概率初步-基础自测题-问题求解
好，首先来看一下问题，纠结题。好，我们来纠结题第一个题目，第一个题目主要考点是考察取样，它的概率的计算就是从这个样本里面甲取两个，乙取两个。好，所以考点我们来写一下。是考察取样它的概率的计算方法。好那么甲从正方形四个顶点中任意选两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点里面。取两个连成直线所得的直线相互垂直的概率到底是多少？好！假如这是一个正方形abcd。好那么甲从四个点选选一个，所以在这里面就c四二它的选法。比如说选AB这两点连线，注意选完这两点，不用再排序了啊，因为AB这两点连线跟BA这两点连线，它是一样的，所以就不要再排序了。好，然后再乘以乙乙它选两点就c四二啊，也是不用排序，这个分母就总情况数分子的话要出现垂直。垂直化在这里面，我们可以发现。
它总共有四种情况，垂直啊，四四种情况，然后再加上对角线。就是五种情况，明白吧，比如说这是一个直角，这个直角，这个直角，这个直角，然后呢，再添上两条对角线。只有直角，所以。五种垂直情况，
但五种垂直情况，两人可以交换什么样可以交换呢？比如说甲取AC。乙取BD，那有可能是甲取BD。已取AC是吧？所以要交换啊，就是五×2这个要交换交换，然后这样上面是十，下面就36。这样可以得到十八分之五，这些答案就选择c选项，看这道题是不是学会了，好在这里面大家呢，要用列举法找到它垂直的情况，
垂直情况的话，然后这些。呃，垂直找到以后，两人还可以交换，还可以排序，所以大家呢，要注意它的特征和方法，看是否学会了。好，下面咱们看第二题，第二题也是考察这个点数，满足某个区域，它的这个概率也要考察列举法。只有点数。
满足。某区域。好，这种情况就要用列举法分析。用例一法求解好，那我们来看一下它的特征，在x+y=5下方啊下方，那就相当于是要满足x+y要小于五。啊，就下方它要满它小于五，所以在这里面我们要列举法，好在列举法时候大家一定要固定一个讨论，另外一个明白吧？比如说m取一的时候n可以取一二。三是吧，
然后m=2的时候n它可以取一二。m=3的时候n它可以取一。它可以取一好，在这里我们就可以列举出来，好列举完后总共有六种情况，大家数数六种情况，所以概率p。分子就是六分母的话，那么就是质两次就36种情况啊，因为质一次就有六个点儿，质两次有有36种情况。所以这样就得到是六分之一，这样大家选择a选项，看这道题是不是学会了这道题考试真题里面还出现过所得的点的坐标落在某个圆内，它的概率。
啊落在圆内，或者说落在某个直线下方，它的概率到底是多少？在这里面，大家要做掌握做题的方法和思路，看是不是学会了。好，那么第三个题目，第三个题目主要考点是考察取球问题，也考察取样。考察取球取样好对应的黑球五只，白球四只，从中随机取出四个球，则四个球黑白都有的概率。道理道理说就质就既要有。
黑球也要有白球在这里面，我要给大家强调正面做法。啊，正面做法的话就得分类，有可能是一个黑球，三个白球，有可能是两个黑球。两个白球有可能是三个黑球，一个白球。好，这是正面情况。除以个总的选法，总共呢，是有九个球，九个球随便取四个。
九个球随便取四个，这是正面的选写法，好那么也可以从反面做。因为这个有就代表至少有一个，也就说取得四个球，里面至少要有个黑球，至少要有个白球好，它的反面就都是黑球。或者都是白球。然后再除以c九四，这样就可以得到它的做题的方法，就算得到二十一分之二十，这样呢，就选择d选项，看这道题是不是学会了，
是不是掌握它的特征。好，那通过这道题，很多同学还会出现一个错误解法啊，我再次强调一下，因为这个错误我们在讲啊，专题点型归纳易错点的时候给大家强调过，有同学说呢，黑黑球白球不都有吗？这个我取一个黑球，取一个白球，这时候黑白是不是都有一个了，剩下再从七个球里面，因为总共不是九个球嘛，九个球我先。
取出一个黑球就c五一，然后再取一个白球就c四一。剩下是不是还有七个球啊？好，这个七个球，然后在这里面再随机的取出两个球，不管这两个球都是黑球，都是白球还是一黑一白，反正加在一起。啊，放在一起这个黑球白球都有这样呢，是一个容易错解法，这个就重复了。重复了，因为比如说你先取的是a这个黑球，
后面是BC这个黑球，有可能先取的是b这个黑球，后面剩的是AC这个黑黑球。所以在这里面，那就出现了很多的重复啊，这个呃，没听过同学，大家可以把前面的专题点睛里面讲的易错点啊，好好看一看。好，这是第三题，强调做题方法可以从正面做，所以遇到这类题可以从正面分类做，也可以从反面来思考看大家是不是学会了。好，
下面咱们看下第四题，这个题好，这题考点主要考察它的取样问题。取样问题好十张，讲义中一等奖有两张，二二等奖三张，三等奖五张，总共是十张，甲丙三依次无放回的，各抽一张则三人。各有一人抽到的概率到到底说就三种奖，各有一个人抽到概率到底是多少？好在这里面大家呢，要排个序，因为三种奖各有一个人抽到，
为什么排？比如甲乙丙。有可能甲抽到一等奖，乙抽到二等奖，丙抽到三等奖，有可能甲抽到一等奖，乙抽到三等奖，丙抽到二等奖。是吧，或者说甲抽到二等奖，乙抽到一等奖，丙抽到三等奖等等的啊，等等，所以在这里面那它可以排个序好，下面咱们来看一下。
各抽到一种情况啊，如果第一个人因为他不放回的取啊，第一个人如果他取得。是一等奖。第一个人，他取的是一等奖，就是c二一，第二个人如果取的是二等奖，就c三一，第三个人如果取的三等奖，就c五一。但它可以排个序，可以排个序，也就说这六种情况的表达式，它都是一样的，
听到没有？就三的阶乘种啊，这样排完序以后，它有三的阶乘种。这三个阶段中，它的。表达式都一样，所以直接乘以三的积分倍分母分母不要不能显示c13啊，因为分子是一张一张抽的，分母也应该一张张抽啊。c十一c九一c八一这样就写出来了，好在这里面答案就等于四分之一，建议大家就选择c选项，看这道题是不是学会了，是不是掌握它的方法和特征。
好，那通过这道题，大家明白的特征是什么呢？就是。好，三等奖，三等奖各有一个人抽到啊，不要忘记排序，而且每种情况它的取样的方法表达式都是一样的，所以直接给它乘一个六倍，这样就行了。好，下面咱们看一下第五题这道题，这里考点呢，也考察列举法考这个点数满足的表达式，
只要出现这个运算表达式。比如说它的差值。之类的运算表示这个都要结合列举法分析。都要结合列举法，分析好将一个闪随机的抛掷两次所得最大点数与最小点数之差等于二啊，最大的和最小的之差要为二。好，那就最大减最小。它等于二好最大前缀啊，有可等于二有可能最大是六最小四对吧？最大六最小四有可能最大是五。最小是三，有可能最大四，最小呢是二。有可能最大三最小是一，
所以在这里面大家可以列出它的这个情况数好吧，列出列出它的情况数，但是在这里面它这两次啊，你不知道？哪一次出现最大最小，有可能第一次制的呢是最大的第二次制的最小的对吧？有可能第一次制的最小，第二次制的最大，所以在这里面那么在这里面还要注意排序啊。所以概率p分母就36种，分母就只要36分子的话，就四要乘以二，因为现在列出来不有四种吗？四四种情况，四种情况呢，
在这里面要乘以二倍啊，因为它第一次，第二次它俩可以交换，这样就可以得到它，结果就等于九分之二这个呢选择。c选项看这道题是不是学会了，是不是掌握它的特征，所以在这里面大家要知道掷色子啊，如果它要掷两次或者三次，要注意它的排序，不要给写错了啊，所以答案。要知道它的排序的方法。好，下面咱们看第六题，
第六题只不过是三次好吧，所以考点呢，也是同上的，你要用列举法分析。只不过这第一法的情况呢，要复杂一点啊，所以它质三的最大点处与最小点数之差等于二。就最大点减最小点，它等于二好最大有可能是六，最小是四，有可能是五，这是三，有可能四，有可能二，有可能三可能一。
是吧，好，那最大是六，最小是四，在这里面大家呢，就可以看一下它的这个情况数。好不好？所以在这里面大家呢，要掌握它的这个情况数好，你把一种情况列出来了，其他情况都差不多，好不好？好，那最大要六，最小四有可能是什么呢？
有可能是六四四。对吧，这样行吧，六六四四这样也行，就第一次质数是六，第二次和第三次数四。注意，它逐次掷色子要注意排序，有可能四六四也行，对不对？有可能。四四六这样都可以，对吧？都都行好那么有，还有可能是什么呢？
还有可能就是。六五四对吧？六五四，这也是最大减最小好六五四的话，直接就给它排序，就三大阶层啊，就三大阶层六五四按六四五。然后五六四。是吧，所以说在这里面好，那它有六种情况，看这个是不是学会了？好，下面还有什么六六式？对吧，
六六四四六六。六四六。好看，这个是不是学会了，所以列举出来总共有12种，你发现没有这个列举出来，你加一下，总共有12种好，所以说最大为六，最小为四，有12种，那同样道理。最大是五最小三，跟它这个方式一样也12种啊，所以最大四最小二也是一样的，
所以在这里面列出来以后就是12×4，知道为什么乘以四吧，因为这有四类。分成四类，好四类，然后每一类它都有12种。好，这样求出来了，要后三次的话，它有六的三次方看这个是不是学会了，是不是掌握它的做题的方法，这样我们就可以得到，就选择c选项就等于九分之二。看大家是否听懂了。好，
这是给大家强调的做题的方法和思路，看是不是弄明白了，好在这里面大家呢，要采用立与法。这三次，它的列举的情况，大家还要注意它的排序的方法啊，排序的情况要知道要弄清楚。好，下面咱们再看第七题好，第一题主要考的独立事件，什么独立事件题呢？如果概率已知。然后再求什么概率，这都属于独立事件啊，
就已知概率，求概率就考察独立事件问题。两实习生每人加工一个零件，加工为一等品概率。分别为就两人，分别是三分之二和四分之三，两零件加工售价为一等品，独立这两年恰有一个一等品。好恰好一个一等品，有可能第一个人加工的是一等品，第二人加工的不是一等品是吧？好加上因为这分类，加上将第一个人加工的不是一等品，第二人加工的是一等品。好在这里面就可以写成它的这个结果和方法，
看这个是不是学位了，好总共是十二，然后二加三，这样等于十二分之五。所以呢，就选择b选项，所以这道题呢，比较简单，主要考点是考察它独立事件啊，独立事件，然后再分类求解就可以了，看是否明白了。好，下面咱们看下第八题，这道题考点。
这考考点就考察啊，这个取样加排序问题。好有三张卡片写的eeb好，然后在这里面，他要。排序好，大家知道局部元素相同的这个排序，这个eeb它总情况数总的排法。怎么拍法就有三种是吧eeb？ebebee.好，总共有三种情况是吧？这有三种情况好，恰好组成be呢，是其中一种是吧？
那就是其中一种。所以在这里面，它概率p呢，就等于三分之一看这个是不学会了。好，这个答案选择e选项好，这道题考点主要考的有局部相同的元素的排序，排序可以用列举法，也可以用咱们前面讲的除法，也可以用组合来进行写。好，第九题这道题，这里考点主要。考察好，那么它独立事件的概念，
因为答对每个题呢，它是独立的好吧，所以独立事件。好在这里面大家可以看出好有三个题，比如说一二三三个题，大家发现每个题它有四个选项，随便蒙一个蒙对的概率是不是都是四分之一啊？是吧，膜内钙它都四分之一好，四分之要三题全答对，就四分之一乘以四分之一再乘以四分之一。这样就等于六十四分之一，接下来选c选项，看这道题是不是听懂了啊？好，
这道题曾经也考过，那么咱们有几个选项是吧？比如说有五个选项，有五个选项，随便蒙蒙一个，那么蒙对的概率是多少？或者考试还说什么五个选项，有的时候能排除一个明显错误的，在剩下四个里面去蒙，这时候蒙对概率就四分之一，听懂没有掌握它的方法。好，下面咱们看第十题，它的考点主要考的波鲁利公式。好在四次独立实验中，
所以有同学说，老师，你怎么一眼就可以看出它考什么知识点呢？因为你要找关键词和解析性，在多次重复的独立试验中。是吧，所以说这就是玻璃公式，它的一个特征嘛，一看有四次重复实验，那么在这里面啊，就考了玻璃公式a，恰好发生一次四次发生一次的概率。四次发生一次套玻璃公式啊。啊，这就代表四次里面有一次发生概率，
它不大于不大于就小于等于啊不大于等于其恰好发生两次的概率，然后它有c四二p的平方。乘以一减p的平方啊，就c四二p的平方乘一减p的平方好则这个事件p它的概率到到底是多少？在这里大家可以发现c四一是不是四啊？然后两边这个p跟p的平方是不是两边约约，然后再一减p的平方跟一减p三次方是不是也可以约啊？所以这个四乘以个一减p。这个U盘小于等于六乘以个p。好，那在这里面这个四跟六再约约就变成二倍的一减p小于等于三倍的p好，这就相当于是二。小于等于五倍的p好，这样我们就可以得到它的。做题的方法好吧，
所以在这里面大家呢，就可以看出p的值p的值又大于等于零点四啊，五分之二零点四，但p呢，又得小于一。对吧p呢，得小于一，所以正确答案就选择a选项啊，好，那在这里面我再给大家强调一下这道题考的比较好啊，要套两个玻璃公式，一个是40。里面有一次成功，它的概率，另外就是四次，
里面签有两次成功，它的概率，然后得到它的表达式，得到它表达式以后，然后两边给它化简解出p的取值范围。这样就可以了，看是不是学会了？好，下面咱们看第11题这道题好，这道题也是让你比较p1和p2它的大小情况，在三次测量中，我教给大家怎么快速看它的知识点，在三次测量中，大家就可以发现是不是多次重复？试试验啊，
就是考察玻璃公式。好的，波罗的公式，它的做题的方法。好，那出现正误差负误差概率都是二分之一，有时候你在做实验的时候有可能做的数大，有可能做的数小，好像都是二分之一。在三次项中，恰好出现两次正误差，概率是p1就三次，里面有两次恰好出现两次负误差，概率是p2，那p1和p2它的数值关系到底是多少？
大家知道，由于这道题它都是二分之一，其实都二分之一的话，那它俩肯定是一样做都不用做是吧？p一个p二肯定是一样，那么如果想求的话，那p一个p二都等于什么？就三次，里面恰好出现两次成功。就二分之一的平方，再乘以二分之一，所以在这里面它的表达式都是一样的啊，都等于八分之三是吧，所以这道题正确答案就选择c选项，看答案是否求解出来了，
好通过这道题，大家要掌握的。处理方法和思路。就是会套玻璃公式来写它的概率，看是否明白了。好，下面咱们看第12题，第12题主要考察啊，列举法啊，构成三角形啊，就三角形三边的关系。啊三角形三边的关关系，看这个是不是学会了啊？啊三角形三边的关系好，三角形三边的关系在这里面，
大家还要呃用到列举法。还用列举法，所以有五条线段，长度分别一三五七九，从中任取三条，能构成三角形的概率是多少？好，那我们来看一下，能构成三角形，能构成三角形，要求两边之和大于第三边，两边之差小于零，大家可以发现一。肯定是用不上是吧？一跟谁都构无法构成三角形啊，
所以在这里面大家可以看三五七是不是？三七九。是不是好在这呢？还有五七九。好在这块大家就可以列出来啊，五七九是吧？这都可以满足三角形三边的关系，所以列完后它有三种情况。分母呢，总共是五个，随便取三个，所以总情况数就是c五三，这样就写出来了，好那么就等于零点三。就求出来了，
看这个数值学学会了吗？这个呢，就选择b选项，看是不是听懂了？好，下面咱们看第13题这道题，这里考点主要考察。好，五台发电机。有舞台怎么怎么样，这时候就剥离公公式。好，所以在这里面啊，我要给大家进行强调玻璃公式。最明显的两个特征，
第一个特征就是多次，比如说是呃硬币或者说投篮都置了多次，这是用波璃公式。另外一个呢，就是不是制多次，就是这几个对象，它的概率都相同，比如说五个人或者五台发电机。它怎么样成功的概率都是一样的，那这时候呢，就是也用波璃公式啊，好，我们看每台发电机每个概率是不是都是一样呀？好已知两台以上停机将造成缺电。两台以上就造成缺电了。
对吧，好那么该城市在一个季度里。停电的概率是多少？什么叫停电？停电就相当于一点电都没有是吧？停电就就一个电都没有。啊，就相当于发电机啊，都坏了是吧？都坏了，所以第一个它概率p相当于发电机呢，它都坏了，好都坏的话，在这里面我们就可以写成就。停机就都坏了四分之一的五次方好，
四分之一五次方就可以写成二的十次方分之一好就等于幺零二四分之一。好吧，所以答案选择a选项，看这道题是不是学会了？好，下面咱们看一下。第二问。该承诺在一个季度里确定的概率说啊，一个季度里面确定。好一个d基础景区呢，只要两台以上。停机了，停了就缺电，两台以上是不是有可能三台？所以说在这里面就三台，
坏了就c五三乘以一个四分之一的三次方。还有两台是好的。四分之三的平方加上四台c五四。乘以个四分之一的四次方，然后再乘以四分之三有一台好的，注意啊，加上什么加上它都坏了啊。加上它都坏了，就是四分之一的五次方，它都坏了，都坏代表什么呀？都坏了，不就没没电吗？没电也代表缺电啊。没电也代表缺电，
比如说它也它停电了，停电也代表缺电。很多同学说这停电怎么代表缺电呢？没电它也代表缺电啊，比如说咱们兜里没钱没钱，是不是也代表缺钱？你兜里一分钱都没有，那是不是代表缺钱，所以没电也代表缺电，好把这个式这个大家自己算一下，这样答案就等于五百一十二分之五十三。好这个呢，选d选项好看，这道题是不是学会了这道题呢？就遇到什么两胎以上呀，
至少至多这样的范围，要把这几个步履公式都给它写出来，看是不是听清楚了，是不是学会了？好，下面咱们看第14题，第14题考点什么有制多次硬币制五次，现在你是不是就能像老师一样快速找到它的考试知识点了？是它考点考点有至五次，就是考察玻璃公式。看到玻璃公式啊好，那将一枚硬币置五次，第一次，第四次出现正面，另外三都出现反面啊，
就比如一二三四五。好就第一次是正面，第四次正面，另外三次都出现反面。好，这样的概率说，这时候再用啊，独立试验时候大家就不要选了啊，就不要选，因为它已经告诉你是第一次第第四次出现正面了，就不要选了。就这个p1。p就可以写成就是呃，因为制硬币嘛，均匀硬币什么是均匀硬币啊，
均匀比如正面向上反面向上它它都是一样的是吧，不管正面向上反面向上都一样，就二分之一的五次方。就是三十二分之一是吧？好，再看p二p二出现两次正面。三次反面，这时候出现两次面，不知道这两次出现在哪，所以要选一下，所以这道题给大家讲一下玻璃公式什么时候需要CN k？啊，当不确定时候，需要选，听到没有？
确定时候就不要选了啊，不确定时候，比如说这五次里面有两次。因为不不确定啊，五次没有两次，这两次正面还有三次反面。三次反面，所以在这里面就可以写出来了，好在这里面我们就可以写成就是三十二分之十。是吧，三十二分之十上一个题是三十二分之一，这个呢是三十二分之十，所以说它就等于p的十倍。p所以p2就等于p1的10倍，所以在这里面这个呢，
选择d选项，看这道题是不是学会了，所以这道题大家注意就是。要能区分什么时候用cn k，什么时候写，写的目的是什么？让他不确定呃，不知道哪一次出现正面，这时候得要选一下。好，下面咱们看下第15题，这道题好，这道题考点看又有六个人，每一个人的概率都是均为。零点六读完这些题啊，
马上是不是告诉我考点什么？是不是现在你们就可以看出来就是读完题，马上就知道考点什么了，所以这道题考点。又是考察波罗的公式。好玻璃公式，然后六名新员，每个新员提供的概率都是零点六，并按照超过一半，超过一半，超一半就大一半啊，不不包括一半啊，大一半好，如果提供的信息。作为正确的决策啊，
就是该公司做正确的决策概率到底什么？只要超过一半儿，超一半儿，比如六个人，超一半儿的话，有四有可能四个人，五个人，六个人。是吧啊，做出了正确的决策，比如四个人做的决策是对的，或五个人做的决策对的，所以概率p就等于四个人做的决策就c六四。啊，零点六的四方，
还有还有两个人呢，做决策呢，错误了是吧，还有c六五c六五就零点儿六到。五次方还有一个人错了，或者说六个人呢，他都对了。对吧，六个人他都做对了，好看这个表达式是不是学会了好，因为这道题它咱们考试是没有计算器的，所以在这里面大家呢，不会让你算具体数。所以你观察这五个选项，可以发现一个什么特征都有零点六的五次方，
所以在这里面你都把它乘以个零点，提出一个零点六的五次方就好办了，好吧，这个大家自己再去化简一下，得到就七×0点六。五的五次方应答选择a选项好吧，所以在这里面你要把它稍微整理一下，整理一下都提出个零点六的五次方，看剩下那个值到底是多少，所以剩下那个值正好是有七。这样就可以求出它的结果，看这道题是不是会了？好，下面咱们看第15题考点。好，
这道题就考察独立事件。同时呢，他说啊，这个体型合格概率就不能太胖，不能太瘦是吧？体型合格视力眼睛还得看得好。另外还有其他标准啊，其他标准，比如反应能力啊或者什么的啊，这个啊都合格，所以说在这里面三项均合格，咱们讲独立试验就，如果都成功的话，就得每个成功的概率相乘。好，
这个答案选b好吧，第十五这个答案选b，这样就可以写它等于九十分之一，这样就求解出来了，看这个是不是学会了，是不是掌握它的做题方法和思路？好，下面咱们看第17题，第17题也是考的独立实践。好一道竞赛题甲解出来概率二分之一，乙解出来概三分之一，丙解出来四分之一，三个人只有一个人解出来。好，只有一个人解出来它代表什么意思呢？
代表有可能甲解出来乙丙没解出来啊，有可能乙解出来了。丙没有解出来。有可能是丙解出来，甲也没解出来好吧，我们写一下它的表达式好，甲解出来乙丙呢，没有解出来。好，有可能是乙解出来了，乙解出来了，甲和丙都没有解出来。好吧，所以这个写的还有可能是什么呢？还有可能丙算出来了。
甲没算出来，乙也没算算出来好吧，然后在这里面看一下它的这个答案。好，然后把四分之一加八分之一加十二分之一加在一起啊，就得到它的这个概率，所以第十七题这个呢，就选择e选项。所以加根号就等于二十四分之十一。所以这个p就等于二十四分之十一，这样就求解出来好看，大家是不是会分类啊？求解，当然这里还可以改成什么改成啊，只有两个人解出来了，
也是同样道理去分类啊。啊，有两个人解解出来了，学会了没有？或者说或者说至少有两个人解出来了，或至多有两个人解出来了，也可以写成至少至多反正一样道理。啊，就求出它答案。好，下面咱们看第18题，这个题好，这里考点也考到独立事件。好一个出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗甲，司机在各交通岗遇到红灯，
这一事件是相互独立的，并且概率都是三分之一。啊，既然这样，没有遇到红灯有三分之二啊，则这位司机在遇到红灯前已经通过了两个交通岗，比如这第一个交通岗，第二个交通岗，第三个交通岗。这个在遇到红灯之前已经通过了两个交通岗，好在这里说明什么问题呢？说明这两个都是绿灯。最后一个是红灯对吧？所以概率p它绿灯概率就三分之二好，第三个呢就是红灯。
就遇到红灯前第三个不能是绿灯啊，如果第三个还是绿灯，那么这个在遇到红灯前它就通过了三个交通岗是吧？它已经过了三个。好，这样就可以写成二十七分之四答案就写出来了，在哪选择a选项？看这道题是不是学会了好不好？这里对于独立试验就画出每次它的。呃，结果图，然后再写概率就行了，看是不是听懂了？好，下面咱们看第19题这道题甲的三次独立，
从实验中实验a发生的概率相等，就是每每次啊，就这个发生的概率啊，都是相同的。a至少发生一次的概率是是二十七分之十九，则实验发生概率为多少，我们可以设为p嘛，就这类考点。你发现玻璃公式对吧？然后三次独立实验。玻璃公式。而且这遇到至少有一次发生，我们就从反面做。好，至少有一次发生就可以写成什么呢？
就可以写成一减去。一，减去。啊，这三次都不发生。就等于二十七分之十九是吧？好，这样就可以得到一减p的三次方就是二十七分之八。好就可以得到一减p呢，就等于三分之二好就可以得到p的值，就等于三分之一好第十六题这个答案选c选项就求解出来了。好看，这道题是不是学会了？好吧，所以这道题大家遇到至少有一个得从反面做就行了啊，
找到它反面的特征，然后解出。它的概率p。好，第二题这道题这道题呢啊，那质五次是不是多次重复试验啊啊？马上看它特征就是波罗与公式。所以大家可以发现，概率这一块儿是比排列组合要好学一点，由于独立事事件这一块儿反正做多了，你可以发现方法都差不多，好一枚硬币置五次，出现k次正面向的概率等于出现。k加s这面概率问k的值到底是多少啊？套公式好k是正面向上就是c五k，
大家知道正面向上和反面向上是不是都是二分之一啊？那最后算出来都是二分之一啊，合在一起就二分之一五次方好就等于。等于出现k加，一是正面向上好，这样大家可以把这个二二分之一五次方约掉，约就得到c5k。就等于c5 k+1。好，大家知道c无几啊，两个组合数要相等，两个组合数相等，说明上面这两个数相加，是不是应该等于下面那个数啊？咱们讲过就CN k。
应该等于cnn-k。是吧CN k就等于cnn-k，也就说这两个数加在一起应该等于下面的n是吧？就这两个数加在一起应该等于下面n。有同学说k+k+1应该等于5k呢，就等于二是吧？也就说c五二=c五三当然背熟的话，这道题不用解，也可以看出来啊，大家背过了就c五二=c五三都等于十，所以k的值呢？很快就写出来，就等于二好看，这道题是不是学会了正确答案，选择b选项，
看是不是听懂了？啊，就是给两个玻璃公式，当然这里还可以改成什么大于号啊，小于号让你求k一样道理啊，都可以分析。好，下面咱们看21题，这个题21这道题就考察至少至多这道题是考察古典概率了。古典概率的取样。取样求概率，而且这里用到了反面法啊，因为它出现了至少有一个用反面法，所以概率p就等于一减去它没有女生，所以这三个人都是男生。
听到没？就是没有女生的概率，这样就可以写出来了，好吧，所以就写成c4十五三，然后除以个c53。这样就可以求出它的结结果，最后约等于就是可以算出来等于零点二八，所以答案选d选项答案就求出来了，好看这道题是不是学会了，遇到至少有一个大家可以从反面做。反面来进行分析。好，下面咱们看一下二十二题，这个题好，
这个题有一道习题在半小时内甲能解出它的概率呢，是二分之一乙能解出的概率，三分之一两人都试图在半小时解出，则习题被解出来。这里考点是考察独立事件，而且这道题隐含着至少有一个，所以要从反面法反面求解。给它独立事件。啊，独立事件呢，就遇到至少有一个这道题，就从反面法来分析啊，反面来进行分析。好在这里面我们来看啊，概率p就一减去两个都没解出来，
听到没？依然甲没解出来乙也没解解出来。就得到三分之二就求解出来了好不好？三分之二这个答案就选择c选项看这个。呃，题目求解出来没有？啊，就是啊，一减两个都没解出来啊，用这样的方法来思考就可以了。好，下面咱们看23题，这个题23题，某市涉及一次进度概率是零点九，临近适中，
涉及四次，在这里面大家可以发现多次重复试验。是吧，所以在这里面大家呢，要学会独立事件里面的玻璃公公式。它是什么？就是涉及四次，比如一二三四这四次，所以它第二次不中，其余三次都中。这道题大家就不要写c几几了啊，因为他已经明白了，第二次不中告诉你了，好就直接写第二次不中的概率是零点一乘以个，其他三次都中就零点九的三次方。
这样算就等于零点零七二九，这样就求解出来了零点零七二九，这样来选择a选项，看这个题是不是学会了？是不是长它的方法，所以你要把它的呃，每次的结果写出来，然后呢，再呃写这个概率就可以得到它的答案。
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