10-03常考古典概率（2）-数字古典概率
好，我们再看一下数字古典概念好吧，数字啊，数字古典概念化，那么我们来看一下，主要是有时候列举法用的多一点。啊，要结合一些列举法来分析。好对数字字古典概率要注意数字呢，是否可以重复使用？可以重复使用，比如说数字，它可以重复用，比如说二用完以后还可以再用，如果数字可以重复用，那么就可以结合方密法。是吧，又可以共享数字，如果可以共享，还要用方米法。好数字问题常用元素位置法将每个数字看成元素啊，那么每个数位看成位置有时候还涉及到一些运算，比如加减乘除运算。啊，或者说你取得数据要满足表达式，比如谁大于谁呀，或者谁小于谁满足某个表达式，这时候要结合列举法。立法很重要啊，考试考了很多次。
好，接下来我们看方案应用，对于考试出现的几位数，比如三位数啊，四位数啊，还有编码编号，那数字运算都属于此类问题。好吧，这是数字的运算。好，那接下来我们看一下，第一个就多位数。好多位数常考的那么有奇数啊，偶数啊，整除啊，
或者根据数位来分析。啊，数字问题的难点给大家写一下好吧，数字问题的这个难点。难点就是第三个给大家补充一个难，难点难点的话，有两个情况，一个情况就是。零的问题啊，一个情况就是零。啊，另外一个就是全能数数字全能卡片。啊，一个就是零，另外一个就是全能卡片是吧？
然后这个零的分析那零的分析的话，大家可以是。呃，分类做，比如说有零无零分类做也可以呢，用这个所有的减去零在首位的。所有的减去零的首位的，这样也可以好吧，所以遇到理论的全能卡片，咱们讲过全能卡片，这样分为选中没选中啊，去进行思考就可以了，全能卡片。好，接下来咱们看一下这里面的题目，
从数字一二三四五任取三个组成，没有从数字三位数。问，这三问，它的概率到底是几？第一问，三位数是五的概率，五的倍数的概率是多少？啊，是五的倍数第二三位数是偶数的概率第三问三位数大于400概率为多少？好，那这样我们来写写。好，第一问。那个30要是五的倍数，
大家知道五的倍数的话，那么个一定要是五对吧？个个位一定要是五，所以接下来我们看一下。它的个位必须是我。那先写总情况数吧，总情况数大家这样三位数，总情况数第一问的概率，咱用p1来表示啊p1代表第一问的概率。好，那么总情况数。在写数字几位数的时候，有两种习惯，这个咱们前面讲过，有两种习惯，
第一种习惯是啊，一个数一个数一写，比如百位是c5，10位是c4，一个位是c三一。这样一位位写。或者说你直接写一个c五三×3的阶乘c五三，就相当于先选三个数。选三个数，然后在个位十位百位排的时候，排的时候他可以写三的阶层排个序是吧？或者你写这样写，反正答案都一样。所以这两种写法啊，就看大家两种习惯好吧好，
那我们来看第一种写法分子。分子就是c五一c四一c三一，然后这个分子分子个位一定要是五个位是五，这个百位只剩下c四一c三一。是吧，然后如果要是用第二种习惯写第二种习惯写就是十百位和十位可以写c四二×2的阶乘。好吧，这张写法都行啊，都行都得到是五分之一，好这个答案就选择a选项。选择a当然也可以这样想，你想想这个个位，它应该有五种情况，一二三四五它有五种情况。五种情况，
然后呢？现在它只有五这一种情况是现就是五分之一，因为十位和百位它上下约掉了，它没有要求，没要求可以不用考虑，对吧？所以只看个位。各位，它总共有五种情况，现在只选这一种情况就五分之一。然后咱们看第二问。p2。啊P2P二三位数，要是偶数三位数，要要是偶偶数偶数的话就个位，
要么就是二，要么就是四。所以在这里面啊，可以写c五一c四一c3一个位就是c二一是吧？个位个有c二一，因为个位它可以是二或者四。各位，它叫二或者四知道吧？二或者四就各位。就二或者四嘛，就各位情况。然后接下来再写十位和百位是吧？十位百位是c四，一十位是按以内算就等于五分之二。那也可以这样想，
各位呢？他总有五种情况，五种情况，五种情况，那么他现在二跟四有两种情况。所以说这个就五分之二好吧，这样想也可以。所以它这个就得了五分之二。然后第三问三位数要大于400。30要比400大，大家想想。它大于400。好，那大于400第三问我们用p3来表示。啊，
大大于400。要比400大，比400大分，母还是c五一c四一c三一。分子分子的话，那大于400那百位可以是四或者五都行，对不对？4%也行啊，四因为后面十位和个位肯定比零零要大，所以在这里面它都是可以的，对不对？所以在这里面都是一样的。所以接下来我们可以看到，那么百位是c二一。百位就c二一c二一这个带有百位，
然后十位是c四，一个位是c三一，这也等于五分之二，那你可以这样想，因为百位它一到五有五种情况。现在，它要出现四跟五两种情况，就五种情况出现，两种情况就五分之二。所以这道题建议大家选c。好，这道题可以用某一个数位，它的情况来计算，因为其他数位它没有要求，没有要求分子分母约掉了，
可以这样用这个小技巧来计算。但是如果要加上零以后，你不能那样计算，那加上零以后，那这个会错，所以我把这里改成零一二三四五取三个数，做这三问大家想想这个就不能就不能用那个做，因为零它是不公平的。因为零不能在首位，零不不对等啊，它不公平，所以这道题就不能用比作比作，你可以试一下就做错了。所以让大家对照一下，什么时候可以用这个啊比例法做是吧？
就相当于是。它没有零没有零的时候，那我可以这样做好，那么改一改，我们改改成这样用零一二三四五。取三个数。然后组成这样的三位数，问下列几问的概率是多少，大家都思考一下好吧，都写写看看这个答案是不是会求解和分析啊？做一下它的方法和内容好，那在这里面我们来看一下它的这个特征和方法好吧，所以大家呢，要掌握它的这个。思路啊，
然后接下来我们这块它的内容。它内容，然后这时候就取三个数，加上一个零，大家想想它的这个考试方法好吧，加上一个零。好，加上一个零以后，那接下来应该怎么做？大家思考一下，加上零以后。好，加上零以后那么在这里面大家看一下它的表达式。啊，加上零好，
那加上零以后那么第一问第一问它是能被五整除注意，首先算出来总情况数啊，第一问get p。总情况数就是这三个数位。三四位就是c五一c好c五一就是百位嘛，百位就是c五一是吧？百位就是c五一。百位就c五一，或者说这个先写百位，百位写完，然后再写。十位十位，它也c5亿对不对？十位也c5亿个位就c4亿。就c五一c五一c四一这样的情况。
好，这样情况，然后在这里面，大家可以看出它的这个式子。是，然后接下来我们来看一下大家呢啊就是。它的结果。它有它的结果，它要是能被五整，能被五整各为零或者为五，要分为两种情况啊，就零在个位和零在。呃五在个位的情况好吧，零在个位和五在个位情况，零如果在个位的时候，
这个百位可以写c五一。c四十位是c4亿，像如果五代个位，五代个位的话，那这个百位只能c4亿十位还是c4亿？是吧，这样就可以得到它的值就得零点三六。就等于零点三六，这样就写好了好吧好，零点三六。好，然后再看p2啊，再看p2。啊P2P2的话，那在分母一样c五一c五一c四一啊c五一c五一c四一这样的情况。
啊，就是。这这然后接下来我们再看一下它的这个式子。再看一下，这是还有是偶数，偶数要分为两种情况，第一种情况零在个位，第二种情况就24在个位好吧，如果零在个位的时候就c五一c四一。加上就二四在各各位的时候就c二一。啊24在个个位的时候，这个c而已。那c2e。好c二一然后呢啊？在在这里面，
我们再看，因为二或者四在个位这个个位的话，然后在这里面，我们可以看一下这个十位和百位。是吧，十个百位就c四一c四一就等于零点五二好吧，零点五二。啊，这是它的这个概率p就写好了好吧，然后再看p3。pn要大于400，在400就c五一c五一c四一要大于400。但400的话，那百位只能是四跟五了是吧？百位只能是四跟五，
它这个特征百位只能是四跟五。啊，百位就是四跟五，它这样的情况，百位四跟五的话，那么这个百位就是c2e乘以百位c2e。啊，这样的特征，百位12亿，然后在这里面啊，那么就可以。c2亿或者说这个百位写好了，那么十位啊，十位十位它就可以写c4亿是吧？十位十位，
它可以注意，可以取零，知道吧？十位，它可以可以取零，可以取零，就是c五一了是吧？可以取零，就是c五一。然后这个时候呢，这个就是c4亿就写好了好吧，所以这是它的这个特征，就百位可以四或者五都行。啊，都行好，
这样就可以得到它的答案，就等于零点四。啊，零点四好了，这是给大家强调的这个题，这两个题做一下对照，如果没有零的时候可以根据某个数位，它占的比例情况，然后来进行写。如果要有零的时候就不行了，如果零用那个比例做，那就会出错，大家呢，要小心一下好吧，这是给大家讲的对比它的。
技巧什么时候能用，什么不能用，然后别给用错了。好，那接下来我们来看一下多个数的情况，多数那么结合数列来分析啊，一般可以用列举法啊，对于数列不要忘记公差为零或者公差为一的。啊公比为一的特殊数列好吧，公差为零或公比为一的特殊数列啊，这样的情况好吧？那接下来我们看一下这个题，将一个色子连续抛掷三次，它落地时的点数分别依次成等差数列概率到底是多少？那这里大家在洗的时候不要忘记特殊的情况好吧？
d为零的情况不要忘忘记，还有d为负的情况也不要忘记。好吧，所以在这里面大家要注意它的这个特征。好，那这道题要结合列举法。好，这对于数列要用列举法的时候，就根据公差d来进行分析就行了是吧？根据公差d来进行求求解。啊，因为咱们讲了立与法，一定要选一个标准嘛，那这个标准咱们呢？就是根据公差来分析就可以好吧，
然后在这里面我们看一看d的值。d等等于零的时候那么有六个一一二二二。一到66是吧？就六个。好，这样的情况是吧？就低等零售一一二二六六那总共有六个，这样的情况好，这是它的这个特征和方法。好，那接下来咱们看一下它的这个内容。好那么d呃，然后d为一的时候我们再看一下d为一的时候。好d为一的时候，好d为一的时候，
我们再看一下它的这个内容好吧d为一。好d为一的时候，那么就是。可以是一二三是吧？可以二三四。啊，一到什么呢？一到四五六。它总共四个。四个，但在这里面，大家注意啊，注意那么d=- 1跟它一样也是四个啊，这块就相当于给它顺序颠倒一下。颠倒颠倒一下，
它也四个，到时候别漏掉，比如说三二一四三二是吧？它也四个。然后再看d=2的时候。好d=2的时候d=2的时候，我们可以看一下d=2的时候就一三五。啊，一三五二四六。就两个。那同样道理d=- 2的时候也是两个。定点负二的时候，它也也是两个定点负二两个，所以把这个加加在一起啊，加加在一起总共是18个好吧，
共18个。加起共18个就写好。加起总共加在一起是18个数。好实话说，我们看概率p。p分母分母就六的三次方。分子18好吧，分母六六的三三次方。分母只是六的三次方。然后分子十八是吧？因为它质三次嘛，就六的三次方，这是十八，然后这个大家月月就可以得到十二分之一。好吧，
就得到十二分之一，这样就写好了，这个呢，应该选择b选项。好，这是它做题知识点和方法，看是不是明白了？然后接下来我们来看一下呃，如果这里要改成等比数列，大家思考应该怎么做？改成等比数列。它做没有跟等比数列。很多敢等比的话。我们一起练习一下。啊等比数列好，
那改成等比数列的话，大家呢就要。呃来进行根据公比来进行列是吧？根据公比来进行列就可以了公比。跟公比的情况，比如说公比q。比如等于一的时候，公比k=1的时候有六个。好吧，跟这个公差为零的一样，它是一个常数列，它这种六个啊q=1的时候，它这六个。这六个数好，这样写好了六个字。
然后q=2的时候q=2的时候只能是一二四，这是一个啊啊，一二四就一个。q等于二和q等于二分之一的时候。一样，这是四二一啊，这也是一个。这一个所以总共加在一起是八个好吧，共是八个。共八个，所以概率p就可以写作八除以六的三三次方就等于二十七分之一。好啊，这样答案就写出来好吧，到时候你就选择二十七分之一就可以了啊，好，
这是他做题的方法思路，所以这个让大家啊掌握一下。列举法它的一个。使用的特征。还有数列的一些概念都要掌握住。好，这是他的支点，看是不是明白了？好，这是。列举法，接下来咱们再看啊，试密码的数字问题好吧，试密码。好，
对于这个试密码问题，它的特征给它进行强调一下好吧，试密码啊，它出现比如第k次尝试成功，意味着前k- 1次没有成功。啊，没有成功，知道吧？就是dk常常成功，意味着前k- 1次，它没有成功，好在这里面我们。总结一下试密码，它的特征是什么样的？好吧，
把试密码特征给大家进行写写。好，大家看一下试密码它的特征。好是密码的特征。好声明表达特征，那在这里面我们可以看它的这个特征，第一个。特征好，第一个特征，第一个特征的话，那相当于是它是无放回的尝试。比如说我们手机密码啊，如果要是一二三。发现这个不是密码，下次就不再试这个数了，
对吧？所以说在这里面就是无返回的尝试。对吧，它是无返回的尝试啊，四面它就无返回，比如说这个如果不对，它就不再放回去了，所以就不再放回尝试就行了。好无法回尝试第二个特征。第二特征。也就说它这个密码。我们在试的时候。一旦试开就不再试了，它有个终止条件。这种条件就一旦试开。
就不再尝试。啊，一旦试开就不再尝试。好，一旦试改，就不再尝试好，这是第二个中用条件。那一旦试改，就不再尝试了。好，第三个，第三个。在它终止啊，比如说这个密码打开，就像咱们手机一样，
这个密码输对了，它直接进系统了，就不会再弹出输密码框了，对吧？所以这个终止。啊，终止条条件，第三个就相当于是啊，第k次试成功意味着前k- 4没有成功，比如第三次成功。意味着前两次失败，知道吧，所以在这里面就。第k次成功。好意味着。
前k- 1次失败。好dk的成功意味着前k减值失败，这样的情况。好，第四个。第四个，第四个就是。无论第几次试成功，它试开概率都相同啊啊，每次试开的概率都相同。每次释改概率是相同的。好，这是它的特征是吧？每个式的概它都一模一样，都是相同的啊，
这样的一个式子好，这是密码，它的特征方法看这个懂了没有？好在这里面大家看看这个情况。好，那接下来咱们来看一下啊，这个这个题目好吧，看一下题目好看一下这个题。某人忘记号码锁的最后一个号码，这个号码他在正确拨出，前两个号码后只能随机的。世博最后一个号。然后每播一次。算一次四开，则它在第一次试开时才能将锁打开的概率是多少？
好在这里面给大家画个图，大家看看这个题，给大家画一个示意图。比如说前两它它记得。最后把它忘记了是吧？前两它记得。最后他忘记了，反正这个每个位都是零零到九。啊，都是零到九。好，那接下来咱们看一下它第四次打开，刚见讲过第四打开意味着前三次失败，前三次没打开。是吧，
前三次没打开嘛好，那第四第四打开说明第一次它试的时候又失败了。好，那第一次试失败就是总共十个号嘛，零到90个号，十个号里面有九个号是错的，所以第一次失败。怎么办？这就代表第一次失败。然后乘以或者给大家画个图也可以，也可以看出来画图也行。好，这是第一次，这是第二次，这是第三次，
这是第四次。这第一次，第二次，第三次，第四次是吧？然后第一次失败。啊，第一次它失败了。第二次也失败，第三次失败，第四次成功，就这样的一个图是不是好，第二次失败，比如说第一次试一个三，他又不对，
他又不对，第二次又不再试这个三，他又放。就不再放回去了，所以说第二层还剩下九个，结果不是密码，那么就是八是吧八，然后再乘以。那第三次，第三次那么八个里面就剩七个了是吧？就是他是不对，就不再是了，所以这第一次失败概率是十分之九，第二次失败概率九分之八，第三次失败概率是八分之七。
第四次还剩下七个号，七个号里面有一个号是密码，这样就写出来了是吧？有个号密码这样算的，结果就等于十分之一答案就求解出来了好吧？这个概率呢？十分之一这样答案就选择的是d选项啊，得到就十分之一，这就写好了。电答就选d就十分之一，它的这个特征。好，这是它的方法和思路，看是否明白了。好不知道这个学校听懂没有，
如果改成这里改成要忘记后两位应该怎么做，大家试试着写写好吧，如果这个改成。后两位忘记了。好来进行试啊，就第一位大家记得是吧？第一位大家记得好，那我们再画个图。就是这个后两位。它忘记第一位，它知道多少，后两位它忘记，比如说第一位是六开头的，但后面是几，它忘记了，
忘记了它现在开始试。开始试好，那也问第44开的概率。我们再证明一下，第一次四盖盖跟第一次一样，你看刚刚咱们这个十分之一跟第一次四盖盖的一样，第一次四盖盖的就十分之一，因为十个数里面只有一个是密码。是吧，就十分之一。那现在后两位忘记啊，你们说说啊，看看都想一想，每个同学都思考一下，然后思考完，
然后再对答案好吧，大家看看，如果后两位忘记。后两位概率p它还是第44开，第44开，那意味着什么情况？意味着第一次。只要这是第一次。这第二次，第三次，第四次。好，这第一次，第二次，第三次。
第四次。好，这样的情况好，大家可以看第一次，第二次，第三。第四次，那说明他的应该什么情况，就第一次失败，第二次失败，第三次失败，第四次成功，你看。好，这时候它总共的号儿应该有100个号儿，
知道吧？这个100号儿就不是十个号儿了，100号儿因为这有十种情况，这有十种情况，所以它就会产生100个号儿，另外比如说。零零零一。一到。九九所以这总100号就这两位，他总100号100号里面其中只有一个号是密码，知道吧，其中只有一个号是密码。只有一个号，只有一个号是密码，比如说啊，
只有这个六八，这这个号是是密码，其他都。不是不是密码，所以第一次要试失败在100号里面有99个是错的密码。是吧，就像咱蒙猜答案一样，比如五个选项，我选有四个是错的，那你蒙上蒙蒙错的概率就五分之四。是吧，所以在这里面就100个号，里面有99个错的，你看第一次，比如第一次你输的是78啊，
输的是七个八七个八的话，发现不对，那第二次就不再输这个号了，还剩99个号。九九九号里面有98个不是密码的是吧？九八个就不是密码，那然后这个就是98个里面97个。不是密码。然后再乘以再乘以就是九七个里面只有一个是密码是吧？九七个只有一个是密码，这样给它进行约分，约完后。可以发现，就等于一百分之一。对吧，
一百一百分之一这样跟第一次试开概率，这一百个号里面只有一个号是密码，试开概率一百分之一是一样的。是吧，同样的，如果改成三位全忘了啊，如果改成三位全忘就变成一千分之一，如果改成四位，四位就是一万分之一，接下来下一个题，你看就是就是四位。是吧，所以这个懂了没有？所以这样就给大家推导出来，这几个结论啊，
这个结论大家一定要知道啊，就相当于是。啊，它四个节点无返回的试，第二，一旦试开就不再尝试了。而且第几次成功意味着前面都失败，而且每次试开盖的相同，这样就得到这个结果，不管是第几次试开它盖的都相同，第一次试开，第二次试开，第三次开它盖的都是一样的。都相同的是吧？这样就可以得到结果。
好看，这个明白没有？好，那接下来我们来看一下，下一位下一位，你有没有下面这组改的四位是吧？其实咱们呃，实际生活中银行卡的密码应该六位六位的话，因为这个这个不好赚是吧？是吧，六倍这个不好不好计计算，然后数太大，所以咱们给它出成四位了好吧，四位，然后每位上数字可以在零到九这十个数中来进行选取。
好，接下第一问，如果随意按下一个四位数的号码，正好按对这张密码该是多少？那么这是第一次。是对的，第一次是对的，刚才讲了，它就等于十的四分之一。是吧，就等于10000d选项是吧？就这第一次是对第二本，他要恰好第三次成功，恰好第三次成功，刚才给大家推了这块，
就不用再推了吧？就第三次成功，说明第一次错了，第二次错了，第三次对了，然后这个算出来还是一万分之一是吧？所以刚才我们讲了，就不管第几次试开它概都一样啊，所以第二问。它的试开的概率跟第一问试开的概率一样，都等于14次方分之一。都一样的是吧？都一模一样。然后第三问，如果连续输了三次，
则银行卡被锁定啊，连续输了三次，则银行卡被锁定。然后这样，如果他能尝试成功的概率是多少？就像为了安全，他输错三次，他不让再试了是吧？不让试了，银行卡就给你锁定了，那这时候我们来看它的这个概率应该怎么写？好，这样的话，我们看第三问它的值。好连续输入三次，
比如说这第一次，第二次，第三次。好，那他某人忘记密码，他就能上试成功，那有可能这样，有可能第一次他成功，第一次一旦成功了，第一次运气比较好，一输。输四个数回车键，然后这样。这张银行卡不是这样啊，不是输一个密码，
输一个数就按一次回车，比如输完八我就按回车，不行啊，不行，比如说输。输输完四个数，比如八六，然后七。九是吧，这样的这样我们必须四个数输完才能按回车，知道吧，所以说四个数。输完作为一组密码，作为一个密码四个数，作为一个密码，
然后回车知道吧，所以在这里面要注意。然后呢，第一次输对了，那么就是一万分之一，有可能第一次没对，第二次对了，那这样行，有可能第一次没对，第二次没对，第三次对，这都行，这都叫做试成功。听到没？这都是试成功了。
所以这概率它是十的四次方分之一，这也十的四次方分之一，因为刚才讲了每次四个概率都是一样啊，所以这样就求解出来什么叫做失败，讲讲什么叫做失败，讲讲什么叫第一次错了，第二错了，第三错了就失败，它就给你锁定了，就不让再试了。就给你锁定了好吧，所以概率p就可以写出来概概率p其实等于14方分之三。因为这是第一次是十的四次方分之一，这也十的四次方分之一，这也十的四次方分之一，
三个加在一起就是四成功就十的四次方分之三，这样写好了。这难就选择e选项，答案就求解出来好，这是它做题方法思路，看是否懂了。好，这个题就考察试密码，它的知识点和内容。好，这是它考试要点，看明白没有？接下来我们看一下呃数字问题，它还可以跟这个几个图形相结合是吧？跟一些图形相结合，
跟图形相结合的话，这时候呢，也要结合列举法。比如有时候跟那个三角形啊，或者圆相结合。好吧，跟这个三角形啊，或者圆相结合来进行分析和思考。对吧，三角形比如说这个题，它就是呃掷色子，然后这个点这样落在三角形内部。这就是一张列举法，有时候考试会考一个圆，知道吧？
或者是说一个某个图形落在它图形内部。好，那接下来我们来看一下它的知识点和内容。接下来，接下来，它要落在它这个图形内部，我们画一个图。好，这个三角形这是六，这是六，这是零。啊落在这个三角形内。三角内三角内的话，我们看一下，也就说要满足这个内部注意，
不包含边界啊，内是不含边界的，别给写错了。也就说需要这个点数，要在这个a+b小于六，也就说这个点数。点要在这个直线的下方，直线下方就s+y要小于六，改成小于号，就代表它在这个直线的下方是吧？就小于六这样的特征。是吧，小二六啊，这样的情况。好小于六，
这样的情况，我们看它的这个值。好，那接下来列一下a=1的时候b等于一二三四好，这样的情况是吧？a=2的时候b可以取一二三。是吧，这样给它列列就行了，那h3的时候h3的时候b可以取一二。a取四的时候b只能取一是吧？b只能取一啊，所以这样它的这个特征和方法。好，这样内容看懂了没有？好，
这是这样列出来，大家加在一起就十种是吧？加在一起就等于十种好get p就可以写出来十种。好十种化，然后分母就是六的平方，知道吧，因为掷色子每次都六个点，所以六乘以六的平方得到十八分之五。啊，十八分之五这呢，应该选择的是e选项。好，这以后啊，这个数字跟这个图形相关联，大家会用列一法来分析，
看这块是不是明白了？好，这是他的做题的要点和思路。
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