01.讲真题-第8章-题型1-1

罗泽兵 · 发表于 7 天前

好，那接下来咱们学习立体几何，部分好立体几何，部分看似容易，但考试过程中有的呢，细节比较多，然后呢？做题呢，也容易出错，所以大家在做立体几何的时候，一定要把立体几何里面公式，尤其它的图形多个混在一起，这类的内容呢，要把它弄清楚。所以立体几个大家在学的时候啊，

首先要掌握公式，另外还要掌握里面那些做题的窍门儿和方法啊，这是通过这些母题。和考试题目来给大家进行训练。首先我们来看一下考试考情分析好吧，然后看一下它的考试内容好，那这一块儿它在考试里面占的比重，从历年考试情况来看，那么历几何每年呢？就考两题左右。好，这是它的一个考试的一个分布情况啊。它的考题呢，总共占两题，左右好例几个对空间响应能力呢，

要求是比较高的。空间想象能力，尤其像有的图形，它的空间的思考啊，大家要知道啊，因为有的题它没有图，需要大家呢啊，自己去想象自己去画图，而且这里面还出现了一些空间距离的求解。啊，空间长度的求解啊，这类的方法好，另外立体几何，还有一些表面镀金属之类的题目是吧？这类题目要求考生呢，

能够灵活运用公式来进行解题。啊要会分析，那此外呢？那真题还会将呃好几个图形综合在一起来进行考察啊，然后呢来进行分析，那这样就提升了一些考试的难度。比如说有时候呢，将这个柱体和球体，然后一起来进行考察，这样大家要会分析和思考是吧？柱体球体它的考试方法要掌握住。然后最后呢，还要重视啊，图形的内切球啊，外接球那这块儿考试考的频率比较高。

然后命题的空白是什么？空白的就是拼接的几何体，比如说它几个图形拼在一起。啊，或者说把它切开，还有抠挖，比如说给它啊，一个圆柱体或者一个长方体，正方体上面挖出一个图形，那这里的情况，这呃命题空白在咱们呃。呃之之前练习题里面或做题中那么出现过，所以大家可以简单的了解一下。那么，咱们接下来看一下考试预测，

通过真题发现那么立体几何呢？它是在二零一二年考纲之后新增的，所以它的从现在开始来看的话，整个考试题量不是特别大，因为它之前呢，考纲上是没有的。啊，所以从历年考试重点来看的话，那主要针对于柱体球体，然后这些知识点啊，所以接下来咱们主要围绕三个方面，重点掌握第一个就是表面积和体积的求解。第二个实际的一些应用题啊，是比如说空间的测距呀，还有融化呀，

还有一些截面儿给它切一个截面儿，还有这些切割问题，还有外接球，内接球，这样的是考试。啊，比较重要的知识点。好，那这是它整个考试的一个大概的情况啊，然后简单的给大家进行回顾一下，那么这样这里面的一些公式好吧，这里面公式本章公式呢，倒不是很多啊，就常用题。那么，

它这个公式主要记住这几个就够了啊，长方体大家可以看一下，第一个就是长方体。好，那长方体的话，它长方体的全面积就六个面儿，上下左右前后六个面儿，它的面积情况还有那长方体，它的体积情况。是吧，它的体积还有体对角线，体对角线这个稍微重要掌握一下，因为体对角线在求长方体的外接球的时候，那是要用的好吧，那体对角线。

这个大家要着重的去掌握。好，另外就是正方体，正方体呢，更简单了是吧？正方体就是全面积，还有它的啊，这个体积还有它的对角线啊，这都是比较简单的，所以正方体。那接下来咱们看圆柱体，圆柱体呢？这个呢公式呢？要着重的背一背好吧，圆圆柱体公式啊，

圆柱体公式在这里面，我们可以看它有侧面积，侧面积其实就是它展开矩形的面积。啊柱体的展开都是一个矩形，矩形的面积叫侧面积好，另外呢，还有圆柱体的全面积，全面积就加上上下啊，两个圆就侧面加上上下两个底。那就是全面积啊，这是它的方法，另外还有圆柱的体积公式，体积公式你就拿底面乘以高就行了，这个很好。呃，

学习和掌握，那接下来就是球体球体的话，那么这也是考试重点球的公式，倒不是很多，就是一个表面积。一个体积好吧，然后表面积四派r方，然后体积v呢，就等于三分之四派r的立方啊，这是求得表面和体积那这类的方法。然后接下来就是内切球和外接球啊，内接球它对图有要求，只有正方体和等边圆柱它才有。然后其他图形呢，它是没有的。

啊正方体和等边圆柱，它才有这个内切球。好，那么这个内斜球，它对这个图形有要求，必须是方方正正的啊，上下左右前后呢，都比较方正啊，比较规则，那这时候呢，我们才能够。啊来进行找到它的内切球。然后咱们再看一下外接球啊，外接球的话，那就相当于是都找体对角线是吧，

都找体体对角线外接球呢，这一块儿要重要一点啊，外接球。y九一会儿咱们在讲的时候详细给大家先说一下这个图和球的直径，怎么去找？只要找到球心和球的直径就好办了。所以在这里面那么关键是要找它体这条线就正方体和。呃，长方体，那么它都是体对角线，使得外接球的直径啊，然后呢啊，它的这个。圆柱体就轴截面的对角线长，就是它的这个外接球的直径好，

这是给大家进行过一下公式，接下来咱们就一起训练这些题目，大家都思考一下这个题目。好，那么咱们就没有按照图形来进行给大家进行分类，好吧，咱们在之前学的时候是按照长方体呀，正方体呀啊，柱体和球体按照这个图形分小节学的，现在咱们就按照命题的。类型来分类，从另外角度来分类。好，我们来看一下题型，一题型一的话，

它主要是求表面积或者体积的求解，或者比较它的大小情况。是吧，有时候是比较它的大小啊，有时候呢，是它表面和体积的求解，然后在这里面尤其它某一个量，然后扩大几倍。它对原来体积和表面有什么影响，大家要知道，所以按找这种比例方法来进行分析和思考好，接下来大家思考一下第一个题。第一题咱们读一下题目，圆柱体的高增大到原来的3倍，半径增大到原来一点儿五倍，

问题增大到原来体呃，原来到底是几倍？好吧，就大家想想一个圆柱体，如果高是增加到原来三倍，然后半径它又增加到原来的一点儿五倍，那相当体积到底什么样的，大家都思考一下，想想一想。好那么圆柱体大家呢？都知道简单给大家画一个图，大家可以分析一下。好一个圆柱体，大家呢，都可以思考一下，

每个同学都想一想好，那在这里面大家知道圆柱体的公式，我们都可以。表面积的公式，它这道题问表面积和体积，这道题它主要求体积是吧？所以我们就可以写成v啊v，然后v的话就等于一个。派r方，然后乘以高。是吧，所以v就等于派r方乘以高，这样写好了，这样就可以把它体积给它写出来，体积公式我们可以看到体积呢，

在这里面体积它是跟什么有关呢？跟这个啊r的平方有关是吧？所以这地方可以看到跟r平方有关跟高的h的一次方有关，所以这道题那也很简单，所以说它现在体积。那么应该是原来这个半径的，这个平方倍是吧？所以说简单写写就可以得到这个v2比v1。v2比v1，那就等于一个r1比上。r1平方，然后这个r2平方是吧？这个可以写成r2的平方h2比上r1平方h1，这样就很很好分析出来了，考试都不用写那么多。

是吧，所以在这里我们把这数带到里面去，因为半径是原来的一点儿五倍，就那么就一点儿五的平方倍是吧，所以这个一点儿五的平方倍，然后再乘以一个高高是原来三倍嘛。高是原来三倍，然后这样就得到六点七五是吧啊，六点七五所以在这里面大家呢，也不要想多了好吧，所以大家注意啊，考试的时候像有的题它就不是很难啊，就得领六点七五嘛。答案就选的是b选项，这个题就做好了，

好这道题它应该改成它表面积增加到多少，或者说它体增加了多少，那这道题主要是看这个量跟什么有关，然后呢，得到它的。这个比例关系，然后求解就行了。比如说我们看这个题，它这个百分比的变化，看会不会分析啊，所以以后考试出现这种百分比的变化，大家呢，要会学会取特值来分析。好，各位同学都积极的思考啊，

来进行。求解啊，大家呢，看看选什么答案啊，原则题的高减少10%，底半径增加10%，问题增加多少？好吧，大家想想。所以这样的题目，它主要。求比值就取特值或求比值。获得百分比。好，可以取特值分析。

啊，取特值就可以了，大家看看会不会取特值？好，每个同学都思考一下，想想。好，这个圆柱的高。减少10%底半径，增加了10%体积，增加多少？我们可以设原半径是为一。原半圆是为一。高也为一算了是吧？然后v原来。

v原来v原来的话就等于派r方乘以高。派和方乘以高就等于派。现在现在这样的话，它的高减少10%，高减少百分之高就变成零点九了。底半径变成一点一了，所以派乘以一点一的平方再乘以。好再乘以个零点九。看这个是不是听懂了？然后在这里面，大家呢，就可以得到它的数值等于一点零八九。派好吧，所以这个很简单，这个一点一的平方正好幺二幺幺二幺乘以个零点九。

像一点零八九好，现在题是一点零八九，原题是派那比原来增加。增加多少呢？用现在的减原来的除以原来的知道吧，就现在减原除以原来就得到是增加了百分之八点九。在哪选c选项？好，大家看是不是听懂了？大家都要呃积极的思考好吧，想想选什么答案？看这个题是不懂了啊啊，不管以后考圆柱体还是什么？长方体，正方体也好，

球体也好，它什么变化了？对这个体影响或对表面影响，大家都要会分析和思考啊。啊，这是它的方法和思路，当然这个也可以让你求表面积变化多少，表面积变化你也可以取特值，就原来半径是一。高是一，然后现在半径是一点一高呢，是零点九可以算出它的表面积，然后看增加多少？看怎么变化，大家要会分析思考。

好，这第一个题啊，大家都可以很好的思考啊，比较简单，第二题我们看看第二题好，那第二题的话，那么一个长方体长宽之比我们读一下题目，长宽之比是二比一。一宽与高之比三比二，当然后面也有一些考试的难题，知道吧，然后长宽之比是二比一，那么宽高之比是三比二。啊，这样的一个情况，

若长方体的全部棱长之和是220。所以这道题考察一个棱长和问长方体的体积到底是多少？大家想想这个题好，这个题大家都知道长方体。啊长方体那么简单的可以给大家画一下，大家可以思考一下，看看选什么答案。好都想一想，这道题选什么答案？啊，当然比较简单的题，大家不画图也没事儿是吧？给大家画图可能就好理解一点好，假如这是a。BC给它标注上ABC，

都标注好标好，大家注意，首先要统一比例知道吧，统一比例要知道长宽高，它的统一比例，所以在这里面大家都可以思考一下啊。想一想数学题，你先思考一下，好思考完，然后咱们一起再看一下答案。好都思考完不我们看一下长宽高，因为长长与宽之比是二比一，宽与高之比三比二，所以把。第一个比例二比一可以把它变成六比三是吧？

所以第一个二比一把它统一成六比三，这样的话就可以写成六比三比二。啊，这也是六比三比二。是吧，这个写好了啊，六比三比二统一比例啊，大家都会做是吧？同样比例后，然后在这我们可以看有多少份儿，当然你可以设一个k有同学。可以设这个长是6k，宽是3k，高是2k，就把k解出来，

这也也是一个方法。好吧，一个设3k，一个设呃6k，还有一个设2k，然后去解出来，不过这个比较简单，大家直接可以看它有多少份儿就行了。所以大家可以看六+3。加上它正好是啊，正好是11份儿是吧？11份儿11份儿它给的正好是二百二二百二，那希望相当于正好给它扩大一个20倍。是吧，扩大一个20倍，

扩大二倍，这样就直接可以算出长宽高它的数值，所以通过这个题，我们就可以得到长高的数值，分别是120。然后60和40是吧？所以就把这个长高求出来除外，就120。60和40这样就写好了，好写好，那接下来我们就可以算出它的数数值啊。然后这一块儿在这里面，大家还要注意它的数值，全部棱长和全部棱长和应该四倍的啊ABC，所以在这里面大家还要注意有个四倍，

所以棱长和的公式要给大家强调一下好吧，棱长和。所以棱长和。l就等于四倍的a+b+c好给大家进行写一下吧，好棱长和大家可以看一下。然后和用l来表示好吧，四倍的a+b加加c好通过这个四倍，我们就可以得到长宽高它的一个比例情况好，那么这样。就可以写出来它的数值是吧？就30，然后15和十，这样就求出来长30。然后宽。最后这宽就得到是15高是十是吧？

这样宽15。然后高。就等于十好，那这是棱长和的公式对，然后把它除以四就行了，所以在这里面你算完后这个数给它除以个四倍。就行了，好除以四以后那么这样就可以得到体vv呢，就等于a×b×c是吧v就等于a×b×c，然后把30×15。然后再乘以十就可以得到答案是吧？30×15再乘以十。然后这样就得到4500，这个答案应该选择d选项是吧？4500。

所以答案选择d，所以这家听完后的收获就是一个是比例问题，比如几个量它的比例关系要掌握住。然后接下来就棱长和的公式，要掌握住好吧，棱长和要要记住另外。就是它的体公式，这要掌握住啊体公式，它的一些基本方法，这个要会分析和思考好，这是这个题啊，强调的知识点和内容。看是不是都听懂了，都做对了。好，

那接下来我们来看一下第三题，这个题这题它说圆柱的底面积底面半径与高的比是一比二。他给了这个，这两支笔是一比二好，如果体增加到原来的6倍。体呢，增加到是圆六倍好，这是圆柱，它这个内容，然后底半径和高的比保持不变。它还是一比二保持不变，那么底半径是增加到原来多少倍好这道题，它有个内容就是半径和高的比始终是保持不变，不管它的体积。怎么变化？

它半径和高的比，那都是保持不变的，大家都思考一下这个题。都想一想，这个题目都做一下。好简单，给大家画一个图吧。好简单，给大家画个图，这个图我们就可以给它画出来，画出来以后，那接下来我们知道这个圆柱的它的这个。底半径和高的比是一比二，那说明什么情况？说明这个h应该等于2r是吧？

所以h就得2r，大家想一想。然后没做的同学可以抓紧时间思考一下，想想这个答案a=2 ra=2，那么体增加到原来六倍，那么下面我们要写一下体积的公式。VI等于派r方再乘以高是不是？所以这个v我们可以写成就等于派r方，然后再乘以高就写好了。是不是把这个就修去写好了，写出来了好，那么写出来以后，那接下来我们看应该怎么办呢？因为这个h=2 r，而一=2r，

我们把它带到里面去，就等于二派。r的三次方是不是这个看是不是懂了，所以h把这个h=2 r给它带到这个体积公式里面去，带到里面去就可以得到这个v就等于二派r的三次方。好r30号，那接下来我们来看，有时候这个v1和v2只跟半径的立方有关，因为它这个高就不用去管它了。是吧，因为它半径要高的，比保持不不变，比如说v2比v1应该等于r2比r1的立方是吧，也就说这个它的比值关系。只跟半径，

它的之比的立方有关，那题目说了，它题要是六倍。提交六倍，提交六六倍，那么两边开三个根号就行了是吧？两边开三个根号就r2。比上r1，大家就可以简单的解出来啊，大家可以简单解一下开三的根号，想想是不是都会做？是吧，开三次根号，我们就可以写出它的，它的市值好，

开三根号的话，那在这里面正好呢，三次根号六。三的根号六，这样就写出来了好吧，所以这样就三的根号六啊，所以说在这里面正确答案应该选择的是。啊b选项好这道题，这道题主要考点就考察那么一个比例关系，就是表面积或体积怎么变化，它的半径怎么变化是吧？就是考察这样的一个思路，这几个都是考察比较考察比例变化。所以这几个题都放放在同一个类型里面，这样的话，

大家可以找到它的规律。是吧，你就看它这个跟半径之间有什么关系来进行分析和思考啊，另外这个h=2 r，这也是一个特殊的一个圆柱，知道吧，如果h=2 r，这也叫等边圆柱。为什么要等面积呢？它的轴截面是一个正方形。它轴截面是一个正方形，给大家画一个这个轴截面吧啊，轴截面就这一块儿轴截面，它是一个正方形。啊轴截面是正方形，

它高正好等于圆柱的直径，这叫做等边圆柱好吧，它正好啊，正方形正方形各个边相等吧，相等叫做等边圆柱，这就写好了。好吧，这等边圆柱的概念，所以这个也叫做写下吧，等边圆柱。好给大家进行写一下它的名字，叫做等边圆柱。好，这是一个比较特殊的圆柱好吧，等边圆柱。

好了，那这是给大家强调的这个第三题，大家看是不是明白了？好，接下来咱们再看一下球体啊，球体这个题大家思考一下球体。好若一个球的表面积增加到。原来的9倍，这它体积怎么变化？大家都思考一下，看选什么答案。好，如果表面积增加到原来九倍，则它体积到底是多少倍？体积怎么变化啊？

都思考一下这个题。那这里它的体积，它体积的变化的情况。啊，注意遇到球体，大家都转化成半径表，面积跟半径的关系，还有体跟半径关系，都思考一下，看谁？选完了好吧，这个题大家做一做，这道题也不是很难。啊，所以刚才咱们考过了这个长方体，

还有考察柱体，这道题是考察球体啊，都思考一下这个球体。其实大家知道，对于球球的公式，咱们都温习一下好吧，大家知道球体它的表面积是等于四派r方。它TV我们一起背背TV v又等于三分之四。忘记同学，我们再给大家进行分析一下。34派r的立方。啊，别给写错了好吧，这题v所以通过这个大家可以发现面比正好等于半径的平方比是吧，所以通过这个它面积是增加到原来的9倍，

可以很快口算出半径是原来的3倍。啊，半径原来三倍，如果半径是原来三倍的话，那体积就原来27倍是吧？也就说这个半径，这个比这个直接就可以选答案b好吧，这个就不用多说了。所以你找到半径的关系，找半径关系，然后再算体积就可以了，好吧，这道题也是一个比较简单的。啊送分儿题对呀，通过这个也可以通过体积找到表面积啊，

这道题好吧，这道题看看直接就可以口算出来，懂了没有？所以它的方法比较容易。对，你就把平方升到三次方就行了，所以把原来的二次方，然后升到三次方啊，所以体积跟半径的立方，它的比例有关系。是吧，这样就可以得到答案。好，那接下来咱们看一下第五题，这个题第五题第五题呢？

这个题就稍微难一点，大家呢读读题都可以思考一下啊，大家一起读题，最后这道题看能不能呃？思考它到底是什么样一个图形啊，一个两头密封的圆柱形水桶。两头密封的圆柱形的水水桶，这是两头密封的，大家想象一下。然后它可以横着放，也可以竖着放是吧啊？就横着放也可以竖着放，然后他说水水桶如果横着放时有水的部分。占圆柱周长的四分之一。则水桶直立时，

水的高度就把这个水桶呢，给它这个竖着放，竖着放，以后它有水的高度和桶的高度之比，到底是几比几？啊机b都做一下这个题，这里首先题得读懂什么意思啊，如果没读懂同学简单给大家画个图好吧，大家都思考一下，简单给大家画一个图。好给大家画个图吧，都思考一下。啊，我给它画一个这个立体图好吧？给它画一个这个立体图。

好都想一想啊，没做的同学都思考一下。好就相当于呃，想一下咱们喝水的瓶子一样，把它横着放横着放，以后那么它有水的部分，有水部分它占。圆柱的四分之一啊，它给的这个图啊，它原来这个题给的这个图是一个截面图。是一个平面图，知道吧？是呃水桶的平面图。这个懂了没有？有时候给的就这这一块儿是有水的部分，

我给大家画的是一个立体图。好吧，这两个结合起来可能就好想那大家想想，那不管它怎么放的方式，它什么是等量呢？什么等量？所以在这里大家要注意这个水的体积是等量。好，所以在这里面给大家先写一下啊，水的体积。是相等的，或者是不变的是吧？随着体积。它的相等。它是不变的，

就大家算一下，第一种就是大家都思考一下，如果它这个圆柱要水平着放。它的水的体有多少？然后竖着放它的体有多少？它这个横着放，大家想横着放，它这个体也是拿这个底面乘以高底面乘以高，只不过它是一个不规则的柱体。它的这个面积什么面积就是这个圆弧的面积，知道吧？就这个圆弧来想象一下，就是他画的这个圆弧的面积，圆弧面积，这圆弧面积怎么求是吧？

大家看一下这个图，就求一下这个圆弧的面积。把图中这个圆弧面积给它求出来，求出来，然后大家说它占了四分之一，这给了一个条件，占了四分之一。这四零那就可以推出它这个aob这个角是9度。看这个是不是懂了是吧？这个角它肯定是占了九十度，对吧？占九十度，那这个面正好咱们学过平面几何，平面几何，正好用一个四分之一圆，

就是一个扇形。减掉一个等腰直角三角形就行了，因为这道题它求比值求比值，我们可以取特值是吧？所以一个技巧大家记住就求比值取特值就行了。所以给大家进行写一下好吧，所以大家做题的技巧。就是求比值，大家取特值。好，其实这个我们可以设半径为一好吧，比如这道题，我就设半径为一。这r就为一了，而r就为一，

那这个面积不就好算吗？是吧？这个面积这个面积大家就可以看出就四分之一圆。所以就可以写作四分之一圆就四分之派。这四分之一圆，然后减掉一个等腰直角三角形，减掉一个等腰直角三三角形，这等腰直角三角形就是二分之一。是吧，简单一个等腰直角三角形直等腰直角三角形就是二分之一嘛。是不是？所以它正好是二分之一。因为它的我设半径都为一，懂了吧？比如说这个半径它都为一。

然后还没做出来的同学抓紧做好，这是它这个。这一块儿圆弧的面积。只要是柱体，知道吧？什么叫柱体就上下一边儿粗，上下一边儿粗的话，这个柱体它这都等于这个面积，然后再乘以这个高，这个高的话，我们假设水桶的高是h。这种高是h。然后这其实就是水，它的体积现在要把它竖过来放，把它竖过来放竖过来放，

大家怎么想象呢？竖过来放竖过来放，就这样的。给大家再画一个图好吧，就竖过来放。就把这个瓶子啊，给它。立过来放知道吧，立过来立过来放以后那就有水的部分呢，就这样的。啊，有水的部分呢？就这样了，这是有水的部分，然后这个高我们就设h水就有水的高就h水。

是吧，就h水，然后因为刚咱们设的半径r是等于一对吧，设半径r既然为一既然为一的话，那在这里面我们呢就可以。算出现在它的水的体积，现在水的体积正好等于派r方再乘以高。这这个高是AH水。有派乘以r方，再乘以高好，这个式都代都代表什么意思呢？都代表是v水水的体积是相等的。使得题它是一样的。好，那接下来我们就可以解出它的h水和桶的高之比，

它这道题要求。那么桶的高。还有水的高，它们两者比值好吧，求这个比值求这比值大家都算上答案没有啊，想想这h水比上h又等于。大家简单，两边除一除化简一下，得到四分之一。减去二派分之一选c选项，是不是大家化简完两边除一下这呢？应该选择c选项。答案就写好了，好吧，这是他做的一些方法，

就这里要听完后收获就是它可以一个密闭容器，不管是圆柱体还是一个正方体长方体，它按照不同的位置来摆。明白后里面水面它怎么变化？水的形状怎么变化是吧？这是呃强调特征，就只要抓住水的体积相等，然后列个等式。然后分析就可以了，而且注意大家要会求啊，不规则柱体的体积都是用底面乘以高这个题，底面又用到咱们讲过的圆弧一些呃计算的方法和公式。看这下是不是听懂了？下面咱们再学习立体几何，里面的一些这个疑难点好吧啊，

立体几何啊，它的疑难点好立体几何，里面大家呢，在做一些疑难点和技巧的时候，主要是这个与这个水相关的内容。大家要注意好吧，掌握这个水好，那接下来咱们看一下这个题。一个两头密封的圆柱形水桶水桶。水平横放时，有水的部分占水桶一头，周长的三分之一。当把这个水桶直立时，水的高度与桶的高度之比到底是多少好？那接下来咱们来看一下它的这个情况。

就是把这个因为它给的是一个截面图，其实它是这样的好，如果这样横放，它有这样的一个情况。好，就这样的一一个情况啊，就这样的啊，所以横放式那这样，这时候大家注意这个税。它不管怎么摆放，随着体积不变，所以这道题呃等量关系随着体，随着体积怎么做，它这实际也是一个柱体，这个柱体就拿这个阴影部分的面积乘以高。

好阴影部分，所以大家要会求阴影部分。它的面积乘积越高，好在这里它写了它占三分之一啊，这个水水桶横放时，它有水部分占原作三分之一，原作三分之一，那说明什么？从它的角度是多少度啊？大家想想。也就说它有水的这个部分。这个弧长。误差好占整个圆周的三分之一。大家知道一圈是。啊，

一圈呢，是这个360，所以它这个就相当于120。相当120度对吧？120度我们主要是为了求这个面积，求这块面积面积，我们怎么去求呢？就这方面，我们看它，它是它怎么求解？它怎么求解呢啊？拿这个呃扇形的面积再减掉这个三角形的面就可以了，因为它要求比值求比值，我们可以取特值做对吧？我们可以设半径r就为一算了。

这个半径r为一，这为了好做半径r为一，那这块面积我们怎么算呢？这块面有三分之一派r方。三分之一派r方这样的情况啊，就三分之一派r方。好，三分之一，它派r方好，这是它的这个情况啊，三分之派r方。好，然后这是它的三分之一圆扇形的面积，然后再减去减去大家知道一百二十度的一个等腰三角形的面积等于四分之根号三倍的腰长平方。好，

这是它的页面，然后乘以高。h然后把这个水桶直立起来以后。执行以后那么有水的，这个这个高度我们就把它称为h水。是吧，有水的高度就是h水，所以他这时候他的底面积是派乘以r方。然后再乘以h水。就行了，好再乘以这个h水就可以得到这个结果，那它问有水的高度和桶的高度之比，那我们就。求出h水比上h。然后把这个派给它除过来啊，

派除派除过来就变成。三分之一减去一个。四派分之根号三答案就求解出来了好，这是它的方法和思路好正确，答案就选择是e选项，这样就求解好了。这是它的做题点。好，所以这道题呢啊，大家要掌握，使得题相等这样的一个做题方法来进行求解和分析。好，接下来咱们看八分之一八分之一相当于什么？相当于四十五度是吧？八分之一相当于四四十五度。

就就就八分之一就四十五度了。那就八分之三百六。等于四十五度好一样，在这里面大家可以发现这个扇形面积有八分之一圆，咱们还设这个半径为一有八分之一。派乘以r方减去四十五度，这个三角形就是二分之一r乘以r再乘以s in四十五度。然后再乘以水桶的高度h。这样等于派乘以r方，再乘以一个h水有水的高度，这样的话你就可以求出水的高度占水桶高度的。这样一个比例情况就等于八分之一减去四分之根号二。啊四派分之根号，这样就写好了，好最简答案应该选择的是c选项，

好它的做题的方法思路，所以这几个题都是。类似的主要是这个角度，它再做一下调整和变换好吧，就把这个角度算出来，然后这个答案都是很好求解的。好看，这几个题是不是听懂了？是不是明白了啊？好，接下来我们再思考第六题啊，第六题这个题好，这个题它说啊，那么这个一个圆柱的高，减少到原来70%。

是吧，减少到原来70%底半径，增加到原来30%，咱们一块儿来读读这个题，想一想。好，然后呢它？让我们求它的体积到底怎么变？是变还是不变？好，那在这里面大家可以取特值做。好吧，然后呢？这样也也好，分析不去特制做也好，

也也能做好吧，所以应该假设那么原来的高，我们设原来。原来这柱体的高是h是吧？半径呢是r。那现在。当取特值要快，知道吧现在。现在的话，然后它的高减少到70%，就说明是零点七h。是吧，你看这个。啊是零点七是吧？零点七h好，

然后呢？它的半径增加到。原来百分之。130好，那说半径就是一点三。r是吧，就一点三r，所以当然起特别快，你可以设原来的，原来h是一。r也为一这样话要简单知道吧，好接下来我们一起来算它体积体积到底现在体积v现在。啊，没做的同学，现在抓紧做好题，

就等于派r方再乘以高。是吧，然后派乘以r方，它有一点三r的平方，然后再乘以高。好，那这一块儿大家呢？就可以看看它的这个考试内容，所以大家这道题就可以算出就d选项是吧？一点三×1点三，再乘零点七正好呢就是。等于一个啊，一点儿一八三，一点儿一八三可以写成百分之。一百一十八点儿三是吧？

可以写成百分之一百一十八点儿三，然后再乘以一个后面，后面就是派r方。乘以高这个就正好是现在的体积了。是吧，然后就可以得到现在的体积，然后这一块儿大家可以看一下它的这个情况，所以这个就比较简单，这个答案就选d选项。是吧，所以大家可以看一下它的考试内容啊，这一块儿呢，就不是特别难。就你记住它比例的变化啊，然后这一块儿它的这个考试方法是吧？

都比较简单，当然咱们后面考题就会难一点。好吧，所以大家知道越往后越难，咱们由简到难给大家进行讲解的。好，那这道题就讲到这好吧，这道题呢，也取特值法做也是比较快的啊啊，取特值法做都是可以的。好，接下来啊，大家就开始增加难度了。那接下来。好，

那么大家想一想啊，它的这个内容，因为现在随着科技的发达，所以说各方面都在进步，所以考试的难度啊，各方面啊，它也都在发生变化。啊，尤其现在考生他接受的信息啊，还有这个培训的水平越来越高是吧？越来越高，所以大家的这个成绩啊，然后呢啊，也在涨，所以说分数也也在涨。

是不是所以大家呢？现在考生人数也比较多啊，比较多，所以大家呢要注意一下，所以它的难度呢，也在发生变化。啊，因为考生人数每年都在增长嘛，所以说大家想想一想是吧，竞争激烈程度肯定多了，所以说考试这个难度要调整。好，那接下来我们看这个题，矩形周长为二。将它绕其一边，

旋转一周。当所得圆柱体体积最大时，这个矩形会是什么样子？啊，这个就结合它最值来求解，那最值的话，这个就稍微难一点啊，最值大家做的时候啊，别给做错了。好，那这道题大家想想一个矩形，那矩形这一旋转旋转完以后，那它就变成一个。圆柱是吧？变成圆柱，

如果想不了，给它画一个图。啊，假如这是一个矩形。简单画一个图。好距它要绕一边旋转一周是吧啊，绕一边这个旋转一周旋转完，那就变成这样一个圆柱了。想想是不是这样的，它又变成一个这样的圆柱。是吧，所以大家想象一下，是不是又变成这样的一个圆柱了？好给大家画一下图，大家好思考一些，

然后没做的同学可以都思考一下好吧，想想它变成这样一个圆圆柱，变圆柱后，它如果这个圆柱体要最大。啊，最大，然后这一块儿。对，转出来就是一个像一个墩儿一样，菜墩儿一样或者什么的，大家可以想象一下是吧？这样转完以后在空中转一个菜墩儿一样。是吧，这样的一个情况。好算出它这样一个式式子，

好算出这样式子，以后那接下来我们想想看应该怎么做是吧，然后怎么求解？好，那接下来我们呃，这个可能有同学在考场上，以为它这个矩形是正方形的时候是最大，不是这样的。不是正方形，是最大那这道题我们看怎么做呢？我们就假设这个矩形一边设为x好吧，这一边长是x。你俩知道这个矩形，它的周长如果为啊，周长如果为二周长为二，

那么这个半周长。就这个矩形，它的半轴状就为一，如果一个边为x，另外一个边就是一减x。好，大家边做边思考一下。是不是这样的，所以这个矩形在旋转的时候，大家要想象一下啊，需要大家想象能力，就它矩形。底面这个边就作为圆柱的半径。是吧，所以在转的时候，

它作为一个圆柱的半径来进行进行出现的。然后另外一个边作为这个圆柱的高看，大家能不能想到是吧？所以一个边作为半径，另外一个边作为它的高。那它的v我们就可以写出来是吧？可以把它的v给它求解出来。好v就求解出来，好v求解出来v就等于派r方乘以高是吧？就等于派。乘以x方，然后再乘以高。是吧，这是它的一个体积的表达式，看懂了没有？

就圆柱体就等于。派r方乘以高。然后接下来难点难点，看大家结合之前学过的平直定理，那么大家会不会思考，所以这道题就综合性就比较强了。要结合这个平衡定理来进行分析思考。啊平衡定理，大家想想这个平衡定理，那这个是怎么去拆分是吧？所以最近这几年在平衡定理这块儿考的也比较多，大家想想怎么去拆分变形？那都思考一下，怎么去便携？是吧，

然后掌握它变形的方法，变形方法，大家可能忘记，同学还记住咱平行定理，平行定理，如果它的乘积要有最大值的话和一定要为定值。是吧，和要为定值有有印象吧？和要为定值，所以这也就说三个数a乘以b乘以c，把公式写下，就三分之a加b加c。括号的三次方，因为这块儿有同学比较陌生，我们把这公式给大家写一下好吧，

所以这个公式大家记住，就是a×b×c回想一下。小于等于三分之a加b加c括号的三次方看这个，大家还有没有印象？好吧，想想看还有没有印象？啊，都思考一下，看还能不能想起来，但是呢，咱们对大家一定要想到咱们学过的平数定理一证二定三等。一到二零零三年，这道题s肯定都是正数了。肯定都正数对不对？然后矩形的边长肯定是正的嘛，

然后接下来我们怎么把它变成定值？大家想想让这三个数的乘和要被定值的时候，这样的话它的。成绩才最大，都思考一下它怎么变成定值。都想一想，把它变定值就可以了，然后变定值的话，那我们怎么去做？是不第一步，我们先把这s平方要拆成x×x。啊，没做的同学赶紧思考对吧？先把x平方拆成x×x。这样的啊，

什么定理就是平均值定理。平均值定理好，平均值定理，这叫平均值定理。啊，均值定理。啊，那在这里面把拆完后，大家发现现在的话，它不能够产生它们的和为定值。什么叫和为定值啊？就是相当于是这三个数要加在一起，就xx和一减x这三个加在一起必须是一个固定的常数才行，现在它不是固定常数，那应该怎么办？

好好那么什么是均衡定理，就相当于是算术平均值和几个平值，它大小关系就是均衡定理好吧，所以在这里面大家要注意均衡定理的概念。就是学过的就是算术平均值大于几何平均值，它这个的考试内容好吧，那接下来我们来给大家说一下算术平均值算术平均值n个数的算术平均值，大家还有没有印象？是吧，还有几何平均值，这就n次根号下。x1×x二×xn。这是n个数的几何平值。好要小于等于。它的算术平均值n分之x一加x二，

加上一直加到xn是吧？所以说。n分之x一加x二一加到xn好，要知道这样的一个内容。是吧，这样的。然后接下来啊，你要么把这个为了产生它定值啊，平时定理忘记同学可以把之前知识点呢，再温习一下。好，要么就把这x都变成二分之一x是吧？那我为了避免出现分数啊，我在变形的时候就把这个东东西啊，然后给它乘一个二倍。

是吧，乘以二倍，这样的话就不会出现分数了，好吧，要不然出现分数的话，这个也不好弄是吧，所以我们呢，就是这样变的。变的就是后面给它乘以个二，所以前面的写个二分之一。好给大家先写一下好吧，就是后面给大家，后面括号乘以二，前面再除以个二。好，

这样变形以后，大家可以观察这三项，它的和是不是就是为定值了是吧？你可以看一下这三项。它的和是不是为定值？什么叫定值？简言之，给它概括一下定值，它加在一起的时候，它x就没有了，这叫定值。s就没有了，这才叫定值嘛。对不对？它加在一起，

你看x是不是没有了？这里也可以求体的最大值到底是多少？所以说如果算体积最大值，它小于等于前面这个二分之派可以照写，就不用管它。对吧，前面这个二分之派小于等于三分之，它三个数相加，三数相加正好呢，就三分之二。然后立方。啊立方，然后这样就可以写出来，然后再算出来就等于27分之。四派是吧，

然后这个等于二十七分之四派。啊，这样就写好了，写好很多同学，那么很可惜，就选了一个a选项啊，这道题人家不是问题，最大到底是多少？如果要问题最大是几，那你选个a。那还可以，那这道题它并没有问题最大，这个是40几，所以有同学呃说选a那么这一块儿，那就丢分儿，

很可惜，那大家知道。平行式定理什么时候取等号，大家想想什么取等号，平行定理什么时候取等号，那取等号条件什么？取等号是不是三个要完全一样，就咱们讲过的算的平均值和几个平均值要相等相等，每个数都要完全一样，每个数都要完全一样的话，那这道题应该是x=1-x就x正好等于一个。啊，这个就是x正好等于二减二x哎，正好等于三分之二时候也说让这三个相等是吧，所以它呃，

当这个x正好等于二减二x的时候x等于三分之二时候。啊，那在这个情况下，那它v是最大的，对它都相等，三个数都相等，大家说的非常好，是吧？大家想一想，三个数都相等。啊，都相等的时候，那么这个是可以的。三数它都一模一样嘛，都写相等这样就行了x正好等于三分之二，

好x等于三分之二，那么另外矩形要边就三分之一，所以这个矩形。这个矩形呢，就变成一个什么样的情况，变成一个边是三分之二，一个边是三分之一是吧？就这矩形。一个边三分之二，一个边三分之一，然后这个坑给它挖的很漂亮是吧？然后这个矩形面积就是九分之二，所以这个矩形那面应该是九分之二，所以这样呢，应该选c。

选c同学是得分的是吧？是这个题啊，好不容易做对了啊，结果这样的。好啊，这个不是一减啊x啊，在这里面大家注意，不是x等于一减x，是后面因为x和一减x，这时候呢，它还不是定值。还不如定值，所以有同学问为什么不是x=1-x一定要变形到定值内部的时候才能相等，所以大家也不要掉到另外一个坑。好吧，

另外一个坑，所以说在写到这一步的时候x×1-s的时候，那这时候呢，还没有产生定值。还没产生定值，所以说在这里要配一下，配完以后那么才可以好吧，所以得让他要知道它的这个内容，所以配完以后让这三个数。那么相等也就说配到哪的时候呢？配到最后的时候配到最后这三个数相等的时候。就配到这个地方。啊，这三个数相等，它不是正方形啊，

不是正方形，所以说这就对这道题给它挖了好几个坑啊，别给思考错了好吧，所以大家在做的时候。啊，要注意。好，那这是大家呢？要看一下它难度，后面呢？还有难题知道吧？所以这个难度在增加。啊，也就说它随着大家考生的这个这个学习的能力的提升，知道吧，

因为现在大家想想这个接触的这个信息。啊，月月多是吧？就相当于大家呢呃，科技都在发达，所以说大家呢啊，可以可以可以看它这个对配啊，配这个数有点儿想不到是有点儿想想不到。所以以后就想到了大家，回头再做一九年有个考题也是要配这个数好吧，一九年的考题，到时候再做的时候。也是用均值定理来配这个数啊，大家呢，要会配要会分析，

要不然的话，那这个就想不到了。好，那这是它的这个知识点，那么一九年考的这一块儿好，那么就是比如说一九年可能有同学还记得是吧？有记得有同学忘记了啊，二零一九年考的就是y等于个。2 x+x平方分之a要求它最小值。啊，要要求它最小值好，这是它的这个这个内容是吧？在二零一九年，到时候大家也要会配。啊配会配，

所以均衡定理这一块儿啊，有一个详细的这个代数，前面的知识点的介绍啊，这个定理咱们就不再往下说了，因为咱们今天主要是给大家进行介绍一下几何这一块儿。是吧，几何这一块儿，它的这个内容。啊，如果这道题只要掌握到圆柱的公式。就要达到这个题的要求。好吧，至于平值定理，忘记同学回头呢，你再去看看这几年考的都得有啊，

所以说以后大家学平值定理的时候重视起来。好吧，这样内容好，大家可能忘记忘记，没事儿，回头呢，再翻一翻好吧，翻一翻，然后这个这个二零一九年考题都考到了啊，然后二零年考试也考到了。就是说这个。形成定理这一块，你先去看一看，先温习一下。好，

接下来大家做这个题，具体的周长为二，将它卷成一个圆柱，使得圆柱体最大值到底是多少？大家思考一下这个题。啊，如果矩形周长为二，把它卷成一个圆柱，求圆柱体积最大，到底是多少都思考一下。好，这是一个矩形。然后把它卷成一个圆柱。卷成一个圆柱。好问出的原则题，

最大值到底是多少？大家都想一想。好，那有同学已经做完了，接下来咱们看这道题选什么答案都思考一下，没做完，同学抓紧做。好，那这道题我们怎么思考呢？我们可以进行周长为二。这边的话，我们可以设。设一个边为x，另外一边就一减x。好在这周长如果为二，

那说明半周长就为一，什么叫半周长呢？就周长的一半就是长加宽。这样是一所以说设一边为x，另外一边就一减x是吧？一个边要x，另外一边就一减x这样的。对不对？好了，大家知道这个高，其实就相当于圆柱的高。我们学过圆柱这个，这个长度就相当于是圆柱的这个周长。是不是圆柱的周长想想？啊，

圆柱的周长，所以这个长度将圆柱周长周长为x，它的半径r。就等于周长除以二派。好没做完同学抓紧做这个圆的体体积v就等于派r方。啊派r方，好，那接下来接下来咱们再来看。派方乘以h，然后把这个带到里面去。派乘以个。这r的平方就代表是s方除以四派方。在咱高h就一减x是吧？好得到这个值看是不懂了。其他同学做完没有想一想。

好，做到这以后大家再想一想。再想想这个派可以约掉一个，然后呢，四分之x平方，我们要想用平数定理的话，大家一定要记住。啊一正二定三等是吧？所以要把它拆成。定值拆成定值拆成定值的话，那这个派跟派约掉约掉以后，我们可以把它变成什么呢？变成。派分之一乘以个二分之x。二分之x，

再乘以个一减x。也就说这个分母不有个四吗？四分之x平方，四分之x平方可以写成二分之x乘以二分之x。是不是这样的好？是不是x乘以？把它拆开啊，拆成这样拆这样的话，大家就可以发现。把这个看成。ABC.把它看成ABC。懂了吧，把它看成一个ABC。我们学过a乘以b乘以c小于等于三分之a加b加c括号的三次方。

是不是这样的？ABC小于等于三分之a加b加c括号的三次方好，这样的一个情况。是不是什么时候取等号ABC相等的时候就取等号，所以接下来咱们就套一下这个均衡定理。乘以这三分之三个数相加。这三数加在一起，正好是一。所以就得到。二七。派分之一，这样写好了，好看是不是懂了啊？是不是明白了？好，

所以这道题大家呢？在做题的时候要掌握它的基本方法是吧？所以首先要能够知道这个矩形如何卷成一个圆柱。最大招要知道矩形怎么卷圆柱，这个高正好是圆柱的高，然后这个是代表圆柱的周长。然后算出它的半径rr知道了，按照圆柱体体积公式就等于派r方乘以高，然后把它带到里面去。这块儿可能有同学不会变形啊，不会解，不会变形，然后这个地方大家一定要想到均衡定理。均线定理，均线定理以后，

然后均线定理的关键点要把它拆分变成定值，把它拆成定值就可以了。好，那拆定呢，我们看怎么拆？是吧，拆成电电子它的方法一定要知道怎么拆。那在这里面那大家要把四分之x方拆成二分之x二分之x，这样拆拆完后就可以写出它的数值了。这答案就写出来了。我看大家这个平均你不会猜，再给大家写一个题。这个边长为。24的正方形。那四个角。

减去。一个正方形。把它折叠成一个长方体。求长方体，它体的最大值。草里的体的最最大值。大家都做做好吧，再给大家写写啊，因为大家这个矩阵定理可能用的不太好。就它的角减去四个相同的正方形啊，减去四个相同的正方形四个角。它减去四个相同的正方形。好剪成四个相同的正方形，剪完后，然后把它。

纸折叠起来。好把它给呃折叠起来，折叠起来，这样一折嘛，折就可以变成一个。长方体了，求长方体最大值，大家加油，比赛看谁能做出来？好，我们可以假设。假设减去的是x。长度。减去是x的长长度。对吧，

减掉是x这么长。而这种长那中间就变成24-2s这个边长。在这边上是不是24-2x想想？然后这个也变成24-2x。是不是这样的？这样的话，那它的vv应该等于长宽高啊，长宽高就24-2s的平方。再乘上高这个小的这个正方体，这样这样小的一折起来折起来就变成高了，这能想象吧？怎么样变变得高？好得到这样一个式子。它说，那接下来这个里面，

我们可以提出一个二提出二平方变成四了。平方就变四是吧？所以外面平方变四。啊四，然后接下来要给它拆成定值，你把这看成ABC，看成ABC。是吧，看ABC以后那么这个四要给它变成2x啊，然后这一块好吧，所以这一块大家看一下它的这个情况。好有同学看错边长了是吧啊？对，看错了，然后这时候大家考试的时候一定要细心点。

一定要把拆分成。2x知道吧，拆成2x为什么要把这个x变成2x呢？因为。它的和b为定值和为定值，它是小于等于二分之。啊二乘以三分之三个数相加括号的三次方。是不是这样的？好看，这个是不是明白了？就三分之三个数和。它的三次方在这里面，大家首先呢，再给大家强调一下我们设减的这个正方形的边长是xs又。这个就是24减掉2s，

这个也是24-2s啊，所以这个长方体它体积这是长宽高相乘。这样的话，然后这里面提出一个二提出二就变成四倍的。适配的适配的，然后这一块。然后把这二一定要给它拆到这儿来。啊，拆到这来。插到这，然后这样就可以写出它的数值了。然后用刚才咱们讲的公式a乘以b乘以c小于等于三分之a加b加c的三次方好，这样就可以得到答案。好看，是不是懂了？

还有没有不明白的同学想一想？好，这个它的这个方法看这个是不是听懂了？然后把这个加在一起，加在一起，加在一起有两个12。啊加一起有两个12。加起这三个求和啊，三个求有两个12。啊，两十二这样就可以得到答案了是吧？就12+12。就这样的啊，所以这样就套刚才咱们讲的这个公式好吧，12+12，

然后这个算出来就等于幺零二四。答案这个结果就写出来了，好看这个是不是听懂了它的方法？和思路好，大家在做平行定理题的时候，一定要学会给它拆分。好吧，拆分可能有同学不太会拆是吧？大家拆分看这两题是不是让大家明白它怎么拆分了？好这个呢，就选择c选项，看各位同学是不是听懂了？好了，不会平行定理的同学，然后再好好思考思考，

想一想啊。好，那接下来咱们看下一个题。下一个题，大家思考下一个题目。好，这个题。呃，这题我们读一下题目啊，它是一个储物罐儿。下半部分是一个。啊，下半部分是一个底面直径与高都是20的，一个圆柱形。啊，

一个圆柱啊，这种形状，然后上半部分顶半部分是一个半球，上面它是一个半球。然后底面和底部造价都是每平米400元，它的价格就咱们加工这个，比如说咱们经常看的汽油罐儿呀，或者说什么储罐儿呀是吧，它加工这个形状。人家加工费，然后侧面的造价要低点儿，侧面每平方米造价呢是300，问要生产这一个储物罐儿应该花多少钱？好吧，就一个比较大的一个储罐儿，

比如储存油啊，或者储存什么东西的，一个很大的一个储罐儿，所以它下面呢是一个圆柱，上面是一个半球。这种一个形状的储罐儿好，其实这道题我觉得思路大家都好弄，就关键是在计算的时候很多同学。这个计算能力不过关，知道吧？计算能力就是这道题呢，大家是不是都知道，就像大家算自己家里面，比如说铺瓷砖呀，或者说咱们这个刷墙呀，

都是按照面积收费是吧大家？比如找人来装修，又按照面积来收费是吧啊，然后都是拿这个面积再乘它单价，就算出总共需要多少钱？好，每个同学都练习一下啊，其实这道题思路我觉得大家都能够听懂是吧，都知道拿每一块儿面积乘以它单价把每一块儿加在一起就得到总的价钱。但是计算的时候别出错了好吧，看谁算的快好吧，大家都思考一下。好那么都思考完以后，接下来咱们一起来写好吧，就顶部和底部，

它的造价是一样的，我们把这底部。和顶部放在一起来算好吧，来一起来计算。然后顶部是半球半球的话，注意球的表面积是四派r方，它半球是二派r啊，很多同学背着背着，结果忘记了。是吧，半球一半儿嘛，一半儿是二派r，所以大家别给写错了，它就二派。而且在这里面做一下单位要换算啊，

所以到到时候大家别给写错了，就是20米它直径。都是20半径，相当于十啊，别给写错了，半径r是等于十的。半以r为十啊，这个别别算，它当做20来做。好吧，所以这个二派r方。这个是代表上面那个半球顶部半球，它的表面积，然后再加上。底部面底部面就是一个圆派乘r方。

然后乘以它造价，造价400。然后再加上再加上什么，再加上侧面侧面它展开是一个矩形是吧？侧面它展开是一个一个矩形。矩形所以说矩形就是二派r，然后再乘以高高是20啊，大家要注意。再加上二派r再乘以高高是20。啊，这个h是等于20的，别给弄错了。然后这个再样再乘以它的造价，造价300。是吧，

再乘上造价就300就可以了。好，这样就写出来结果了。好看，这个懂了吗？等然后再计算的时候，这个怎么算？大家最好去估算，因为它这个这个单位是元，它最后是万元。是吧，然后再这个是万元。万元万元再说，元跟万元正好相差四个零是吧？所以说在这里面啊，

大家要知道啊，四个零四个零，我们把它变成万变成万的话，然后都拿到四个零，都拿到四个零，这个这里括号里。里面又变成变成三派了。三派乘以四加上它拿走四个零拿走四个零以后。然后正好是12派。这是这变成万元好看，大家是不懂了，就三派，然后乘以个四。然后加上12派。然后这个后面拿走四个零嘛，

拿走四个零十二派，然后这是万元。那也那这个算出来正好等于24派。万元。啊，24派。万元好，24派在这里面，大家知道。派呢，取三点儿多，这时候可以估算好吧，可以关考试没有计算器啊，在这边考试没有计算器，派三点儿多按照三来估算，

24×3大概是72。是吧，72那么就找一个跟72比较接近的数，那只有c选项，所以这时候呢其实呃不。用计算器也能够啊，大概估算出来大概有72点儿多点儿是吧？然然后这样估算就c选项。那就行了，好吧，就约等于七十五点三六就行了，好这道题其实不是很难在计算的时候一定要小心点儿，别给算错了。啊，这个特征是吧？

对，拿三都能算出来是是是如果它如果它给你几个干扰性大一点儿，比如说d选项给一个77点儿几。77点儿几或者给一个74点儿几或76点儿几，那这个东西那它的数之间的区分度比较小，比较小，那没办法，那只能是二二十四乘以。派乘以三点一四，你自己呢？简单的写写几步，所以这个它给的数值呢？还是区分度还比较明显？啊，很很好分辨知道吧，

很好能找出来，这样还好一点是吧，要不然的话，你这这还得去计算。

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