10-04伯努利公式
下面我们来学习玻璃公式，我们看什么是玻璃公式以及这个玻公式什么时候使用？好，那么首先它要满足一个独立宠物试验。啊，咱们前面讲过的啊，试验呢，就是只做一次，现在如果做n次。比如说前面它这个次数呢，把它延伸在相同条件下，它这个试验呢，重复进行n次。且每次任何一个实验概率不受其他实验结果的影响，那这个又把它称为n次独立重复试验。就不停的做重复做啊，这个独立重复试验。好，那么在这里面，我们来看一下玻璃公式，它表达的形式什么呀？如果在一次实验中。某事件发生的概率固定都是p。啊，就是每一次它发生改动的p，那么现在咱们做n次n次独立成功实验中，这件事恰好发生k次的概率，我们看怎么写？就n次它发生了k次，我们来看它的概率好n次发生k次的话，
我们为什么要写一个CN k呢？因为这n次里面发生k次，不知道是哪k次发生的，比如说五次里面要发生三次，有可能前三次，有可能后三次，有可能中间三次等等的。所以它有好多种情况，所以要选取，所以这个CN k就代表选取。选次数第几次发生的，然后因为它在这里面发生k次，这个发生可以把它理解成成功啊。好，那么这个成功k次我们知道成功一次要乘一个p。
再乘工一次，又乘一个p。所以乘在一起就是p的k次方啊，乘在一起就可以得到。p次方所以在这里面好k次啊，相乘就得到p的k次方就是每次成功都是乘一个p，每次成功乘一个p。好，这个就代表成功k次。好，后面这个q的n-k次方q的n-k次方就代表失败的n-k次。啊，失败了n-k次。啊，失败好那么在这里面，
我们来看一下它的失败n-k次。失败，所以在这里面这个q就相当于是一减p就代表失败，因为失败一次要乘一个q，再失败又乘一个q。所以n-k次失败，所以在这里面我们就写成q的n-k次方好，那么接下来我们就可以概括一下玻璃，共它有三部分构成。第一部分是选啊，看几次选几次，从多少次里面选出多少次成功？第二部分是成功的概率。成功一次要乘个p，成功两次就写成p的平方。
成功k次就写p的k次方最后一部分，第三部分就是相当于是失败，好失败多少次就写q的多少次方就可以了。好，这是它的这个式子，然后接下来我们来看一下特殊情况，特殊情况，一个是k=0的时候。一个k=n的时候，我们先看k=nk=n就代表n次试验中a全全都在发生。啊，全都发生了，就相当于n次它都发生了，最后算完就等于p的N次方，比如说n次实验我们都。
命中了，或者说就像投篮一样n次都投中了，那么它的概率是多少呢？就等于p的N次方。好k等于零代表什么意思？代表是这个n次它都失败了啊？n次都失败了，就一减p的N次方它都失败了。一减p的N次方好，这是两个特殊的情况，一个是全成功，一个全失败，那么此外还有一种情况就是p和q都等于二分之一的时候。啊，因为p要等于二分之一q也等于二分之一，
是不是这样的？所以在这里面好它都等于二分之一的时候，比如说在什么场合用呢？在后面做作业题，或者说我们在。在其他考试场合中，它会出现制硬币。制硬币正面向上和反面向上，它都是二分之一是吧？如果都是二分之一，这个表达式可以写成什么？可以写成CN k。这个二分之一的k次方再乘以二分之一的n减k次方。啊，就写二分之一的k次方乘以二分之一的n减k次方啊，
这样的特征好，这两个都是以二分之一为底的，是不是这样的？这两个它都是以二分之一为底的，这也是二分之一为底，这也是二分之一为底的，所以这两个。指数可以合在一起，就写CN k乘以个二分之一的N次方，所以这个后面是固定不变的，比如k取三也好，取四也好，后面这块是不变的啊。这样就可以把它合并起来啊，这个在制硬币的时候啊，
这个我们可以用，比如硬币里面出现多少次正面向上或多少次反面向上，那后面都是二分之一的N次方。好，这是它的特征。好，接下来我们就以题目形式来讲它的具体方法。好，那我们来看一下，对多次或多个事。事件也好，多个对象也好，它独立事事件，如果每次概率相同时，我可以套这个公式，
这就告诉我们在什么情况下把独立事件演变为。玻璃公式。好，我们来看一下这个题制，一枚不均匀的硬币正面朝上，概率三分之二，将此硬币制四次，则正面朝上三次的概率到底是多少？好四次，里面有三次朝上。四四朝有三次朝上，所以我们就直接套公式c四三，因为它是不均匀的硬币啊，如果要是均匀硬币的话，它正面朝上和反面朝上盖都是二分之一，
现在它是不均匀的硬币。不均硬币正面朝上，它概率高一点儿啊，三分之二三次方，然后还有一次是反面朝上，反面朝上就是三分之一。好套这个公式就可以了好，那这个很容易化简出来就等于八十一分之三十二，这个答案选c选项。好，这个给大家强调了，这道题主要让大家掌握一个入门级的套玻璃公式的方法。下面咱们看一下这个题，这个题就是零件。啊，
零件零件的话，一等品概率是零点九啊，就是生产一种零件，它出现一等品概率零点九。现在生产有四件。这样的零件有四件，四件里面出现恰有两件是一等品的概率是多少？四件里面恰有两件一等品。好，那么这两题非常全面的给大家总结了玻璃公司使用情况，那这个题是告诉我是每次。它的概率相同，比如说制硬币或者做实验啊，那么每一次的概率都是一样的好，这个呢，
是每一个对象，比如说每一个人也好，或者每一个产品也好。它的概率是一样，比如说啊，每个人啊，他成功的概率是零点九，现在四个人里面选出恰有两个人成功的概率到底是多少？是吧，所以这样每一个人也好，每一个产品，每一个对象的概率一样，也可以用玻璃公式好，这四件里面恰有两件成功，那么就比如说咱考答题。
答题答对这四个题，你每个题答对的概率都是零点九是吧？都是零点九，然后呢？四个题你恰好答对两题的概率，然后也要选c四二，因为四个题答对两题有可能前两题答对了，有可能中间两题答对了啊。好，所以概率p我们可以写成。c四二×0点九的平方，然后再乘以零点一的平方，是不是这样的？好，这样就可以写出结果。
啊，最后化解一下这个。零点零四八六。选择b选项好，这是给大家强调的做题的思路，看看这一块儿是不是听明白了？好也就说那么一等品产品都可以套这个公式。好，这是强调的做题的方法。下面咱们看一下考项二就终止条件的概率，终止条件，终止条件就直到什么什么为止，这类题呢，特别容易错，一个是大家在题目中理解不到，
或者说想不到用终止条件。另外一个遇到终止条件，那么终止的最后一次，它的概率是比较特殊的啊，我们来看对满足某种条件就停止的概率。那么，这一块在二零一四年考的。二零一八年你回去做真题也都考了啊，考了，所以这个考了好几次，这个终止条件。好，那么先分析，每次实验结果再写概率，常考的是比赛停止的情况，
比如说达到什么要求，比赛就停止了。这样的特征。好，你像二零一八年也是考的这样，甲乙两人呢？去打比赛啊，怎么怎么样，然后呢，他就停止，然后这时候呢，问某个人胜的概率是多少？跟这个差不多，好像这个这个题我们就可以总结一下这个几局几胜制，这也是一个比赛问题好吧？
好某乒乓球男子单打决赛在甲乙两个选手之间进行。好，那么采用七局。四，圣制。已知每局比赛甲赢的概率是零点七，甲赢概率零点七，现在甲以四比一战胜乙的概率到底数是多少？甲乙四比一战胜乙。甲能够以四比一战胜乙好，我要想讲的是这个n局k胜制n局k胜制的话，大家要注意这个n局不一定打完，我们经常看。呃，这个电视也好看，
比赛也好，那么常见有三局两胜制。有五局三胜制。有七局四胜制。好吧，这样的特征啊，这样不管是采用任何一个赛制，他的局数不一定打完，比如三局两胜代表什么意思？谁先赢两局谁就赢了？然后比赛就结束了，三局不一定打满五局，甚至也是这样的五局，比如说像有的实力比较强，前三局都胜了，
后两局打不打这个没有意义，因为人家三局都胜了。那我肯定人家就赢了，所以后面就不打了，那其余四政治也是这样的啊，好，接下来我们来看这个题，这它也要以四比一战胜乙。以四比一战胜乙的话，就说明什么？说明共打了五局，说明这个四比一，这总共呢共？打了五局，那有意味着这个七局适中，
这个七局他没打满，他只打了五局，这个就结束了，后面不用打了。好，那这个五局在第一局，第二局，第三局，四五局。大家知道，那么我们看比赛就知道最后一局结束的时候，甲一定获胜，因为甲最后是冠军，对吧？我们再看一些。
决赛的时候，在关键局最后决定局，那么这个队获胜了，他整个队就欢呼就夺冠了是吧？有时候他从来没有说。最后一局，他这个队失败了，结果他站在冠军的领导领领奖台上，那这个是不行的是吧？所以局证局甲一定是胜。第五句假设。好，那么前四局什么情况？前四局因为总共其余四胜制，这个四胜制代表什么意思？
总共你得胜四局才算赢，现在第五局他已经胜了一局，这时候是不是还差三局？想想是不是这回事？差三局，所以说前四局甲再胜三局。然后败一一局就行了，再胜三局，败一局好，接下来我们看怎么写好那么前四局甲要胜三局，我们看怎么写啊？前四所以前面大家用玻璃公式啊啊，这道题大家特别容易错的方法是什么？有同学说总共比赛了五局，总共比赛了五局，
从五局选出四局，让甲获胜。然后写c五四让甲胜了四局，甲胜了四局，还有一局败了好，这样写这样写呢就错了，好错在哪？错在这个c五四。因为这个不能够五局一块选，因为五局一块选，那有可能没选中最后一局胜。听懂了没有？所以在这里面就是决胜局，或者说最后的这一局呢，就不要参与这个选，
因为我们在前面讲这个组合选的时候，它是任意选的，任意选的话，他有可能没选中。啊，这一局获胜，所以说这个就不能写，但前四局可以任意选前四局的话，它不要求谁胜谁败啊，所以正确答案应该是。写成c四三。甲获胜了三局，然后败了一局啊，这是前四局的情况，是不是前四局他胜了三局，
败了一一局？好，第五局最后一局甲又胜了，最后一局甲又胜了，再乘以个零点七。啊，再乘以零点七好，这样就可以了，好最后大家化简一下，稍微整理一下就得到零点八四×0点七的三次方。因为咱们考试有时候呢啊，不让大家带计算器，所以在这里面大家就他就把数呢给你写成这种次方的形式来表示。好，这是给大家强调的，
这个比赛它的特征，关于这个赛制几局几胜制，我们再呃来说一下，我们在前面讲独立事件的时候也强调了比赛的重要性是吧？比赛重要性那时候只不过没采用赛制。比如说那时候谁跟谁打，谁获胜几局就赢了，那时候没采用赛制好，对这种赛制的问题，我们再强调一下。好比如n局k乘至。啊，第一个我要给大家强调这个n局不一定打完。n局它不一定打完好，这是它的强调的内容。
n局它不一定打完，然后第二个是什么？第二个先胜k局者。获胜先胜k局者。它获胜。啊，谁先赢k局就获胜了？第三个，第三个结束局一定是冠军胜啊，比如说甲最后夺冠了，那结束局甲一定胜。它有终止条件的。这种条件就是结数句。结束局谁胜呢？就对冠军胜。
谁夺冠军谁结结，束局一定得上好，这是给大家总结的，然后呢，把这个图号不管这道题改成三句两声字还是改句改成五句三声字。它的方法都一样，最后一局单独挑出来，前面用玻璃公式两个合在一起就可以写出答案来。好，下面咱们再呃做几个这样的题目，做几个这样的题目，把独立事件啊，玻璃公式啊，这几个呢，合在一起，
大家练习一下啊。好，那么我们来看一下这一列甲乙两人各设计一次机动表概率分别三分之二和四分之三。好，那么现在两人涉及是否击中互相没有影响，没有影响就独立的？好，第一问，两人各涉及四次甲，恰好击中两次，且乙恰好击中三次。好，第一问，让大家掌握什么问题呢？就是多个对象使用玻璃公式。
多个对象，比如说刚才咱们在做之前提就是呃，用一次玻璃公式，现在它多个对象，比如甲的用玻璃公式，乙也得用玻璃公式，明白吧？好那么甲恰好击中两次甲，四次恰好击中两次好，四次恰好中两次c四二。那甲命中概率三分之二就三分之二的平方，再乘以三分之一的平方好，这是甲。因为这个且就代表同时就在乘用乘法乘以乙恰好击中三次，乙击中三次就c四三。
啊，四分之三的三次方。再乘以四分之一。乘以四分之一有一次没击中好吧，这道题大家听完后的收获是多个对象。分别用玻璃公式甲，用玻璃公式乙，也用玻璃公式，然后两个呢，做一下乘法，因为同时发生啊，这个做一下乘法。好，这个大家呢？就是化简一下好吧c四二就为六，
然后这三分之二三分之一啊四分之三啊，然后再化简一下，好化简完后那得到答案就等于个八分之一。选d选项。八分之一好看，这个是不是明白了第二个第二问，假设某人连续两次没打中？就停止，这是不是有个终止条件是吧？这个就代表终止条件。就连续两次都没打中，就不让打了，就说明这个这个需要自己再好好练练，就说明水平不行啊，就不让打了。
好问乙撬射击五次就停止啊，第五次射击完以后那就停了，不让不让打了。好，那这样的情况是什么情况？好吧，那我们来看一下乙，这是第一次，第二次，第三次，第四次，第五次。就第五次射击完后啊，就停下来，不能再打了。
好，这时候应该怎么表示呢？看看这时候应该怎么表达呀？这时候话就相当于第四第五次肯定是都没打中，这样的话第五次才让停嘛。四五次都没打中，是不是这样呢？都没打中，他又停。然后接着我们再看一下这个第三次是不是一定得打中，第三次一定得打中是吧？如果第三次也没打中，第四次也没打中。到第四次它就停了。就没有第五次的事儿了啊，
所以在这里面第三次一定要重，那前两次什么情况？这里需要大家逻辑推理，前两次情况。牵扯到情况的话，那有可能是这样的，有可能都中。啊，这也没事是吧？或者说。种一个。啊，这个也行，中一个反正就不能两个都中啊，不能两个都不中好，
这样的表达式好，这样表达式我们来写写，其实应该写三个表示相加啊。比如说呃，命中命中命中有对对对错错，还有对错对错错，还有错对。对错错好吧，把这三个表达式给它加在一起，然后就可以得到结果，但在这里我们给大家讲一个。简单的写法好吧，简单写法看大家呃，当一开始那个用不好的话，你就用刚才说的那个三个。
相加就行了，但大家可以发现这个前两个你看到没有？前两个它是不是就差一个？都错的情况啊，是吧？所以前两个它差一个什么呢？它错它错差差一个它错的情况。好，所以它错它错的情况在这里面，我们呢就可以用。在写的时候。就可以用一减去前两次都没中，都没中甲呃，就乙都没中四分之一乘以四分之一。是吧，
好，这是这个块就代表前两次三种情况的概率，就是在这个局部里面，我用一下减法啊，局部里面减法，也就是前两次它总有四种情况，这四种情况加在一起是唯一的，明白吧？就前两次这四种情况，对对对，错错对错错，你把这概率加在一起，应该是唯一的，唯一的话，然后我用一减掉这个红色的，
就是两个都没中的情况。然后呢？就这三种情况的概率表达式，好概率表达式，然后呢？再乘以第三次一定是重重的话，就是四分之三。第四次没中。第五次也没中好吧好，第四没中，第五次也没中好，这样就可以写出它的结果，最后大家化简一下，分母就是。呃四的五次，
方四的五次方就相当于是二的十次方就幺零二四是吧？大家一定要记住二的十次方等于幺零二四啊。这个我们常用的，然后分子分子把它合在一起，正好等于45。正好等于45，然后这个这个呢，得选择a选项好，这是给大家强调的，所以这道题就隐含着终止条件，比如说咱们前面还做过一个答题闯关，比如说连续答对两个题，就算成功了。这道题是连续做错两个啊，连续两次错了，
那这时候呢，也停止就不让答了。好吧，跟这个道理差不多，大家把图画好画好，然后再写概率就行了。好，接下来我们来看一下这个题，这道题就稍微复杂一点的，这个玻璃公式大家一定要把整个图给它画好啊。所以对于复杂的话，一定要画出图。然后再写。概率好，我们来看一下近一系列独立事业，
每次成功概率为p，你看每次成功概率是一样的，当然考试它有可能把这个p呢换成一个零点六啊或者零点七，让你来选好吧。现在我们就把这个p呢，当做一个符号，这样可以给大家总结一个公式。则在成功两次之前，已经失败三次，注意这个成功两次，这个成功两次不一定是连着成功啊。成功两次，它不一定是连着成功好吧，就成功两次，之前他已经失败了三次。
好，我们看看。呃，第一个大家画的时候要掌握什么内容？先看比赛，总共比赛多少次？总共打多少次比赛？是吧，就在这里，大家可以发现是不是二+3总共比上了五次一二三四五？总共打了五次比赛，看这个是不是学会了，所以比赛的话，总共是五次进行了五次。对吧，
所以二加三五次，这个第一个这个要把总次数给写好，第二个成功两次之前你失败了三次。好，也就是说这道题可以怎么理解呢？在第二次成功之前失败三次，第二次成功，这个是成功，是第二次成功。是吧，这就是第二次成功，当然前面某一次也成功了，我给大家画其中一种情况好吧，就前面某一次也成功了，比如说这一次也成功了，
然后。然后这一块其他都失败了是吧？大家可以发现是不是这就可以表达这个意思？在成功两次，你看这是不是成功了两次，前面成功了一次。这现在又成功一次，是不是成功两次，成功两次之前就这个成功两次之前？是不是失败了三次？对不对？失败了三次，这样的情况，当然这道题不要理解错，这道题还可以改善，
比如说在连续成功两次之前是。失败三次，这样话那么就得变成连续成功了啊，连续成功，到时候你看它考试有没有连续啊，这道题没有连续，我们就不用再写了。好，接下来我们来看一下，那么前面这个四次我们就可以用一下玻璃公式，前面四次，里面就相当于是。成功一次，这个成功有可能在第一次成功，有可能在第二成功，
有可能在第三次第四次成功，所以说要写一个c四一。c四一那么成功的概率是p还有三次呢，不成功对吧？还有三次失败好，这是前三次写好了。然后最后一次他又成功了，最后一次，第五次他又成功了，再乘以个p这样c四一正好等于四，所以四p的平方一减p的三次方。好，这样就可以写出来答案好，那这样化简完，这样答案就选择a选项，
这样就求解出来了，好通过这道题不管成功几次也好，连续成功几次也好，之前失败多少次？关键是要把图画好啊，画图总共分为三步，第一步大家要先把总秦皇数给我找到。看总共试验了多少次？然后第二步看最后。啊，最后收尾的时候，它的这个成败情况，比如第五次它收尾的时候。然后第三个啊，最后一步，
将来前面到底他成功几次失败多少次，所以前面用玻璃公式，最后一次他要成功的话，再乘以个概率就可以写出它的表达式。抓住这三步就行了，不管它这个数怎么改，那么我们都可以把它做出来。好，这是玻璃公式，它的考试要点和方法，大家把这些要点方法呢，然后再加强一下好，我们概率呢，整个呢，就给大家已经讲完了，
概率呢，总共呢，就三个模块好吧？三个模块，一个呢，就是古典概率。好古典概率化，它就得用排列组合啊，用除法求。啊用除法来去求解是吧？分子分母用除法来求解。啊，第二个就独立事件。独立事件的特征是什么呢？它就是已知概率，
再求概率，有概率给你写好了啊，概率给你写好，然后你再求概率，这时候呢，用加法或者乘法。用加法或者乘法。来，求解。啊，用加法或者乘法来进行求解就行了，然后第三个。第三个就是玻璃公式。玻璃公式是独立事件的一个演化特殊情况啊啊，玻璃公式用在什么情况？
刚才我们讲了用在两两种情况，一个是每次概率相同。对吧，每次比如说第一次制硬币也好，第一次命中目标也好，每次命中概率相等，第二个呢就是。每个对象。概率相同，比如说咱们这有五个人，每个人命中的概率，它都是。零点九或者说答五个题，这有五个题，五个对象，
五个题，你每个题答对的概率都是零点九，那这一块就每对象概率相同。啊，这时候呢，用这个把那公式呢记好啊，公式公式它有三部分构成啊，玻璃公式它是有三部分。构成的第一部分是c集体，是选的第二部分是成功多少次，它的概率第三部分是失败多少次的概率好，它有三部分构成。抓住它的这个概念就可以了，好总之呢，概率这一块儿不是那么难，
大家把这一题好好做做，考试的时候认真分析题目啊，这一块儿就可以把它求解好。好，那么本章我们就讲解完毕，大家把后面的作业题好好做做，大家一起加油，最后祝大家金榜题名，拜拜。
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