当中，比如说我们再写一个，比如说这个人，那这人是零到二分之派，如果是cos x的十次方，你怎么算？赶紧写十九八七六五四三二一二分之派。是不是这个事情，然后接下来过程当中，我们再来看看第三个事情，

如果这是零到二分之派sin x的九次方怎么写？基数啊九八七六五四三二好了，同学们，这个就结束了。所以说在这里面当中，这个公式是考研中的重中之重的公式，这不是重点，这是五星级重点，你把它给我标成重点。你在上面打心儿，你随便打啊，使劲的打下去都行，它相当的重要。所以接下来过程当中，我们就来回看我们刚才这个题来，

我们继续来看看我们刚才这个题。你来发现一个事情，刚才是不是算到这一步了？但注意一个事情啊，不要随便点哦。必须是定积分，必须是零到二分之派的区间段，当然将来过程当中我会推广的，可以推广到领导派。零到二派，那是后面的事情，你要注意一个事情，它必须是个定积分，必须是零到二分之派，必须是s in的N次方或者cos的N次方。

那么，同学们，我们观察一下诶，零到二分之派的定积分s in和cos太完美了，但是你发现现在s in和cos在一起啊。我有没有一种方法把这个东西给撇开呢？有没有我当然有对我把这个东西写成什么？我写成一减。我把这个东西写成一减多少s in方，所以说这个东西就变成了s in的平方，再减去sins几次方。四次方是不是这个事情，所以说接下来过程当中你发现敌人就是零到二分之派sins的平方定几分？然后是零到二分之派s in的x几次方，四次方再定几分来吧。

同学们，点火吧，直接点。二一点着了二分之派继续，然后是多少四三二一二分之派？那这个结果就出来了，你一算本题结束。所以相对于这个方法，一这个方法二操作性更强一点，所以你就会发现一个事情啊，定积分非常有意思。定积分比不定积分有意思的多。不定积分，你就硬硬生生的算就行了，但是定积分呢？

定积分在这里面当中有一定的这种技巧性在这里面。一会儿过程当中啊，我们讲这个计算性的方法的过程当中啊，我们再来提。好了吗？同学们，这件事情非常的重要，我再说一遍啊，这个公式不是重要，是非常重要。是黄金重点。如果我们原来过程当中写个五星级，重点写个黄金重点，这就是五星级黄金重点啊，非常重要。

所以大家注意啊，这个内容考研过程当中啊，是非常关键的，你下去过程当中好好把它记住。好了呃，这就是我们在这本当中啊，介绍的第一个问题，奇偶性，如果遇到对称区间。然后在这种当中啊，遇到这个被积分函数有奇偶性，我去想奇偶性奇函数等于零偶函数等于二倍的，好了，这个事情我们就讲到这。那么，

接下来过程当中啊，我们再来看看下面一个黄金重点内容比较定理。这个内容啊，在我们的考研过程当中的概率呢，接近于80%到90%。所以说今年过程当中啊，二零二四年进行考研，比较地理仍然是一个黄金重点内容，太喜欢考这个人了。你要注意，又是个重点。所以今天你不要看每个小点啊，这每个小点的话都可以单独出一个两分题啊，我们一道一道的题，你看发现堆起来了。

好比较定理，你要研究真题的话，你发现这个内容太重要了，那么接下来过程当中，我们先看看这个人内容。他怎么说的呢？他这样说。如果在一个区间上，我不写这个区间了，如果这个ifs比js小。大家注意，如果你比我小，那么这个时候你发现我两边同取积分线。哎，两边同取积分，

你就比我小。两边同取积分，你就比我小。我写的对不对？啊，我写的对不对？你比我小，两边同取积分，你就比我小，对不对？啊，我写的对不对？有问题大家注意啊，这件事情是有问题的。你想想一个事情。

比如说这个上限。不是绝对值嗯，不知道的时候就不要不要别别瞎打了啊，好了，那么在这里面当中啊，我来给你强调一下为什么不对呢？因为你发现一个事情，这个上下限不知道。这个上下限不知道。你这个上下限的话，你发现一个事情有一个问题，如果这个上限比下限大，调换上下限是不是加符号？你调换上下限加符号，这边有个符号，

这边有符号，两边同时约掉符号不等式方向还改变呢，你这有问题啊？你这说不清楚了。对吧，你发现一个事情，你一到2 fs，比如说举个例子，你比这个人大。但是接下来过程当中，你你发现你翻一下，你变成二到一呢，你二到一这块有个负号，二到一这块有个负号哎，你又比我小了，

你这什么鬼呀？所以在这种当中，一定要注意一个事情，你要限定这个上下限这一里面当中的这个下限一定是小于等于上限的。注意啊，下限要小一点，我把这种积分线叫正的积分线，大家注意啊，就说从零到一的积分，这种积分线叫正的积分线。如果你写一到零呢，这就叫负的积分线，听懂我的意思吗？应该说我比你大，两边同取正的积分线，

我比你大。我比你大，两边同取正的积分线，我比你大，当然同学们这个人比他大，他只需要怎么办？只需要在什么情况，只需要在这个范围内比你大就行。好，这个事情你注意啊，这是考点啊。这考题呀。想不想做一个题啊？我来给你看看。好，

我们先来看看一个题吧啊，先来操作一个题，比如说你看看这个题。好，我们来看看这个题。一发现一个事情，这就出过题了。那这题选几啊？有些同学在这里面当中胡选，他说，哎，你看js比fs大。j比fs大两边同取积分线，我就比你大。有人说那比较定理，

告诉我的呀，你比我大，两边同取积分线就比我大，你这不是胡来吗？你没有保证一个事情，这个积分线是正的，只有什么情况下才可以，只有这个上限比下限大的时候才可以。是吧，你必须是一个真的积分型。你要是个负的积分线就不行，所以说在这里面当中，这个d选项不行。那当然e选项呢？e选项更不对了。

那按理说我比你大，两边同取正的积分线，我比你大呀，你这又说不清楚了，所以说这个题你看de选项就是干扰选项。能听懂我的意思吗？好了，那么接下来我们再来看看这个ABC。那ABC的话，在这里面当中啊，这个题其实非常好选，他说了这个函数在这个区间内都怎么办都可导。大家想想，可导必连续吧。可导必连续的话，

你发现一个事情，这个极限呢？这个极限就等于函数值啊。这个极限呢，就等于函数值啊，你发现任意一点都比你大S0处，肯定比你大，所以说这题正确答案选几选c啊？那这个事情非常简单，对吧？你就可以选c了。所以难度系数不高，那么接下来过程当中，但是这里面当中我想讲一个事情，那这个AB选项呢？

那AB选项同学们，你还记得一个事情吗？请问这个fx。与f负s之间什么关系啊？那这两者之间是什么关系啊？你注意啊，不要乱来，这跟保护性没有啥关系。啊，你别别别瞎扯，保护性单向成立的啊。你别别胡来，这连续就出来了，不要天马行空去想题啊，好了，

那么接下来我们来看看他们关于什么？这两者之间关于谁对称？非常简单，你发现一个事情，这我讲到不是相反数。你要这样学习的话，我疯了啊，这我讲过的。你扔一个，一进去跟我扔一个，负一进去是一样，关于谁对称，关于y轴对称。那这两者之间的话，你发现一个事情，

它是关于y轴对称，那么接下来我们来看看你在这里面当中啊，你马上来看看这个事情。假设同学们我就画一半，行不行？你虽然是负无穷，到正无穷，但是我画一半，我画一半的话，你发现你看我就这样画，你现在这里面当中的这个js是不是比fs大？啊，虽然我知道是负无穷到正无穷，我画一半呗，我看看意思，

那这个时候你发现看对称过来对称过来，那对称过来的话，这是j负s。这是f负x。那仍然是我大呀，那不是你大呀，你所以说a选项不对。那么，接下来我们再看看b选项。b选项那这里面当中说你比我大，说明你的量级大。量级大导函数什么意思啊？导函数是变化率。你能说量级大，这个变化率就大吗？

当然不行。我举个例子，比如说一个大型国企。对吧，这个量级很大。啊，这个呃，这个什么这个年收入也很高。然后有一个新型的公司，但是很小的公司年收入没有那么的高，但是你能说那个大型国企的增长率就比它大吗？当然不行啊，那么在这里面当中举个例子吧，比如说我们举个例子，你看非常非常简单。

如果这里面当中啊，你来看看这个事情诶，在这里面当中我画一条线，比如说举个例子，你看这条线，这条线是js。它的变化率呢，导函数等于零吧，但是你发现一个事情，你看你看这条线。这条线的变化率呢？这条线的变化率是大于零。所以你发现一个事情，就说你比我大的时候不一定说你的导函数比我大，你这说不清楚的，

所以说一定要注意这个事儿。你或者而言的话，你发现你看我是这样。对吧，我的导函数呢？我导函数是正的，所以在这种当中啊，你随便画两条线都行。因此啊，这个b选项不对。呃，这个题是个简单题。但是非常容易选错的选项是d选项。很多同学就是因为这个比较定理学的不好，说什么情况呢？

我比你大，两边同取积分线，我不就比你大吗？那这时候应该选d呀，大家注意一个事情，必须是两边同时加上正的积分线，小心一点啊，这有可能考题的，你看这个第一个信息点。抠细一点啊，好了，这个事情我们就先说到这这个内容啊呃，我们接下来过程当中啊，来跟同学们讲一讲。为什么是这样子的，

那么在这里当中，我们来画两个图来看看。那么，这个人是y种，然后这人是零，这是s种，那么接下来过程当中，我们来看看这个事情。首先第一件事你看。这是fs吗？然后这人是js吗？好js。现在很明显啊，这个j就比f大。那这个j比f大的话，

你发现一个事情，你在这里面当中，这是a这是b。那太明显了，你比我大一点，你看你这个人大一点，这人小一点。那么，现在定积分就是面积啊？你小一点，你的面积不就小一点吗？你大一点，你的面积不就大一点吗？所以说我比你大，我所围成的这个面积就比你大呀。

那对着呢呀。但是你发现每年过程当中讲完这个问题啊，总有同学下课来找我说老师不对吧，你看那如果是这条线呢？那么，请同学们告诉我一个事情，谁大一点？上面那条线的函数值大一点吧，这条线大一点，这是g，然后这是f。能理解吗？呃，上面的大一点往上跑大一些。那么，

在这个当中，有同学说，哎，老师不对呀，你看你这个人大一点啊，你这个人小一点，但是你大的这个东西，围城的面积小啊。你要注意一个事情。现在而言，它是位于x轴的下方，这个定积分就不再是面积了，定积分是面积的相反数。虽然在这里面当中，我的面积小一点，

但是我加上一个负号了之后，反而这个定积分子怎么办？变得更大一点。所以同学们注意啊，人家这个定理没问题的，你不要在那成天去想一个事情，我推翻地理了，对吧？动不动推翻地理了？这个定理都发展了200多年了，然后今天就是你出现了，就等着你进行推翻吗？哎，注意一下这个事情，不要在那里面当中啊，

钻进去了好了，这个内容我们就讲到这儿，所以啊，核心内容就是这样。我比你大，我的积分就比你大，但是一定是真的积分线的积分，我比你大好，这是这个问题，但这件事情每年过程当中我都有三句话。想跟同学们讲讲呃，但是在这里面当中啊，我给你们敲一下吧，对吧？我一般。

很不喜欢敲这个啊。三句话，因为我都希望你自己来记啊，这个破题方法呢？哎，破题方法就是三句话。那么，接下来过程当中，我们一起来看看这个事情。哪三句话呢？好，我们先来看看第一个事，你发现问发现一个问题，这种考题都考什么？他考这种人。

叫做这两个定积分的比较，那么请同学们告诉我这两定积分具有什么特点？这辆定积分的话，非常具有的特点就是积分线是相同的，被积分函数是不同的。哎，注意啊c分线相同。贝积分函数不同。如果两个定积分的话，你发现是积分线相同，被积分函数不同，那这题肯定怎么办？考比较定理。哎，就考察比较定理，

我遇到这两个人的话，你发现积分线是相同的，被积分函数是不同的，定积分比较肯定会考察什么？考察比较定理好，这是我们在这本当中介绍的第一个事情，那同学们想想，我知道考察比较定理了之后，那么接下来过程当中，我的方向是什么呢？有没有发现一个事情？谁的被积分函数大谁就大呀，对吧？谁的被积分函数大谁就大，所以说仅需怎么办？

比较被积分函数大小。两倍积分函数大小。那么，在这里面当中，只需要进行去比较，两个被积分函数大小，谁的被积分函数大谁就大？那在这里面当中，当然比较这个被切换，说在哪个范围大小就在这个上下限的范围内的大小，你能听得懂我的意思吗？这个非常简单啊，好了，那么接下来过程当中，我们再来看看第三个事情，

继续来再来看第三个点。大家好好琢磨琢磨，这里面当中啊，我还是来给你画一幅图。好好听一下。那么，在这里面当中，我来画一个二维的第一卡坐标系。好，我来给你画幅图，好好进行去看看。那么，在这种当中，我们来看看这个图形。这是y这是零，

然后这是s那么然后的话，你发现一个事情，这是fs。那么刚才我们讲了一个什么情况，我们说js这个人是大于等于fs。什么叫大于等呢？要不然是相等。要不然在我上面。所以接下来过程当中，我们来看看这个事情。我现在画在上方吧，上方的定积分就是面积，那么在这种当中什么叫大于等呢？你看现在这种情况叫什么？这种情况叫相等，

按着你跑就叫相等，哎，同学们，你看啊，我冒起来一块回来。同学们，告诉我个事情，满不满足大于等啊？哎，你看看这个事情，我回来。是不是大于等啊？所以你给我看看这个js。这个js有大的部分呢，也有相等的部分啊，

那么你告诉我个事情啊，这是你的面积。请告诉我个事情，我的定期分是比你大还是大于等啊？啊，同学们，想想比你大还是大于等？当然是大没有等号，那最后的话，你发现一个事情，这个结果就没有等号。我只要有一点比你多，我最后的面积绝对比你多，有些同学想法很很神奇，对吧？

他说那我上面多一点，我下面小一点，不能下去的。要不然是相等，要不然是比你大。所以同学们只要有一个部分比你多，我就比你大。所以在这里面当中一定要注意啊，等号的选取一个部分比你多。一个部分大。就绝对的。这件事情能理解吧，我只要有一个部分比你多，我就绝对比你大，那么同学们想想一个事情什么时候才能去等号？

啊，你琢磨一下这个事情怎么才能才能取等号，你看我走走走。敢起来吗？不敢起来，不敢起来哦，千万不敢起来，不敢起来，不敢起来，起来就比你大了。所以同学们，你发现一个事情应该是完全相等。对吧，重合。这个时候的话，

你发现一个事情，我们才会怎么办？我们才会是相等的，所以只要有一个部分比你多。我就绝对比你大，我只要在这里面当中，你发发现我突出了一个部分，我有一个部分比你多，我就绝对比你多。大家能想清楚吗？所以说这就是我们在这种当中讲解的事情，再来捋一遍吧，积分线是相同的。被积分函数是不同的，考察比较定理。

那么，这个时候仅需要去比较两个被积分函数大小。对吧，比较被积分函数谁的被积分函数大谁就大。那么，第三个事情，我只要有一个部分比你多，我最后就绝对比你大，没有等号的好了，那么接下来我们来看几个题吧。稍微进行去看看，来看一下这里面当中四点五这个题。来操作一下这个题。来看一下吧，他说。

设这个I等于它j等于它k等于它，然后则这个ijk的大小关系式。然后我们进行去比较这个ijk，它们三者之间的大小关系来我们进行观察一下，这个题非常突出啊，你看。积分线。相同被积分函数不同，所以说这题考什么考比较定理，那这题考比较定理，我只需要比较什么情况？我只需要比较这三个被积分函数大小。对吧，我只需要比较你的大小。比较这三个人在哪大小呢？

注意啊，这里面当中重点来了，那么请告诉我比较这个B区间的大小。跟比较这个开区间的大小有没有区别？有没有区别？大家好好想想，比较这个B区间大小跟比较这个开区间的大小有没有区别？啊，有没有你想清楚比什么都有用啊？这四分之派。有没有没有区别？为什么呢？我在比较这个面积。对吧，我在比较绝对面积。

有这个点就是有这条线，有这个点就是有这条线。你想想是不是啊，一个点对应上来，一条线一个点对应上来，一条线你这条线会增加面积吗？比如说这个面积。咔的滑一刀面积增大了，这不胡扯吗？再来一刀，面积又增大了，你天天在这划啊，面积就增大了，是不是啊？那每天的话在你家里面对吧？

你天天划一划。然后这个你加的占地面积就变大了，是不是啊？你不胡扯的吗啊，所以在这里面当中啊，不是这样子的啊。就说一条线不会影响这个面积，因此在这里面当中啊，比较这个B区间跟比较这个开区间是不一样的啊，这个是一样的。比较B区间和比较开区间是一样的，那同学们想想一个事情，比较开区间简单还是B区间简单？当然是开区间，所以说把这个事情啊，

记死将来过程当中啊，只需要比较这个开区间内两者的大小。记住这个事情，我再说一遍，仅需比较这两个被积分函数在开区间内的大小，所以将来看到一本书的过程当中，有些书写了B区间，有些书写的开区间。不要在这里面当中纠结，写开区间，开区间简单一点，所以接下来过程当中我们就来看看这个事情。只需要比较这两个人在开区间内部搭桥，所以在这种当中啊s大于零小于四分之派的时候。那比较这三个人大小的时候，

你发现都是ling都是ling，我是不是只需要比较这三个人大小？对吧，就比较这三个人。那这三个人的大小关系什么关系啊？我们来画一下图像，还记得这几个人图像吗？这图像肯定记得，这是y这是零这是s，然后这里面当中这是四分之派。那么3a是谁呢？3a是这个人。那s in这个点的话，刚好是二分之根号，2 cosine是这个人cosine，

这个点刚好是一。那同学们告诉我quality图像呢？quantum t图像还记得吗？扩散体图像是这样画的吧？这是二分之派。那四分之派呢？四分之派是一，它刚好从这儿降到一。好了，这个图形这图像必须绘画。那这个时候你发现从这个图像上我就知道哎，这个quantity很明显比cosine大，比si nine大，所以在这里面当中我们就可以看出来。quantum题比这个cosine大，

比这个si nine大，有的说老师不对吧？你这个点相交啊，我们都说了，比较开区间。哎，比较开区间，所以这个时候你发现对数函数是增函数里面越大它就越大，里面越大它就越大。所以说这个结果就变成了这样，然后接下来过程当中，我们就可以看我比你大，两边同取正的积分线，正的积分线，我就比你大。

所以说在这种当中k这个人大于j，这个人大于这个I这个人，所以说是k ji，所以这题是正确答案选几。选a那么在这个题当中，我觉得是非常呃重点的一个题，我们三九六同学特别喜欢考这种题。很喜欢考相当的喜欢，所以你要注意啊，这种考题的形式。这里面当中我我发现啊，咱们班同学居然没有这种疑问吗？有没有这种同学有的说老师，我觉得你做的麻烦。我直接找一个点带进去不就行了吗？

我找个点带进去，我比它大，我不就比它大吗？有没有这种同学？啊，我觉得还可以哦，数一数二数三同学每年基础班都有。啊，每年基础班都有。是不是我提前先说了啊？提前先说了，堵住了一些人的嘴是吧？好了，我们来看看这个事情。好，

那么在这个当中啊，我们来给你看一个事情，比如说这是a点，这是b点。好假设这是f。假设这是f的话，那么接下来过程当中，我们再来画一条线。这是j你告诉我事情，这两个东西的谁的面积大呀？很明显是f的面积大呀。f面积大吧f的d积分大，因为我画在s的上方。在x轴的上方。在x轴的上方的时候的话，

你发现面积大就是这个积分大，所以说f是积分大很多，说那我找一个点呢，你看啊，你找点。万一有一天你找到这儿。找到这儿，找到一个点的话，你发现哦f大，我说积分大，运气太好了，这个同学运气贼好。运气贼好，有可能当年过程当中啊，你考上了。

如果那一天过程当中考试那天你找到这儿怎么办？哎，俩人相等的，难道你认为定积分是相等吗？很亏，万一有一天运气非常倒霉，找到这儿来了。找到这个什么这个s1，你看找到s2，找到s2的话，你发现诶这一大呢？那这一大的话，你发现反而这个定期分呢是小的，所以同学们，你这个找这个点呢，

纯属胡说八道啊。纯属胡来。大家注意一个事情，绝对不行，你看你找一个点的时候，有可能这个人大啊。有可能相等啊，有可能小一点。你要注意一个事情，我们比较的是整个部分的面积，要有个全局观。我不会在乎一点一d值得使。能听懂我的意思吗？我比较的是个整体好，这个事情我们就讲到这，

听懂我的意思吗？不要再去找一个点了，哎呀，我咔的一下，我带一个点进去，带一个点进去不行。哎，注意一下这个问题好了，那么接下来我们继续，我们再来看看四点六这个题。呃，这个题啊，也是一个非常经典的题。啊，那么接下来过程当中，

我们来看看他说IE=0到四分之派。I2也是零到四分之派，赶紧来积分线怎么办相同？积分线相同，被积分函数不同，考什么考比较定理？所以我们只需要比较这两个被积分函数大小，那么同学们告诉我，你能一眼瞅出来这个题考了个什么不等式吗？是不考察了，这个内容。当什么情况is大于零，小于二分之派的时候，我们的这个x这个tangent x。智慧比谁大，

比s大，比s in大了。我们原来给你讲的这些不等式啊，在这一节过程当中有重点的应用。我们往年过程当中有道考题啊，比这题考的还贼啊，一会过程当中我们再说这个东西能记住吗？你要记不住，你得反思一下，这非常重要。所以接下来过程当中，我们就来看。那么，今天过程当中，我们的核心重点比较什么？

只需要比较在零到四分之派这个开区间内部的它的大小。而在零到四分之派内，这个tangent是比s大的。那这个tangent比s大，而且都大于零，那这时候我就知道了tangent比s。那这个时候你发现是大于一。因为两个正数，我比你大大于一，然后这时候x比上tan体呢，这是小于一。那这个时候你发现一个事情很明显一个问题啊，这人大于一，这人小于一，听懂我的意思吗？

所以接下来过程当中，你看我比你大，两边同取积分，这是I1。两边同取积分，这是l2，有些同学在这。胡作说，这就是一。所以得到了I1大于一大于二，结果一发现诶，怎么没有答案呢？当年这个题出的不好。所以如果说我们三九六同学我出卷子，我们就会再加一个选项大于一大于二。

你看要是我出，我们再加一个e选项，就加这个选项就得诶，对，是他选一哈，那疯的心都有了。别乱来哦，你一定要小心一点，那么这里面当中的这个两边同取的什么积分，两边同取的是零到四分之派的积分。那你想想一个事情，两边同取四分之派的积分，对于一积分是多少？对于一积分是四分之派上限甲下限。这是四分之派。

所以你要注意一下这个事情啊，你小心一点哎，做题要注意一下，好这个时候我们就得到这个人。因此我比你大，我两边同取相同的积分线，我比你大。所以说这个题啊，我们就得到这个结果。但是你发现这个结果好像得不到答案呐，但是我们可以观察一下。首先第一个事情，你发现我这个题当中是I1大于I2吧。我I1大于I2，我就把c选项和d选项排除掉了。

那c选项和d选项就是I2比I1大I2比I1大，那这个东西我就把你排除了。那么，接下来过程当中，我们再来看看一那请同学们告诉我，事情一在哪一跟四分之派谁大？啊，一跟四分之派谁大？那当然是一大呀，派是三点一四嘛，一五九二六等等等，对吧？那所以说在这里面当中当然是一大呀。那这个时候你看我一比四分之派大，你四分之派比I2大，

我是不是就可以推出来？一是不是比I2大？对吧，一比l大，我就把这里面当中的l比一大的排除掉，所以答案选几选b。你看这样是不出来了，所以我通过排除法就做出来了。但是这里面当中，你发现I1跟一谁大呢？不知道对吧，不好做，那I1跟一谁大呢？我好像不好做，但是没有关系啊，

这是道选择题我做完了呀。我做出这个题，答案不就行了吗？但同学们注意啊，我们是基础班的复习，我希望大家学的更好一点，那么接下来过程当中我多讲一点。哎，我再多讲一点。我就很想知道这个IE跟e谁大，那这里面当中内容就非常的重要了，接下来的东西啊，就是我们三九六同学，你这两年过程当中见到的命题人。他们的出题思想。

那么，在这种当中，我们来看看这个事情。原来过程当中我给你讲过这个图形吧。我说一定要把这个图形记住，有的说啊，我从泰勒公式就背过你，今天你会发现一个事情，你要。按照考研的方式来，那么在这种当中，我们来看看这个事情。这是tangent题吧？这是tangent，然后的话，

你发现这个切线是谁切线是x，这是tangent，这是s，然后这是四分之派。有没有问题？没问题吧，原来我让你记的图像就是这样。那么，在这里面当中，大家发现没发现还有一个特殊点。那个特殊点在哪呢？在这。tangent 4分之派是一，大家有没有发现一个事情，你把这个点连起来。

这条线也很特殊，那这条线的方程是多少？高度是一这四分之派，所以说这条线是派分之4x。会写吧啊，斜率乘上s，所以接下来过程当中我就得到了当x怎么办？大于零，小于四分之派的时候。那这个类目当中就有什么就有派分之4s大于t an ENT大于s。哎，这个情况，然后接下来过程当中，你可以怎么办？给它两边同时除上个x。

同时，除个s。同时，除个s之后，两边同取零到四分之派它的积分。两边同取零到四分之派，它的积分两边同取零到四分之派，它的积分，那么同学们，你告诉我个事情，有没有发现一个事情，你看第一个人。这是派分之四提出去嘛，对于一积分就是上限减下限诶，这不刚好是一，

这不巧了吗？所以说你发现一个事情，我立即得到了一。大于多少零到四分之派tangents比上s，而这个积分结果是四分之派。相当的精彩啊，绝对的精彩。这才是这个题当中啊，最重要的底层逻辑。你做到刚才那一步浅层水平，这是高手，这是绝对的高手啊。你就终于明白了一个事情，老头子到底是怎么出题的？你现在明白我原来第一节过程当中，

我让你记图像吧，有人说啊，老师，我从他的公式一一转就出来了。我今天过程当中，你看到这个题的时候，你就再也不会说那句话了。你要知道老投资是怎么出题的？嗯，所以你看这个步骤出来了。那因此这个题的正确答案选几啊？正确答案就出来了，正确答案是选b。好了，这是这个人，

所以说将来过程当中，我可以出好多题。对吧，这种出题点的话，我可以出好多你，比如说将来过程当中，你都可以编题了。你这编题的话，现在掌握不住思想了，编题太好编了，你看你这是x吧，这是s in吧，来把这个点连起来。s比谁大？比这个s in大？

比谁大？比这个派分之2s大，然后给两边同时除上它。同时，除上它，同时除上它，就这个结果，所以接下来过程当中，两边同取积分零到二分之派，积分二分之派。零到二分之派积分sins比上sds 0到二分之派积分，这是一。我这个考题我就可以出，我出一个什么情况，零到二分之派s分之三跟一谁大就这样做。

啊，就这样做，所以大家注意一个事情，你看这一块有条切线，这条有条割线，哎，这条切线割线，你看我编题，我一下就编出来了。原来，二零二一年的考题你像如果你掌握住这个思想，当年那道题啊，很多同学觉得贼难是我们的题啊，不是说数一数二数三同学的题，我们的题。

当然，很多同学那35个题二一年。那35个题啊，很多同学就卡在那个题上了。但是那个题你要掌握住这个思想，眼睛瞅一下都出来了，后面我过程当中我们再说。所以这个类型问题的做题思想，你是要把握清楚的。好了吗？同学们，你下去过程当中好好看一看。好了，这是我们在这里当中讲的，这个四点六这个题可以了吗？

同学们，那么接下来过程当中，我们再来看一个题啊，再来讲一个题。比如说我们来看看这个题。呃，这个题的思想是我们考研过程当中没有出过的题啊，我们来看看这个题。这个题的话，我觉得也很重要。那么，接下来过程当中，我们先看第一个事情，大家观察一下。积分线怎么了？

相同对吧？积分线都是相同的，你的积分线，你的积分线，你的积分线，积分线相同，被积分函数不同，考什么？考比较定理。那考比较定理的话，我就只需要去比较什么比较这个零到一的区间内这仨人的大小。同学们，你告诉我事情，这仨人的大小好比吗？好不好比啊？

好比还是不好比？我觉得不好，比你像刚才的过程当中啊，你发现你要直接进行去比啊。这个事情是很麻烦的。很明显不好比啊，你这三个人的话，你发现多恶心啊。哎，不好比我再想想还有没有方法？那我就可以间接着比你要理解老头子的出题思想。我如果不能直接比，那我还能间接比啊。我什么间接比呢？对，

找一个中间人。哎，找一个中间人。找一个中间人，一个人跟他相等，一个人比他大，一个人比他小，这人就可以用了。哎，所以说我觉得这个思想非常的好，对吧？我找一个中间人，所以接下来过程当中，我们再来看这个题，大家想想。

这个题除了这个比较定理的特征之外，还有什么还有对称区间吧？是吧，这个题还有对称区间的特征，如果是对称区间，你发现个事情，你会想什么？我会想奇偶性。所以这个题之外啊，你发现还有这个特征，所以接下来过程当中我们就一个一个看。我们先来看看p。那这是负一到一，然后是e的2 s-e的负2x，同学们告诉我个事情，

这什么函数？奇函数吧，我讲过这个事情啊，如果一个什么情况，一个fs和一个f负s相加，这是个什么函数？偶函数如果一个人是fs和f负s相减，什么函数奇函数讲过的题吧？对吧，这个东西是一个什么？你如果这是fs，这就是f负s两个相减，两个相减就是什么函数奇函数？那对称区间下的话，你发现奇函数等于几等于零？

好，这个情况出来了，你再来看看QQ，这个人是负一到一，你把他给我乘开s倍的ln 1，加上x方。然后再减去ln 1，加上s方。好，这个人那么这个人的话，我们接下来过程当中，我们再来看你，发现一个事情诶。这个人是个奇函数，这人是个偶函数，

积乘偶奇函数吧。然后接下来过程当中，我们再看看第二事情，第二是什么函数，第二是个偶函数。那对称区间下奇函数等于零，偶函数等于二倍的就是负二倍的零到1 ln 1，加上x方ds。好，这个人那么接下来过程当中我多讲一点知识点啊，大家好好听一下，那么接下来过程当中我们来讲讲定积分的正负性。哎，定积分的正负性。一个定积分的正负性，

它是怎么进行去确定的呢？我们来看看这个事情啊，定积分的正负性。大家会发现一个事情，一个定积分。a到bfs ds。如果它要不是在x轴上方，它要不然在x轴下方怎么进行去确定这个人的正负性好，大家跟我看看这个事情。你好好听，那这是a到bf xds。倘若我从下限小积到上限大。请同学们告诉我事情，这种积分线我把它称之为叫什么积分线回答我。a到b从小的积到大的，

这叫什么积分线？这叫正的积分线，还记得吧？刚才讲的啊。从小一点的人记到大一点的人，这叫正的积分线，那么现在这个被积分函数呢？也是正的。同学们告诉我，现在的结果什么情况？位于s轴的上方的积分是面积，面积当然大于零。那如果的话，你发现个事情，我们再来看，

如果还是从a积到b，但是这个被积分函数在下面。哎，讨论在下面。你在下面的时候的话，这个定积分等于面积的相反数，它是不是小于零？那么，接下来过程当中，我们再来看，如果这个人图形还是在上面。但是积分线是负的呢，就说我是从什么从小的积到大的呢？大家想想一个事情，调换一下上下限，

是不是加个负号？它就变成正的了，所以说这个情况是不是还是负的同理呢？如果是负负呢？负负就得正了。所以这块的内容的话，你发现一个定积分的正负性，它应该是取决于两个人，一个是被积分函数，一个是积分线。俩人都是正的，是正的，俩人都是负的，也是正的，一正一负是负的，

能想清楚吗？这个很简单啊，这很简单，理解一下就行，那么同学们，你给我判断一下这个定积分是什么？是正的还是负的？不要不要加那个负二啊，我就说的这个定积分。这个定积分是正的还是负的？我们来看看这个人。如果你只去看这个定积分的话，你发现一个事情，这非常简单好，先看第一个事儿。

这个人的积分线是什么？积分线是真的。在零到一的时候的话，你发现一个事情，这个人是超过了一的。你超过一的话，你发现个事情，这个对数函数超过一都是正的，这里面也是正的。你零到一里面超过一嘛，真的阵阵得什么得阵？能想清楚吧，所以前面加个符号呢，就小于零好，这是这个人，

然后接下来过程当中，我们再看rr就是这个人。那r的话就是负一到一，然后这两者相乘，然后再加上e的负x方，然后这个部分再dx。那么，接下来过程当中，我们来看看这个事情，来走一下，你看这是个奇函数，这是偶函数七乘，偶是奇函数吧？对称区间下等于零，然后第二人呢？

第二人是个偶函数，偶函数等于二倍的，所以说接下来过程当中这个结果就等于多少？就等于二倍的零到一一的负x方ts，同学们告诉我这个结果是什么呢？一的负x方在上面，你上面零到一的话，你发现是有面积的，对吧？这就是大于零。能听懂吗？所以说这个结果就出来了，你看r大于0p是等于0q是小于零，所以说就是。RP qr pq答案选b。

能学会吧，好基本问题哦。所以你下去过程当中啊，好好想想这个事情。那这个题的操作性还是比较强的。好，这是我们在这里面当中介绍的285题。那所以说这个比较定理非常重要，你看这节课我其实核心重点，我讲了一节课，我才讲几个内容，我才讲了两个内容。我讲了一个奇偶性，我讲了一个比较定理，你足可以看出来这两个定理的重要性啊，

这两个定理特别重要，你从下去过程当中好好看一看。因为有可能对我们而言呢呃奇偶性出一道两分题，这块出个两分题，出一个四分题。哦，我觉得这真非常好了，你这样就达到巅峰了，好了，这个事情我们就讲到这，那么接下来过程当中，我们继续再来看看下面一个问题。我把周期性和这个积分终值定理都讲完了，我们再稍微休息好吧，我再介绍两个内容，

很快了好再看周期性。那么，首先我们先来看看第一个问题。那这个人是具有周期性，同学们，我怎么判断他有周期性啊？判断一个函数是周期函数周期性怎么判定，大家注意唯一的方法就是走定义法。哎，走定义法。什么情况呢？就说我如果这个人加上个t，我带进去不动。我加个t代进去不动，我就是以t为周期的周期函数。

能想清楚吧，我就是以t为周期的周期函数，那么在这种当中，我们讲几个，你来看看你像science，当然同学们。t是它的周期，那2t也是3t也是那t叫什么t叫最小正周期嘛？那3a和cos in的最小正周期呢？最小正周期是二派，那当然，四派也是周期啊，那么在这种当中，如果是2x。cos 2s呢？

我们原来都讲过，如果这是omegas扩大omega倍，它是缩短omega倍，那就缩短这个人，他就拍。好像这个人呢，你一定要想清楚，还有在这里当中的什么，这个sins方还有这个coss方都可以写成cos 2s的2倍角。你的周期是派，我也是派。好像这些基础内容你必须要都过关，对吧？这叫周期性的问题，所以如何进行去判断这个被积分函数具有周期性呢？

我就这样判断。怎么判断呢？就说我在这里面当中的核心思想就是我扔了一个加个t代进去，我不动。我加个t带进去，我不动，那这个人就具有周期函数，你比如说你思考一下这个人，那这个人为什么是周期是派呢？你扔一个s加派进去。大家都知道，奇变偶不变，偶是不变的。前面是符号，看象限管你正负号呢，

无论你是正还是负平方下都是正。那就没有变了，没有变的话，你发现它的一个周期不就是派吗？所以核心思想要想清楚好了，在这里面当中，我们介绍两个公式。我们先来看看第一个公式。第一个公式啊，非常的基础啊，比较简单一点，那么在这种当中我们来看看这个事情，这是y这是零这是s。大家注意一个问题啊，我是从零到n倍的周期，

它的积分。被积分函数的最小正周期是t。请注意啊，被积分函数的最小正周期是t。从零到nt的积分呢？那从零到nt的积分，你看这假设是一个周期，我虽然这样画，你想怎么画都怎么画，但是你不管第一个怎么画，第二个肯定是复制的。然后之后怎么办？都是复制的。都是复制的，那你从零到nt的积分，

其实核心重点不就是n倍的一个周期的积分吗？其实就是n倍的一个周期的积分。哎，这个事情要想清楚，能想清楚吧，所以在这种当中啊，把它琢磨清楚。零到n倍的周期积分就等于多少n倍的一个周期积分？好，这是我们讲的这个重点问题，那么接下来过程当中啊，我们再看第二事情。第二个好好听啊，第二个特别的重要。那么，

在这种当中啊，我们来看一个重点的问题，我还是来给你进行去画一个二维的迪卡坐标系。大家去想想，这是y这是零这是x，假设你发现一个事情，你看。这是一个周期，然后接下来过程当中，我们再来看，这又是一个周期。对吧，后面又是个周期，然后这又是个周期。好，

这周期大家琢磨一个事情，我们来研究一个人研究谁呢？我们研究这个人研究是从a。a+t的这个分。我的被积分函数是周期哎，被积分函数周期是t。我从a到a+t的积分。大家想想一个事情好，我们来画一下a在哪儿？假设a在这儿。那a+t就在哪？a+t就在这。你积分的这个东西是不是这一块？哦，这是你积分的。

你从a积到a+t，其实就是对这个部分进行积分。对吧，你其实对应的，我现在画在上方嘛，就是面积听懂我的意思吗？我没有画下方，下方一样的绝对面积嘛。反正你就发现一个事情，就是这个区域的面积。那我想问你个事情，根据割补法的思想，这个部分跟这个部分一样不一样？啊，一样不一样。

它是一样的吧？根据哥布瓦思想，这东西肯定一样，它就等于零到t的积分。是吧，跟零到t的积分好，同学们，我们再看。那么这个里面当中，大家想一个事情，如果我把这个东西往前推一点。哎，我往前推一点，那么同学们想想一个事情，这个东西是不是往后再走一点？

你能跟上我的意思吗？我往前推一点，你就往后面走一点，那这个时候你发现这个部分仍然能搁不住这个部分。还是零道题吧。是不是啊？如果你在这里面当中，你再把这个东西往前推一点，你这个东西就再往后走一点，你仍然还是搁不住这个部分。是不是这个问题？虽然我这样画的话，它就变丑了，但是我相信这个意思，你是达到了。

大家有没有发现一个事情，其实你看a到a+t这个积分跟这个起点值的结果有没有关系？没有关系。你这个a无论在哪，就说你这个起点，无论在哪？我这个最后的这个积分，结果它都等于多少零到t的积分，它就没有关系，这就是在这里面当中非常重要的一个内容。对吧，非常非常重要，就是你这是a你这是a+t。a到a+t与a没有关系。就是我无论就是以这么长的长度。

哎，这是我的总长度，我只要以这么的长度，我随便平移。我在这个坐标系当中随便平移，我这个大小是不变的，能理解吗？啊，就这样的一个特征，你只要把这个思想想清楚了，我觉得这就达到巅峰能力了。大家想想一个事情来，马上考点公式就来了。琢磨一下啊，那么请告诉我事情马上来，

如果是a到a+t的积分与起点无关，同学们告诉我你这个起点特别喜欢在喜欢在哪？喜欢在哪就说你以这么大的长度的话，你发现一个事情，你在走，你特别喜欢走到哪，我喜欢走到这。走到零是吧？这是一个事情，所以说它都会等于多少零到t的积分？但同学们，其实这不是最喜欢的。我绝对最不喜欢呃，我不是最喜欢零道题，这不是最喜欢的，

其实你最喜欢的是谁呀？你看啊，我最喜欢的应该是这种情况。我就说这么长的长度以零这个东西中间隔开一边一半。负二分之t两边对称，所以同学们想想一个事情，我应该最喜欢是从负二分之t到二分之t。大家不要背啊，脑子一转就出来了，不要背背的就傻了，脑子一转就出来了。我最喜欢谁？我最喜欢从负的二分之t到二分之t，那这个时候你发现一个事情具有特征啦。那这个东西就具有诶。

他怎么这么疲傲不驯呢？嘿，你你等我一下，你等我一下。所以说大家注意一个事情，我特别喜欢怎么办？我特别喜欢从负的二分之t，大家想想一个事情，这个东西是不是又变成了对称区间了呀？对吧，对称区间如果一个题的话，你发现一个事情，它还具有奇偶性，我就可以用这个人了。所以有的时候你发现一个被积分函数，

它具具备奇偶性，它又具备周期性，那这种题就非常简单了。我就一下子就把这个题做出来了。能听懂我的意思吗？只要是a到a+t的这个人。我就能把它变到零道题。我就能把它变到负的二分之t到二分之t，我比如说我给你出一个题，你给我秒一下来看个题。必须是秒，那么在这里面当中，我们是三再加上。然后是二零二四派。啊，

这个人那么接下来过程当中，然后是sins的三次方ds。别三次方了吧。二零二三次方。等于几啊？啊，等于几好，我们先来看看这个事情来解。诶，这还不能是二零二三次方。可以啊，可以。来，我们一起来看看。请问同学们，

你告诉我个事情，这个被积分函数的周期是多少？sin x的二零二三次方基数次方，它的周期应该是二派，不是派哦。如果是偶数次，方才是才是派奇数次方就是二派。好，这是我的二派，那么同学们想想一个事情，你二派是我的周期二零二四派是不我的周期？那二零二四派也是我的周期啊。因为你发现个事情，你这是它的周期，我给它多少，

我给它幺零二二，然后的话，你发现乘个200。哎，幺零幺二。那这个二零二四的话，也是它的周期啊，是我周期，那我们来一遍啊。a到a+t。对吧a到a+t的积分跟这个起点没关系，你可以把它写到多少零到把那个起点移到零。移到零了之后的话，这个结果就变成了这样。好，

这是一道零。移到零了之后的话，你发现个事情零到多少呢？幺零幺二个周期那所以说你就变成了对吧？这么多个一个周期的积分。舒服了吧？舒服了吧？好这个人那么接下来过程当中，我们就继续我们再来看。这是幺零幺二，我们刚才又讲你这个人可以写成多少，你可以写成零到零+t。但是其实同学们，你发现个事情，我那个起点不喜欢在零，

我喜欢在哪，我喜欢一半一半我就喜欢。负派，然后这道派sin x的二零二三。哎，那这个时候就是对称的了呀，那你发现对称区间下奇函数大于零。哎，我就别说这个题，你发现一个事情编的还可以哦。对吧你，你发现一个事情，这个题我觉得可以考一到两分题吧，也挺有意思的。所以大家注意个事情，

你就记清楚。其实你将来过程当中一步做到位就行，你遇到a到a+t的分。对吧，你就一步做到负二分之t到二分之t。因为我跟这个起点没有关系到跟这个没关系，你这是a到a+t的分，你这个起点没有关系，我可以把它移到零那就零到它。零到多少呢？幺零幺二个周期就是幺零幺二倍的一个周期。然后接下来过程呢，你发现看这是零到零假体，那么接下来过程当中啊，一起看再往下来就是负派倒派。

能听懂吧好，这是这个事情。其实你发现一个事儿，你可以做更高的高手。我再讲一点啊，更高的高手。更高的高手是怎么做题的呢？那么接下来过程当中，大家来发现一个事情，你听好了。有没有发现个事情，这个上下限的长度是周期啊？诶，这个上下限的长度也是周期啊。这个上下限的长度也是周期啊。

哦，我的上下限的长度是周期。那将来过程当中，我怎么做这个题呢？你发现一个事情，如果你是一个更高的高手的话，你发现你做这个题的思维方式可以变得这么的简便。当你拿到这个题的时候，你就进行思考。我发现一个事情，只要上下限的长度。它等于周期的这个倍数是一样的，它就相等，那么接下来过程当中，我们来看，

我把这个上限减去下限，它刚好等于二零二四倍的它。它刚好等于什么？它刚好等于幺零幺二倍的周期。哦，我我发现一个事情，它是周期倍哎，周期的倍数，那你接下来过程当中，我们就写了，你看这是三到三加二零二四。这是二零二三。那么，请同学们告诉我，现在的周期是多少？

现在的周期是二零二四派。好，现在上下长长度是这样，那你切下过程当中，你把这个上下限长度还是这样，它就相等，那就零到二零二四派。同学们，告诉我个事情，你看这俩人的上下限的长度是不是周期的倍数是一样的，你这个上下限的长度是这个周期，我这个上下限长度也是这个周期，我们就相等。我只要上下限的长度，那其实跟我刚才讲的那东西一样嘛，

你只要这个长度固定了，你怎么平移它都是相等的？是吧，然后接下来过程当中，它就变成了幺零幺二倍的零到二排。好，现在的上下限长度是不是周期啊？上下限长度是周期的话，同学们想想一个事情怎么变是最简单，你就变到负派到派这个上下限长度是不是也是周期啊？啊，是不是这个事情，所以它相等那奇函数等于零？跟得上吗？所以将来看到这种题啊，

它的一个特点，其实对我们而言，考的不会特别特别的难成什么样。对于我们的考题啊，你应该是能看得出来的。就说你拿到这个题的时候，你就进去去看看上下限的长度。上下限的长度是不是周期的倍数，或者是周期周期的1倍也是周期嘛，周期的倍数嘛。能听懂我的意思吗？所以你就拿到这个上下限，你看看哎呀，这个上下限长度二零二四派我的周期。是二派，

你是我的倍数。那这个时候你发现我就可以怎么办？把这个起点移到零点，然后变成这个人，然后把这个起点移到什么呢？移到二分之t，然后这就出来了。好了，这个题目我们就讲到这吧，所以你下去过程当中好好想想啊，当然的话，你不喜欢这样理解的话，你就跟着刚才那个理解，你就记住公式也行。a到a+t。

只要是a到a+t跟a没有关系，你可以把那个a取到零，也可以把a取到负的二分之t两种理解方法都行啊。你怎么样都行，最终而言，你就是把这种题做出来了。好了，同学们，周期性。哎，周期性还比较重要，好了，同学们行吧，我们稍微休息会儿，一会儿我们继续可以吗？

啊，休息会儿吧，然后你下课过程当中，你可以把这个公式在脑子里面温存一下。去想想我刚才过程当中，我怎么讲的？哎呀，这个长度对吧？怎么移都一样好，稍微休息会儿，一会儿我们继续啊。

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